A Historia dos Numeros

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A História dos NÚMEROS
Licenciatura em Informática
História da Ciência e das Técnicas
Discentes:
João Martins
N.º 1290
Nuno Vaz
N.º 1306
Rui Figueiredo 
N.º 1324
Docente: 
Henrique Gomes Bernardo 
Ano Lectivo 2008 / 2009 
A História dos NÚMEROS 
H IS TÓR IA DA C IÊNC IA E DAS TÉC N ICA S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
"Hoje em dia, os nomes já não possuem significado. 
O que importa são os números: o número da conta, 
da identidade, do passaporte. 
São eles que contam." 
 
(José Saramago) 
 
Licenciatura em Informática
História da Ciência e das Técnicas
Docente: 
Dr. H. Bernardo 
A História dos NÚMEROS 
H IS TÓR IA DA C IÊNC IA E DAS TÉC N ICA S 
 
INFORMAÇÃO PESSOAL 
Curriculum Vitae 
Nome MARTINS, João Paulo Gouveia 
• Residência S. José - Lisboa 
• Correio electrónico jpgmartins@gmail.com 
EXPERIÊNCIA 
PROFISSIONAL 
• Datas DESTE SETEMBRO DE 2004 
• Nome do empregador Centro Hospitalar de Lisboa Central, EPE
• Tipo de negócio ou sector Área de Gestão de Sistemas e Tecnologias de Informação 
• Ocupação ou posição detida Técnico de Informática 
• Principais actividades e 
responsabilidades 
Gestão Operacional da aplicação GIACH – Logistica e Farmácia Hospitalar. 
Formação aos profissionais utilizadores da aplicação: Médicos, Enfermeiros, 
Técnicos e Administrativos.
• Datas AGOSTO 2003 A SETEMBRO 2004 
• Nome do empregador Subgrupo Hospitalar Capuchos/Desterro 
• Tipo de negócio ou sector Serviço de Informática 
• Ocupação ou posição detida Técnico de Informática Adjunto 
• Datas SETEMBRO 1998 A AGOSTO 2003 
• Nome do empregador Subgrupo Hospitalar Capuchos/Desterro 
• Tipo de negócio ou sector Serviço de Informática 
• Ocupação ou posição detida Assistente Administrativo 
• Datas MARÇO 1994 A SETEMBRO 1998 
• Nome do empregador Subgrupo Hospitalar Capuchos/Desterro 
• Tipo de negócio ou sector Departamento Financeiro 
Gestão Hoteleira Comunicações e Transportes 
Gestão de Doentes - Estatística
• Ocupação ou posição detida Assistente Administrativo 
• Datas JANEIRO 1989 A MAIO 1993 
• Nome do empregador Subgrupo Hospitalar Capuchos/Desterro 
• Tipo de negócio ou sector Serviço de Hematologia / Serviços Farmacêuticos 
• Ocupação ou posição detida Auxiliar de Acção Médica 
• Datas JUNHO A AGOSTO 1987 E JUNHO A AGOSTO 1988 
• Nome do empregador Repartição de Finanças de Machico - Madeira
• Tipo de negócio ou sector Tesouraria da Fazenda Pública
• Ocupação ou posição detida Administrativo
OUTRAS ACTIVIDADES 
• Datas FEVEREIRO 2002 
• Identificação da actividade Membro eleito da Direcção Nacional da Associação Sindical do Pessoal 
Administrativo da Saúde – ASPAS – triénio 2002/2004 
• Datas DESDE NOVEMBRO 2001 
• Identificação da actividade FORMADOR
Ministração formação em deveras áreas da informática para utilizadores da 
instituição onde trabalha. 
• Datas DESDE OUTUBRO 1994 
• Identificação do curso Instrutor de Teoria e Prática de Condução de Automóveis Ligeiros
 
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INFORMAÇÃO PESSOAL 
Curriculum Vitae 
Nome Vaz, Nuno Ricardo Elias 
• Residência Alverca do Ribatejo 
• Correio electrónico nvaz77@gmail.com 
EXPERIÊNCIA 
PROFISSIONAL 
• Datas Dezembro de 1998 até à presente data 
• Nome do empregador Dia/Minipreço Portugal Supermercados – Soc. Unip. Lda. 
• Tipo de negócio ou sector Distribuição e Comércio de Produtos Alimentares 
• Ocupação ou posição detida Técnico de MicroInformática
• Principais actividades e 
responsabilidades 
- Administração de Sistemas em ambiente Windows Server 2003, Active 
Directory,IBM Lotus Notes Domino e de Sistema centralizado de 
Backup HP Data Protector. 
- Administração Hardware Appliance (Astaro Security Gateway) e 
configuração de VPN’s . 
- Implementação de Servidores Anti-Virus(Norton) e WSUS (Windows 
Software Update Services). 
- Suporte básico a SAP. 
- Configurações básicas de routers e redes. 
- Suporte a nivel de Software e Hardware a utilizadores. 
- Conhecimentos de Linux. 
- Suporte à operação e infraestrutura nomeadamente parque informático e 
periféricos, impressoras, redes, servidores, gestão de utilizadores, backups
• Datas Maio de 1998 a Novembro 1998 
• Nome do empregador Dia/Minipreço Portugal Supermercados – Soc. Unip. Lda 
• Tipo de negócio ou sector Distribuição e Comércio de Produtos Alimentares 
• Ocupação ou posição detida Operador de Informática de 1ª 
• Principais actividades e 
responsabilidades 
Processamento de Dados (Comunicações com as lojas, Introdução de 
Dados) e suporte a utilizadores. 
FORMAÇÃO ACADEMICA E 
PROFISSIONAL 
 
• Datas Outubro de 2006 até à presente data 
• Designação da qualificação 
atribuída 
Frequência do Curso de Licenciatura em Informática 
• Principais 
disciplinas/competências 
profissionais 
- Linguagens de Programação - C / C++ / HTML / Javascript / ASP.NET / 
VB.NET / C# / Java 
- Redes e Comunicações (Modelo OSI,TCP/IP) 
- Sistemas de Gestão de Bases de Dados (SQL Server 2005, Modelo 
Relacional,UML) 
• Nome e tipo da organização de 
ensino ou formação 
ISTEC (Instituto Superior de Tecnologias Avançadas) 
• Nível segundo a classificação 
nacional ou internacional 
Frequência Universitária (3º Ano) 
• Datas Setembro 2007 
• Designação da qualificação 
atribuída 
MCITP (Microsoft Certified IT Professional) :Enterprise Support Technician 
• Principais disciplinas/ 
competências profissionais 
Windows Vista: Suporte e resolução de problemas em ambiente empresarial. 
• Nome e tipo da organização de 
ensino ou formação 
Rumos - Informática Profissional 
 
