limites

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LIMITES - EXERCÍCIOS:
Calcule:
(1) lim
푥→+∞
(푥+ 1)3
푥3 + 1
(2) lim
푥→−∞
푥2 − 6푥+ 8
3푥+ 1
(3) lim
푥→−∞
10000푥+ 8
3푥2 + 4푥+ 1
(4) lim
푥→+∞
√
푥√
푥+
√
푥+
√
푥
(5) lim
푥→−∞
2푥2 − 3푥− 4√
푥4 + 1
(6) lim
푥→−∞
푒푥
푒−푥
(7) lim
푥→2
푥2 − 4
푥2 − 3푥+ 2 (8) lim푥→−1
푥2 − 1
푥2 + 3푥+ 2
(9) lim
ℎ→0
(푥+ ℎ)3 − 푥3
ℎ
(10) lim
푥→1
1
푥− 1 −
3
1− 푥2 (11) lim푥→7
2−√푥− 3
푥2 − 49 (12) lim푥→4
3−√5 + 푥
1−√5− 푥
(13) lim
푥→3
√
푥2 − 2푥+ 6−√푥2 + 2푥− 6
푥2 − 4푥+ 3 (14) lim푥→+∞
(√
푥2 − 5푥+ 6− 푥
)
(15) lim
푥→+∞푥 ⋅
(√
푥2 + 1− 푥
)
(16) lim
푥→3
sen푥
푥
(17) lim
푥→0
sen 5푥
sen 2푥
(18) lim
푥→+∞
sen 3푥
5푥
(19) lim
푥→+∞푥 ⋅ sen
휋
푥
(20) lim
푥→휋4
sen푥− cos푥
1− tg푥 (21) lim푥→0
1−√cos푥
푥2
(22) lim
푥→0
arctg 2푥
sen 3푥
(23) lim
푥→0
(
sen 2푥
푥
)1+푥2
(24) lim
푥→−∞
(
푥+ 3
2푥+ 5
)푥2
(25) lim
푥→+∞
(
1
푥2
) 2푥
푥+1
(26) lim
푥→0
(1 + sen푥)
1
푥 (27) lim
푥→+∞
(
푥− 1
푥+ 3
)푥+2
(28) lim
푥→0
(cos푥)
1
푥 (29) lim
푥→0
(cos푥)
1
푥2 (30) lim
푥→−∞
(
푙푛(1 + 푒푥)
푥
)
(31) lim
푥→0−
∣sen푥∣
푥
(32) lim
푥→0+
∣sen푥∣
푥
(33) lim
푥→−2−
푥
푥+ 2
(34) lim
푥→−2+
푥
푥+ 2
(35) lim
푥→−1+
∣푥+ 1∣
푥+ 1
(36) lim
푥→−1−
∣푥+ 1∣
푥+ 1
(37) lim
푥→0+
1
1 + 푒
1
푥
(38) lim
푥→0−
1
1 + 푒
1
푥
(39) lim
푥→+∞푥 ⋅ [ ln(푥+ 1)− ln(푥) ]
Respostas:
(1) 1 (2) −∞ (3) 0 (4) 1 (5) 2 (6) 0 (7) 4 (8) − 2 (9) 3푥2
(10) ∄∗ (11) − 156 (12) − 13 (13) − 13 (14) − 52 (15) 12 (16) sen 33 (17) 52 (18) 35
(19) 휋 (20) −
√
2
2 (21)
1
4 (22)
2
3 ∗ (23) 2 (24) 0 (25) 0 (26) 푒∗ (27) 푒−4
(28) 1∗ (29) 푒− 12 = 1√
푒
∗ (30) 0 (31) 1 (32) 1 (33) +∞ (34)−∞ (35)1 (36)− 1
(37) 0 (38) 1 (39) 1
(10) ∗ 1
푥− 1 +
3
1− 푥2 =
−1
1− 푥 +
3
(1− 푥)(1 + 푥) =
−1(1 + 푥)− 3
(1− 푥)(1 + 푥) =
−푥− 4
(1− 푥)(1 + 푥)
Portanto: lim
푥→1
1
푥− 1 +
3
1− 푥2 = lim푥→1
−푥− 4
(1− 푥)(1 + 푥)
Como: lim
푥→1+
−푥− 4
(1− 푥)(1 + 푥) = +∞ e lim푥→1−
−푥− 4
(1− 푥)(1 + 푥) = −∞ Não existe lim푥→1
−푥− 4
(1− 푥)(1 + 푥)
Ou seja, Não existe lim
푥→1
1
푥− 1 +
3
1− 푥2 .
