Matematica Financeira e An de Inv 4 OK

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Matemática Financeira e 
Análise de Investimentos 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PALMUTI, Claudio Silva. 
 
Guia de Estudo – Matemática Financeira e 
Análise de Investimentos, Claudio Silva Palmuti. 
 
Revisão Técnica: 2016 
Revisão Ortográfica: 2016 
 
 170 p. 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
Reitor 
Prof. Me. Stefano Barra Gazzola 
 
Superintendência Corporativa 
Prof. Dr. Guaracy Silva 
 
Design Instrucional e Diagramação 
Esp. Isabella de Menezes 
 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
Claudio Silva Palmuti 
 
Mestre em Administração de Empresas pela Faccamp; Especialista em Matemática 
e Estatística pela Ufla e Bacharel em Ciências Econômicas pela Faceca. Atua 
como professor titular do Centro Universitário do Sul de Minas: UNIS-MG, desde o 
ano de 2007, em diversos cursos de graduação e pós-graduação. Atualmente 
leciona as disciplinas de Pesquisa Operacional; Economia de Negócios; 
Estatística; Contabilidade; Gestão Estratégica de Custos; Econometria Financeira; 
Teoria de Carteiras e Decisão Financeira em Condição de Risco; Gestão 
Estratégica de Finanças; Administração Financeira do Capital de Giro e Fluxo de 
Caixa; Jogos de Empresas; Análise de Investimentos; Bioestatística; Gestão 
Financeira; Controladoria Custos e Orçamentos e Análise de Crédito e Risco. 
Ministra cursos de Excel Avançado com Programação em VBA e HP 12C. 
Palestrante e consultor financeiro empresarial e pessoal. 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
ÍCONES 
 
REALIZE. Determina a existência de atividade a ser realizada. 
Este ícone indica que há um exercício, uma tarefa ou uma prática 
para ser realizada. Fique atento a ele. 
 
PESQUISE. Indica a exigência de pesquisa a ser realizada na 
busca por mais informação. 
 
PENSE. Indica que você deve refletir sobre o assunto abordado 
para responder a um questionamento. 
 
CONCLUSÃO. Todas as conclusões, sejam de ideias, partes ou 
unidades do curso virão precedidas desse ícone. 
 
IMPORTANTE. Aponta uma observação significativa. Pode ser 
encarado como um sinal de alerta que o orienta para prestar 
atenção à informação indicada. 
 
HIPERLINK. Indica um link (ligação), seja ele para outra 
página do módulo impresso ou endereço de Internet. 
 
EXEMPLO. Esse ícone será usado sempre que houver 
necessidade de exemplificar um caso, uma situação ou conceito 
que está sendo descrito ou estudado. 
 
SUGESTÃO DE LEITURA. Indica textos de referência 
utilizados no curso e também faz sugestões para leitura 
complementar. 
 
APLICAÇÃO PROFISSIONAL. Indica uma aplicação prática 
de uso profissional ligada ao que está sendo estudado. 
 
CHECKLIST ou PROCEDIMENTO. Indica um conjunto de 
ações para fins de verificação de uma rotina ou um procedimento 
(passo a passo) para a realização de uma tarefa. 
 
SAIBA MAIS. Apresenta informações adicionais sobre o tema 
abordado de forma a possibilitar a obtenção de novas 
informações ao que já foi referenciado. 
 
REVENDO. Indica a necessidade de rever conceitos estudados 
anteriormente. 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
Sumário 
 
EMENTA ................................................................................................................................................. 13 
Meta ......................................................................................................................................................... 14 
Objetivos .................................................................................................................................................. 14 
1 MATEMÁTICA FINANCEIRA UTILIZANDO HP 12C ............................................................... 15 
1.1 INTRODUÇÃO - CONHECENDO A HP-12C ................................................................................. 15 
1. 2. MATEMÁTICA FINANCEIRA – INTRODUÇÃO ........................................................................ 33 
1.3 SÉRIES DE PAGAMENTO............................................................................................................... 88 
1.4 PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS ............................. 95 
2 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS .................................................................................................. 113 
2.1 Introdução ......................................................................................................................................... 113 
2.2 Revisão de Fundamentos .................................................................................................................. 114 
2.3 Fundamentos de Matemática Financeira .......................................................................................... 115 
2.4 Fluxo de Caixa na Análise de Investimentos .................................................................................... 121 
2.4.1 Investimentos de capital e suas motivações .............................................................. 121 
2.4.2 O fluxo de caixa na análise de investimentos ........................................................... 122 
2.5 A determinação do investimento inicial ........................................................................................... 124 
2.6 A determinação da Taxa Mínima de Atratividade (TMA) ............................................................... 126 
2.7 Métodos de Análise de Investimentos .............................................................................................. 129 
2.7.1 Técnicas de avaliação de investimentos ................................................................... 130 
2.8 Risco, Incerteza e Retorno ................................................................................................................ 149 
2.8.1 Risco: definição e tipos ............................................................................................. 149 
2.8.2 Aversão ao risco ....................................................................................................... 152 
2.8.3 Análises de risco: uma visão introdutória ................................................................. 152 
2.9 Fluxo de caixa em condições de incerteza ........................................................................................ 153 
2.10 Retorno: definição, tipos de taxas e cálculo ................................................................................... 154 
2.10.1 Cálculos de taxas de retorno por Índices de Rentabilidade .................................... 155 
Leitura Complementar ......................................................................................................................... 161 
 
 
 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
EMENTA 
 
 
Regimes de Capitalização. Séries de Pagamentos. Valor Presente Líquido e Taxa 
Interna de Retorno. Equivalência de Fluxos de Caixa. Sistemas de Amortização. Fluxos 
de Caixa e Inflação. Métodos de Análise de Investimentos. Métodos de Avaliação de 
Investimentos; Fluxo de Caixa e Orçamento. Os Índices de Rentabilidade: ROE x ROI; 
Payback Simples e Atualizado. Valor atual líquido (VAL). Taxa interna de retorno 
(TIR) e índice de lucratividade; Incerteza e Projetosde Investimentos: risco e taxa de 
atualização, análise de sensibilidade; Orçamento e seus aspectos organizacionais: 
restrições técnico-operacionais, de organização e financeiras; Avaliação de uma 
empresa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
Meta 
 
Apresentar os conceitos iniciais da Matemática Financeira, bem 
como a utilização maciça da calculadora financeira HP 12C, demonstrando 
o entendimento e o mecanismo de cálculos financeiros a fim de orientação 
para a tomada de decisão tanto na área financeira quanto na área de análise 
de investimentos. 
 
 
 
Objetivos 
 
Após o estudo deste material esperamos que o aluno possua: 
 Pleno conhecimento da Matemática Financeira, e suas aplicações no 
nosso cotidiano; 
 Conhecimento dos critérios de Análise de Investimentos; 
 O domínio do significado de Valor Presente Líquido; 
 Capacidade de realizar a análise do Custo do Capital Próprio, do 
Custo do Capital de Terceiros e do Custo Médio Ponderado do 
Capital. 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
 
1. A IMPORTÂNCIA DE SE TRABALHAR COM PROJETOS NA 
EDUCAÇÃO 
 
 
 
1.1 INTRODUÇÃO - CONHECENDO A HP-12C 
 
 O fator determinante na escolha de uma calculadora financeira é a utilidade que ela 
pode oferecer ao usuário. Com base nesse princípio, a melhor opção é oferecida pela 
calculadora HP-12C, da Hewlett Packard. Ela apresenta um nível de recursos avançados 
(muitas funções e memórias) e permite a edição de programas (número ampliado de 
memórias e possibilidade de uma quantidade de passos de programa). 
No quadro abaixo, um resumo das principais características dessa calculadora: 
 
 
Fabricante Hewlett Packard Observação 
Modelo HP-12C 
Modelo muito popular no âmbito do mercado 
financeiro. 
Nível de recursos 
Avançada 
programável 
Muitas memórias e funções, inclusive para 
edição de programas. 
Entrada de dados RPN 
Sistema de notação polonesa inversa. Os dados 
são introduzidos em primeiro lugar e depois as 
operações em ordem inversa. 
Tipo de memória Constante 
Conserva os dados armazenados mesmo 
desligada. 
Número de memórias 20 Registradores de dados numéricos manuais 
Tipo de visor Cristal líquido 
Com dígitos pretos e com vantagem de 
consumir menos energia. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
UTILIZANDO HP 12C 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
Capacidade do visor 10 dígitos Notação matemática para números grandes 
Duração das baterias Depende do uso 
Projetada para operar durante 6 meses ou mais, 
em uso normal (alcalinas). 
Dimensão 80x127x15 Pequena, fácil transporte. 
Peso 113g Leve, fácil transporte. 
Tipo de alimentação 3 baterias Não são recarregáveis. 
 
 
Intitulada como “a calculadora que nunca morre” a HP-12C é até hoje a 
calculadora mais vendida da Hewlett Packard, desde a sua criação, em 1981 (Top 
Selling Business Calculator). 
Apesar de ter sido seguida de muitos outros modelos mais novos e modernos, 
com maior ou menor funcionalidade, este modelo continua a vender muito. Um catálogo 
da EduCalc diz que “a HP-17BII é perto de 15 vezes mais rápida que a HP-12C e exibe 
4 vezes mais informações na tela”. E sobre a HP-19BII: “É 15 vezes mais rápida do 
que a HP-12C e exibe 9 vezes mais informações”. 
De acordo com informações disponíveis no Museu Virtual da HP 
(www.hp.com), a HP-12C transformou-se na calculadora padrão para negócios. Uma 
pesquisa realizada com os usuários da máquina aponta como duas das principais causas 
de seu sucesso: 
- a HP-12C é sinônimo de computador horizontal; 
- seu design tom de ouro adiciona um certo prestígio à máquina; 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
1. Testes DE CIRCUITO 
1° Teste: 
Usado para verificar o perfeito funcionamento dos circuitos eletrônicos. 
Com o equipamento desligado, seguir o roteiro abaixo: 
1) Mantendo-se pressionada a tecla [ON], pressionar a tecla [ x ]. 
2) Com as duas teclas pressionadas, liberar primeiro [ON] e em seguida [ x ]. 
A calculadora ficará em execução (RUNNING = PROCESSANDO), com a 
mensagem piscando, aproximadamente, 15 segundos, em seguida apresentará no visor: 
 
8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 
 USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM 
 
Caso não apareça a imagem acima no visor de sua calculadora, CUIDADO!!! 
Tente novamente! Se continuar aparecendo a mensagem ERROR, sua máquina 
necessita de reparos. Importante ressaltar que a HP-12C é uma calculadora blindada. 
Alguns problemas só serão resolvidos com a troca da máquina. A assistência ao cliente 
da Hewlett Packard do Brasil deverá ser procurada. 
 
