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Introdução à Matemática Discreta Matemática Discreta Prof. Vilson Heck Junior vilson.junior@ifsc.edu.br Condução da disciplina • Aulas: – Quartas: 10:10 – 12:00 – Sextas: 08:00 – 09:50 • Haverá troca de professores: – Cada professor realizará avaliações; – A nota final será uma média das diferentes avaliações; • MUITOS EXERCÍCIOS! • Diferentes livros na biblioteca! • Haverá reposição das aulas de Administração e Introdução à Programação! Conteúdos - MTMD Conteúdos Docente (ch) 1. Introdução; 2. Lógica proposicional e de primeira ordem; Vilson (18h) 3. Conjuntos; 4. Relações; (16h) 5. Sequências e somas (10h) 6. Indução e recursão (8h) 7. Análise combinatória (12h) 8. Elementos da teoria dos números (8h) Livro Principal (Primeira parte - Vilson) O que é MTMD? • A matemática discreta é o estudo de estruturas matemáticas que são fundamentalmente discretas, ao invés de contínuas; • Alguns pontos importantes: – A importância do pensamento lógico; – O poder da notação matemática; – A utilidade de abstrações matemáticas; Contínuo • Se pensarmos nos números reais, temos um exemplo do que é contínuo. Não há transições abruptas entre os valores, na verdade há infinitos valores entre cada par de números: 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 1 2 3 4 Contínuo Reais Discreto • Ao compararmos com os números inteiros, temos um exemplo do que é discreto. Há transições abruptas entre os valores: 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 1 2 3 4 Discreto Inteiros Outros exemplos • Ainda, além dos números inteiros, declarações lógicas e grafos são outros exemplos de estruturas discretas. • Em geral, estes problemas matemáticos não são equacionados através de fórmulas algébricas tradicionais. Exemplo de grafo EXEMPLOS: CONTÍNUO VS DISCRETO Introdução à Matemática Discreta Dados - Velocidade de uma Ferrari 430 Scuderia 2008 No mundo real - Contínuos Na computação - Discretos Fonte da imagem à esquerda: http://www.motortrend.com/roadtests/exotic/112_0808_2008_ferrari_430_scuderia_test/photo_17.html Imagens Digitais No mundo real - Contínuas Na computação - Discretas Fonte da imagem à esquerda: http://en.wikipedia.org/wiki/Lenna Mapas No mundo real - Contínuos Na computação - Discretos Fonte da imagem à esquerda: http://www.brasil-turismo.com/santa-catarina/mapas/transportes.htm Quando estudaremos Matemática Contínua? 1. Álgebra Linear e Geometria Analítica – Fase 2 – A geometria cuida de questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras, formas e com as propriedades do espaço; – Álgebra linear é um ramo da matemática que estuda sistemas de equações lineares, muito utilizados na geometria; 2. Cálculo (diferencial e integral) – Fase 3 – Estuda principalmente variações e acúmulos de grandezas, com aplicações em diversas áreas de geometria e otimização de problemas; 3. Cálculo Numérico (computacional) – Fase 4 – Quantificação de Erros, solução de sistemas lineares e não lineares, interpolação, ajuste de curvas e integração numérica. MTMD – Pra que? • Aritmética Básica em Computadores; • Programação, principalmente a lógica; • Estruturas de Dados; • Grafos; • Inteligência Artificial; • Teoria da Computação; • Cálculo Numérico; • Computação Gráfica; • Modelagem e Simulação; • Estatística e Probabilidade; • Fundamentos de Banco de Dados; ENGENHEIROS E ADVOGADOS Introdução à Matemática Discreta Problema • Cenário hipotético: – Em uma empresa sitiada pela Polícia Federal, estão sendo investigadas irregularidades jurídicas. Todas as informações da empresa foram destruídas, uma queima de arquivos. – Nesta empresa há N funcionários investigados, sendo: • N um número ímpar; • No mínimo 𝑁 2 são da classe de engenheiros; • No máximo 𝑁 2 são da classe de advogados; – A dificuldade está em identificar, dentre os funcionários, quais são engenheiros e quais seriam advogados. A PF sabe que: • Cada funcionário sabe qual é a classe de todos os outros; • Os engenheiros não mentem, pois estão isentos de culpa; • Os advogados podem faltar com a verdade, para tentarem escapar, pois são muito inteligentes e estão conspirando para confundir os investigadores; • Problema: Formule um roteiro de interrogação para o agente da PF que, realizando perguntas para um funcionário i de qual classe é outro funcionário j, aponte ao menos um engenheiro. Problema v2.0 • Agora, iremos adicionar uma nova restrição ao problema: – O agente poderá fazer no máximo (N – 1) perguntas para encontrar o engenheiro. • Como fica a solução deste problema? MTMD e o Problema • O grupo N é um Conjunto; • Os advogados e os engenheiros são Subconjuntos; • As perguntas são feitas de forma Combinatória; • As respostas são relacionadas através de Lógica Formal; • Resultados são calculados com base em Somas e números; • Para saber se o algoritmo está certo, temos que Provar; Conclusão • Para resolver um simples exemplo, foi necessário o emprego empírico de diversos tipos de conhecimentos: – Até agora, aprendemos tudo isto de diversas formas separadas: escola, dia-a-dia, em atividades cotidianas, entre outros. • A formalização e o aprofundamento no uso destes conhecimentos trarão diversos benefícios ao profissional da Ciência da Computação.
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