Integrais Trigonométricas - Produtos de Potências de Senos e Cossenos

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Técnicas de integração:
Integrais Trigonométricas:
1 - Produtos de Potências de Senos e Cossenos:
Como vamos resolver integrais do tipo:
∫
sen
m x cosn x dx ?
vamos separar nosso estudo em dois casos:
• 1o caso: m ou n ou ambos são ímpares.
• 2o caso: m e n ambos pares.
Vamos ao nosso estudo, mas antes lembramos que, todo número a par (positivo) é da forma
todo número a par (positivo) é da forma: a = 2k, para k ∈ N,
e todo número b ímpar (positivo) é da forma: b = 2k + 1, para k ∈ N
1
o
caso:
(a)
∫
sen
m x cosn x dx e m = 2k + 1
∫
sen
2k+1 x cosn x dx =
∫
sen
2k x cosn x senx dx =
Fazendo cosx = t ⇒ −senx dx = dt ⇒ senx dx = −dt
e usando que sen
2k x =
(
sen
2 x
)k
=
(
1− cos2 x
)k
= (1− t2)k
∫
sen
2k+1 x cosn x dx =
∫ (1−t2)k︷ ︸︸ ︷
sen
2k x
tn︷ ︸︸ ︷
cosn x
−dt︷ ︸︸ ︷
senx dx =
∫
(1− t2)ktn (−dt) = −
∫
(1− t2)k tn dt
Assim, temos:
(a)
∫
sen
m x cosn x dx = −
∫
(1− t2)m−12 tn dt m ímpar
(b)
∫
sen
m x cosn x dx e n = 2k + 1
∫
sen
m x cos2k+1 x dx =
∫
sen
m x cos2k x cosx dx =
Fazendo senx = t ⇒ cosx dx = dt
e usando que cos
2k x =
(
cos
2 x
)k
=
(
1− sen2 x
)k
= (1− t2)k
∫
sen
m x cos2k+1 x dx =
∫ tm︷ ︸︸ ︷
sen
m x
(1−t2)k︷ ︸︸ ︷
cos
2k x
dt︷ ︸︸ ︷
cosx dx = −
∫
tm (1− t2)k dt
Assim, temos:
(b)
∫
sen
m x cosn x dx = −
∫
tm (1− t2)n−12 dt n ímpar
1
Exemplos:
1. Calcular as integrais abaixo:
(a)
∫
sen
5 x cos2 x dx
Resolução:∫
sen
5 x cos2 x dx =
∫
sen
4 x cos2 x senx dx =
∫
(sen2 x)2 cos2 x senx dx =
∫
(1− cos2 x)2 cos2 x sen x dx =
Fazendo cosx = t ⇒ −senx dx = dt
=
∫ (1−t2)2︷ ︸︸ ︷
(1− cos2 x)2
t2︷ ︸︸ ︷
cos2 x
dt︷ ︸︸ ︷
sen x dx =
∫
(1− t2)2 t2 dt =
∫
(1− 2t2 + t4) t2 dt =
∫ (
t2 − 2t4 + t6) dt =
=
∫ (
t2 − 2t4 + t6) dt = t3
3
− 2 t
5
5
+
t7
7
+ C =
cos3 x
3
− 2 cos
5 x
5
+
cos7 x
7
+ C
∫
sen
5 x cos2 x dx =
cos3 x
3
− 2 cos
5 x
5
+
cos7 x
7
+ C
(b)
∫
sen
2 x cos3 x dx
Resolução:∫
sen
2 x cos3 x dx =
∫
sen
2 x cos2 x cosx dx =
∫
sen
2 x
(
1− sen2 x) cosx dx =
Fazendo senx = t ⇒ cosx dx = dt
∫
sen
2 x cos3 x dx =
∫ t2︷ ︸︸ ︷
sen
2 x
(1−t2)︷ ︸︸ ︷(
1− sen2 x) dt︷ ︸︸ ︷cosx dx = ∫ t2 (1− t2) dt = ∫ (t2 − t4) dt = t3
3
− t
5
5
+ C =
∫
sen
2 x cos3 x dx =
(cosx)3
3
− (cosx)
5
5
+ C =
∫
sen
2 x cos3 x dx =
(cosx)3
3
− (cosx)
5
5
+ C =
(c)
∫
sen
3 x cos5 x dx
Resolução:∫
sen
3 x cos5 x dx =
∫
sen
2 x cos5 x senx dx =
∫ (
1− cos2 x
)
cos5 x senx dx =
Fazendo cosx = t ⇒ −senx dx = dt ⇒ senx dx = −dt∫
sen
3 x cos5 x dx =
∫ (
1− cos2 x
)
︸ ︷︷ ︸
(1−t2)
cos5 x︸ ︷︷ ︸
t5
senx dx︸ ︷︷ ︸
−dt
= −
∫ (
1− t2
)
t5 dt =
∫ (
t5 − t7
)
dt =
t6
6
− t
8
8