2° Teste: 
 Desligue a HP-12C. 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 Mantenha a tecla [  ] pressionada. 
 Ligue a máquina e solte a tecla [  ], simultaneamente. 
 Aparecerão alguns traços no visor. 
 Pressione todas as teclas da esquerda para a direita e de cima para baixo. 
 Pressione [ON], também. Pressione [ENTER] na 3ª linha e também na 4ª 
linha. Após alguns segundos, surgirá o n.º 12 no meio do visor. 
Caso não apareça: CUIDADO!!! Tente novamente! Caso continue aparecendo 
a mensagem ERROR, sua máquina necessita de reparos. 
 
 
 
 
INDICAÇÃO DE BATERIA FRACA 
 
Quando no canto inferior esquerdo de sua HP-12C aparecer um asterisco ( * ) 
piscando, desligue a calculadora e substitua as baterias. 
 
TECLADO 
 
As teclas da HP-12C podem realizar uma, duas ou até três funções. 
- A função gravada em branco na parte superior da tecla é chamada função primária 
e a calculadora executa diretamente. 
- As funções alternativas (laranjas e azuis) somente serão acessadas após 
pressionar as teclas de prefixo alternativa: 
[ f ] - para executar as amarelas 
[ g ] - para executar as funções azuis 
 
 
Tecla “ON” 
Usada para ligar e desligar a calculadora. Caso a calculadora não seja 
desligada manualmente, ela se desligará automaticamente de 8 a 17 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
minutos após a sua última utilização. 
 
FUNÇÕES DE LIMPEZA 
 
 
[CLX] - Limpa o visor 
[ f ] [REG] - Limpa todas as memórias da calculadora 
[ f ] [FIN] - Limpa as memórias financeiras (n, i, PV, PMT e FV) 
[ f ] [  ] - Limpa as memórias da pilha operacional e as memórias 
estatísticas 
[ f ] [PRGM] - Limpa as linhas de programação 
[ f ] [PREFIX] - Limpa os prefixos f, g, STO, RCL e GTO 
 
PREPARAÇÃO DA HP-12C PARA CÁLCULOS 
 
No Brasil, usamos a vírgula para separar a parte inteira da parte decimal de um 
número. A HP-12C, originalmente, encontra-se na notação americana, que usa como 
separador o ponto. 
Assim, à medida que o número é introduzido, cada grupo de 3 dígitos, à 
esquerda do ponto decimal, é automaticamente separado no visor. Quando a calculadora 
é ligada pela primeira vez (após sair da fábrica ou quando a memória contínua é 
completamente apagada) o separador entre a parte inteira e a decimal é um ponto, e o 
separador de cada grupo de 3 dígitos é a vírgula. 
Se desejarmos, poderemos fazer com que a calculadora use a vírgula para separar as 
partes inteira e decimal, e o ponto para separar os grupos de 3 dígitos, conforme notação 
brasileira. 
Para ajustar a calculadora com notação brasileira, deveremos seguir os passos 
abaixo: 
a) Desligue a calculadora. 
b) Mantenha pressionada a tecla [ . ]. 
 Funções de limpeza 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
 
c) Pressione e libere a tecla[ON]. 
d) Libere a tecla [ . ]. 
 
Tecla “ENTER” 
Usada para introduzir um número na calculadora e para separar dois números 
em um cálculo. 
 
 
 
 A TECLA ENTER É A PRINCIPAL DIFERENÇA 
ENTRE A HP-12C E AS CALCULADORAS 
CONVENCIONAIS, POIS REPRESENTA A ENTRADA 
DE DADOS NA MÁQUINA. 
 
A HP-12C opera com o sistema de entrada de dados RPN (Notação Polonesa 
Reversa) onde introduzimos primeiro os dados, separados pela tecla ENTER, e depois 
as operações. Tal sistema torna os cálculos extensos mais rápidos e simples. 
 
Exemplo: 2 + 3  [ 2 ] [ENTER] [ 3 ] visor = 5 
 
Critérios de Arredondamento 
 
Através da utilização desta tecla define-se o número de casas no visor, 
mantendo o restante do número internamente na máquina. 
 
 
 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 Importante: 
À medida que reduzimos o número de casas decimais, o valor que aparece no 
visor será automaticamente arredondado, usando a seguinte convenção: 
Se o número for: 
- 0 a 4, mantém-se; 
- 5 a 9, arredonda-se; 
Exemplo: 
Introduzir no visor o número 5,123456789 
 
 
f9...................... f4...................... 
f8...................... f3...................... 
f7...................... f2...................... 
f6...................... f1...................... 
f5...................... f0...................... 
 
Introduzir no visor o número 3,00234579 
f4...................... f1...................... 
f3...................... f0...................... 
f2...................... f9...................... 
 
[ g ] [INTG] 
Através destas teclas, elimina-se a parte fracionária e mantém-se a parte inteira. 
 
 
 
[ g ] [LSTx] 
Através destas teclas, recupera-se o número. 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
 
 
 
 
 
 
[ g ] [FRAC] 
Através destas teclas, elimina-se a parte inteira e mantém-se a parte fracionária. 
 
 
 
 
 
 
[ f ] [ 2 ] [ f ] [RND] 
A utilização dessas teclas permite o arredondamento da parte fracionária de um 
número. É importante ressaltar que o número apresentado no visor, após esse comando, 
passará a ser o número contido internamente na máquina. 
 
 
 
 
[ f ] [ 9 ] [ g ] [LSTx] 
A utilização destas teclas, recupera-se o número arredondado. 
 [ 9 ] 
 
 
 
 
 NÚMEROS NEGATIVOS 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
O número 14 corresponde à quantidade 
de números 0 (zero). 
Usamos a tecla Change Signal [CHS]. 
 
Exemplo: Introduzir na HP-12C o número -18,32.  [18,32] [CHS] visor = -
18,32 
 
NÚMEROS GRANDES 
 
Usamos a notação científica. Para digitar o expoente, usamos a tecla Enter 
Exponente [EEX]. 
 
 
Exemplo: Introduzir na HP-12C o número 500.000.000.000.000 
[ 5 ] [EEX] [14] [ENTER] visor = 5,000000 14 
 
 
 
 
 
TECLA 
 
Troca os valores armazenados nas memórias x e y. 
 
Exemplo: Imagine que você pretenda dividir 10 por 5, mas introduz na 
calculadora, em primeiro lugar, o n.º 5, então: [ 5 ] [ENTER] [10] [ ] [  ] visor = 2 
 Resposta: 2 
 
POTENCIAÇÃO 
 
Usamos a tecla [yx] 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
Exemplo: 52  Resposta: 25 
[ 5 ] [ENTER] [yx] visor = 25 
 
Radiciação 
A HP-12C só calcula raiz quadrada. O ideal é transformar as operações que 
envolvam radiciação em potenciação. 
 
Exemplos: 
a) 342 = 42/3  Resposta: 2,5198 42100 
[ 4 ] [ENTER] [ 2 ] [ENTER] [ 3 ] [  ] [yx] visor = 2,519842100 
 
b) 5371.293 = 371.2931/5  Resposta: 13 
[371.293] [ENTER] [ 1 ] [ENTER] [ 5 ] [  ] [yx] visor = 13 
 
 
Inverso de um número 
 
O inverso de um número inteiro nada mais é do que 1 dividido por esse 
número. Assim, o inverso de 2 é ½. Na HP-12C existe a tecla [1/x] que tem essa função, 
que é de grande utilidade nos cálculos financeiros. 
 
Exemplo: Calcule o inverso de 28  Resposta: 0,0357142 
[28] [1/x] visor = 0,0357142 
 
 
LOGARITMO 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
 
 
Pressionando [ g ] [LN], calcula-se o logaritmo Neperiano, isto é, o logaritmo 
na base “e” e do número no visor. Para calcular o logaritmo na base decimal do número 
contido no visor, calcule o logaritmo Neperiano e, então, pressione [10] [ g ] [LN] [  ]. 
Exemplo: Calcular o Log 100 na base 10. 
 [ g ] [LN] [10] [ g ] [LN] [  ]  Resposta: 2 
 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÕES MATEMÁTICAS 
 
Observe a seguinte expressão matemática: (2 + 3) + (12 - 8) x (7 - 1) 
 
 5 + 4 x 6  29 
 
Se fôssemos usar uma calculadora convencional deveríamos resolver as 
operações dentro de cada parêntese, anotando os resultados parciais para chegar em um 
último resultado, como mostra a expressão acima. 
Na HP-12C, o cálculo é feito de uma forma direta. Para isto, basta seguir a 
sequência: [ 2 ] [ENTER] [ 3 ] [ + ] [12] [ENTER] [ 8 ] [ - ] [ 7 ] [ENTER] [ 1 ] [ - ] [ 
x ] [ + ] visor = 29 
Na página seguinte serão apresentados vários exemplos de expressões 
matemáticas e como resolve-los: 
 
Obs. 1: as expressões foram resolvidas usando 9 casas decimais. 
Obs. 2: use a função f REG para limpar a memória da calculadora. 
a) 52 = 25 
[ 5 ] [ENTER] [ 2 ] [yx] visor = 25 
 
 3 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
= 0,296296296 
= 1,86086700 
= 36,458125 
b) 2 
 3 
[ 2 ] [ENTER] [ 3 ] [  ] [ 3 ] [y
x
] visor = 0,296296296 
 
c) (7)1/3 = 1,912931183 
[ 7 ] [ENTER] [ 1 ] [ENTER] [ 3 ] [  ] [y
x
] visor = 1,912931183 
 
d) 5(14)3 = 4,871658 
[14] [ENTER] [ 3 ] [ENTER] [ 5 ] [  ] [y
x
] visor = 4,871658 
 
e) (12 – 7) 2/3 = 2,924017738 
[12] [ENTER] [ 7 ] [ - ] [ 2 ] [ENTER] [ 3 ] [  ] [y
x
] visor = 2,924017738 
 
 3 
f) 1 + 23 
 100 
[ 1 ] [ENTER] [23] [ENTER] [100] [  ] [ + ] [y
x
] visor = 1,86086700 
 
 3 
g) 2 + . 13 . x 3 + 1 
 100 4 
 
[ 2 ] [ENTER] [13] [ENTER] [100] [  ] [ + ] [ENTER] [ 3 ] [ENTER] [ 1 ] 
[ENTER] [ 4 ] [  ] [ + ] [ 3 ] [yx] [ + ] visor = 36,458125 
 
 
Exercícios: 
Calcular o valor de Z nas expressões abaixo: 
a) Z = [(1 + 2,5/100)21 - 1] x 100  Resposta: Z = 67,96 
 
b) Z = 51/3  Resposta: Z = 1,71 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
c) Z = 3 x (-5)  Resposta: Z = - 15 
 
d) Z = 2.500.000,00 
 1 - 30,52 x 32  Resposta: Z = 3.706.705,68 
 3.000 
 
e) Z = ( 32,43 ) x 100  Resposta: Z = 47,99 
 100 - 32,43 
 
f) Z = [(1 + 25/100)1/22 - 1] x 100  Resposta: Z = 1,019 
 
g) Z = [(1 + 48/100) x (1 + 6/1200) - 1] x 100  Resposta: Z = 48,74 
h) Z = 6.000.000,00 
 (1 + 20/100)3  Resposta: Z = 3.472.222,22 
 
 18 
i) Z = 108.000 x 1 + 30  Resposta: Z = 12.145.183,95 
 100 
 
 18 
j) Z = 12.145.183,95 x 1 + 30  Resposta: Z = 108.000,00 
 100 
 
l) Z = 12.145.183,95 
 1 + 30 18  Resposta: Z = 108.000,00 
 100 
 
FUNÇÃO CALENDÁRIO 
 
 Teclas [ G ] [M.DY] e [ G ] [D.MY] 
 
Usadas para padrões de data em formatos diferentes. No Brasil usamos o formato 
dia, mês e ano. Para tanto, trabalharemos sempre com a função [ g ] [D.MY], que deverá 
 
28 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
estar indicada no visor de sua calculadora. Todas as datas deverão ser digitadas no 
formato DD.MM.AAAA.. 
 
