Capitulo 3 Reglas de derivacion

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Keglas de derivacih 
,.. 
En &as fotografias se reprr- 
sentan derivadas en varies 
contextos. El conductor de 
un automhil de carreras 
desea conocer su velocidad 
en un momenta determi- 
nado. Debido a que la san- 
gre fluye con mayor lentitud cerca de la pared en un vase sanguineo, 
podriamos desear conocer la rapidez con que aumenta su velocidad con 
respect0 a la distancia desde la pared. La rapider con que se esparce un 
rumor depende de la cantidad de personas que intervienen y de la manera 
en que reaccionan a la informacih. Todas &as razones de cambio son 
cases especiales de una sola idea matemitica: la derivada. 
rlemos visto c6mo interpretar las derivadas coma pendientes y razone~ de cambio. 
Tarnbib” estudiamos c6mo estimar las derivadas de funciones dadas par medio de 
tablas de valores. Aprendimos la manera de graficar las derivadas de funciones 
que se define” gr5ficamente. Aplicamos la definici6n de derivada par3 calCUlal 1% 
derivadas de funciones definidas mediante f6rmulas. Pero seria tedioso si Siempre 
tuvi6rarnos que aplicar la definicibn, de modo que, en este capitulo, desarrollare~ 
mos reglas para hallar derivadas sin tener que war directamente esa definicibn. 
Estas reglas de derivaci6n nos permiten calcular con relativa facilidad las derivadas 
de polinomios, funciones rationales, algebraicas, exponenciales y logarftmicas, Y 
trigonon+tricas, y trigonometric% inversas. A continuaci6n. usarerno~ &as reglas 
para revolver problemas en que intervienen razones de cambio, Y la aproximaci6n 
de funciones. 
_x. 3.1 Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales ‘S. es;* __*_ .“, .,.,. 
&I &a sexi& aprenderemos la manern de derivar funciones constantes, funciones poten- 
cias, polinomios y funciones exponenciales. 
Yf Empecemos con la IISIS sencilla de todas las funciones, la funci6n Constantef (x) = c. 
~,a gr~fica de &a funcibn es la recta horizontal y = c, la cual tiene pendiente 0, de modo 
i 
I 
j-L quc debemos tenerf’(n) = 0 (Fig. 1). Una demostracidn formal, a partir de la definici6n de 
pendiente = 0 derivada, tambikn es fkcil: 
fb + h) -f(.4 = lfmc f’(x) = f; __ 
h 1x-o h 
-+ 
0 x =p-$o=o 
En la notaci6n de Leibniz, escribimos esta regla coma sigue: 
La grtiica dcj(n) = c es la recta y = c; 
par lo tanto f’(x) = n 
$ (c) = 0 
Funciones potencia 
Enseguida, consideremos las funcionesf(x) = P, donde IZ es un enter0 positive. s1 )I = 1 S 
la gr&ica de f (x) = x es la recta y =x, la cual time pendiente I (Fig. 2). De mudo We 
(TambiCn puede comprobar la ecuac16n 1 a paw de la definici6n de derivada.) Ya hernub 
investigado 10s cases n = 2 y II = 3. En efecto. en la secci6n 2.9 (ejercicios 17 y IX), 
encontramos que 
La grtiica de &) = x es la rectay = x 
de WI suerte que f ‘(4 = 1 
2 (2) = 2x $ (x’) = 3x2 
REGLAS DE DERiVACldN 
Pam n = 4, cnconrramos la daivada de f (x) = x’, corn” ague: 
f’(x) = F$ 
f(x + h) -f(x) 
h 
= ,im b + w - x’ 
h-0 h 
= lim x4 + 4x3h + 6x2hz + 4xh3 + h4 - x4 
h-0 h 
= lim 
4x3h f 6x2h2 + 4xh3 + h4 
h-0 h 
= Ffn (4x’ + 6x’h + 4xh2 + h3) = 42 
Par tanto, 
Si se compamn las ecuaciones (l), (2) y (3), wmos surgir un modelo. Puece razonable 
presumir que, cuando n es un entero positive, (d/dx)(Y’) = n.C’. Esto resulta c&to. 