+ C =
2
∫
sen
3 x cos5 x dx =
t6
6
− t
8
8
+ C =
cos6 x
6
− cos
8 x
8
+ C
∫
sen
3 x cos5 x dx =
cos6 x
6
− cos
8 x
8
+ C
2
o
caso:
(a)
∫
sen
m x cosn x dx e m = 2k1 e n = 2k2
∫
sen
2k1 x cos2k2 x dx =
∫ (
sen
2 x
)k1(
cos2 x
)k2
dx =
Vamos precisar de algumas identidades trigométricas:
cos2 x+ sen2 x = 1
cos(a+ b) = cos a cos b− sen a sen b
Fazendo a = b = x, temos:
cos(x+ x) = cosx cosx− senx senx ⇒ cos(2x) = cos2 x− sen2 x ⇒ cos2 x− sen2 x = cos(2x)
 cos
2 x+ sen2 x = 1
cos2 x− sen2 x = cos(2x)
⇒ 2 cos2 x = 1 + cos(2x) ⇒ cos2 x = 1 + cos(2x)
2
 cos
2 x+ sen2 x = 1
− cos2 x+ sen2 x = − cos(2x)
⇒ 2 sen2 x = 1− cos(2x) ⇒ sen2 x = 1− cos(2x)
2
∫
sen
2k1 x cos2k2 x dx =
∫ (
sen
2 x
)k1(
cos2 x
)k2
dx =
∫ (
1− cos(2x)
2
)k1 [ 1 + cos(2x)
2
]k2
dx
∫
sen
m x cosn x dx =
∫ (
1− cos(2x)
2
)m
2
[
1 + cos(2x)
2
]n
2
dx
Exemplos:
1. Calcular as integrais abaixo:
(a)
∫
cos2 x sen2 x dx
Resolução:
∫
cos2 x sen2 x dx =
∫ [
1 + cos(2x)
2
] [
1− cos(2x)
2
]
dx =
1
4
∫ [
1 + cos(2x)
][
1− cos(2x)
]
dx =
∫
cos2 x sen2 x dx =
1
4
∫ [
1 + cos(2x)− cos(2x)− cos2(2x)
]
dx =
1
4
∫ [
1− cos2(2x)
]
︸ ︷︷ ︸
sen
2 (2x)
dx =
3
∫
cos2 x sen2 x dx =
1
4
∫ [
sen
2 (2x)
]
dx =
Agora, vamos usar a identidade sen
2 x =
1− cos(2x)
2
novamente.
sen
2 x =
1− cos(2x)
2
⇒ sen2 (2x) = 1− cos(4x)
2
∫
cos2 x sen2 x dx =
1
4
∫ [
sen
2 (2x)
]
dx =
1
4
∫ [ 1− cos(4x)
2
]
dx =
1
8
∫ [
1− cos(4x)
]
dx
∫
cos2 x sen2 x dx =
1
4
∫ [
sen
2 (2x)
]
dx =
1
8
[ ∫
1 dx−
∫
cos(4x) dx
]
=
1
8
[
x− sen (4x)
4
]
+ C =
∫
cos2 x sen2 x dx =
x
8
+
sen (4x)
32
+ C =
2 - Eliminando Raízes Quadradas:
Usamos identidades trigonométricas para resolver integrais do tipo:
∫ √
1± cos [ ( 2k )x ] dx onde k ∈ N.
cos2 x+ sen2 x = 1
cos(a+ b) = cos a cos b− sen a sen b
Fazendo a = b = x, temos:
cos(x+ x) = cosx cosx− senx senx ⇒ cos(2x) = cos2 x− sen2 x ⇒ cos2 x− sen2 x = cos(2x)
 cos
2 x+ sen2 x = 1
cos2 x− sen2 x = cos(2x)
⇒ 2 cos2 x = 1 + cos(2x) ⇒ cos2 x = 1 + cos(2x)
2
 cos
2 x+ sen2 x = 1
− cos2 x+ sen2 x = − cos(2x)
⇒ 2 sen2 x = 1− cos(2x) ⇒ sen2 x = 1− cos(2x)
2
Assim, temos:
cos2(kx) =
1 + cos
[
(2k)x
]
2
e sen
2 (kx) =
1− cos[(2k)x ]
2
4
Exemplos:
1. Calcular as integrais abaixo:
(a)
∫ √
1 + cos(4x) dx
Resolução:∫ √
1 + cos(4x) dx
Como cos2(kx) =
1 + cos
[
(2k)x
]
2
fazendo k = 2,
temos: cos2(2x) =
1 + cos
[
(4)x
]
2
ou seja,
[
1 + cos (4x)
]
= 2 cos2(2x)
Portanto:∫ √
1 + cos(4x) dx =
∫ √
2 cos2(2x) dx =
∫ √
2
√
cos2(2x) dx =
√
2
∫
cos(2x) dx =
√
2
sen (2x)
2
+ C
∫ √
1 + cos(4x) dx =
√
2 sen (2x)
2
+ C
3 - Produtos de Potências de Tangentes e Secantes:
Como vamos resolver integrais do tipo:
∫
tg
m x secn x dx ?
