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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIC¸OSA Departamento de Matema´tica PRIMEIRA PROVA - MAT 140 (16-09-2016) GABARITO Questa˜o 1: Determine, caso existam, os seguintes limites: (10Pts) (a) lim h→2 h3 − 2h2 + 4h− 8 h2 + h− 6 (10Pts) (c) limx→3 f(x), onde f(x) = 1− sen(x− 3) cos(x− 3) , se x < 3 √ x+ 1− 2 x− 3 , se x ≥ 3 (10Pts) (b) lim x→∞ ( √ x2 − 5x− √ x2 + 5) SOLUC¸A˜O: a) Este limite e´ uma indeterminac¸a˜o do tipo 0 0 . Deste modo, vamos fatorar o numerador e o denominador: lim h→2 h3 − 2h2 + 4h− 8 h2 + h− 6 = limh→2 h2 (h− 2) + 4 (h− 2) (h− 2) (h+ 3) = limh→2 (h− 2) (h2 + 4) (h− 2) (h+ 3) = lim h→2 h2 + 4 h+ 3 = 22 + 4 2 + 3 = 8 5 . b) Este limite e´ uma indeterminac¸a˜o do tipo ∞−∞. Assim, vamos racionalizar a expressa˜o no numerador. lim x→∞ (√ x2 − 5x− √ x2 + 5 ) = lim x→∞ (√ x2 − 5x− √ x2 + 5 ) . (√ x2 − 5x+√x2 + 5√ x2 − 5x+√x2 + 5 ) = lim x→∞ (x2 − 5x)− (x2 + 5)√ x2 − 5x+√x2 + 5 = limx→∞ x2 − 5x− x2 − 5√ x2 − 5x+√x2 + 5 = lim x→∞ −5x− 5√ x2 − 5x+√x2 + 5. Agora, o limite ficou em uma indeterminac¸a˜o do tipo ∞ ∞ . Devido a isto, vamos colocar a maior poteˆncia em evideˆncia no numerador e no denominador. 1 lim x→∞ (√ x2 − 5x− √ x2 + 5 ) = lim x→∞ −5x− 5√ x2 − 5x+√x2 + 5 = limx→∞ x ( −5− 5 x ) √ x2 ( 1− 5 x ) + √ x2 ( 1 + 5 x ) = lim x→∞ x ( −5− 5 x ) √ x2 √ 1− 5 x + √ x2 √ 1 + 5 x = lim x→∞ x ( −5− 5 x ) √ x2 (√ 1− 5 x + √ 1 + 5 x ) = lim x→∞ x ( −5− 5 x ) |x| √ 1− 5 x + |x| √ 1 + 5 x = lim x→∞ x ( −5− 5 x ) x (√ 1− 5 x + √ 1 + 5 x ) = lim x→∞ −5− 5 x√ 1− 5 x + √ 1 + 5 x = −5 2 . Na u´ltima igualdade usamos o fato lim x→∞ a x = 0. c) A func¸a˜o tem dois comportamentos diferentes perto do ponto 3. Assim devemos calcular os limites laterias para determinar o limite. O limite lateral a` esquerda e´: lim x→3− f (x) = lim x→3− 1− sen(x− 3) cos(x− 3) = 1− sen(3− 3) cos(3− 3) = 1− sen(0) cos(0) = 1− 0 1 = 1. O limite lateral a` direita e´: lim x→3+ f (x) = lim x→3+ √ x+ 1− 2 x− 3 Este limite e´ uma indeterminac¸a˜o do tipo 0 0 . Estamos interessados e retirar a raiz do numera- dor e assim multiplicaremos pelo conjugado do numerador no numerador e no denominador: lim x→3+ f (x) = lim x→3+ (√ x+ 1− 2 x− 3 )(√ x+ 1 + 2√ x+ 1 + 2 ) = lim x→3+ x+ 1− 4 (x− 3) (√x+ 1 + 2) = lim x→3+ x− 3 (x− 3) (√x+ 1 + 2) = limx→3+ 1√x+ 1 + 2 = 1√3 + 1 + 2 = 14 . Como lim x→3− f (x) = 1 6= 1 4 = lim x→3+ f (x) temos que lim x→3 f (x) na˜o existe. 2 Questa˜o 2: Considerando o gra´fico da func¸a˜o f abaixo. Pede-se: f(x) a b c d e r s (5Pts) (a) Se f ′ (a) = −6, determinar f ′(b). (5Pts) (b) Verfique se f e´ deriva´vel em x = c. (5Pts) (c) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (d, f(d)). (5Pts) (d) Coloque em ordem crescente f ′ (b), f ′ (r), f ′ (e) e f ′ (s). SOLUC¸A˜O: Observe que o gra´fico de f e´ uma reta com inclinac¸a˜o negativa para x ≤ c, uma para´bola voltada para baixo em [c, e] com ve´rtice em (d, f(d)) e uma para´bola voltada para cima em [e, s] com ve´rtice em (r, f(r)). (a) Como (a, f(a)) e (b, f(b)) pertencem a mesma reta, e a inclinac¸a˜o da reta e´ f ′ (a) = −6, enta˜o f ′ (b) = −6 (b) Observe que f ′ (a) = f ′ (b) = f ′ −(c) = −6 e