Si n es un enter0 positivo, entonces 
La f6rmula 
x” - .” = (x - (&-I + X”-2a + + *a”-” + a”-‘) 
se puede verificar hacienda las multiplicaciones de1 Segundo miembro (o sumando el 
Segundo factor coma en una serie geom&ica). Si f(x) = xn, podemos user la ecuaci6n 3 
de la secci6n 2.8 para f’(a) y la ecuaci6n anterior para escribir 
fya) = p2 f’“,’ 1 ;(a’ = lfm AlIs 
IJU x-a 
= !‘f? (x”-’ i- xn-%I + + xan-2 + a”-‘) 
= a”-’ + a-za + + &-2 + a”-’ 
= &-I 
f’(.d = jtJy f(x + h) - fb) h = lim b + h)” xn h-0 h 
En ias guardas del frente se da al 
tewana del binomio. 
Al hallar la derivada de 2, tuvimos que desarrollar (x + h)‘. En este case, necesitamos 
desanollar (x + h)” y, para hacerlo, aplicamos el teorema de1 binomio: 
X” + nx”-‘h + dn - ‘) X”-2h2 + + ,&“-l + ,,” 
2 
- .” 
f’(x) = !‘f 
1 
h 
1.1.. 
h--t0 h 
= p. n.x-’ + 
-[ 
n(n ~ 1) X”-2h + 2 + nxh”-* + h”-’ 1 
porque todos 10s tkminos, excepto el primero, tienen h como factor y, par lo tanto. tien- 
den a 0. 
En el ejemplo 1, ilustramos la regla de la potencia usando varias notaciones 
(a) Si f(x) = x5, entonces f’(x) = 6.x’. (b) Siy=x’wo, entonces y’ = lllo0x999. 
(c) Si y = f4, entonces s = 4f’. (d) $ (r’) = 3r2 
~Quk se puede deck acerca de las funciones potencias con exponenres ~meroa ncga- 
tivos? En el ejercicio 51 le pediremos al lector que compruebe, a partir de la definicidn de 
derivada, que 
d 1 
0 
1 -- (& * =-x2 
Podemos volver a escribir esta ecuaci6n coma 
$ (C’) = (-1)x-‘ 
y, por tanto, la regla de la potencia se cumple cuando n = -1. De hwho, en la seux5n SI- 
guiente (Ejerc. 41), demostraremos que se cumple para todos 10s enteros negatives. 
iQuB sucede si el exponente es una fraccibn? En el ejemplo de la secci6n 2.5, encon- 
tram0s que 
lo cual se puede escribir coma 
Esto hate ver que la regla de la potencia es verdadera inclusu cuando n = j. De hccho, en 
la secci6n 3.8, demostraremos que es verdadera para todos 10s tkneros reales n. 
Si n es cualquier nhmero real, entonces 
$ (A = n,“-l 
En la flgura 3. se muestra la func16n 
ydei ejemplo Zlbl y su derivada y’. 
Advierta que y no es diferenciable en 0 
ly’no estd definida allil. Observe que y’ 
es positiva cuando ycrece. y negativa 
cuando ydecrece. 
S(4 = 5 (b) y = @ 
En cada caso, volvemos a escribir la fun&k coma una potencm tie 1. 
(x) = x-‘, aplicamos la regla de la potencia con n = -2: 
fyn) = $ (y’) = -2y-’ = -zxm3 = -$ 
- ‘-‘IPLO 3 - Encuentre nna ecuaaon de la recta rangente a la cwa y = ,,r qx, en et 
J (1, 1). Trace las gtificas de la curva y su recta tangents 
La derivada de f(x) = xJ; = xx”’ = ~3’~ es 
Par tanto, la pendiente de la recta tangente en (1, 1) es f’(1) = I. Por consiguiente, una 
ecuacidn de la recta tangente es 
y- 1 =3(x- 1) 0 ),z&; 
En la figura 4, trazamos las gr&icas de la curva y su tangente. 
3 
y=x JG I 
.I 
y=;x-; 
-1 3 
-1 
-. Nuevas derivadas a park de ant&ores 
Cuando se forman nuevas funciones a partir de funciones antaiores por adickk, susuac- 
cih o multipIicaci6n par una constante SW derivadas se pueden calcular en ttrrninos de 
la derivada de las funciones anteriores. En particular, en la fhnula siguiente se alirma 
que la derivada de una constants multiplicada par unafuncih es la constame multipli- 
cada par la derivada de lafuncidn. 