 
Obs.1: Na HP-12C as funções “calendário” podem manipular datas a partir de 15/10/1582 
a 25/10/4046. 
OBS. 2: D.MY  D: DAY = DIA M: MONTH= MÊS Y: YEAR 
= ANO 
 
 
 
 M.DY  M: Month = Mês D: Day = Dia Y: Year = Ano 
 
Número de dias entre duas datas 
 
Usaremos a função [ g ] [DYS]. 
 
 
 
Exemplos: 
Calcular o número de dias entre as datas abaixo: 
a) 23/03/2002 a 12/08/2002  Resposta: 142 dias 
[23.022002] [ENTER] [12.082002] [ g ] [DYS] visor = 142 
 
 
b) 07/06/2002 a 15/04/2002  Resposta: -53 dias 
O sinal [ - ] indica que partiu de uma data anterior. 
[07.062002] [ENTER] [15.042002] [ g ] [DYS] visor = -53 
 
c) Quantos dias você já viveu?  Resposta: (depende da data em que o exercício 
for resolvido) 
 
 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
d) Quantos dias já se passaram de 31/12/2002?  Resposta: (depende da data em 
que o exercício for resolvido) 
 
 Logo após os dígitos referentes ao dia, é necessário que se introduza um 
ponto [ . ]. Também é necessário introduzir 2 dígitos do mês (ex.: setembro = 09) e os 4 
dígitos referentes ao ano (ex.: 2002). 
 
 
 
 
Cálculo de uma data 
 
Usaremos a função [ g ] [DATE]. 
 
 
 
Exemplos: 
a) Qual a data de vencimento de um RDB, efetuado em 22/05/2002, por um 
prazo de 95 dias?  Resposta: 25/08/2002 
[22.052002] [ENTER] [95] [ g ] [DATE] 
 
b) Qual o dia da semana de vencimento do RDB acima? 
1 = Segunda-feira 5 = Sexta-feira 
2 = Terça-feira 6 = Sábado 
3 = Quarta-feira 7 = Domingo 
4 = Quinta-feira 
  Resposta: Domingo 7 
 
 
 
 
 
c) Que dia da semana você nasceu? 
A ilustração demonstra o número 7 
corresponde ao dia da semana da 
referida data (25/08/2002) no visor 
da HP-12C. 
 
30 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 Resposta: depende da data de nascimento de quem resolver o exercício 
d) Hoje são 22/05/2002. Que data e que dia da semana será daqui a 1.817 dias? 
 Resposta: 13/05/2007 7 (Domingo) 
[22.052002] [ENTER] [1817] [ g ] [DATE] 
 
e) Em qual dia da semana cairá 05/02/2009? 
 Resposta: Quinta-feira (4) 
[05.022009] [ENTER] [ 0 ] [ g ] [DATE] 
 
USANDO MEMÓRIAS 
 
MEMÓRIAS FINANCEIRAS: n, i, PV, PMT E FV. 
 
MEMÓRIAS ESTATÍSTICAS: R1, R2, R3, R4, R5 E R6. 
 
MEMÓRIAS ARITMÉTICAS: R0, R1, R2, R3 E R4. 
 
Usamos a tecla Store [STO] para armazenar um número nas memórias R0 a R9. 
Usamos a tecla Recall [RCL] para recuperar qualquer valor armazenado nas 
memórias da HP-12C. 
 
 
 Exercícios: 
1. Armazenar os valores abaixo, nas respectivas memórias: 
a) 5 em PV b) -123 em FV c) 100 em PMT d) 5 em i e) 12 em n 
f) 3.500 em R1 g) 295 em R3 h) 35 em R5 i) 120 em R0 - 
 
 
31 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
Resolução: 
a) [ 5 ] [STO] 
[PV] 
b) [123] [ - ] 
[STO] [FV] 
c) [100] [STO] 
[PMT] 
d) [ 5 ] [STO] [ i ] e) [12] [STO] [ n ] 
f) [3.500] [STO] 
 [ 1 ] 
g) [295] [STO] [ 3 
] 
h) [35] [STO] [ 5 ] i) [120] [STO] 
 [ 0 ] 
- 
 
 
 
2. Recuperar o valor armazenado nas memórias, no exercício anterior: 
PV, FV, PMT, i, n, R1, R3, R5 e R0 
 
Resolução: 
a) [RCL] [PV] b) [RCL] [FV] c) [RCL] [PMT] d) [RCL] [ i ] e) [RCL] [ n ] 
f) [RCL] [ 1 ] g) [RCL] [ 3 ] h) [RCL] [ 5 ] i) [RCL] [ 0 ] - 
 
 
3. Realizar a operação abaixo na memória R2. Recuperar o resultado e verificar se o 
cálculo ficou correto. (153 - 32) x 2,5. 
Resolução: 
Calculando [153] [ENTER] [32] [ - ] [STO] [ 2 ] [2,5] [ x ] visor = 302,50 
Recuperando o Resultado em R2  [RCL] [ 2 ] visor = 121 [2,5] [ x ] = 302,50 
 
FUNÇÕES PERCENTUAIS 
 
Percentagem 
 
Usamos a tecla [ % ]. 
 
 
32 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
Exercícios: 
a) Calcular 2% de $242.000,00  Resposta: $4.840,00 
[242.000,00] [ENTER] [ 2 ] [ % ] visor = 4.840,00 
 
Obs.: Para adicionar ou subtrair o valor percentual calculado basta utilizarmos 
as teclas: 
Para somar Para subtrair 
Percentagem do total 
 
Usamos a tecla [%T]. 
 
 
 
Exercícios: 
Cinco amigos montam uma empresa com os seguintes capitais: 
João: $ 30.000,00 Paulo: $ 110.000,00 
Marcos: $ 120.000,00 Rita: $ 85.000,00 
Leandro: $ 50.000,00 
 
Qual o percentual de participação dos sócios no lucro da empresa? 
 Resposta: João (7,59%), Marcos (30,38%), Leandro (12,66%), Paulo (27,85%) e 
Rita (21,52%). 
Para calcular a percentagem do total, siga a sequência (o percentual a ser 
encontrado é o de João = 30.000 = 7,59%): [30.000] [ENTER] [120.000] [ + ] [50.000] [ + ] 
[110.000] [ + ] [85.000] [ + ] [30.000] [T%] visor = 7,59 
Para calcular as demais percentagens basta seguir a mesma sequência, 
trocando apenas o valor em destaque pelo valor desejado. 
 
 
33 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
Diferença percentual entre dois números 
 
Usamos a tecla de variação percentual [%]. 
 
 
Exemplos: 
1) O valor da cota do Fundo de Curto Prazo, no dia 20/11/2001, era de $340,00 
e em 20/11/2002, $510,50. Qual foi o percentual de valorização das cotas no período? 
 Resposta: 50,15% 
[340] [ENTER] [510,50] [%] visor = 50,15 
 
 
2) Um consumidor, ao retornar a um supermercado, 30 dias após sua última 
compra, percebeu que os mesmos itens, anteriormente adquiridos por $124,00, passaram 
a custar $139,00. Qual foi o percentual de aumento nos preços?  Resposta: 12,0967% 
[124] [ENTER] [139] [%] visor = 12,0967 
 
1. 2. MATEMÁTICA FINANCEIRA – INTRODUÇÃO 
 
 
 A Matemática Financeira tem por objetivo o manuseio de fluxos de 
caixa, visando às suas transformações em outros fluxos equivalentes, que 
permitam as suas comparações de maneira mais fácil e segura. 
 
Em resumo, podemos dizer que a matemática financeira estuda e analisa as 
transformações dos fluxos de caixa. 
Conhecer os fundamentos da matemática financeira é estar apto a tomar 
decisões mais seguras quanto aos investimentos, dentro de níveis de risco pré-
assumidos. 
 
 
34 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
Conceito de Juros 
 
Juro é a remuneração por um capital empregado. Juro poderá ser também 
entendido como um rendimento auferido pela aplicação de determinada quantia. 
Colocado dessa forma, os juros podem ser entendidos como uma espécie de 
aluguel recebido pelo uso do dinheiro por terceiros. 
 Se por um lado, temos pessoas e instituições com estoque de capital ocioso - os 
"emprestadores de recursos" - por outro lado, temos pessoas e instituições necessitadas 
de capital para desenvolver suas atividades - os "tomadores de recursos". Será o 
Mercado Financeiro que irá estabelecer um elo de ligação entre as duas partes, através 
de um leque de opções de investimentos e linhas de crédito. 
 Sob o ponto de vista do emprestador de recursos, o juro que irá receber deverá 
ser capaz de cobrir: 
- as despesas operacionais decorrentes do empréstimo tais como: tributos, mão-
de-obra, esforços de cobrança e outros encargos; 
- a inflação verificada no período; 
- o risco associado ao empréstimo; 
- spread desejado (margem de ganho pretendida com a operação). 
 
Sob o ponto de vista do tomador de recursos, os juros a serem pagos irão variar 
em função do volume de recursos tomado, do prazo do empréstimo e da sua própria 
idoneidade. De qualquer forma, ao tomar dinheiro emprestado, este agente econômico 
deverá ter em mente se as receitas provenientes do investimento destes recursos serão 
capazes de cobrir os juros a serem pagos. 
 
