Lista aplica derivadas 2016

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Lista de Exerc´ıcios - Ca´lculo 2 - Aplicac¸o˜es das Derivadas 2016
DMC/FCT/CAMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE Profa Cristiane Nespoli
1) Um recipiente cil´ındrico com base circular deve conter um volume de 64 cm3. Calcule suas dimenso˜es
para que a quantidade necessa´ria (a´rea da superf´ıcie) de metal para o fabrico deste seja mı´nima quando
o recipiente for (a) sem tampa e (b) fechado.
2) O custo total da produc¸a˜o de x aparelhos de ra´dio por dia e´ (
1
4
x2 + 35x + 25) e o prec¸o unita´rio que
eles podem ser vendidos e´ (50− 1
2
x) cada.
a) Qual deve ser a produc¸a˜o dia´ria para que o lucro seja ma´ximo?
b) Mostre que o custo de produc¸a˜o de um aparelho e´ mı´nimo quando a produc¸a˜o dia´ria total maximiza
o lucro.
3) Deseja-se cercar uma a´rea retangular em um terreno situado a` margem retil´ınea de um rio. A parte
cercada deve ter a´rea fixa e na˜o e´ necessa´ria nenhuma cerca ao longo do rio. Mostre que a quantidade
necessa´ria de cerca e´ mı´nima quando o comprimento da a´rea retangular for o dobro de sua largura.
4) Encontre a altura do cilindo circular reto de volume ma´ximo V que pode ser inscrito em uma esfera de
raio R.
5) A posic¸a˜o de uma part´ıcula P movendo-se em linha reta e´ dada por s = t3 − 6t2 + 9t + 4. Sejam a a
acelerac¸a˜o e v a velocidade de P no instante t.
a) Calcule a quando v = 0.
b) Calcule v quando a = 0.
c) Quando s e´ crescente.
d) Quando v e´ crescente.
e) Quando a direc¸a˜o do movimento muda?
6) Uma part´ıcula P move-se em uma reta horizontal de acordo com s = t4 − 9t2 + 24t.
a) Quando a velocidade escalar |v| e´ crescente e quando e´ decrescente?
b) Quando a direc¸a˜o do movimento muda?
c) Calcule a distaˆncia total percorrida nos treˆs primeiros segundos de movimento.
vspace1mm
7) Uma part´ıcula e´ colocada em rotac¸a˜o no sentido anti-hora´rio a partir do repouso de acordo com a
fo´rmula θ =
t3
50
− t, onde θ e´ em radianos e t em segundos. Cacule o deslocamento angular θ, a
velocidade angular ω e a acelerac¸a˜o angular α no final do de´cimo segundo.
8) O ga´s de um bala˜o esfe´rico esta´ escapando a uma taxa de 2m3/min. A que taxa esta´ a superf´ıcie do
bala˜o encolhendo quando o raio e´ 12m?
9) A a´gua esta´ escoando de um funil coˆnico a uma taxa de 1 cm3/s. Se o raio da base do funil e´ de 4 cm
e a altura e´ de 8 cm, calcule a taxa em que o n´ıvel da a´gua esta´ baixando quando este e´ de 2 cm?
Bom trabalho!