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INFORMAÇÃO PESSOAL 
Curriculum Vitae 
Nome FIGUEIREDO, Rui 
• Residência Abrunheira - Sintra
• Correio electrónico rui.figueiredo@gmail.com
EXPERIÊNCIA PROFISSIONAL 
• Datas 2009-2009 
• Nome do empregador ZON TvCabo. – OctalTV, Engenharia de Sistemas para TV Interactiva, S.A. 
– Grupo Novabase
• Tipo de negócio ou sector Direcção Sistemas de Informação 
• Ocupação ou posição detida MiddleWare & Portais Application Support 
• Principais actividades e 
responsabilidades 
Gestão Operacional e Suporte de todos os portais zon tvcabo 
• Datas 2008-2009
• Nome do empregador ZON TvCabo. – OctalTV, Engenharia de Sistemas para TV Interactiva, S.A. 
– Grupo Novabase
• Tipo de negócio ou sector Selfcare
• Ocupação ou posição detida Desenvolvimento Web e Suporte Portais Zon
• Principais actividades e 
responsabilidades 
Desenvolvimento em asp.net, php, manutenção correctiva 
• Datas 2006-2008
• Nome do empregador PT SI Sistemas de Informação S.A. – OctalTV, Engenharia de Sistemas para 
TV Interactiva, S.A. – Grupo Novabase
• Tipo de negócio ou sector SIGMA
• Ocupação ou posição detida Desenvolvimento de Ferramentas apoio manutenção correctiva 
• Principais actividades e 
responsabilidades 
SIGMA. BEA Weblogic Communications Platform, Oracle, shell script 
OSS DEV / Product Support SIGMA
• Datas 2006-2006
• Nome do empregador PT SI Sistemas de Informação S.A. – OctalTV, Engenharia de Sistemas para 
TV Interactiva, S.A. – Grupo Novabase
• Tipo de negócio ou sector PRODUX
• Ocupação ou posição detida Migração de dados
• Principais actividades e 
responsabilidades 
SIGMA. BEA Weblogic Communications Platform, Oracle, shell sc
• Datas 2004-2006
• Nome do empregador TV CABO PT – OctalTV, Engenharia de Sistemas para TV Interactiva, S.A. 
– Grupo Novabase
• Tipo de negócio ou sector DDI – Direcção de Desenvolvimento Infraestruturas TvCabo Portugal
• Ocupação ou posição detida Administração da rede tvcabopt
• Principais actividades e 
responsabilidades 
CEON Provisioning Services. BEA Weblogic Communications Platform, 
Oracle, Siebel CRM, Operador Sistema Sun
• Datas 2003-2004
• Nome do empregador TV CABO/NETCABO – OctalTV, Engenharia de Sistemas para TV 
Interactiva, S.A. – Grupo Novabase
• Tipo de negócio ou sector Departamento Técnico Netcabo Profissional/residencial 
• Ocupação ou posição detida Técnico Netcabo Profissional
• Principais actividades e 
responsabilidades 
Rede Netcabo Profissional Empresarial
• Datas 2001-2006
• Nome do empregador Staples Office Centre - Loja de Sintra
• Tipo de negócio ou sector Informática e Material de Escritório
• Ocupação ou posição detida Op Principal da Área de Informática
• Principais actividades e 
responsabilidades 
Área de venda da loja de Sintra
 
A História dos NÚMEROS 
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Índice 
1. A História e o Número .............................................................................................................. 3 
1.1. A Linguagem dos Números ............................................................................................... 3 
1.2. O conceito de Número ....................................................................................................... 4 
1.3. Limitações vêm de longe ................................................................................................... 5 
1.4. O Numero sem contagem ................................................................................................... 5 
1.5. A ideia de correspondência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 
1.6. Do relativo ao absoluto ...................................................................................................... 6 
2. Evolução dos Números 
2.1. Era Primitiva ...................................................................................................................... 7 
2.2. O número concreto 
2.2.1. Como surgiu o número? ............................................................................................. 9 
2.2.2. Contando objectos com outros objectos .................................................................... 9 
3. O número natural 
3.1. Os egípcios criam os símbolos ......................................................................................... 10 
4. Os números racionais ............................................................................................................... 11 
5. Os Números e as Civilizações 
5.1. Os algarismos na civilização Suméria ............................................................................. 12 
5.1.1. O sistema sexagesimal ............................................................................................. 12 
5.1.2. A Evolução gráfica dos algarismos ......................................................................... 13 
5.1.3. O princípio da numeração escrita suméria .............................................................. 14 
5.1.4. Como calculavam os sumérios ................................................................................ 15 
5.1.5. Das pedras ao ábaco ................................................................................................. 16 
5.2. Os algarismos da civilização Egípcia ............................................................................... 17 
5.2.1. Os algarismos hieroglíficos ..................................................................................... 17 
5.2.2. A origem dos algarismos egípcio ............................................................................. 18 
5.2.3. Dos algarismos hieroglíficos aos algarismos hieráticos .......................................... 18 
5.2.4. Como os egípcios calculavam ................................................................................. 19 
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5.2.5. Os papiros da Matemática egípcia ........................................................................... 20 
5.2.6. Descobrindo a fracção ............................................................................................. 21 
5.3. Os algarismos da civilização Helénico ............................................................................. 22 
5.3.1. Sistemas de numeração usados pelos gregos ........................................................... 22 
5.3.2. Ciência e Mística Pitagórica .................................................................................... 24 
5.3.3. Números Figurados .................................................................................................. 24 
5.3.4. Sedução dos Números Inteiros ................................................................................ 25 
5.3.5. Números Amigáveis ................................................................................................ 26 
5.3.6. Números Perfeitos ................................................................................................... 26 
5.3.7. Os incomensuráveis ou Irracionais .......................................................................... 26 
5.3.8 O Número – Símbolo de um Paradoxo Cultural ....................................................... 27 
5.4. Os algarismos da civilização Romana ............................................................................. 28 
5.4.1. Os algarismos romanos ............................................................................................ 28 
5.4.2. Contando com os romanos ....................................................................................... 29 
5.4.3. O sistema de numeração romano ............................................................................. 30 
5.4.4. Os milhares .............................................................................................................. 31 
5.4.5. O ábaco de fichas ..................................................................................................... 31 
5.4.6. Ábaco de cera .......................................................................................................... 32 
5.4.7. Ábaco romano de "bolso" ........................................................................................ 33 
5.5. Os algarismos da civilização Chinesa .............................................................................. 34 
5.5.1. Os algarismos chineses ............................................................................................ 34 
5.5.2. Sistema posicional ................................................................................................... 35 
5.5.3. Como calculavam os chineses ................................................................................ 36 
5.5.4. Ábaco de contas ....................................................................................................... 37 
5.6. Os algarismos da civilização Indiana .............................................................................. 38 
5.6.1. Os algarismos indianos ............................................................................................ 38 
5.6.2. Como contavam os indianos .................................................................................... 39 
5.6.2. A prancheta como ábaco de colunas ........................................................................ 39 
5.6.4. Cálculos sem apagar os resultados intermédios ....................................................... 40 
5.6.5. Afinal os nossos números ........................................................................................ 41 
5.7. Os algarismos da civilização Árabe .................................................................................42 
5.7.1.Os algarismos árabes ................................................................................................ 42 
5.7.2. Como calculavam os árabes ..................................................................................... 43 
5.7.3. Os árabes divulgam ao mundo os números hindus .................................................. 44 
6. Os nomes Portugueses de Al-Khuarizmi ................................................................................. 45 
7. História do Sistema Binário ..................................................................................................... 47 
7.1. Defensor do Sistema Binário ............................................................................................ 48 
7.2. Refinamento do Sistema Binário ...................................................................................... 48 
7.3. Lógica booleana ............................................................................................................... 49 
7.3.1. Como funciona a lógica que faz com que os computadores funcionem .................. 49 
7.3.2. Como as coisas começaram ..................................................................................... 49 
7.4. O sistema binário .............................................................................................................. 49 
7.4.1. Portas Lógicas .......................................................................................................... 50 
7.5. Para conhecimento ........................................................................................................... 51 
9 . Conclusão ................................................................................................................................ 52 
10. Bibliografia ........................................................................................................................... 54 
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Introdução 
O número desempenha um papel relevante, não só na sociedade actual, bem como nas anteriores. O homem 
do século XXI vive cercado pelos números: horários de trabalho, estatísticas de natalidade, tabelas de preços, 
juros a receber, impostos, velocidade do automóvel, recordes dos jogos, etc. 
Os computadores e as imagens nas televisões digitais funcionam através de números (1 e 0). Já nos nossos 
antepassados, os números tiveram uma importância enorme na vida dos seres humanos, pois foram eles que 
os ajudaram a criar as primeiras cidades e impérios, assim como serviram de fonte de inspiração de algumas 
das mentes mais brilhantes da história. 
Mas como surgiram os números? 
Apenas à vinte mil anos atrás apareceram provas sólidas que o número 1 já existia e que alguém o usava para 
contar. O seu aspecto era apenas um risco num osso de Ishango (mais especificamente, a fíbula de um 
babuíno). O homem, por exemplo, para registar cada presa que trazia para a caverna, fazia um risco num 
osso. 
Mas os seres humanos começaram a evoluir e deixaram de viver em cavernas e começaram a construir os 
seus próprios refúgios, as suas próprias casas e a produzir os seus próprios alimentos. 
A antiga civilização dos Sumérios traria um contributo marcante na história dos números, o povo da Suméria 
parou de riscar os ossos e passou a representar o número 1 como uma peça em forma de cone. Esta 
transformação mudou o curso da história, a invenção dos cones permitiu aos Sumérios fazer algo que jamais 
alguém fizera. Com os cones era possível subtrair, e deu-se o maior avanço até então… a invenção da 
aritmética. 
Talvez por viverem em grandes cidades e precisarem de organização (os grãos tinham de ser distribuídos e 
para descobrir quanto cada pessoa devia receber, a aritmética era essencial), tenha sido essa a razão dessa 
transformação. A aritmética não era a única coisa que os Sumérios precisavam nas cidades, sentiam também 
 