Síntese de Conceito de Juros: 
a) Dinheiro pago pelo uso de capital emprestado, ou seja, custo do capital de 
terceiros, colocado à nossa disposição.(Despesa) 
b) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas, ou, ainda, a 
remuneração paga pelas instituições financeiras pelo capital empregado. (Receita) 
 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
 
35 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
Regime de capitalização é o processo de formação dos juros. São dois os 
regimes de capitalização: 
1. Regime de capitalização a juros simples: 
Por convenção, apenas o capital inicial rende juros, isto é, o juro formado a 
cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital, para, também, render 
juro no período seguinte; dizemos, nesse caso, que os juros não são capitalizados. 
 
 
2. Regime de capitalização a juro composto: 
O juro formado no fim de cada período é incorporado ao capital que tínhamos 
no início desse período, passando esse montante a render juro no período seguinte; 
dizemos, então, que os juros são capitalizados. 
 
Diferença Entre Juros Simples E Juros Compostos 
n 
Juros Simples Juros compostos 
Juro por período Montante Juro por período Montante 
1 1.000 x 0,2 = 200 1.200 1.000 x 0,2 = 200 1.200 
2 1.000 x 0,2 = 200 1.400 1.200 x 0,2 = 240 1.440 
3 1.000 x 0,2 = 200 1.600 1.440 x 0,2 = 288 1.728 
4 1.000 x 0,2 = 200 1.800 1.728 x 0,2 = 346 2.073,40 
 
 FLUXO DE CAIXA 
 
Chamamos de Fluxo de Caixa (de uma empresa, de um investimento, de um 
indivíduo, etc.) o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa), ao longo do tempo. 
A representação do Fluxo de Caixa ao longo do tempo, pode ser feita através de 
quadros, ou, esquematicamente através do seguinte diagrama: 
 
 
 
 
 
 0 1 2 n 
 3 
 
 
36 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
O eixo horizontal representa o tempo, sendo subdividido em períodos unitários 
(dia, mês, bimestre, trimestre, ano, etc.). O ponto 0 é a data inicial ou data-zero, a partir 
da qual todas as demais encontram-se relacionadas. 
As setas voltadas para cima representam entradas de caixa e terão sinais 
positivos, as setas voltadas para baixo representam saídas de caixa e terão sinais 
negativos. 
Apesar de ser relativamente óbvio, o conceito de Diagrama de Fluxo de Caixa 
é extremamente relevante em Finanças, já que todos os problemas de Matemática 
Financeira envolvem, em última análise, o desenho de tal diagrama. 
 TAXA DE JUROS 
 
Expressa a razão entre os juros recebidos/pagos ao final do período de aplicação e o 
valor originalmente aplicado. É geralmente representada por "i". 
A taxa de juros é comumente representada sob a forma percentual: 
 
 
 
 
Exemplo: 10%, 20%, 55% 
 
A taxa de juros pode ser representada também na forma unitária: 
0,10 
0,53 
0,005 
 
Exemplo: 10 = 0,10 20 = 0,2 
 100 200 
 
Obs.: na solução de operações financeiras através das fórmulas 
matemáticas e teclas aritméticas, a taxa necessariamente deverá estar na forma 
unitária. 
Nas operações com o uso das teclas financeiras, a taxa, necessariamente, 
deverá estar na forma percentual. 
I(%) = juros . x 100 
 Valor aplicado 
 
37 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
JUROS SIMPLES 
 
No regime de capitalização simples, os juros gerados a cada período são 
calculados sobre o capital inicial empregado, não incidindo, portanto, sobre os juros 
acumulados. Portanto, os Juros são calculados sobre um capital que se conserva 
constante, durante o período de transação. 
1º) Os juros são diretamente proporcionais ao dinheiro (Capital) empregado ou 
emprestado; 
2º) Os juros são diretamente proporcionais ao tempo, durante o qual o capital é 
empregado ou emprestado; 
3º) Os juros são cobrados segundo uma taxa, chamada de taxa de juros. 
 
 
 
 
Capital = C Dinheiro emprestado ou empregado. 
Taxa = i 
Deve ser percentual (%), que representa juro recebido ou pago a 
cada $100,00, em um ano. 
Tempo = n Período de depósito ou de empréstimo. 
Juro = J 
Valor calculado sobre o dinheiro emprestado ou empregado, isto é, 
valor ganho pela aplicação ou a ser pago pelo empréstimo. 
 
É conveniente observarmos que os juros simples podem ser: 
 
Exatos: quando se emprega na unidade de tempo o calendário civil - ano com 
365 ou 366 dias; mês com 28, 29, 30 ou 31 dias, conforme o caso. 
Ordinários / Comerciais: quando se emprega na unidade de tempo o calendário 
comercial - ano com 360 dias e mês com 30 dias. 
Utilizaremos, em nosso curso, os juros ordinários (ano comercial), por ser usual nas 
instituições financeiras. 
 
 
J = C . I . N 
 
38 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 Utilização da HP-12C 
 
Para problemas envolvendo juros simples, a HP-12C dispõe de poucos recursos, 
diferentemente do que ocorre para o regime de capitalização composta. 
Na realidade, as funções da HP-12C envolvendo juros simples, só permitirão o 
cálculo em um sentido, ou seja, dada taxa i, o prazo n e o principal PV calcularemos o 
montante FV. 
Além disso, será necessária a transformação prévia do período n, que deverá ser 
expresso em dias e da taxa i, que deverá ser expressa no ano. 
 
 
 Roteiro Para Cálculos de Juros Simples na HP-12C 
 
a) Limpar todos os registradores com [ f ] [REG]. 
b) Digitar o Principal, trocar o seu sinal através de [CHS] e introduzir no 
registrador PV através da tecla [PV]. 
c) Digitar a taxa de juros anual expressa em % e, em seguida, teclar [ i ], para 
introduzi-la no registrador i. 
d) Digitar o prazo em dias e, em seguida, teclar [ n ], para introduzi-lo no 
registrador n. 
e) Teclar [ f ] [INT] para obter os Juros, na base de 360 dias. 
f) Teclar [ + ] para obter o Montante, na base de 360 dias. 
g) Caso deseje apresentar o valor dos juros acumulados na base de 365 dias, 
pressione [R] [ ], antes de pressionar a tecla [ + ]. 
 
 
 TAXAS DE JUROS 
 
 TAXAS PROPORCIONAIS 
 
Duas taxas são proporcionais quando seus valores em unidades de tempo diferentes 
(meses, bimestres, trimestres, etc.) formam valores de uma mesma proporção. 
 
39 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
 
 
 
 
Bimestral: a.b. = 30% a.a. 
 6 
Semestral: a.s. = 30% a.a. 
 2 
Mensal: a.m. = 30% a.a. 
 12 
Diária: a.d. = 30% a.a. 
 360 
iK = taxa proporcional 
ia = taxa informada ao ano 
k = número (mês, dia, ano), que será transformado para obter a taxa requisitada 
 Taxa de juro = i 
Quanto à taxa de juro, você deve saber que podem ocorrer taxas anuais, taxas 
semestrais, taxas trimestrais, taxas mensais e taxas diárias. 
Atenção: é bom lembrar que, no cálculo, a taxa e o tempo devem estar sempre 
relacionados numa mesma unidade, exceto para a HP-12C (taxa anual / período em 
dias). 
Exemplos: 
a) 92% ao ano, então, o tempo será dado em ano; 
b) 12% ao mês, então, o tempo será dado em mês; 
c) 5% ao dia, então, o tempo será dado em dia; 
 
Isto significa que: 
- Para calcular juro em dias, é conveniente usar uma taxa de juro ao dia. 
- Para calcular juro em meses, você deverá reduzir a taxa de juro ao mês. 
- Para calcular juro em ano, a taxa de juro deve estar calculada ao ano. 
 
Conversão da taxa e do tempo na mesma unidade: 
 iK = ia 
 K 
 
40 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
O mês comercial tem 30 dias 
O ano comercial tem 360 dias 
 
Exemplos: 
a) A taxa é 12% ao mês, mas devemos convertê-la para uma taxa anual. Basta 
multiplicar 12 % por 12, o que vem: 144% ao ano. 
 
b) A taxa é de 48% ao ano, mas devemos convertê-la para uma taxa diária. 
Basta dividir 48% por 360, o que vem: 
 48= 0,133333 % ao dia. 
 360 
 
c) O tempo é 2 anos, mas o devemos ao mês. Basta multiplicar 2 por 12, temos, 
então, 24 meses. 
 
 d) O tempo é 36 dias, mas devemos convertê-lo em ano. Basta dividir 36 por 360, 
temos, então: 
 36 .= 0,1 ano. 
 360 
 
Exemplos: 
1) Nosso cliente, a Cia. Marreta S/A, atrasou a liquidação de sua duplicata, no valor 
de $6.000,00, em 10 dias. A taxa de juros cobrada é de 0,4% ao dia, onde teremos o 
seguinte cálculo: 
J = C . i . n 
J = 6.000,00 x 0,004 x 10 
J = 240,00 
 
M = C + J 
M = 6.000 + 240 
M = 6.240 
 
 
 
Na HP-12C – Teclas Financeiras: 
[6.000] [CHS] [PV] 
[10] [ n ] 
[0,4] [ENTER] [360] [ x ] [ i ] 
[ f ] [INT] [valor dos juros no visor] 
[ + ] [valor do montante no visor] 
 
Na HP-12C – Cálculo em Cadeia: 
[taxa 0,4] [ENTER] [100] [  ] [10] [ x ] 
[6000] [ x ] [valor dos juros no visor] 
[6000] [ + ] [valor do montante no visor] 
 
41 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 Resposta: Juros: $ 240,00 
 Montante: $6.240,00 
 
 
 
2) Um indivíduo aplica $200.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de juros 
simples de 20% a.m.. Qual o valor dos juros e do montante a ser resgatado? 
J = C . i . n 
 
J = 200.000,00 x 0,2 x 3 
J = 120.000,00 
 
M = C + J 
M = 200.00,00 + 120.000,00 
M = 320.000,00 
 
 Resposta: Juros: $ 120.000,00 
 Montante: $ 320.000,00 
3) Se você tomar emprestado $1.400,00 para comprar uma motocicleta usada, para 
pagar num prazo de 2 anos, a uma taxa de 96% ao ano, quanto pagará de juro ao fim 
desse tempo? 
Dados: 
J = ? 
C = 1.400,00 
i = 96%a.a. / 100 = 0,96 
n = 2 anos 
 
J = C . i . n 
J = 1.400 x 0,96 x 2 
J = 2.688,00 
 
 Resposta: Você pagará $2.688,00 de juros. 
Na HP-12C: 
[200.00] [CHS] [PV] 
[ 3 ] [ENTER] [30] [ x ] [ n ] 
[20] [ENTER] [12] [ x ] [ i ] 
[ f ] [INT] [valor dos juros no visor] 
[ + ] [valor do montante no visor] 
Na HP-12C – Teclas Financeiras: 
[PV] [ i ] [ n ] [ f ] [INT] 
 
Na HP-12C – Cálculo em Cadeia: 
[Taxa] [ENTER] [100] [  ] [ n ] [ x ] [C] [ x ] 
[valor dos juros no visor] [C] [ + ] [valor do 
montante no visor] 
 
42 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
 
 
 
4) Um capital de $5.560, 00 foi empregado à taxa de 102% ao ano, durante 3 anos. 
Calcule os juros que esse capital rendeu. 
C = 5.860,00 
i = 102%a.a. / 100 = 1,02 a.a. 
n = 3 anos 
J = ? 
 