tambe´m observe que f ′+(c) e´ positivo, enta˜o f ′ +(c) 6= f ′−(c), assim a derivada f ′(c) nao existe. (c) Do gra´fico temos que a reta tangente ao gra´fico de f no ponto (d, f(d)) e´ uma reta horizontal, assim tem inclinac¸a˜o 0. Logo, a equac¸a˜o da reta tangente e´: y − f(d) = 0(x− d) = 0 (d) Observe que f ′ (b) < 0 e f ′ (e) < 0, f ′ (r) = 0 e f ′ (s) > 0. Ale´m disso, obserque que a inclinac¸a˜o da reta tangente que pasa pelo ponto (b, f(b)) e´ menor que a inclinac¸a˜o da reta tangente que pasa pelo ponto (e, f(e)), assim temos f ′ (b) < f ′ (e) < f ′ (r) < f ′ (s) 3 Questa˜o 3: Considere a func¸a˜o f definida por f (x) = b sen (x) 3x , se x < 0, a (x2 − 1) , se 0 ≤ x < 2, x+ a , se x ≥ 2. (10Pts) (a) Determine lim x→0− f(x) e lim x→0+ f(x) (10Pts) (b) Determine lim x→2− f(x) e lim x→2+ f(x) (10Pts) (c) Apresente condic¸o˜es sobre a, b ∈ R para que f seja cont´ınua em R SOLUC¸A˜O: (a) Lembremos do limite fundamental lim x→0 sen (x) x = 1. Logo lim x→0− sen (x) x = 1. Portanto, lim x→0− f(x) = lim x→0− b sen (x) 3x = b 3 lim x→0− sen (x) x = b 3 e lim x→0+ f(x) = lim x→0+ a ( x2 − 1) = −a (b) lim x→2− f(x) = lim x→2− a ( x2 − 1) = lim x→2− ( x2 − 1) = 3a e lim x→2+ f(x) = lim x→2+ (x+ a) = 2 + a (c) Sabemos sobre continuidade que: 1. a func¸a˜o trigonome´trica sen(x) e´ cont´ınua em R. 2. qualquer func¸a˜o cont´ınua vezes uma constante tambe´m e´ cont´ınua. 3. a func¸a˜o polinomial e´ cont´ınua em R. 4. quociente de func¸a˜o cont´ınua e´ cont´ınua exceto nos pontos onde a func¸a˜o do denominador e´ zero. Dessas afirmac¸o˜es decorre que as func¸o˜es polinomiais 3x, a (x2 − 1) e x + a sa˜o cont´ınuas R e a func¸a˜o b sen (x) 3x e´ cont´ınua exceto em x = 0. Donde f(x) ja´ e´ cont´ınua se x e´ um nu´mero real diferente de 0 e 2. Logo, para encontrarmos as condic¸o˜es sobre a, b ∈ R para que f seja cont´ınua em R devemos aplicar a definic¸a˜o de continuidade em x = 0 e x = 2. Utilizando os ca´lculos feitos nos itens (a) e (b), para que f seja cont´ınua em R devemos ter: lim x→2− f(x) = lim x→2+ f(x) = f(2) =⇒ 3a = 2 + a =⇒ a = 1 lim x→0− f(x) = lim x→0+ f(x) = f(0) =⇒ b 3 = −a =⇒ b = −3a = −3 Portanto para que f seja cont´ınua em R devemos ter a = 1 e b = −3. 4 Questa˜o 4: Fac¸a o que se pede: (10Pts) (a) Determine f ′(0), caso exista, onde f(x) = x3 sen( 1 x ) se x 6= 0 0 se x = 0 (10Pts) (b) Determine a primeira derivada de h(x) = xpi cos(x) x3 − 4x+ 1. SOLUC¸A˜O: (a) A derivada de f num ponto x0 e´ dada por f ′(x0) = lim x→x0 f(x)− f(x0) x− x0 , desde que esse limite exista. Observe que x2 ≥ 0 e que −1 ≤ sen( 1 x ) ≤ 1, logo −x2 ≤ x2sen( 1 x ) ≤ x2. Como lim x→0 x2 = 0, aplicando o teorema do sandu´ıche(confronto) obtemos, lim x→0 x2sen( 1 x ) = 0. Portanto, f ′(0) = lim x→0 f(x)− f(0) x− 0 = limx→0 x3sen( 1 x ) x = lim x→0 x2sen( 1 x ) = 0 (b) Aplicando as regras de derivac¸a˜o, temos: h′(x) = ( xpi cos(x) x3 − 4x+ 1 )′ = (xpi cos(x))′(x3 − 4x+ 1)− (xpi cos(x))(x3 − 4x+ 1)′ (x3 − 4x+ 1)2 = ((xpi)′ cos(x) + xpi(cos(x))′)(x3 − 4x+ 1)− (xpi cos(x))((x3)′ − (4x)′ + (1)′) (x3 − 4x+ 1)2 = (pixpi−1 cos(x)− xpisen(x))(x3 − 4x+ 1)− (xpi cos(x))(3x2 − 4) (x3 − 4x+ 1)2 5
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