Lista 2 Normal Exponencial Uniforme

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Universidade Federal de Lavras 
Departamento de Estatística 
Estatística GES101 Prof. Marcelo Oliveira 
Lista de exercícios 2– Normal, Exponencial, Uniforme, e outras 
 
1) O diâmetro interno terminado de um anel de pistão é distribuído normalmente (isto é, é uma variável 
aleatória que tem distribuição Normal de probabilidades), com média de 10,000 centímetros e desvio-
padrão 0,032 centímetro. 
a) Qual é a proporção (frequência relativa) de anéis que terão diâmetro interno excedendo 10,075 cm? 
b) Qual é a probabilidade de que um anel de pistão tenha diâmetro interno entre 9,970 e 10,030 cm? 
c) Qual é o quantil de 5% do diâmetro interno dos anéis de pistão? 
2) Um processo industrial de fabricação de resistores elétricos produz resistores cuja resistência elétrica é uma 
variável aleatória com média de 40,8 Ohms e desvio-padrão de 2,1 Ohms (símbolo de Ohms é ). 
a) Qual é a porcentagem de resistores produzidos neste processo industrial que terão resistência elétrica 
excedendo 43 Ohms? 
b) Calcule uma faixa de valores em torno da média de resistência elétrica que contenha 99% de todos os 
resistores fabricados. 
3) Uma indústria de rolamentos esféricos de aço produz rolamentos para os quais o diâmetro é uma variável 
aleatória Normal, com média de 3,000 cm e desvio-padrão de 0,005 cm. O comprador destes rolamentos 
determina no contrato que as especificações destes diâmetros é a faixa 3,00  0,01 cm. Fora desta faixa 
nenhum rolamento será aceito. 
a) Quantos rolamentos produzidos e enviados para este comprador serão descartados? 
b) Se o lucro da indústria é de R$ 0,16 por cada rolamento adquirido e pago pelo comprador, e o prejuízo da 
empresa é de R$ 0,37 por cada rolamento rejeitado (e consequentemente não pago) pelo comprador, 
calcule o lucro por rolamento da indústria. 
4) Determinados servidores de email têm ocupação média de memória de 8.512Kbytes por parte de seus 
usuários. Suponha que essa ocupação tenha distribuição Normal com desvio padrão de 657KBytes. 
Determine as probabilidades para as seguintes ocupações: a) Menor que 6.900 KBytes. b) Maior que 7.000 
KBytes. c) Maior que 10.000 KBytes. d) Qual o quantil de 5%? Qual a interpretação deste número? e) 
Estabeleça 2 valores de ocupação de memória que contenham 95% de todas as observações. 
6) A durabilidade de certo tipo de pneu é descrita por uma variável aleatória Normal de média 60.000 km e 
desvio padrão 8.300 km. (a) Qual a probabilidade de um pneu rodar mais de cem mil km? (b) Qual a 
probabilidade de um pneu rodar menos de dez mil km? (c) Se a fabricante garante os pneus pelos primeiros 
48.000 km, qual a proporção de pneus que deverão ser trocados pela garantia? (d) O que aconteceria com a 
proporção da alínea (e) se a garantia fosse para os primeiros 45.000 km? (e) Qual deveria ser a garantia (em 
km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria, sob garantia, no máximo, 2% dos pneus? (f) Se você 
comprar quatro pneus, qual será a probabilidade de que você utilizará uma garantia de 45.000 km para 
trocar um ou mais desses pneus? 
7) Mais um exemplo de distribuição de probabilidades de variáveis aleatórias contínuas é a distribuição 
Exponencial. A Exponencial não é a Normal, e mostra como existem outras distribuições de probabilidade de 
variáveis contínuas além da Normal. Uma variável aleatória contínua tem distribuição Exponencial com 
parâmetro λ, λ > 0, se, para todo então sua função densidade de probabilidade é dada por 
 ( ) 
A média e a variância de são dadas por: 
 ( ) ( ) 
 
 
 e ( ) 
 
 
 
Um dos usos para a Exponencial é na modelagem do tempo de vida útil de produtos manufaturados. Por 
exemplo, se é a vida em horas de um certo tipo de componente eletrônico, com  = 2.847,1 horas, então a 
probabilidade de que um destes componentes dure mais de 3.000 horas, é: 
 ( ) 
 ∫
 
 , 
 
 
 
 , 
 
 
 , |
 
 
 
 
 
 , ( 
 
 
 , ) , 
 
 
 , , 
 Podemos calcular esta probabilidade pelo R: abaixo está o script que desenha o gráfico que corresponde a 
 esta probabilidade pedida, e a calcula, resultando no valor 0,3486441. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual é a probabilidade de um componente durar mais de 3.500 horas? 
b) E entre 3.000 e 3.500 horas? 
c) Qual é a fórmula para a função distribuição F(x) (função de probabilidade acumulada)? 
d) Qual é o quantil de 2,5%? O que significa? 
8) Uma outra distribuição de probabilidades de variáveis aleatórias contínuas é a distribuição Uniforme ou 
Retangular: 
 tem distribuição Retangular se os valores realizados pertencem ao intervalo fechado entre os números 
reais e , isto é, [ , ] , e sua função de densidade é dada por 
 