J = C . i . n 
J = 5.860 x 1,02 x 3 
J = 17.931,60 
 
 Resposta: Os juros foram de $17.931,60. 
 
 
MONTANTE (M) OU CAPITAL ACUMULADO (SIMPLES) 
 
Define-se como Montante a soma do capital inicial (ou valor atual) com o juro 
(rendimento) relativo ao período de aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
O Montante ou Capital Acumulado é a soma do capital inicial empregado com o juro. 
Resolver na HP-12C – Teclas Financeiras: 
 
 
– Cálculo em Cadeia: 
 
 
MONTANTE = CAPITAL + JURO 
 
M = C + J 
 
43 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Qual o montante produzido por $5.000,00, ao fim de 2 anos, sendo a taxa anual 
de 15%? 
Solução1: 
Primeiramente calculamos o juro: 
Dados: 
M = ? 
C = 5.000,00 
n = 2 anos 
i = 15% a.a. = 0,15 a.a. 
J = ? 
 
J = C . i . n 
J = 5.000,00 x 0,15 x 2 
J = 1.500,00 
 
Agora, basta somar capital e juro: 
 M 
 1 + in 
M = . N . - 1 
 . C . 
 M 
C = 
 i = 
M = . i .- 1 
 . C . 
 M 
 n = 
 
M = C (1 + in) 
Na HP-12C: 
[5.000] [CHS] [PV] 
[ 2 ] [ENTER] [360] [ x ] [ n ] 
[15] [ i ] 
[ f ] [INT] [valor dos juros no visor] 
[ + ] [valor do montante no visor] 
 
44 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
M = C (1 + in) M = 75.000,00 (1 
+ 0,025 x 8) M = 90.000,00 
Montante = 5.000,00 + 1.500,00 = 6.500,00 
 Resposta: O montante será de $6.500,00 
 
 
 
Solução 2: 
Dados: 
M = ? 
C = 5.000,00 
n = 2 anos 
i = 15% a.a. = 0,15 a.a. 
 
M = C (1 + in) 
M = 5.000 (1 + 0,15 x 2) 
M = 6.500 
 
 
2) Calcule o montante produzido por um capital de $75.000,00 aplicado à taxa 
anual de 30%, durante 8 meses. 
Dados: 
C = 75.000,00 
n = 8 meses 
i = 30% a.a. / 100 = 0,30 a.a. / 12 = 0,025 a.m. 
M = ? 
J = ? 
 
 
J = C . i . n 
J = 75.000,00 x 0,025 x 8 
J = 15.000,00 
 
 Resposta: O montante será de $90.000,00 
 
Na HP-12C – Cálculo em Cadeia: 
[Taxa 15] [ENTER] [100] [  ] [ 2 ] 
[ x ] [ 1 ] [ + ] [5000] [ x ] 
 
Resolver na HP-12C – Cálculo 
em Cadeia: [Taxa] [ENTER] [100] 
[  ] [ n ] [ x ] [ 1 ] [ + ] [C] [ x ] 
Resolver na HP-12C – Teclas 
Financeiras: 
[PV] [ i ] [ n ] [ f ] [INT] 
 
45 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
3) A empresa de Automóveis Lagoa Veículos Ltda. pegou emprestado, junto 
ao Banco Desenvolvidos, a quantia de $1.000,00, por 2 meses, cuja taxa foi de 6% a.t.. 
Quanto será o montante a pagar, ao final de 2 meses? 
C = 1.000,00 
n = 2 meses 
M = ? 
i = 6% a.t. 
 
Cálculo da taxa proporcional 
i = 6% a.t. 0,06 at. 2% a.m. 
 3 3 
A taxa trimestral é transformada para mês, porque o período é de 2 meses. 
Uma vez conhecendo a taxa, temos: 
M = C (1 + in) 
M = 1.000,00 (1 + 0,02 x 2) 
M = 1.000,00 (1,04) 
M = $1.040,00 
 
 Exercícios Propostos: 
 
1) Determine o capital que, aplicado a 96% ao ano, durante 2 anos, rendeu 
$9.600,00.  Resposta: $5.000,00 
 
2) Um capital de $8.000,00, aplicado durante 3 anos, rendeu $23.040,00 de 
juros. Qual foi a taxa de aplicação?  Resposta: 96% a.a. 
 
3) Durante quanto tempo esteve empregado o capital de $3.500,00, a 90% ao 
ano, para render $6.300,00 de juros?  Resposta: 2 anos 
 
4) Calcule o juro obtido na aplicação de $860,00, à taxa de 12% ao ano, 
durante 6 meses?  Resposta: $51,60 
Na HP-12C – Cálculo em Cadeia: 
[Taxa] [ENTER] [100] [  ] [ n ] [ x ] [ 1 ] 
[ + ] [C] [ x ] 
Na HP-12C – Teclas Financeiras: 
[PV] [ i ] [ n ] [ f ] [INT] 
 
46 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
5) O capital de $12.000,00 foi aplicado à taxa de 12% ao ano, durante 5 anos. 
Quanto rendeu de juros?  Resposta: $7.200,00 
 
6) Emprestando $50.000,00, à taxa de 35% ao ano, durante 2 anos, quanto 
deverei receber de juros?  Resposta: $35.000,00 
 
7) Uma pessoa aplica certa quantia durante 800 dias, à taxa de 40% ao ano e 
recebe $20.000,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada?  Resposta: $22.500,00 
 
8) A quantia de $50.000,00 foi aplicada durante 745 dias e rendeu, de juros, 
$16.000,00. Qual foi a taxa diária e a anual de aplicação?  Resposta: 0,0429% ao dia 
e 15,4630% ao ano 
 
9) A Indústria de Artefatos Plásticos Práticos Ltda constatou que, nos 
levantamentos efetuados pelos consultores, quatro títulos a pagar estavam em atraso 
com os seguintes dados: 
Título Valor 
Data 
Vencimento 
Taxa de Juros 
Data 
Pagamento 
Dias Atraso 
4356 $4.000,00 20/08/2002 5,6 am % 30/09/2002 dias 
2345 $3.000,00 30/08/2002 6,5 am % 30/09/2002 dias 
8899 $1.000,00 15/09/2002 9,0 am % 30/09/2002 dias 
7766 $1.500,00 10/09/2002 80, am % 30/09/2002 dias 
 
Calcule o valor atualizado dos títulos. 
 
10) Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de $20.000,00, aplicado 
a uma taxa de 150%a.a., por 218 dias.  Resposta: J = $18.166,67 M = $38.166,67 
 
11) Se aplicarmos $8.000,00, no sistema de juros simples, pelo prazo de 3 meses (90 
dias), à taxa de 200% a.a., qual será o montante no finaldo prazo, considerando o 
calendário civil?  Resposta: $11.945,20 
 
 
47 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
12) A empresa de automóveis Campos Ltda. pegou emprestado junto ao 
banco, a quantia de $1.000,00, por 2 meses, cuja taxa foi de 6 % a. t.. Qual será o 
montante a pagar no final de dois meses?  Resposta: $1.040,00 
 
13) Se você tomar emprestado $1.440,00 para pagar num prazo de 36 meses, a 
uma taxa de 42% a.s., quanto pagará de juro, ao fim desse tempo?  Resposta: 
$3.628,80 
 
14) Qual o valor dos juros de um capital de $5.860,00, empregando à taxa de 
102% a.a., durante 28 meses?  Resposta: $13.946,80 
 
15) Determine o capital que, aplicado a 4% a.s., durante 2 anos, rendeu 
$9.600,00.  Resposta: $60.000,00 
 
16) A que taxa mensal foi aplicado um capital de $14.000,00, durante 1 ano, 
que rendeu $23.040,00 de juros?  Resposta: 6,6718% 
 
17) Durante quanto tempo esteve aplicado o capital de $70.000,00, a 7% a.b., 
para render $6.300,00 de juros?  Resposta: 1,2857 bimestre ou 38,57 dias 
 
18) Calcule o juro obtido na aplicação de $2.000,00, à taxa de 12% a.a., 
durante 14 quadrimestres.  Resposta: $1.120,00 
 
19) Qual o montante produzido por $5.000,00, ao fim de 2 anos, sendo a taxa 
quadrimestral de 6%?  Resposta: $6.800,00 
 
20) Calcule o montante produzido por um capital de $75.000,00, aplicado à 
taxa anual de 30%, durante 8 meses e 22 dias.  Resposta: $91.375,00 
 
21) Um cliente atrasou a liquidação de sua duplicata no valor de $6.000,00, em 
10 dias. A taxa de juros cobrada é de 12% a.a.. Qual será o novo valor da duplicata a ser 
paga?  Resposta: $ 6.020,00 
 
 
48 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
22) Qual será o valor dos juros e o montante resultante da aplicação de 
$5.000,00, à taxa anual de 20%, durante 3 anos, 8 meses e 26 dias.  Resposta: 
$8.738,88 
 
23) Um investidor aplicou um capital a uma taxa simples de 40% a.a.. Depois 
de 18 meses, resgatou o principal e seus juros e aplicou tudo a 60% a.a. linear, pelo 
prazo de 10 meses, retirando, no fim deste prazo, a quantia de $240.000,00. Determinar 
o valor da aplicação inicial.  Resposta: $100.000,00 
 
DESCONTO 
 
Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título 
de crédito é resgatado antes de seu vencimento. 
É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, em 
que o portador de títulos de créditos (Letra de Cambio, Notas Promissórias, Duplicatas, 
ou até mesmo Cheques) pode levantar fundos, descontando tais títulos de crédito antes 
da data de vencimento. 
 
TÍTULO DE CRÉDITO 
 
É o comprovante de uma dívida que é entregue ao credor, quando uma pessoa 
deve uma quantia em dinheiro, que será quitada em uma época futura. 
 