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a necessidade de manter registos dos seus cálculos, mas a escrita ainda não tinha sido inventada (os números, 
ao que parece foram a primeira escrita do mundo). A forma por eles encontrada para manterem os seus 
registos, foi a de colocar números específicos de cones em envelopes de argila e após fechá-los, pegavam 
noutro cone para fazer marcas nos envelopes, tantas marcas quantos fossem os cones. 
Foi então que alguma mente brilhante percebeu que o envelope não era necessário, na verdade nem os cones 
eram. Bastava simplesmente fazer as marcas directamente numa tablete de argila e tinham os registos dos 
números. A noção de escrita havia nascido. 
Os Egípcios eram construtores entusiasmados e davam muito valor à beleza. Mas era impossível criar belos 
edifícios sem medir com precisão, e não é possível medir com precisão, sem saber qual é a sua unidade de 
medida. O número 1 começou a ser conhecido como cúbito, a medida para todas as coisas, a incontestável 
régua. 
Os Romanos inventaram um sistema de numeração que serviu para todo o ocidente durante quase 2 mil anos 
- a Numeração Romana. 
Por volta do início da era cristã surgiu a numeração de posição em que os símbolos valem conforme a 
posição que ocupam na escrita de um número e um acessório fundamental: o zero (0) - Invenção dos Hindus. 
Só por volta do séc. XV, com o aumento do comércio, é que ficou clara a necessidade de um sistema de 
numeração mais prático e se começaram a impor os símbolos actuais - os algarismos árabes. 
A partir daí tudo se passou rapidamente. Uns 200 anos mais tarde, Pascal inventava a primeira máquina de 
calcular mecânica. Outros 100 anos mais tarde, sentiu-se a necessidade de criar os números decimais ou base 
10. 
O alemão Gottfiried Wilhelm Leibniz, um dos primeiros defensores do sistema binário, invocava uma 
espécie de linguagem ou escrita universal, mas infinitamente diversa de todas as outras concebidas até agora, 
isso porque os símbolos e até mesmo as palavras nela envolvidas se dirigiam à razão. 
Este “revolucionário” sistema binário (ou base 2), é hoje amplamente utilizado pelo computadores modernos, 
isto é, todas as informações armazenadas ou processadas no computador usam apenas DUAS grandezas, 
representadas pelos algarismos 0 e 1. Essa decisão de projecto deve-se à maior facilidade de representação 
interna no computador, que é obtida através de dois diferentes níveis de tensão. Havendo apenas dois 
algarismos, portanto dígitos binários, o elemento mínimo de informação nos computadores foi apelidado de 
bit (uma contracção do inglês binary digit). 
 
 
“Todas as coisas têm um número e nada se pode compreender sem o número” 
Filolau (nascido em 450 AC), matemático da Escola Pitagórica 
 
“O homem da guerra deve aprender a arte dos números 
ou ele não saberá como dispor as suas tropas.” 
Platão (citado em Horng, 2000, p. 37) 
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1. A História e o Número 
 
São muitas as civilizações da Antiguidade, como as dos babilónios, egípcios, gregos, chineses e hindus, que 
criaram os seus próprios sistemas numéricos. Os maias, que viveram na América Central em tempos mais 
recentes, também desenvolveram um modo interessante de registar números. É importante observar que estas 
civilizações não vieram umas depois das outras. Pelo contrário, muitas coexistiram durante séculos e, embora 
localizadas em regiões diferentes, mantiveram contacto umas com as outras. 
Com a excepção dos maias, que habitavam a América, as civilizações da Europa, Oriente e Médio Oriente, 
trocavam mercadorias e conhecimentos. O intercâmbiocultural, que também envolveu os conhecimentos 
matemáticos daqueles povos, reflectiu-se nas formas de contar e de escrever os números. 
A noção de número e as suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da 
humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem 
formula, assim como gestos e atitudes quotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e 
propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente 
contacto com o amplo mundo da matemática. 
 
 
1.1. A Linguagem dos Números 
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do 
número. Esta faculdade permite-lhe reconhecer que algo muda numa pequena colecção (por exemplo, seus 
filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento directo, um objecto tenha sido retirado ou 
acrescentado. 
O sentido do número, na sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a 
capacidade de contar, que exige um fenómeno mental mais complicado. Se contar é um atributo 
exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. 
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Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o 
sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro 
provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir 
dois de três. 
As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros 
mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode 
desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa 
distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do 
número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a acção de contar. Essa última, especialmente, 
se tornou parte tão integrante da nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica directa 
resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual directo do número possuído pelo 
homem civilizado, raras vezes, ultrapassa o número quatro, e que o sentido táctil é ainda, mais limitado. 
 
 
1.2. O conceito de Número 
“É razoável admitir que a espécie humana nas épocas mais primitivas tivesse algum entendimento numérico, 
reconhecendo minimamente os actos de acrescentar e de retirar objectos de uma pequena colecção” (Eves, 
1997). 
“Posso conjecturar que o número é uma invenção humana, uma produção do seu pensamento; o homem, 
partindo do estado animal, construiu ele mesmo, no seu cérebro, a sua linguagem (…) e os seus números” 
(Keller, 2000, p. 28). 
Foi contando objectos com outros objectos que a humanidade começou a construir o conceito de número. 
Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco 
dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante. 
A ideia de contagem estava relacionada com os dedos da mão. 
Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco. 
Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira 
ou fazendo nós numa corda, também de cinco em cinco. 
Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedade comum de infinitas colecções de objectos: 
representa a quantidade de elementos de um conjunto, não importando se trata de cinco bolas, cinco skates, 
cinco discos ou cinco aparelhos de som. 
É por isso que esse número, que surgiu quando o homem contava objectos usando outros objectos, é um 
número concreto. 
O conceito de número, sendo um conceito abstracto, não originará uma imagem instantânea, não podendo 
também ser exibido, sendo apenas concebido na mente. Contudo, um outro progresso foi atingido com a 
criação dos nomes dos números, processo que veio permitir a obtenção de uma designação oral, bem mais 
precisa, das quantidades, facilitando-se desse modo a conquista do patamar de uma plena abstracção. (Ifrah, 
1994) 
O pensamento formula-se na linguagem, e isto faz que sem nomes não possa haver conceitos. O símbolo é 
também um nome, só que não é oral, mas sim escrito e apresenta-se na mente na forma de uma imagem 
visível. (Aleksandrov, 1982, p. 28) 
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A aplicação do número, como um pensamento abstracto (abstracto no sentido de que não tem de estar 
relacionado com um objecto físico em particular), foi indubitavelmente um dos maiores progressos na 
história do pensamento (Kline, 1982). 
 
 
1.3. Limitações vêm de longe 
Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens 
que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase 
completamente desprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem 
outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e, ainda, essas palavras estão desvinculadas pelo que se 
pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro. 
Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que 
todas as linguagens europeias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do 
mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão 
entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très 
(muito). 
Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente 
para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema 
apaixonante para discussão filosófica. 
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens actuais, é 
impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido 
rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa 
concepção de número. Reduzido à percepção directa do número, o homem não teria avançado mais que o 
corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a 
completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência 
extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso 
da humanidade. 
 