Para resolver tais integrais utilizaremos a identidade trigonométrica: tg
2 x+ 1 = sec2 x
e o fato das derivadas destas funções "voltarem" a estas funções, ou seja:[
tgx
]′
= sec2 x e
[
sec x
]′
= secx tgx
Chegar a expressões gerais para integral acima é muito trabalhoso e pouco útil,
portanto vamos explicar a forma de tratar tais integrais através de exemplos:
Exemplos:
1. Calcular as integrais abaixo:
(a)
∫
tg
4 x dx
Resolução:
∫
tg
4 x dx =
∫ (sec2 x−1)︷ ︸︸ ︷
tg
2 x tg2 x dx =
∫ (
sec2 x− 1
)(
tg
2 x
)
dx =
∫ (
sec2 x tg2 x− tg2 x
)
dx =
=
∫ [
sec2 x tg2 x−
(
sec
2 x− 1
) ]
dx =
∫ (
sec2 x tg2 x− sec2 x+ 1
)
dx =
5
=
∫
tg
2 x sec2 x dx−
∫
sec
2 x dx+
∫
1 dx =
Na primeira integral vamos substituir: tgx = t ⇒ sec2 x dx = dt
=
∫
tg
2 x︸ ︷︷ ︸
t2
sec2 x dx︸ ︷︷ ︸
dt
−
∫
sec
2 x dx+
∫
1 dx =
∫
t2 dt−
∫
sec
2 x dx+
∫
1 dx =
t3
3
− tgx+ x+ C =
=
∫
t2 dt−
∫
sec
2 x dx+
∫
1 dx =
t3
3
− tgx+ x+ C = tg
3 x
3
− tgx+ x+ C
∫
tg
4 x dx =
tg
3 x
3
− tgx+ x+ C
(b)
∫
sec
3 x dx
Resolução:∫
sec
3 x dx =
∫
sec
2 x secx dx
Vamos utilizar integração por partes:
∫
f ′(x) g(x) dx = f(x) g(x)−
∫
f(x) g′(x) dx
∫
sec
3 x dx =
∫
sec
2 x︸ ︷︷ ︸
f ′(x)
secx︸︷︷︸
g(x)
dx = tgx︸︷︷︸
f(x)
secx︸︷︷︸
g(x)
−
∫
tgx︸︷︷︸
f(x)
secx tgx︸ ︷︷ ︸
g′(x)
dx
Passando a limpo, temos:∫
sec3 x dx = tgx secx−
∫
secx tg2 x dx = tgx secx−
∫
secx
(
sec2 x− 1
)
dx =
∫
sec3 x dx = tgx secx−
∫ (
sec3 x− secx
)
dx = tgx secx−
∫
sec3 x dx −
∫
secx dx =
Passandoa limpo, temos:∫
sec3 x dx = tgx secx−
∫
sec3 x dx︸ ︷︷ ︸
←↩
−
∫
secx dx =
∫
sec3 x dx +
∫
sec3 x dx = tgx secx−
∫
secx dx =
2
∫
sec3 x dx = tgx secx−
∫
secx
[
secx+ tgx
secx+ tgx
]
dx =
2
∫
sec3 x dx = tgx secx−
∫
sec2 x+ secx tgx
secx+ tgx
dx︸ ︷︷ ︸
∗
=
Fazendo secx+ tgx = t ⇒ ( secx tgx+ sec2 x) dx = dt na integral ∗, temos:
6
2
∫
sec3 x dx = tgx secx−
∫ dt︷ ︸︸ ︷
sec2 x+ secx tgx , dx
secx+ tgx︸ ︷︷ ︸
t
=
2
∫
sec3 x dx = tgx secx−
∫
dt
t
=
2
∫
sec3 x dx = tgx secx−
∫
dt
t
=
2
∫
sec3 x dx = tgx secx− ln(t) + C =
2
∫
sec3 x dx = tgx secx− ln(secx+ tgx) + C =
∫
sec3 x dx =
tgx secx
2
− ln(secx+ tgx)
2
+ C =
∫
sec3 x dx =
tgx secx
2
− ln(secx+ tgx)
2
+ C =
7