Os títulos de crédito mais utilizados são: 
 
Duplicata - É um título emitido por uma Pessoa Jurídica contra um cliente que 
tenha comprado uma mercadoria ou serviço a prazo. 
 
Nota Promissória - É um comprovante de aplicação de um capital com um 
vencimento pré-determinado. Esse título pode ser usado para Pessoas Físicas, Pessoas 
Jurídicas e Instituições Financeiras. 
 
 
49 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
Onde: 
Letra de Câmbio - Assim como a Nota Promissória, é também um 
comprovante de aplicação de um capital com um vencimento pré-determinado, porém, é 
um título ao portador e só pode ser emitido por uma Instituição Financeira. 
 
Pela sistemática de capitalização simples, o desconto pode ser classificado em 
duas modalidades: 
 Desconto Comercial Simples (também chamado desconto por fora). 
 Desconto Racional (também chamado desconto por dentro). 
 
 DESCONTO COMERCIAL 
Chamamos de desconto comercial ou por fora, o equivalente ao juro simples 
produzido pelo valor nominal do título, no período de tempo à taxa fixada. 
 
 
Fórmulas: 
Dc = N – Vac 
Dc = N . i . n 
Vac = N (1 – i . n) 
Vac = N – Dc 
 
 
 
Exemplo: 
Um título de $6.000,00 é descontado à taxa de 40% a.a., 4 meses antes do 
vencimento: 
Dc = N . i . n 
N = $6.000,00 
i = 40% a.a., logo: 40  100 = 0,40 a.a. 0,40 a.m. 
 12 
Dc = 6.000,00 x 0,40 x 4 = $ 800,00 
 12 
Vac = Valor Atual Comercial / Valor Descontado 
Comercial 
N = Valor Nominal / Valor Futuro / Valor de Face 
Dc = Desconto Comercial 
i = Taxa de desconto 
n = Período de antecipação 
 
 
 
 
50 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
Resolver na HP-12C – Cálculo 
em Cadeia: 
 
VALOR ATUAL COMERCIAL / VALOR DESCONTADO 
 
Vac = N (1 – i . n) 
Vac = 6.000 (1 – 0,0333333 x 4) 
Vac = 6.000,00 x 0,86666 = $5.200,00 
Então, quem descontar o título no valor de $6.000,00, à taxa de 40% a.a., 04 
meses antes do vencimento, irá receber $5.200,00 e o valor do desconto, conforme 
calculamos, é de $800,00. 
 
1) Um título de $60.000,00 vai ser descontado à taxa de 1,4% ao mês. Faltando 45 
dias para o vencimento do título, determine: 
a) O valor do desconto comercial 
b) O valor atual comercial (valor líquido) 
 
 
 
Solução: 
N = 60.000,00 
i = 1,4% a.m., logo: 0,014  30 = 0,00047 a.d. 
n = 45 dias 
 
Dc = N . i . n 
Dc = 60.000,00 x 0,00047 x 45 
Dc = $1.269,00 
 
O Desconto Comercial é de $ 1.269,00. 
Vac = N – Dc 
Vac = 60.000,00 – 1.269,00 
Vac = $58.731,00 
O Valor atual comercial (valor líquido) é de $58.731,00, onde podemos obter o 
mesmo resultado através da fórmula: 
Vac = N (1 – i . n) 
Resolver na HP-12C – Cálculo 
em Cadeia: 
 
 
 
Resolver na HP-12C – Cálculo 
em Cadeia: 
 
 
 
 
51 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
Vac = 60.000 (1 – 0,00047 x 45) 
Vac = $58.738,00 
ou seja, o mesmo resultado. 
 
2) Uma duplicata de $20.000,00 foi resgatada, antes de seu vencimento, por 
$19.000,00. Calcule o tempo de antecipação (em meses), sabendo que a taxa de 
desconto comercial foi de 30% ao ano. 
Solução: 
N = 20.000,00 
A = 19.000,00 
i = 30% a.a. 0,30 a.a. 0,025 a.m. 
 
Vac = N (1 – i . n) 
19.000,00 = 20.000,00 (1 - 0,025 x n) 
19.000,00 = 1 - 0,025 x n 
20.000,00 
0,95 = 1 -0,25n 
0,95 - 1 = -0,025n (-1) 
 
n = . 0,05 = 2 
 0,025  Resposta: 2 meses 
 
 
DESCONTO BANCÁRIO 
 
É o Desconto Comercial acrescido de uma taxa bancária. 
 
Fórmulas: 
Db = N (i . n + h) Onde: 
Db = N – Db 
Vab = N [1 – ( i . n + h)] 
Vab = N – Db 
 
Exemplo: 
Uma pessoa retira do banco Alfa um empréstimo (pagamento dos juros 
antecipados), por 3 meses, no valor de $500.000,00. Se a taxa de juros for de 26 % a.a. 
Db = Desconto Bancário 
Vab = Valor atual Bancário 
N = Valor nominal / Valor Futuro / Valor de Face 
i = Taxa de Desconto 
h = Taxa administrativa 
n = Período de Antecipação 
Resolver na HP-12C – Cálculo 
em Cadeia: 
 
52 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
e, além disso, o banco cobrar 1% a título de despesas administrativas, qual será o 
desconto bancário? 
Resolução: 
N = 500.000,00 
i = 26% a.a., logo: 26  12 = 2,17 a.m. 
n = 3 meses 
h = 1% 
 
Db = N (in + h) 
Db = 500.000,00 x (0,0217 x 3 + 0,01) 
Db = $37.550,00 
O Desconto Bancário é de $ 37.550,00. 
 
Vab = N – Db 
Vab = 500.000,00 – 37.550,00 
Vab = $462.450,00 
 
Valor atual bancário (valor líquido) é de $462.450.00, onde podemos obter o mesmo 
resultado através da fórmula: 
Vab = N [1 – (in + h)] 
Vab = 500.000 [1 – (0,0217 x 3 + 0,01)] 
Vab = $462.450,00 
ou seja, o mesmo resultado. 
 
 
TAXA EFETIVA DE DESCONTOÉ a taxa realmente paga na operação. É a taxa de juros que, aplicada ao valor 
atual, ou seja, ao valor líquido recebido, produzirá um montante igual ao valor da 
operação. 
 
Fórmula: 
if = Dc 
If = Taxa Efetiva de Desconto 
Dc = Desconto Comercial 
Vac = Valor Atual Comercial / Valor 
Descontado Comercial 
n = Período de Antecipação 
Resolver na HP 12C – Cálculo 
em Cadeia: 
 
53 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 Vac x n Onde: 
 
 
 
Obs.: Para calcular a taxa efetiva de desconto bancário basta utilizarmos na 
fórmula da taxa efetiva o desconto bancário e o valor atual bancário. 
 
Fórmula: 
if = Db 
 Vab x n Onde: 
 
 
Exemplo: 
Um empresário desconta uma duplicata no valor de $1.500,00, 30 dias antes de 
seu vencimento, à taxa de 5% a.m.. Qual o valor do desconto e o valor líquido recebido? 
Dc = N . i . n 
Dc = 5.000 x 0,05 x 1 
Dc = 75,00 
 
Vac = N – Dc 
Vac = 1.500 – 75 
Vac = 1.425 
 
If = . Dc . 
 Vac x n 
 
If = . 75 . If = 0,05263157 x 100 If = 5,263157% 
 1425 x 1 
 
Comprovação: 
$1.425 + 5,263157% = $1.500,00 
 
 
Taxa nominal = taxa dada na operação, neste caso, 5% a.m.. 
If = Taxa Efetiva de Desconto 
Db = Desconto Bancário 
Vab = Valor Atual Bancário 
n = Período de Antecipação 
 
54 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
Taxa efetiva = taxa obtida na operação, através dos cálculos 5,26%. 
 
Por que isso ocorre? 
 
Quando se efetuam os cálculos do desconto, a base de cálculo utilizada é o 
valor nominal do título (neste caso $1.500,00), o que produz juros maior, recebendo, 
como valor líquido, $1.425,00, que é o valor efetivamente utilizado. Entretanto, ao 
pagar a duplicata ao final do período (neste caso 30 dias), o valor a ser pago será 
$1.500,00 e não $1.425,00. Esta diferença de $75,00 representa 5,26% sobre $1.425,00, 
que somados alcançarão $1.500,00. Considera-se que, para partir de $1.425,00 e 
alcançar $1.500,00, é necessário 5,26% de juros, aplicados sobre a nova base de cálculo, 
para se obter o valor inicial da operação. 
 
Exemplo: 
1) Um título de $60.000,00 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 
dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de $1.890,00, calcule 
a taxa de juro efetiva ao mês. 
N = 60.000,00 
d = 1.890,00 
n = 45 dias 
 
A = N – d 
A = 60.000,00 – 1.890,00 
A = $58.110,00 
 
if = . d . if = . 1.890 . iif = . 1.890 . . 
 A x n 58.110 x 45 2.614.950 
 
if = 0,0007227 if = 0,000723 a.d. if = 0,02168 a.m. 
logo, if = 2,168301% a.m. 
 
 
Resolver na HP-12C – Cálculo em 
Cadeia: 
 
55 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
 
 
 
 
 Método Prático Para Cálculo da Taxa Efetiva de Desconto, a Partir da 
Taxa de Desconto na HP-12C 
 
1) Taxa Nominal [ENTER] 
2) [100] [ENTER] Taxa Nominal [ – ] 
3) [  ] 
4) [100] [ x ] 
Nota: Observar o período a que se refere a taxa e o prazo de desconto. 
 
Exercícios: 
 
a) Calcular a taxa efetiva de uma operação de desconto para 30 dias, sabendo que a 
taxa nominal é de 4,5% a.m..  Resposta: 4,71% a.m. 
 
b) Calcular a taxa efetiva de uma operação de desconto para 23 dias, sabendo que a 
taxa nominal de desconto é de 3,8% a.m..  Resposta: 3,00% em 23 dias. 
 
Exercícios: 
1. Ao pagar um título de $36.000,00 com antecipação de 90 dias, recebo um 
desconto de $4.860,00. Qual é a taxa de desconto a.a.?  Resposta: 54% a.a. 
 