 
1.4. O número sem contagem 
Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma ideia clara e lógica de número sem recorrer 
a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o 
dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de 
elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está 
de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há 
gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas. 
Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o 
nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objecto de um conjunto um objecto de 
outro, e, continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem. 
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de ideias. Elesregistam o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira 
ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da 
palavra latina calculus, que significa pedra. 
 
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1.5. A ideia de correspondência 
A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a 
contagem se realiza fazendo corresponder a cada objecto da colecção (conjunto), um número que pertence à 
sucessão natural: 1,2,3... 
Apontamos para um objecto e dizemos: um; apontamos para outro e dizemos: dois; e assim sucessivamente 
até esgotar os objectos da colecção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a colecção tem 
oito objectos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de 
matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4... 
A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos actos mais audaciosos da história do 
pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida 
às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como 
também efectuar as operações. Imagine-se fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E, no 
entanto, antes ainda dos romanos tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores 
matemáticos de todos os tempos; e a nossa numeração é muito posterior a todos eles. 
 
 
1.6. Do relativo ao absoluto 
Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de 
relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras 
empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do 
relativo ao absoluto não é difícil. 
Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um 
agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à selecção, entre os conjuntos 
modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado. 
Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número 
três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia 
ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos. 
É claro que uma vez criado e adoptado, o número se desliga do objecto que o representava originalmente, a 
conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. 
À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que 
exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos 
concretos iniciais tomaram a forma abstracta dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa 
linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita. 
Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a 
possível excepção de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para 
isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, 
revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objectos 
concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa. 
 
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2. Evolução dos Números 
 
2.1. Era Primitiva 
A arqueologia tem desenvolvido um papel de extrema relevância para o estudo da evolução do pensamento 
contábil. É através dela que podemos conhecer o passado em busca de afirmação para o presente que 
possibilite uma projecção para o futuro. 
A Mesopotâmia é ponto de paragem obrigatória para o estudo da arqueologia. Muitos arqueólogos como 
Rich (1812), Paul Émile (1842), sendo considerado o “Primeiro a encetar as escavações” em busca da 
perdida Babilónia, procuraram, durante muito tempo, encontrar sentido para o presente desvendando o 
passado. 
Foi Hornuzd Rassom, em 1854, que deu a maior contribuição para desvendar o mistério que o passado 
escondia. A sua contribuição foi descobrir a biblioteca de Assubanipal. Segundo MELLA ( 1985:21), 
expondo sobre Assubanipal: 
“Numa certa altura da sua vida, o grande rei, movido por intentos culturais, deu ordem a seus enviados a 
comprar todas as obras científicas, literárias, históricas, e documentos que pudessem encontrar, enquanto 
na corte um STAFF de doutores recopiava ou traduzia as que não estivessem a venda.” 
Segundo o autor, esse trabalho resultou numa colecção com mais de 30.000 tabuinhas que apresentava o 
conjunto de todo conhecimento existente entre o povo da época. Outras tabuinhas foram sendo descobertas 
noutras escavações, revelando cada vez mais um passado que durante muito tempo permaneceu escondido. 
Para MELLA (1985:34): “O material de estudo enriqueceu enormemente quando as escavações trouxeram 
à luz os arquivos do governo desta ou daquela cidade, estrelas, selos, contratos, cartas, na maior parte 
concernente a atas oficiais, burocráticas, construções de templos ou obras públicas; mas alguns referiam-
se também a eventos políticos ou bélicos e constituindo assim uma documentação preciosa para tentar 
reconstruir sua história.” 
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É impossível analisar todos esses empreendimentos sem conceber a necessidade de se acompanhar custos. 
Ou seja, a presença da contabilidade acompanha a própria história da humanidade. 
Entre os sumérios não era diferente, a contabilidade exercia um papel importante no que diz respeito ao 
controle das finanças, bem como o descambo na economia. O controlo das finanças estava intimamente 
relacionado ao centro da religião, o templo. O templo funcionava como banco, escola e mercado e 
principalmente como o centro do Estado (nele eram realizadas as principais transacções económicas da 
época). 
Esta relação política x religião x economia é predominante durante a Era Primitiva. 
A economia entre os sumérios era desenvolvida principalmente pelo vasto comércio realizado em toda 
Mesopotâmia, Egipto e Índia. 
O principal facto nessa Era foi constituído principalmente pela formação do elo familiar. A família começava 
a desempenhar um papel relevante para a contabilidade, pois o controle sobre o património da mesma 
tornava-se uma necessidade. 
É evidente que o conhecimento sobre a contabilidade, nessa Era, não se encontrava totalmente desvendado. 
Muitos estudos, ainda, serão realizados na tentativa de se traçar uma história do pensamento contábil. 
Uma contribuição significativa nessa fase foi o surgimento dos números. O número é indispensável no 
avanço progressivo da humanidade. O homem caçava, pescava, construía, plantava tudo em função da 
própria sobrevivência. 
Há cerca de 10.000 anos atrás o homem começara a criar animais e com essa nova actividade surgia a 
necessidade da geração de informação. “Qual o meu património, ou seja, em quanto aumentou o meu 
rebanho”. Como atender a necessidade do Proprietário se os homens não conheciam os números nem sabiam 
contar. Deste momento em diante o homem começou a buscar resposta para essas questões. 
De forma rudimentar à contabilidade já se encontrava presente nos primórdios da humanidade. Pode-se 
associar o surgimento dos números atrelado ao surgimento da contabilidade.Para os estudiosos da matemática, a noção dos números surgiu aproximadamente à 10.000 anos atrás, 
afirmam: 
“Alguns vestígios indicam que os pastores usando conjuntos de pedras para fazer o controlo do seu 
rebanho. Ao soltar as ovelhas, o pastor separava uma pedra para cada animal que 
passava e guardava o monte de pedra”. 
“Quando os animais voltavam, o pastor retirava do monte uma pedra para cada 
ovelha que passava. Se sobrassem pedras, ficaria a saber que havia perdido 
ovelhas. Se faltassem pedras saberia que o rebanho havia aumentado." 
Desta forma, mantinham tudo sob controlo. Observa-se, na narração acima que a noção dos números está 
intimamente ligada à necessidade da informação. Existiam os dados, não o controle e, por este motivo, não 
havia informação que possibilitasse ao proprietário ou ao pastor, tomar decisão. 
Na medida em que o homem fazia a ligação, para cada ovelha uma pedra, ele estava, na realidade, a fazer o 
que na matemática se chama correspondência um a um. 
Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde, haveria um ramo da Matemática 
chamado Cálculo, que em latim quer dizer contas com pedras. 
Para os matemáticos: "fazer a correspondência um a um é associar a cada objecto de uma colecção um 
objecto de outra colecção". 
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Na linguagem contábil temos, de um lado a colecção dos débitos e, de outro, a colecção dos créditos, ou seja, 
cada débito corresponde a um crédito e vice-versa. 
O homem tinha resolvido um problema, a questão dos números, mas apesar de obter a informação ele não 
conseguia registá-la de forma mais duradoura. O novo desafio era registar, por mais tempo, e de forma 
consistente a informação. 
Com a busca por um registo mais duradouro o homem começava a estudar a possibilidade do 
desenvolvimento de um elemento que servisse de base para o registo. 
Era o começo da descoberta da escrita e a entrada para a Era Racional. 
 
 
2.2. O número concreto 
 
2.2.1. Como surgiu o número? 
Alguma vez parou para pensar nisso? Certamente já imaginou que um dia alguém teve uma ideia genial e de 
repente inventou o número. Mas não foi bem assim. 
A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a 
responsável por essa façanha. O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham 
de contar objectos e coisas. 
Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os 
nós de uma corda, marcas num osso... 
Com o passar do tempo, este sistema foi-se aperfeiçoando até dar origem ao número. 
 