 ( ) {
 para [ , ]
 
 
 
 para [ , ]
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
( ) 
 
 
Média<-2847.1 
Taxa<-1/Média # Taxa é o parâmetro lambda 
ValordeX<-3000 
Nodecimais<-0 
x<-seq(0,Média+100*(Média^0.5),by =10^(-
Nodecimais)) 
y<-dexp(x,rate=Taxa,log=FALSE) 
rx<-seq(ValordeX, Média+100*(Média^0.5),by 
=10^(-Nodecimais)) 
ry<-numeric(2*length(rx)) 
ry[1:length(rx)]<-
dexp(rx,rate=Taxa,log=FALSE) 
rx<-c(rx,rev(rx)) 
plot(x,y,"l",xlab="Vida útil (horas)",ylab="f 
d p (x)") 
polygon(rx, ry, col = "gray") 
abline(v=Média,h=0,lty=2) 
1-pexp(3000,rate=Taxa,log=FALSE) 
 
Um exemplo bastante acessível hoje de variáveis aleatórias com distribuição Uniforme contínua são os 
geradores de números aleatórios (função randômica) das calculadoras científicas. Tais calculadoras 
possuem uma tecla (“RAND” ou “RAN#”, dependendo da marca e modelo da calculadora) que, uma vez 
acionadas, mostram no visor um número real entre 0 e 1: esse número é aleatório e tem uma distribuição de 
probabilidades Retangular, com parâmetros, e . 
a) Faça o gráfico desta distribuição (isto é, faça o gráfico de ( )). 
b) Se você sortear (acionar) muitas vezes a tecla da função randômica de sua calculadora, e fizer a média 
e o desvio padrão, obterá aproximadamente os valores acima. Faça isso 30 vezes. 
c) Calcule a probabilidade de você obter números aleatórios menores do que 0,2000 e verifique se a 
proporção dos 30 sorteados acima é aproximadamente igual. 
d) Mostre algebricamente que as fórmulas acima para média e variância estão corretas. 
e) Qual é a moda? Qual é a mediana? Crie uma fórmula geral para um quantil de . 
f) Calcule ( ) e faça seu gráfico. 
9) Os físicos já modelaram o átomo como um mini-sistema solar, onde o sol seria o núcleo e os planetas os 
elétrons, orbitando em trajetórias determinísticas. Após o advento da Mecânica Quântica, o elétron é visto 
como uma partícula-onda que tem uma probabilidade de estar em algum lugar (posição) em volta do núcleo, 
dada por distribuições de probabilidade que dependem dos números quânticos , , , , os quais definem 
os orbitais 1s, 2s, 2p, etc. A posição do elétron no espaço tridimensional em volta do núcleo atômico deve ser 
dada por 3 coordenadas: , , , se usarmos coordenadas cartesianas, ou , , , se usarmos coordenadas 
esféricas. Vamos considerar coordenadas esféricas. Cada uma destas 3 coordenadas esféricas ( , , ) é uma 
variável aleatória contínua, cada uma com sua própria distribuição de probabilidade marginal (haveria 
também uma distribuição conjunta de probabilidades para estas 3 variáveis). O gráfico abaixo dá essa 
densidade de probabilidade para a variável aleatóriadistância radial , que diz a qual distância radial do 
núcleo pode ser encontrado o elétron no nível fundamental (1s) do átomo de Hidrogênio, e também dá a 
equação da densidade de probabilidade de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Verifique que esta função é mesmo uma densidade de probabilidade legítima. 
b) Calcule a moda de . Interprete. 
c) Calcule a média de . Interprete. 
d) Calcule a mediana de . Interprete. 
e) Calcule o desvio-padrão de . Interprete. 
 
𝑓(𝑟) 
𝑟 
𝑎 
𝑒 
𝑟
𝑎 
A função densidade de probabilidade para a variável 
aleatória 𝑅 do elétron do Hidrogênio no orbital 1s é 
dada por: 
 
onde 𝑎 ,5 × metro é o raio de Bohr (o 
raio que se pensava ser para a órbita do elétron no 
átomo de Hidrogênio planetário; metro é 1 
Angstron), uma constante física. Obviamente 𝑟 ≥ . 
 