2. Determine o desconto de uma promissória de $30.000,00, à taxa de 10% a.a., 
resgatada 75 dias antes do vencimento:  Resposta: $625,00 
 
 
56 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
3. Alves Ltda. descontou uma duplicata cujo valor líquido é $234.375,00, 50 
dias antes de seu vencimento, à taxa de 45% a.a.. Qual o valor nominal? 
 Resposta: N = $250.000,00 
 
4. A Empresa Atacadão Ltda. descontou uma Nota Promissória 4 meses antes 
de seu vencimento, à taxa de 26% a.a.. Sabendo que o valor atual comercial foi de 
$18.266,67, qual seria seu valor nominal?  Resposta: N = $20.000,00 
 
5. O presidente da Empresa Dito e Feito quer saber o desconto bancário em 
uma operação, onde o valor nominal é de $7.000,00 e o prazo de antecipação é de 105 
dias. Considerar juros correntes de 23,5 % a.a. e a taxa administrativa de 1,5%.  
Resposta: DB = $584,79 
 
6. Um comerciante desconta, em um banco, uma Nota Promissória para 90 dias, à 
taxa de 3% a.m.. Sabendo que o líquido creditado para o comerciante foi de 
$108.000,00, qual o valor da Nota Promissória?  Resposta: $118.681,32 
 
7. Qual o valor do desconto e o valor atual de um título de $9.000,00 descontado à 
taxa de 40% a.a., 29 dias antes de seu vencimento?  Resposta: Valor do desconto = 
$290,00 Valor atual do título = $8.710,00 
 
8. Um título de $60.000,00 vai ser descontado à taxa de 1,4% a.m., faltando 45 
dias para o seu vencimento. Determine o valor do desconto e o valor atual do título:  
Resposta: Valor do desconto = $1.933,33 Valor atual do título = $58.066,67 
 
9. Uma duplicata de $30.000,00 foi resgatada, antes de seu vencimento por 
$27.000,00. Calcule o tempo de antecipação (em meses), sabendo que a taxa de 
desconto comercial foi de 30% a.a..  Resposta: 2,5 meses 
 
10. Um título de $80.000,00 foi descontado à taxa de 4% a.m., faltando 54 dias 
para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de $5.759,99, calcule a 
taxa de juros efetiva ao mês.  Resposta: if = 4,3103% a.m. 
 
57 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
11. Uma nota promissória, no valor de $10.000,00 em seu vencimento, foi 
descontada 2 meses antes de seu prazo de resgate. Sabendo que a taxa de desconto 
comercial era de 28% a.a., qual foi o valor do desconto, qual o valor atual comercial e 
qual a taxa efetiva da operação?  Resposta: Desconto = $466,67 Valor Atual = 
$9.533,33 if = 4,8951% 
 
12. O desconto comercial de um título foi de $2.420,00, adotando-se uma taxa 
de juros de 44% a.a.. Quanto tempo faltava para o vencimento do título, sendo seu valor 
nominal de $22.000,00?  Resposta: 3 meses 
 
13. Um título foi descontado 56 dias antes de seu vencimento, e o valor do 
desconto comercial foi de $1.470,00. Sabendo que a taxa de juros foi de 27% a.a., 
calcule o valor nominal e a taxa efetiva da operação:  Resposta: N = $35.000,00 if = 
4,3841% 
 
14. Um banco cobra, em suas operações de empréstimos, com o pagamento de 
juros antecipados, a taxa administrativa de 2% e sua taxa de juros corrente é de 29 % 
a.a.. Qual o valor, por 3 meses, que deverá um cliente pedir a esse banco, se necessitar 
de $10.000,00?  Resposta: $11.019,28 
15. No desconto de um título de $15.000,00, pelo prazo de 6 meses de 
antecedência, o cliente recebeu o valor líquido de $12.525,00. Se a taxa de juros for 
fixada em 27 % a.a., existirá taxa de serviço cobrada no desconto bancário?  
Resposta: Taxa no valor de 3% 
 
16. Uma duplicata com prazo de vencimento de 2 meses foi descontada em um 
banco, proporcionando-lhe uma taxa efetiva de juros simples igual a 3% a.m.. Qual a 
taxa de desconto atualizada?  Resposta: Taxa de desconto atualizado = 2,83% a.m. 
 
 
DESCONTO RACIONAL 
 
 
58 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
Chamamos de desconto racional ou desconto por dentro, o equivalente ao juro 
produzido pelo valor atual do título, em uma taxa fixada durante o tempo 
correspondente. 
É o desconto obtido entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso 
que seja “saldado” n períodos, antes do vencimento.Não apresenta nenhuma aplicação relevante nas operações bancárias ou 
comerciais. 
Assim sendo, é abordado por uma questão meramente didática. 
Freqüentemente, é cobrado em concursos. 
 
Obs.: Sendo o desconto racional o equivalente ao juro simples produzido 
pelo valor atual do título, podemos concluir que a taxa de desconto da operação é 
também a própria taxa efetiva da operação. 
 
Fórmulas: 
Dr = Nin 
 1+ in Onde: 
 
Var = N . 
 1 + in 
 
 
 
Exemplo prático: 
Uma duplicata, de valor nominal igual a $2.531,65, é descontada 105 dias 
antes de seu vencimento, a uma taxa simples de 6% ao mês. Nas modalidades de 
desconto comercial e racional simples, calcular o valor de resgate, o desconto e a taxa 
efetiva para as duas operações. (comparar os dois processos) 
 
 
 
 
 
Dr = Desconto Racional 
N = Valor Futuro / Valor de Face / Valor Nominal 
i = Taxa de Desconto 
n = Período de antecipação 
Var = Valor Atual Racional / Valor Presente de 
uma capitalização simples 
Desconto Racional R = 
2.092,27 
R = 439,38 
If = 6% a.m. 
Desconto Comercial 
R = 2.000 
R = 531,65 
If = 7,5949 a.m. 
 
59 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
Solução A: 
Vac = 20.000 (1 – 0,001 x 65) 
Vac = 19.400 
 
 
 
 
Solução B: 
Vac = 40.000 (1 – 0,001 x 65) 
Vac = 37.400 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM UM CONJUNTO DE TÍTULOS (NO CASO DE 
DUPLICATAS, CHAMADO BORDERÔ) 
 
 
Caso tenhamos um conjunto de Títulos, o seu valor atual comercial (valor 
líquido) é a soma dos valores atuais de cada título. 
 
Exemplo: 
Uma empresa apresenta o seguinte conjunto de duplicatas (borderô), para ser 
descontado em um bando, à taxa de 3% ao mês. 
Duplicata Valor Prazo de Vencimento 
A 20.000,00 30 dias 
B 40.000,00 65 dias 
C 80.000,00 82 dias 
 
O resultado poderia ser obtido, efetuando-se a soma do valor atual de cada 
título, que pode ser obtido pela fórmula: 
Dc = N – Vac 
DC = N . i . N 
Vac = N (1 – i . n) 
Vac = N – Dc 
 
ou 
 
Calculando o prazo médio de um conjunto de títulos  Chama-se prazo médio 
de um conjunto de títulos o prazo em que devemos descontar o valor total do conjunto, 
a uma taxa de desconto comercial, para obter o mesmo resultado que a soma dos 
descontos de cada título, à mesma taxa de desconto. 
 
Formula do Prazo Médio: 
 
 
60 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
n = N1n1 + N2n2 + N3n3 ............Npnp 
 N1 + N2 + N3 .................... Np 
 
Fórmula da Taxa Média: 
i = N1 i1 + N2i2 + N3i3 ............Npip 
 N1 + N2 + N3 .................... Np 
 
 Exercícios: 
 
1. Em cada borderô, a seguir, suponha que as duplicatas sejam descontadas à 
taxa de desconto (ver borderô) ao mês. Obtenha o valor líquido de cada borderô: 
Duplicata Valor Prazo de Vencimento Taxa = 3,5% a.m. 
A 45.000,00 25 dias 
B 60.000,00 15 dias 
C 45.000,00 22 dias 
 
 n = 20,1 
Vac = 146.482,50 
 
Duplicata Valor Prazo de Vencimento Taxa = 6% a.m. 
A 30.000,00 20dias 
B 49.000,00 35 dias 
C 56.000,00 42 dias 
 n = 34,57037037 
Vac = 125.666,00 
 
Duplicata Valor Prazo de Vencimento Taxa = 4,8% a.m. 
A 44.000,00 15 dias 
B 45.000,00 19 dias 
C 49.000,00 36 dias 
 n = 24,58783784 
Vac = 142.177,60 
 
61 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
 
Com relação aos dados do exercício da página anterior, calcule o prazo médio 
de cada borderô e mostre que, descontando o valor total de cada borderô, no seu prazo 
médio, à taxa dada, chega-se aos mesmos valores líquidos do exercício anterior. 
 
2. A Larson Ltda. é uma empresa comercial que atua no mercado de motores 
elétricos. Como opera com um sistema de crédito para vendas a prazo, é comum possuir 
um alto valor em duplicatas a receber. Ocorre que a empresa está com pequena 
deficiência de caixa e necessita liquidar uma dívida com seus fornecedores, no valor de 
$39.000,00. Sabendo que a empresa fornecedora aceita prorrogar a dívida por 12 dias, 
porém cobra uma taxa mensal de 8% de juros, e que, uma certa instituição financeira 
ofereceu a Larson, uma operação de desconto de duplicatas, à taxa mensal de 7,5% a.m., 
a Larson deseja saber qual o valor, em duplicatas precisa descontar pelo mesmo prazo 
da prorrogação da dívida, e se a operação financeira é viável?  Resposta: A operação 
é viável if = 7,73% a.m. N = $40.206,18 
 
3. Três duplicatas (uma de $25.000,00 e 18 dias até o vencimento, outra de 
$35.000,00 e 17 dias até o vencimento e outra de $40.000,00 e 38 dias até o 
vencimento) foram descontadas, num banco, à taxa de 4% a.m.. Qual o valor líquido do 
Borderô, o prazo e a taxa média de desconto da operação financeira?  Resposta: Vac 
= $95.580,00 n = 25,65 if = 4% 
 
 
Exercícios para revisão e encerramento (capitalização simples): 
 
1. Uma duplicata no valor de $1.600,00 foi descontada, a uma taxa de 0,5 % 
a.d.. O valor atual recebido é de $1.400,00. Qual foi o período de antecipação e qual a 
taxa efetiva da operação?  Resposta: 25 dias if = 14,285714% 
 
2. Um comerciante pretende descontar um cheque no valor de $3.600,00, 12 
dias antes de seu vencimento. A taxa de juros cobrada pelo banco é de 61% ao ano e 
 
62 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
também uma taxa de serviços de 1,5% . Qual o valor do desconto, o valor atual recebido 
pelo comerciante e a taxa efetiva da operação?  Resposta: Desconto = $127,20 Valor 
atual = $3.472,80 Taxa Efetiva = 3,6627% 
 
3. Uma duplicata de valor nominal de $2.700,00 foi paga 5 dias após o seu 
vencimento. Sabendo que a empresa cobra 11% de multa e juros de mora de 9% a.m., 
qual o valor dos juros e o valor total a ser pago?  Resposta: $3.037,50 
 
4. Um comerciante efetuou um empréstimo em um banco por um período de 2 
meses e 17 dias, a uma taxa de 78 % a.a., sendo que após o vencimento, devolveu ao 
banco o valor total de $6.000,00. Qual foi o valor tomado emprestado pelo comerciante? 
(capitalização simples)  Resposta: $5.142,12 
 
5. Uma duplicata foi descontada, 17 dias antes de seu vencimento, por 
$2.300,00. Se a taxa de desconto foi de 88% a.a., qual o valor da duplicata e qual a taxa 
efetiva da operação?  Resposta: $2.399,72 if = 4,3357 
 
6. Aplicando a quantia de $5.000,00, por 3 anos, 6 meses e 16 dias, à taxa de 
25 % a.s., quanto receberei de juros e qual o montante final? (Capitalização simples) 
... Resposta: J = $8.861,11 M = $13.861,11 
 
7. O capital de $2.500,00 foi aplicado à taxa de 12 % ao semestre durante 14 
meses e 19 dias. Determine o montante: (capitalização simples)  Resposta: 125% a.m. 
 