 
2.2.2. Contando objectos com outros objectos 
Há mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se 
esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio. 
Para registar os animais mortos numa caçada, limitavam-se a fazer marcas numa vara. 
Nessa época o homem alimentava-se daquilo que a natureza oferecia: caça, frutos, 
sementes, ovos. Quando descobriu o fogo, apreendeu a cozinhar os alimentos e a 
proteger-se melhor contra o frio. 
A escrita, ainda, não tinha sido criada, pelo que, para contar, o homem fazia riscos num 
pedaço de madeira ou em ossos de animais. 
Há mais ou menos 10.000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu sistema 
de vida. Em vez de apenas caçar e colher frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e a criar animais. 
Era o início da agricultura, graças à qual aumentava muito a variedade de alimentos de que podia dispor. 
E para dedicar-se às actividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar a deslocar-se de um 
lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente às margens de rios e 
cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua própria moradia. 
Começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe, divisão do trabalho entre as pessoas, 
etc.. 
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3. O Número Natural 
 
3.1. Os egípcios criam os símbolos 
Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de 
bronze. As Aldeias situadas às margens dos rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez 
mais complexa. Novas actividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio. 
Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas 
necessidades. Com isso, algumas pessoas puderam se dedicar a outras actividades, 
tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores. 
Como consequência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História 
e o começo da História. 
Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez 
no Egipto. 
Para fazer os projectos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. 
Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da 
indústria e do comércio. 
Como efectuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nos ou riscos em um osso? Foi 
partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egipto passaram a 
representar a quantidade de objectos de uma colecção através de desenhos – os símbolos. 
A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da 
Matemática. 
Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões. Hoje sabemos representar 
esta operação por meio de símbolos. 
3 + 5 = 8 
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4. Os números racionais 
 
Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse. 
0 13 35 98 1.024 3.645.872 
Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são 
chamados de números naturais. 
Os números naturais simplificaram muito o trabalho com os números fraccionários. 
Não havia mais necessidade de escrever um número fraccionário por meio de uma adição de dois 
fraccionários, como faziam os matemáticos egípcios. 
O número fraccionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. 
A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fraccionários 
podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números 
racionais. 
A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática. 
 
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5. Os Números e as Civilizações 
 
 
5.1. Os algarismos na civilização Suméria 
De origem desconhecida (vinda provavelmente da Anatólia e chegada à Mesopotâmia por volta de 3300 
a.C), a civilização Suméria é a mais antiga civilização. No extremo sul da Mesopotâmia, entre os rios Tigre 
e Eufrates (área onde posteriormente se desenvolveu a civilização Babilónica que hoje corresponde ao sul 
do Iraque, entre Bagdad e o Golfo Pérsico), aí floresceram cidades-estados (Ur, Eridu, Lagash, Uma, Adab, 
Kish, Sipar, Larak, Akshak, Nipur, Larsa e Bad-tibira) 
A crescente rivalidade entre as cidades enfraqueceu esta civilização, tornando-a extremamente vulnerável a 
invasores. Depois de 1900 a.C., após a conquista de todo o território mesopotâmio pelos amorritas, os 
sumérios perderam a sua identidade como povo, mas a sua cultura foi assimilada pelos sucessores semitas. 
De entre os feitos desta civilização destacam-sea invenção da escrita cuneiforme (a mais antiga forma 
registada para representar sons da língua, em vez dos próprios objectos), os primeiros veículos sobre rodas e 
os primeiros tornos de cerâmica. 
A escrita cuneiforme surgiu na Mesopotâmia por volta de 3000 a.C., sendo utilizadas para seu registo tabulas 
de argila e estiletes de bambu. Graças a esta escrita, decifrada no século XIX por linguistas e arqueólogos, 
foi possível conhecer inúmeros aspectos da vida, religião e instituições desta civilização. 
 
5.1.1. O sistema sexagesimal 
Na civilização suméria utilizavam-se dois sistemas de contagem diferentes: um na base 5 e outro na base 12. 
A base 5 resumia-se à utilização dos dedos das mãos como processo de contagem, servindo-se de uma mão 
para contar e da outra como auxílio a contagens de maior dimensão, para "armazenar" a quantidade dos 
"cincos" contados. 
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A base 12 assentava na utilização das três falanges que compõe cada um dos dedos, usando o polegar como 
auxiliar de contagem (apoiava-se o polegar em cada uma das falanges, sendo assim possível a contagem até 
12). 
Na sequência de uma combinação entre os dois sistemas manuais de contagem, surge a base 60. Esta nova 
técnica de contagem era praticada da seguinte maneira: na mão direita, contam-se as falanges, tal como na 
base 12, "guardando" o número de contagens na mão esquerda, assim como na base 5. 
Esta é uma das muitas hipóteses que existem acerca da origem do sistema sexagesimal (sistema este que 
constituiu um dos maiores méritos da cultura suméria). 
 
Mão esquerda Mão direita 
Contagem dos dedos,
cada um valendo uma
dúzia.
Contagem das falanges 
pelo polegar oposto, 
cada. 
Sistema de contagem sexagesimal. 
É importante frisar que ainda é notório, na nossa cultura, a utilização deste sistema, quer por exemplo na 
expressão das medidas do tempo, em horas, minutos e segundos, ou a dos arcos e ângulos em graus, minutos 
e segundos. 
 
5.1.2. A Evolução gráfica dos algarismos 
Os mais antigos algarismos conhecidos da história são representados através de marcas de baixo-relevo que 
correspondem às diferentes classes de unidades consecutivas da numeração escrita suméria. Assim, a 
unidade era representada por um entalhe fino, a dezena por uma impressão circular de pequeno diâmetro, a 
sessentena por um entalhe grosso, o número 600 por uma combinação de dois algarismos precedentes, o 
número 3600 por uma grande impressão circular e o número 36.000, por essa última munida de uma pequena 
impressão circular. 
Essa sequência era obtida da seguinte forma: 
1 
10 
60=10×6 
600=(10×6)×10 
3600=(10×6×10)×6 
36000=(10×6×10×6)×10 
Cerca do século XXVII a. C., estes algarismos foram alterados, passando a estar dirigidos para a direita, em 
vez de estarem dirigidos para baixo, conforme ilustra a figura: 
 
Forma dos algarismos sumérios arcaicos após uma rotação de 90º 
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Com a evolução da escrita cuneiforme, 
estes algarismos voltaram ser a alterados, 
passando a ter formas diferentes: a 
unidade era representada por um pequeno 
prego vertical, a dezena por uma viga, a 
sessentena por um prego vertical de maior 
dimensão, o número 600 por um prego 
vertical do tipo precedente associada a 
uma viga, o 3600 por um polígono 
formado pela reunião de quatro pregos, o 
número 36000 por um polígono do tipo precedente, munido de uma viga e por fim o número 216000 
combinando o polígono de 3600 com o prego da sessentena. 
 
 
5.1.3. O princípio da numeração escrita suméria 
Com estes sistemas de representação de algarismos, os sumérios conseguiam obter qualquer número, 
baseando-se no princípio aditivo e, repetindo as vezes necessárias em cada ordem de unidades um algarismo, 
obtinha-se o número pretendido. É de notar a preocupação que existia em agrupar os algarismos idênticos 
com o objectivo de facilitar a sua rápida visualização e compreensão. 
 
36 000 reproduzido 3 vezes = 36 000 × 3 = 108 000
3 600 reproduzido 4 vezes = 3 600 × 4 = 14 400
600 reproduzido 3 vezes = 600 × 3 = 1 800
60 reproduzido 1 vez = 60 × 1 = 60
10 reproduzido 3 vezes = 10 × 3 = 30
1 reproduzido 6 vezes = 1 ×6 = 6
 124296
Representação do número 164571, com recurso aos algarismos arcaicos. 
 
Representação do número 800, com recurso aos algarismos cuneiformes. 
 
De forma a simplificar e evitar as desmedidas repetições de sinais idênticos, os escribas de Sumer usaram 
frequentemente o método subtractivo, escrevendo, por exemplo, os números 9, 18, 38, 57, 2360, 3110, da 
seguinte forma: 
 
Representação de números recorrendo ao método subtractivo. 
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Também no sentido da simplificação da escrita, os múltiplos de 36000 passaram a ser representados da 
seguinte forma (em vez de se usar a repetição continua dos símbolos): 
 
Representação simplificada de alguns múltiplos de 36000. 
 