Na próxima página observações sobre os limites 22, 26, 28 e 29.
(22)∗ Como: lim
푥→0
sen푥
푥
= 1
fazendo a mudança de variável sen푥 = 푡 temos: 푥 = arcsen 푡 e quando 푥→ 0 temos 푡→ 0, portanto temos:
lim
푥→0
sen푥
푥
= lim
푡→0
푡
arcsen 푡
= 1
Como: lim
푥→0
2푥
tg (2푥)
= 1
fazendo a mudança de variável, tg (2푥) = 2푡 temos: 2푥 = arctg (2푡) e quando 푥→ 0 temos que 푡→ 0.
lim
푥→0
2푥
tg (2푥)
= lim
푡→0
arctg (2푡)
2푡
= 1
lim
푥→0
arctg (2푥)
sen (3푥)
= lim
푥→0
arctg (2푥)
1
⋅ 1
sen (3푥)
= lim
푥→0
arctg (2푥)
2푥
⋅ 3푥
sen (3푥)
⋅ 2푥
3푥
=
2
3
(26) ∗ lim
푥→0
(1 + sen푥)
1
푥
fazendo a mudança de variável sen푥 = 1푡 temos: 푥 = arcsen
(
1
푡
)
e quando 푥→ 0 temos que 푡→ ±∞, assim:
lim
푥→0
(1 + sen푥)
1
푥 = lim
푡→±∞
(
1 +
1
푡
) 1
arcsen ( 1푡 ) = lim
푡→±∞
[(
1 +
1
푡
)푡] 1푡arcsen ( 1푡 )
= 푒1 = 푒
(28) ∗ lim
푥→0
( cos푥 )
1
푥
fazendo a mudança de variável cos푥 =
(
1 + 1푡
)
temos que: cos푥− 1 = 1푡 e quando 푥→ 0 temos que 푡→ ±∞,
Assim:
lim
푥→0
( cos푥 )
1
푥 = lim
푡→±∞
(
1 +
1
푡
) 1
arccos (1+ 1푡 ) = lim
푡→±∞
[(
1 +
1
푡
)푡] 1푡arccos (1+ 1푡 )
= 푒0 = 1
Pois: lim
푥→0
cos푥− 1
푥
= lim
푥→0
(cos푥− 1)
(푥 )
⋅ (cos푥+ 1)
(cos푥+ 1)
= lim
푥→0
cos2 푥− 12
푥 ⋅ ( cos푥+ 1 ) = lim푥→0
cos2 푥− 1
푥 ⋅ ( cos푥+ 1 ) =
= lim
푥→0
−sen2 푥
푥 ⋅ ( cos푥+ 1 ) = lim푥→0−
sen푥
푥
⋅ sen푥
(cos푥+ 1 )
= −1 ⋅ 0 = 0
(29) ∗ lim
푥→0
( cos푥 )
1
푥2
fazendo a mudança de variável cos푥 =
(
1 + 1푡
)
temos que: cos푥− 1 = 1푡 e quando 푥→ 0 temos que 푡→ ±∞,
Assim:
lim
푥→0
( cos푥 )
1
푥2 = lim
푡→±∞
(
1 +
1
푡
) 1
[ arccos (1+ 1푡 ) ]
2
= lim
푡→±∞
[(
1 +
1
푡
)푡] 1푡[arccos (1+ 1푡 ) ]2
= 푒−
1
2 =
1
푒
1
2
=
1√
푒
Pois: lim
푥→0
cos푥− 1
푥2
= lim
푥→0
(cos푥− 1)
( 푥2 )
⋅ (cos푥+ 1)
(cos푥+ 1)
= lim
푥→0
cos2 푥− 12
푥2 ⋅ ( cos푥+ 1 ) = lim푥→0
cos2 푥− 1
푥2 ⋅ ( cos푥+ 1 ) =
= lim
푥→0
−sen2 푥
푥2 ⋅ ( cos푥+ 1 ) = lim푥→0−
sen푥
푥
⋅ sen푥
푥
⋅ 1
(cos푥+ 1 )
= −1 ⋅ 1 ⋅ 1
2
= − 1
2