8. Resolva: capitalização simples 
Capital = A Capital = B 
Taxa = ? Taxa = 45% ao ano 
Período 24 dias Período = ? 
Montante = O dobro do capital A Montante = O Triplo do 
capital B 
 Resposta: i = 3% C = $10.000 
 
 
63 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
9. Uma pessoa deposita uma determinada importância em uma instituição 
financeira. No final de três meses, ao encerrar sua conta, verificou que o valor 
inicialmente depositado, acrescido dos juros creditados, totalizou $10.900,00. Esse valor 
é, então, integralmente depositado em outra instituição financeira, por um prazo de 
cinco meses. No final desse período, o montante acumulado na segunda instituição 
financeira totalizava $12.535,00. Sabendo-se que ambas as instituições remuneram seus 
depósitos a juros simples e a uma mesma taxa, determinar o valor do depósito inicial na 
primeira instituição e a taxa de juros das duas instituições: Resposta: R = $10.000,00 
 
10. Proprietário de uma empresa comercial, que atua no ramo de móveis para 
residência, verifica que possui $12.000,00 de duplicatas, com vencimento para 30 dias. 
A empresa não possui problemas de liquidez, mas recebe de um banco a proposta de 
desconto de duplicatas, à taxa de 3% a.m., com mais 1% de taxa administrativa. O 
mesmo banco oferece ao proprietário uma aplicação financeira para 30 dias 
(capitalização simples), com taxa de rentabilidade de 49,08% a.a.. Deve o proprietário 
da empresa efetuar essa operação financeira? Comprove sua resposta e indique a partir 
de que taxa de rentabilidade, seria interessante a operação financeira para a empresa.  
Resposta: acima de 50% a.a. 
 
 
JUROS COMPOSTOS - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA - 
CAPITALIZAÇÃO EXPONENCIAL 
 
No regime de juros compostos, os juros incidirão sobre o saldo existente no 
início de cada período. Considerando que o conceito de Montante não muda, ou seja, "o 
montante é igual ao capital inicial acrescido dos juros", uma outra forma de 
interpretarmos a definição acima seria: "o regime onde os juros de cada período 
incidem sobre o montante acumulado no período anterior". 
O regime de juros compostos é o mais comum no dia-a-dia, no sistema financeiro e 
no cálculo econômico. Nesse regime, os juros gerados a cada período são incorporados 
ao principal (capital) para o cálculo dos juros do período seguinte, ou seja, o rendimento 
 
64 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
gerado pela aplicação será incorporado a ela, passando a participar da geração do 
rendimento no período seguinte. Dizemos, então, que os juros são capitalizados. 
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao capital. 
No regime de capitalização composta, o dinheiro cresce mais rapidamente do que no 
regime de capitalização simples. 
Fórmulas: 
M = C + J Onde: 
J = M – C 
M = C (1 + i)n ou J = C [(1 + i)n - 1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas: 
 
 
 
 
 
 
 Utilização da HP-12C 
 
Você deve ter reparado que as fórmulas envolvendo Juros Compostos são um 
pouco mais complicadas que as envolvendo Juros Simples. 
FV / M = Montante / Valor Futuro 
PV / C = Capital / Valor Presente 
i = Taxa de juros Composta 
n = Período 
J = Juros 
 
M = C (1 + i)n 
FV = PV (1 + i)n 
C = M ou C = M (1 + i)n 
 (1 + i)n 
 n 
 i = M -1 . 100 
 C 
 
 
 
n = (log m/n ) 
 log (1 + i) 
 
65 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
Uma boa alternativa para o cálculo de problemas, envolvendo Juros 
Compostos, é a utilização da HP-12C, que possui funções bastante eficientes para tal 
fim. 
Para operarmos corretamente a HP-12C, deveremos respeitar a seguinte 
convenção: 
- Dinheiro recebido (seta para cima no D.F.C.) deverá ser positivo. 
- Dinheiro pago (seta para baixo no D.F.C.) deverá ser negativo. 
 
 
 FV = ? 
 
 i = 12,5%a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 0 1 2 3 
 Meses 
153.000,00 
 
 
 
 
CONHECENDO O TECLADO FINANCEIRO DA HP-12C 
 
 
Teclas Significado 
[ n ]  Prazo 
[ i ]  Taxa (representada na forma percentual) 
[PV]  Valor Presente Atual 
[PMT]  Valor das Prestações ou Pagamentos 
[FV]  Valor Futuro ou Montante 
 
Obs.: 
1) As teclas financeiras, quando usadas, não exigem uma determinada ordem. 
Isto significa que podemos iniciar a resolução, utilizando qualquer uma das teclas, 
bastando informar os dados da questão nas teclas correspondentes e, em seguida, 
acionar a tecla que você procura como resposta. 
 
 
66 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
Indicador de que a HP-12C 
está no modo “c”. 
2) Prazo e taxa devem ser informados na mesma unidade de tempo. 
3) São necessários, no mínimo, três dados ou informações para que seja dada a 
resposta de um cálculo. 
4) A taxa de juros deve ser indicada na forma percentual (%). 
 
 
 Roteiro Para Cálculos de Juros Compostos na HP-12C 
 
a) Limpar todos os registradores financeiros através da tecla [ f ] [FIN] ou [ f ] 
[REG]; 
b) armazenar nas respectivas memórias financeiras os valores de PV, i, n, ou FV, 
respeitando os sinais do fluxo de caixa; 
c) pressionar a tecla correspondente ao valor que se deseja encontrar (PV, FV, n 
ou i), conforme o caso. 
 
Obs.1: Taxa de juros e tempo devem ser compatíveis, ou seja, precisam ser 
expressos na mesma unidade. 
Obs.2.: A calculadora HP-12C trabalha também com o período "n" fracionário, 
simplificando a solução de muitos problemas no mercado financeiro. Para isso, você 
deverá adequar a máquina, pressionando a sequência de teclas [STO] [EEX]. 
 
Note que aparecerá no visor a letra "c", anunciando que a máquina está pronta 
para efetuar cálculos de juros compostos, com períodos inteiros e fracionários. 
Se a letra "c" não estiver no visor, a HP-12C calcula, no período fracionário, juros 
simples e, no período inteiro, juros compostos. 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
67 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
1) Luiz tomou $1.000,00 emprestado, a juros de 2% a.m., pelo prazo de 10 meses, 
com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? 
 
Solução: 
C = $1.000,00 
i = 2% a.m. / 100 = 0,02 a.m. 
n = 10 meses 
M = ? 
Temos que: 
M = C(1 + i)n 
M = C(1 + i)10 
M = 1.000 (1 + 0,02)10 
M = 1.000 (1,02)10 
M = 1.000 (1,218994) 
M = $1.218,99 
 
Temos então: 
Simples: 
 
 
Composto: 
 
 
 
Cálculo dos Juros 
Para calcularmos o Juro no regime de Juros compostos, utilizaremos a fórmula: 
 
 
 
 
M = C (1 + in) 
M = C (1 + i)n 
J = C [(1 + i)n - 1] 
Na HP-12C – Teclas Financeiras: 
[CLX] [ f ] [FIN] 
[ C ] [1000] [CHS] [PV] 
[ 2 ] [ i ] [10] [ n ] [FV] 
Na HP-12C – Cálculo em Cadeia: 
[Taxa 2] [ENTER] [100] [  ] [ 1 ] 
[ + ] [ Período 10] [yx] 
[ C ] [1000] [ x ] 
 
 
68 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
2) Luiz efetuou um empréstimo com o Banco Financeiro S/A, no valor de 
$1.000,00, à taxa de 2% a.m. (regime de juro composto), pelo prazo de 10 meses. Qual 
o valor dos juros pagos? 
 
Resolução: 
C = $ 1.000,00 
i = 2% a.m. 
n = 10 meses 
 
 
 
Aplicando a fórmula: 
Jn = C [(1+i)n - 1] 
J10 = 1.000,00 [(1 + i)n - 1] 
J10 = 1.000,00 [(1 + 0,02)10 - 1] 
J10 = 1.000,00 [1,21899 - 1] 
J10 = 1.000,00 [0,21899] 
J10 = $ 218,99 
 
Cálculo do Capital 
 
Para calcularmos o capital em regime de Juros Compostos, utilizamos a 
fórmula: 
 
 
 
 
Exemplo: 
Calcule o valor do capital aplicado por Carlos, sendo que o prazo foi de 05 
meses, à taxa de 3% a.m., produziu um montante de $40.575,00: 
Resolução: 
M = 40.575,00 
i = 3% a.m. = 0,03 a.m. 
C = M (1 + i)-n 
Na HP-12C – Teclas Financeiras: 
[CLX] [ f ] [FIN] [ C ] [1000] [CHS] [PV] 
[ 2 ] [ i ] [10] [ n ] [FV] [C] [1000] [ - ] 
 
Obs.: A HP-12C não calcula 
somente os juros nas teclas 
financeiras para este tipo de 
operação. 
Na HP-12C – Teclas Financeiras: 
[CLX] [ f ] [FIN] 
[M 40.575] [CHS] [FV] 
3 [ i ] 
5 [ n ] 
[PV] 
 
 
Resolver na HP-12C – Cálculo em Cadeia: 
 
69 
 
Matemática Financeira e Análise de Investimentos 
n = 5 meses 
 
C = M (1 + i)-n 
C = 40.575,00 (1 + 0,03)-5 
C = 40.575,00 x 0,86208784 
 
C = $ 35.000,00 
 
Cálculo do prazo 
Exemplo: 
1) João pegou emprestado do Banco Empréstimo o valor de $11.000,00 para 
ser quitado em um único pagamento de $22.125,00. Sabendo que a taxa contratada é de 
15% a.s. (em regime de juro composto),