5.1.4. Como calculavam os sumérios 
 
Bilhas, cones e esferas para calcular 
Para fazer cálculos os sumérios utilizavam 
objectos que, consoante a sua forma e tamanho, 
representavam as diferentes ordens de unidade 
do sistema sexagesimal: 
 
 
 
O processo operatório no qual se baseavam para realizar a divisão consistia, no final de cada etapa, em trocar 
os objectos pelos de ordem imediatamente inferior. Com efeito, consideremos o seguinte exemplo: 
Dividir 324000 por 7 
324000=9×36000 
Como se pretende a divisão por 7, repartiremos 9 esferas perfuradas por grupos de 7 (note-se que as esferas 
representam a maior unidade neste sistema): 
 
 
 
O número de grupos de 7 esferas perfuradas que resulta desta primeira divisão é igual a 1, ou seja, o 
quociente desta primeira divisão parcial é 1. No final desta primeira divisão restam 2 esferas perfuradas. 
Para se poder prosseguir a operação é necessário converter 2×36000 em múltiplos de 3600 (unidade 
imediatamente inferior a 36000). Deste modo 2×36000=2×10×3600=20×3600. Obtemos assim 20 esferas 
simples, que repartimos novamente por grupos de 7: 
 
 
 
 
 
O número de grupos de 7 esferas simples que resulta da segunda 
divisão é igual a 2, ou seja, o quociente desta segunda divisão 
parcial é 2 e restam 6 esferas simples. 
Para prosseguir a operação vamos converter 6×3600 em 
múltiplos de 600. Obtemos assim 36 grandes cones perfurados, 
que repartimos novamente por grupos de 7: 
 
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M C D U 
 
 
 
 
 
 
 
O número de grupos de 7 grandes cones perfurados que resulta da terceira divisão é igual a 5 (quociente) e 
sobra 1 grande cone perfurado (resto). 
De seguida converteremos 1×600 em múltiplos de 60. Obtemos assim 10 grandes cones simples, que 
repartimos novamente por grupos de 7: 
 
O número de grupos de 7 grandes cones simples que resulta da quarta divisão é igual a 1 (quociente) e 
sobram 3 grandes cones simples (resto). 
Depois de converter 3×60 em múltiplos de 10 obtemos 18 bilhas, que repartimos novamente por grupos de 7: 
 
 
O número de grupos de 7 bilhas que resulta da quinta divisão é igual a 2 (quociente) restando 4 bilhas. Para 
terminar a operação resta-nos converter 4×10=40 por grupos de 7: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 grupos
Sexto resto 
 
O número de grupos de 7 pequenos cones que resulta da quinta divisão é igual a 50 (quociente) e restam 5 
pequenos cones. 
O quociente final obtém-se fazendo a adição dos quocientesobtidos nas várias divisões, com efeito: 
1×36000+2×3600+5×600+1×60+2×10+5×1=46285 (quociente da divisão de 324000 por 7) 
 
5.1.5. Das pedras ao ábaco 
 
Posteriormente foi adoptado um outro processo que consistia em organizar por colunas as 
contagens que se efectuavam, sendo a primeira (a da direita) associada às unidades, a 
seguinte às dezenas e assim sucessivamente. 
Consideremos o seguinte o exemplo: Representação do número 3672 
 
Mais tarde, este método de cálculo deu origem ao ábaco de pedras. 
 
 
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5.2. Os algarismos da civilização Egípcia 
 
Desde os primeiros momentos da sua história, os egípcios criaram uma sociedade baseada no aproveitamento 
das águas do Nilo para a agricultura ("O Egipto é uma dádiva do Nilo.", Heródoto). 
A antiga civilização egípcia começou por volta de 4000 a.C.. Mais tarde os primitivos clãs foram agrupados 
em dois grandes reinos: um ao norte e o outro a sul. Por volta do ano 3300 a.C. o reino do sul venceu o do 
norte e o Egipto transformou-se num estado único. A administração deste território fez surgir a criação de 
um sistema de escrita - os hieroglíficos. Ao passarem a utilizar o papiro para fazer os seus registos, os 
egípcios desenvolveram um sistema de escrita mais rápido - a escrita hierática, que foi utilizada até cerca de 
800 a.C. Posteriormente a escrita evolui para um sistema cursivo (o demótico). 
Até ao século XIX, as únicas fontes sobre o passado do Egipto eram os relatos dos autores clássicos. 
Somente em 1821, com a decifração da escrita hieroglífica, por Champollion, se pôde proceder à leitura de 
inscrições que iluminaram mais de três mil anos da história da humanidade. 
 
5.2.1. Os algarismos hieroglíficos 
 
Também os algarismos hieroglíficos (numeração 
correspondente à escrita da antiga civilização 
egípcia) acompanharam a evolução da escrita. 
Inicialmente representavam a unidade e as seis 
primeiras potências de 10.Estes algarismos eram 
simbolizados pelos seguintes hieroglíficos 
particulares: 
 
 
 
Algarismos fundamentais da numeração hieroglífica 
Egípcia e as suas principais variantes 
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Para representar um número, os egípcios tinham apenas em consideração as unidades das potências de 10, 
escrevendo-as, da esquerda para a direita, da maior ordem decimal até às unidades 
simples. Assim, a representação do número 1 422 000 é a seguinte: 
 
Depois do século XXVII a. C., estes algarismos passam a ser 
organizados e escritos de forma mais simples e regular, sendo 
reunidos em grupos menores e distribuídos por duas ou três 
linhas. 
Novo desenho e organização dos algarismos hieroglíficos. 
5.2.2. A origem dos algarismos egípcios 
Embora existam várias hipóteses sobre a origem dos algarismos hieroglíficos, a que parece recolher maior 
consenso é a que se segue: 
Uma barra vertical é o modo mais instintivo e rudimentar de representar a unidade, tendo por isso sido 
escolhido o bastonete para representar o algarismo 1. A dezena era simbolizada pelo desenho de um cordão 
que teria servido para juntar 10 bastonetes. 
Para representar os algarismos 100 e 1000 usavam-se a espiral e a flor de lótus, respectivamente, e uma 
justificação possível para tal escolha pode basear-se na analogia fonética entre as palavras orais porque eram 
designados estes números e os símbolos que os representam. 
Como os egípcios tinham adoptado um sistema de contagem manual apenas até 9999, foi então escolhido um 
dedo levantado e ligeiramente inclinado para simbolizar o número seguinte, a dezena de milhar. 
Devido à existência de uma imensa quantidade de girinos no Nilo e à sua grande capacidade de reprodução, 
o girino foi escolhido para representar graficamente o algarismo 100000. 
Para a representação de 1000000, número que, pela sua 
grandeza, era merecedor de "respeito", foi escolhida a 
representação de um homem com as mãos elevadas para o céu. 
Outra possível explicação, esta mais plausível, sugere que a 
representação escolhida, um homem admirando as estrelas e a 
sua imensidão, remete para a ideia de eternidade. 
 
 
5.2.3. Dos algarismos hieroglíficos aos algarismos hieráticos 
Para facilitar a escrita dos 
algarismos hieroglíficos, 
detalhada e essencialmente 
decorativa, foi encontrado 
um sistema mais simples e 
rápido: os algarismos 
hieráticos. 
 