f) Calcule a probabilidade do elétron estar afastado do núcleo mais do que . 
g) Qual é o quantil de 1% para ? O que significa? 
10) Existem muitas outras distribuições de probabilidade de variáveis contínuas, além da Normal, Exponencial, 
Uniforme, e esta do átomo de Hidrogênio. De fato, existem infinitas distribuições de probabilidade, uma para 
cada variável contínua possível, uma para cada fenômeno possível no Universo. Algumas destas infinitas 
possibilidades tem nome próprio, além das já mencionadas Normal, Exponencial, e Uniforme. Alguns outros 
nomes são, por exemplo: Gama, Beta, Weibull, Gompertz, Gumbel, Cauchy, Laplace, Dirichlet, entre muitas 
outras. Um número muito maior não tem nome próprio, tais como as distribuições dos elétrons nos átomos. 
Dentre todas, com nome e sem nome, a classe mais importante das distribuições de variáveis contínuas é a 
Distribuição Normal. Há duas razões para esta importância: (i) O Teorema Central do Limite demonstra que os 
fenômenos que ocorrem pela adição de um grande número de fatores, onde nenhum deles predomina sobre os 
outros, terá distribuição Normal, o que faz a Normal aparecer em toda a Natureza, porque muita coisa na 
Natureza é gerado por esta adição; (ii) A Normal é a distribuição do aleatório puro. Apesar de toda esta 
importância da Normal, há outras distribuições importantes, como, por exemplo, a classe de distribuições que é 
usada na Análise de Confiabilidade de Sistemas, as quais são definidas a partir do comportamento da função 
taxa ( ) de falha, dada por: 
 
 ( ) lim
 
 ( )
 
 
 
onde é a variável aleatória que mede o tempo de vida (ou de falha) do sistema, isto é, a falha do sistema 
ocorre no tempo , isto é, o sistema “viveu” até o tempo . Esta função ( ) mede a “força de mortalidade (isto 
é, a tendência para falha) que existe para aquele valor de ”: observe que o numerador de ( ) é a 
probabilidade de que o sistema falhará nos próximos instantes de tempo dado que o sistema já “viveu” 
(funcionou) até o tempo . Ao dividir esta probabilidade do numerador pelo denominador nós criamos 
a taxa. 
 
Explicado tudo isso, pede-se que você: 
 
a) Prove que 
 ( ) 
 ( )
 ( )
 
 
b) Prove que, se ( ) , onde é uma constante real positiva, então a distribuição obtida é a Exponencial. A 
Exponencial pode modelar tempo de falha, tempo de vida, como dissemos acima (e como fizemos no 
exercício 7), mas também pode modelar a distância entre eventos no espaço e ou no tempo, entre outras 
possibilidades. Por exemplo, considere que a ocorrência de pontos de defeitos numa chapa metálica tenha 
distribuição espacial aleatória. Mostre que, sendo assim, a distância entre uma ocorrência e outra segue uma 
distribuição Exponencial. 
c) Prove que, se ( ) , onde e são constantes, com real positiva e real não-negativa, então a 
distribuição obtida é a Weibull: 
 
 ( ) { 
 
 
 para 
 para outros valores de (p o v ) 
 
 
 
 
 A Weibull é usada na análise de confiabilidade para modelar o tempo de falha de sistemas mecânicos e 
eletrônicos. 
d) Prove que, se r( ) ce , onde e são constantes, com real positiva e real não-negativa, então a 
distribuição é a Gompertz: 
 
 ( ) { 
 
 
( )
 p o v 
 
 
 A Gompertz é usada na atuária para modelar o tempo de vida de seres humanos. 
e) Na indústria, considera-se que sistemas eletrônicos tipicamente tenham um comportamento quanto a taxa 
 ( ) de falhas assim: 
- Logo após serem fabricados, se postos em funcionamento os sistemas têm uma taxa de falha relativamente 
grande que, se não “queimarem” enquanto inicialmente funcionam, tal ta a vai diminuindo até 
estabilizarem-se em uma taxa constante de falha. Este tempo inicial de funcionamento até atingir a 
estabilização é denominado tempo da “mortalidade infantil” do sistema, e a prática industrial de pôr tais 
sistemas em funcionamento dentro da fábrica neste tempo é denominado burn-in, “queimar dentro”, feito 
assim e atamente para impedir que “queime” na mão do consumidor e assim prejudique a reputação da 
marca. Isto também pode ser aplicado à sistemas mecânicos. 
- Esta ta a de falha constante caracteriza o que se denomina “vida útil do sistema”, ou ainda “funcionamento 
normal”, ou ainda steady state. 
- Finalmente, após algum tempo a taxa de falha passa a aumentar com o tempo, caracterizando o que se 
denomina de “envelhecimento”, ou “desgaste”, ou ainda “cansaço”, do sistema 
- Este comportamento da taxa ( ) de falha de sistemas é representado pela “curva da banheira”, veja figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando a distribuição de Weibull como base, quais seriam valores razoáveis para os parâmetros da 
Weibull em cada uma das 3 fases da vida na curva da banheira? 
 
Figura. Parte de um livro 
sobre Controle Estatístico 
da Qualidade, onde se 
apresenta a “curva da 
banheira”, nome dado por 
causa do formato do gráfico, 
parecido com uma banheira. 
Neste gráfico, t é o 
equivalente à 𝑥 , e h(t) é a 
equivalente à 𝑟(𝑥).