 
 
 
Representação dos algarismos hieroglíficos e hieráticos. 
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1 15 
2 30
4 60 
8 120 
16 240
32 480 
64 960 
128 1920
256 3840
Exemplo do quanto o sistema hierático veio facilitar a escrita dos números egípcios. É assim, por exemplo, 
a representação do número 3 577: 
 
 
 
5.2.4. Como os egípcios calculavam 
Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efectuar todos os cálculos que envolviam 
números inteiros. Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações 
matemáticas eram efectuadas através de uma adição. 
Adição 
Para somar dois números, representavam-nos em separado e, posteriormente, 
agrupavam os algarismos da mesma ordem de grandeza. De seguida, cada vez que 
tivessem dez símbolos da mesma espécie, substituíam-nos pelo algarismo da 
grandeza imediatamente superior, conforme ilustra o seguinte exemplo: 
Multiplicação 
Para multiplicar dois números, consideravam-se três casos: 
Multiplicação por múltiplos de 10 [divisão por múltiplos de 10]: 
Substituíam cada símbolo pelo símbolo correspondente ao algarismo da 
ordem de grandeza seguinte [grandeza anterior], vejamos o caso da 
multiplicação de 1464 por 10: 
De forma a tornar a explicação mais perceptível, consideremos que se pretendiam multiplicar (ou dividir) a 
por b, com a múltiplo de 2 e a > b. Notemos que todos os cálculos que seguidamente serão expostos eram 
feitos com os algarismos hieroglíficos. 
Multiplicação por potências de 2: 
Os egípcios, formavam duas colunas e numa delas colocavam o número 1 seguido das suas sucessivas 
multiplicações por 2, até ao número a. Na segunda coluna colocavam o número b e procediam de modo 
análogo, efectuando o mesmo número de multiplicações necessárias para chegar ao a na 
primeira coluna. O resultado do produto seria o último número obtido na segunda coluna. 
Vejamos o seguinte exemplo, que ilustra a multiplicação de 15 por 256, cujo resultado será 
3840. 
Multiplicação por números que não são potências de 2 nem múltiplos de 10: 
 
Como no caso anterior, formavam duas colunas e, numa delas, colocavam o número 1 seguido das sucessivas 
multiplicações por 2, até à primeira potência inferior a a. Na segunda coluna colocavam o número b e 
procediam de modo análogo, efectuando o mesmo número de multiplicações necessárias para chegar ao a na 
primeira coluna. Posteriormente procuravam e assinalavam com um pequeno traço horizontal os números da 
primeira coluna cuja soma era a. Somando os números correspondentes a esses na 
segunda coluna (que eram marcados com um traço oblíquo) obtinham o resultado 
pretendido. 
Exemplo: Multiplicação de 92 por 11 
1 11 
2 22 
 4 44 / 
8 88 / 
16 176 / 
32 352 
64 704 / 
92×11= 44+88+176+704 
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Divisão por números que não são potências de 2 nem múltiplos de 10: 
O processo é idêntico, uma vez que vamos ter novamente duas colunas mas, desta vez, a primeira coluna a 
ser preenchida é a segunda, onde colocavam o divisor e as sucessivas multiplicações por 2, atéesse produto 
ser o maior número inferior ao dividendo. Na primeira coluna colocavam o número 1 e as sucessivas 
multiplicações por 2, tantas vezes quantas as utilizadas nas coluna 2. Posteriormente procuravam e 
assinalavam com um pequeno traço horizontal os números da segunda coluna cuja soma era o dividendo. 
Somando os números correspondentes a esses na primeira coluna (que eram marcados com um traço 
oblíquo) obtinha-se o resultado pretendido. 
 
 
 
Exemplo: Divisão de 4556 por 17 
 
 
Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros. Mas, em 
muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um 
número. E para isso os números inteiros não serviam. 
 
5.2.5. Os papiros da Matemática egípcia 
Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se baseia em dois grandes papiros: o 
Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou. 
O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas, 
encontrando-se actualmente em Moscou, não se sabendo nada sobre o seu autor. 
No inverno de 1858, um jovem antiquário escocês chamado A. Henry Rhind, de visita ao Egipto por motivos 
de saúde, comprou em Luxor um grande papiro que teria sido descoberto nas ruínas de um antigo edifício de 
Tebas, mais tarde o seu papiro foi adquirido pelo Museu Britânico de Londres. 
O papiro de Rhind é também conhecido por papiro de Ahmes em homenagem ao escriba que o copiou no 
33º ano do reinado de Apepa II (rei Hyksos da 15ª Dinastia) algures entre 1788 e 1580 a.C. 
O escriba diz-nos que o material deriva de um original do Reino Médio, na 12º Dinastia, escrito entre 2000 e 
1800 a.C., e é possível que algum do conhecimento tenha vindo do famoso arquitecto e físico Imhotepy que 
supervisionou a construção da pirâmide do Faraó Zozer há cerca de 5000 anos. 
O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 87 problemas, 
todos resolvidos. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a 
armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. 
Observando e estudando como eram efectuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi 
difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a 
decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egipto 
– no século XVIII também foi muito útil. 
Na escrita dos números que usamos actualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos 
um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números 
completamente diferentes: 265 526 562 625 652 
1 17 
2 34
4 68 / 
8 136 / 
16 272 
32 544
64 1088
128 2176
256 4352 /
4556÷17= 4+8+256
Papiro Ahmes
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Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. 
Observe-se na figura, que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três 
garotos do Antigo Egipto escrevem o mesmo número: 
 45 
 
5.2.6. Descobrindo a fracção 
Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris... 
“... repartiu o solo do Egipto às margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do 
lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão 
exacta da perda.” 
Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos. 
O rio Nilo atravessa uma vasta planície. Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem 
muitos metros acima de seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo de suas margens. Quando as 
águas baixam, deixam descoberta uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo. 
Desde a Antiguidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egipto. Foi nas 
terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia. 
Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado. Sesóstris repartiu estas preciosas terras 
entre alguns agricultores privilegiados. 
Todos os anos, durante o mês de Junho, o nível das águas do Nilo começava a 
subir. Era o início da inundação, que durava até Setembro. 
Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada 
agricultor usava para marcar os limites do seu terreno. Usavam cordas para fazer 
a medição. 
Havia uma unidade de medida assinalada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a 
corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem 
conhecidas como estiradores de cordas. 
No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número 
inteiro de vezes nos lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o 
número fraccionário e para representar os números fraccionários, usavam fracções. 
Os egípcios interpretavam a fracção somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as 
fracções unitárias, isto é, com numerador igual a 1. 
Para escrever as fracções unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador. As outras 
fracções eram expressas através de uma soma de fracções de numerador 1. 
Os egípcios não colocavam o sinal de adição + (mais) entre as fracções, porque os símbolos das operações 
ainda não tinham sido inventados. Os símbolos repetiam-se com muita frequência. Por isso, tanto os cálculos 
com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fraccionários eram muito complicados. 
Apenas por volta do século III a.C. começou-se a formar um sistema de numeração bem mais prático e 
eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano. 
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5.3. Os algarismos da civilização Helénica 
A Grécia ocupava a parte sul da península dos Balcãs, região montanhosa com baixa pluviosidade e solo 
pouco fértil, com uma linha de costa escarpada. Apenas áreas isoladas, como a Lacónia e a Messénia no Sul, 
a Beócia na Grécia Central, a norte do golfe de Corinto e a Tessália na parte setentrional do país, se 
encontram planícies férteis próprias para a agricultura. 
À medida que os gregos se estabeleciam iam desenvolvendo relações comerciais com os Egípcios e os 
Babilónios. 
A influência dos Egípcios e dos Babilónios sentiu-se essencialmente em Mileto, cidade da Ásia Menor e 
local de nascimento de alguns dos primeiros filósofos e matemáticos gregos. Mileto era uma grande e 
opulenta cidade de comércio no Mediterrâneo. Navios oriundos do continente grego, da Fenícia e do Egipto 
chegavam aos seus portos. Rotas de caravanas estabeleciam a ligação com a Mesopotâmia. 
Uma das grandes realizações dos gregos foi, na opinião de Burns (1977), o desenvolvimento da filosofia 
num sentido mais vasto do que ela tivera até então. Antes do fim do século VI a.C. a filosofia grega adquirira 
uma orientação metafísica, isto é, deixou de se ocupar com os problemas do mundo físico e transferiu a sua 
atenção para questões enigmáticas como a natureza do ser, o sentido da verdade, a posição do divino no 
esquema das coisas. Foi dada ênfase ao raciocínio abstracto, tendo-se estabelecido como objectivo estender o 
domínio da razão sobre toda a natureza e o homem. 
Em coerência com esta nova forma de pensar, os pitagóricos sustentaram que a essência das coisas não seria 
uma substância material, mas sim um princípio abstracto, o número. Segundo a filosofia dos pitagóricos todo 
o universo era caracterizado pelos números e as suas relações e, assim, o problema surgia de definir o que era 
um número. (Mainzer, 1990a,p. 12) 
 
5.3.1. Sistemas de numeração usados pelos gregos 
É certo que outras civilizações mais primitivas, e certamente os egípcios e os mesopotâmicos, aprenderam a 
pensar sobre os números como divorciados do mundo físico. Contudo é questionável 
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(pelo menos nada o evidência) até que ponto eles estavam conscientes da sua natureza abstracta. Um facto 
que reforça esta constatação está na circunstância, que do ponto de vista geométrico, todas as civilizações 
anteriores aos gregos estiveram definitivamente vinculadas ao concreto. 
Esta contribuição dos gregos foi essencial, pois abordaram a matemática de uma forma completamente nova, 
tornando-a abstracta. E, assim sendo, o conceito de número foi conscientemente reconhecido. 
Os pitagóricos terão reconhecido que a matemática lida com abstracções, embora este reconhecimento possa 
não ter ocorrido numa fase inicial do seu trabalho (Kline, 1972). Os matemáticos gregos, em particular os 
pitagóricos, desenvolveram toda uma filosofia do universo onde a noção de número (natural) tinha um papel 
fundamental. 
Eles estavam convencidos que tudo se poderia exprimir recorrendo-se aos números naturais. 
Na procura das leis eternas do universo, os pitagóricos estudaram geometria, aritmética, astronomia e música 
(o que mais tarde se chamaria o quadrivium) (…) Os números, isto é, os inteiros, chamados arithmoi, eram 
divididos em classes: ímpares e pares, primos e compostos, perfeitos, amigos, triangulares, quadrados, 
pentagonais, etc. (…) os pitagóricos investigavam as propriedades desses números, acrescentando-lhes uma 
marca do seu misticismo e colocando-os no centro de uma filosofia cósmica que tentava reduzir todas as 
relações fundamentais a relações numéricas («tudo é número»). (Struik, 1997, p. 78) 
Para Pitágoras, o pai da matemática (~580-497 AC), os números eram a origem de todas as 
coisas. A ele e seus seguidores é atribuída a descoberta da tabuada. 
Para ele “O número é a causa e o princípio de tudo”1. Esta afirmação sugere a existência de 
um princípio unificador do Universo, ideia que desempenhou um papel importante na filosofia grega. A 
mesma frase simboliza também as contradições e ambiguidades do pensamento pitagórico: misticismo, 
magia e mistério mas, por outro lado, exactidão e rigor. Pode ainda servir para caracterizar a cultura 
Ocidental na sua relação com o número, ou melhor dizendo, na sua obsessiva quantificação das qualidades. 
De facto, na ciência moderna, desde o Renascimento até a actualidade, é possível encontrar manifestações do 
espírito Pitagórico, das mais conscientes às mais ingénuas. 
A afirmação de Filolau2 (nascido em 450 AC), matemático da Escola Pitagórica, “todas as coisas têm um 
número e nada se pode compreender sem o número”3 significa, para Bento Caraça, o “aparecimento da 
ideia luminosa duma ordenação matemática do Cosmos”, ideia que é um dos fundamentos essenciais da 
ciência moderna. 
A Escola Pitagórica funcionava na realidade como uma seita. Os Pitagóricos, para além de outros símbolos 
e rituais místicos, usavam o pentágono estrelado, como sinal de aliança entre eles. Os conhecimentos 
matemáticos e as principais descobertas da Escola eram transmitidos oralmente aos seus membros que, sob 
juramento, se comprometiam a não os divulgar. É curioso que, apesar da sua doutrina ser ensinada apenas 
oralmente durante as primeiras décadas, a Escola sobreviveu várias centenas de anos. Prolongaram-se por 
oito séculos (V AC a III DC), o desenvolvimento de especulações matemáticas, astronómicas e harmónicas, 
mas também de natureza física ou médica, e ainda morais e religiosas que se associam ao Pitagorismo. 
 
1 Segundo a Metafísica de Aristóteles, que é a principal fonte do pitagorismo antigo (Mattei, J-F., Pythagore et les Pythagoriciens) 
2 Arquitas de Tarento (428 a.C. – 347 a.C.), filósofo e cientista grego, considerado o mais ilustre dos matemáticos pitagóricos. 
Acredita-se ter sido discípulo de Filolau de Crotona e foi amigo de Platão. Fundou a mecânica e influenciou Euclides. Foi o primeiro a 
usar o cubo em geometria e a restringir as matemáticas às disciplinas técnicas como a geometria, aritmética, astronomia e acústica. 
Para resolver o famoso problema da duplicação do cubo (dobrar o seu volume), valeu-se de um modelo tridimensional. 
Embora inúmeras obras sobre mecânica e geometria lhe sejam atribuídas, restaram apenas fragmentos cuja preocupação central é a 
Matemática e a Música. 
Arquitas também actuou na política. Os tarentinos o elegeram estratego (governador) sete vezes consecutivas. 
Morreu em um naufrágio na costa de Apúlia. 
3 Citado po Bento de Jesus Caraça em Conceitos Fundamentais da Matemáica. 
Arquitas
de Tarento 
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Por volta do ano 500 AC, como resultado de perseguições políticas, os pitagóricos tiveram que fugir de 
Crótona (Itália), onde a seita estava instalada e tinha atingido considerável prestígio cultural e político. Os 
seus discípulos espalharam-se então por várias regiões da Grécia. Só nessa época, contemporânea de 
Sócrates, aparecem os primeiros escritos pitagóricos, um dos quais é a obra de Filolau – Sobre a Natureza. 
Talvez seja um abuso de linguagem chamar pitagorismo à tendência para valorizar excessivamente os 
aspectos matemáticos do saber científico pois, evidentemente, a pretensão de querer traduzir o mundo por 
números não tinha, para Pitágoras, o mesmo sentido que se dá hoje à matematização do conhecimento. No 
entanto, o termo pitagorismo serve perfeitamente para caracterizar o exagero das posições de alguns 
cientistas na actualidade. É tentador associá-las a Pitágoras, tanto mais que estamos aqui também em 
presença de um paradoxo cultural. Ele traduz-se, em certas áreas científicas, pela coexistência entre a forte 
presença da matemática e a tendência para um obscurantismo crescente. 
Também os seguidores de Pitágoras não se limitaram a especular acerca da natureza e significado dos 
números e a estabelecer as suas propriedades místicas; eles produziram resultados matemáticos importantes 
perfeitamente integrados no conjunto da ciência grega. Pitágoras e os seus discípulos são mesmo 
considerados os iniciadores duma área matemática, a Aritmética, hoje designada por Teoria de Números4. 
 
5.3.2. Ciência e Mística Pitagórica 
A origem da mística dos números pode ser encontrada nas suas propriedades matemáticas. É, nesse sentido, 
uma “mística científica”, usando uma expressão também ela paradoxal. Tal como os outros matemáticos 
gregos, os Pitagóricos não se interessavam por fazer cálculos com finalidades de ordem prática. Essa tarefa, 
considerada “menor” no conjunto da actividade matemática, era deixada para os calculadores profissionais 
ou “logísticos”, como eram chamados. Destes, apenas conhecemos a existência e também o desprezo que por 
eles testemunha Platão, na República, já que trabalhavam sobre fracções explícitas, ao passo que o 
matemático, segundo Platão, deve apenas tratar das propriedades dos números inteiros “que não são 
acessíveis senão à inteligência e não podem ser manejados de outro modo” (Dieudonné, J: 1990). 
Os Pitagóricos ocupavam-se antes a descobrir as propriedades dos números, sem se preocupar com as suas 
aplicações, tal como faz hoje um investigador em teoria dos números. Eles desenvolveram, em particular, o 
princípio dos números figurados, onde os inteiros estão dispostos em forma de triângulos ou de outros 
polígonos .Usando essa representação deduziram algumas propriedades interessantes. 
 
5.3.3. Números Figurados 
Pitágoras concebeu os números triangulares constituídos pelos números naturais (inteiros positivos) 
dispostos