Si c es una constante yfes una limci6n diferenciable, 
YA 
/’ Y = Zf(N 
i- 
Y =fW 
, 
0 x 
La muitipllcacldn par c = 2 e*t,ia ,a gra- 
fica verticalmente en un factor de 2. 
Todas las elevaciones se han 
duplicado, pero 10s avarices 
permanecen iguales. De donde las 
pendientes tambi6n se duplican. 
SI se mhza la notac~on de, ap0strofo. 
podemos escrlblr la regla de la suma 
corn0 
=!‘yc 
-[ 
fb + h) - f(4 
h I 
= c lfm fb + h) - f(4 
h-0 h 
,,J,11 IL “> i Ji :<I. llll,ll.> 
= cjyx) 
tJEMPL0 4 
(a) $ (3x’) = 3 $ (2) = 3(4x3) = 12.x’ 
(b) $(-x) = $[(-1)x] = (-1)s (x) = -l(l) = ~1 
La regla siguiente nos dice que la derivaaa de ma mma defuncronrs es 1~ sumu de las 
derivadas. 
8 
$ [f(d + g(x)1 = &f(x) + $ g(x) 
. . .x_^.,___ .- 
iln~:::--,,~.r SeaF(x) =f(x) + g(x). Entonces 
F’(x) = lim 
F(n + h) - F(x) 
h-0 h 
= !‘y 
[f(x + h) + sb + WI - [fLd + g(x)1 
h 
= li,,, fb + h) -f(x) + s(x + h) - cd.4 
h-0 h h 1 = lf,,, fb + h) - f(x) + lim sb + h) - s(x) h-0 h h--r0 h ,,,,, ,_/ ‘> 
= f’b) + SW 
La regla de la suma se puede extender a la suma de cualquier nlimero de funones 
Por ejemplo, si se aplicaate tcorema par dos veces, obtenemos 
(j + g + h)’ = [(j + g) + h]’ = (j + g)’ + h’ = j’ + g’ + h’ 
Al escribirf-gcomof+ (-1)gy aplicar la regla de la suma y la de1 mtiltiplo constanre, 
obtenemos la f6mula: 
Lacurvay=$-6x'+4y 
sus tangentes horizontales 
Si tanto f como 9 son diferenciables, entonces 
5 [f(x) - sb31 = $f(r) - $ g(x) 
Estas tres reglas se pueden combiner con la regla de la potencia para derivar cualquier 
polinomio, ccnno se demuestra en 10s ejemplos que siguen. 
LJEN(p’j: r> ._. 
$ (n” + 12x’ - 4.2 + 10x3 ~ 6.x + 5) 
=-$x*) + 12$(x5) - 4$(x') + 10$(x') - 6% (x) + 2 (5) 
= 8.x’ + 12(5x4) - 4(4x3) + 10(3x2) - 6(l) + 0 
=8x'+ 60x" - 16x' + 30x2 - 6 
t rEMPi ii 1; Encuentre 10s puntos sobre la cwva y =x1 - 62 + 4, dondr la recta 
tang&e es horizontal. 
Se tienen tangentes horizontales donde la derivada es cero. Entonces 
$=$(x4) - 62(x2) + $4) 
=4x" - 12x + 0 =4x(x2 - 3) 
De donde, dyjdx = 0 six = 0 o x2 - 3 = 0, es decir, x = 28. Por tanto, la L‘UTYB 
dada tiene tangentes horizontales cuando n = 0, 4, y -8. Los puntos correspon- 
dientes son (0,4), (4, -5), y (-J?, -5). (V&se la figura 5.) 
Funciones exponenciales 
Intentemos calcular la derivada de la funci6n exponencial&) = a*, aphcandu la detim 
ci6n de derivada: 
El factor a” no depende de h, de mode que podemos llevarlo adelante de1 limitr 
Advlefla que el linxte es el valor de la derivada defen 0; eato es, 
Por lo tanto, hemos demostrado que, si la funci6n exponencial,t(x) = ai es dkrrenclable 
en 0, entonces es diferenciable en todas panes y 
f’(x) = f’(O)d 
En esta ecuaci6n se atirma que la razdn de cambio de cualquierfuuncidn aponencml es 
proportional a la propia jimidn. (La pendiente es proportional a la altura.) 
En la tabla de la izquierda, se da widen& num&ica de la existencia def’(0) en 10s 
cases a = 2 y a = 3. (Los valores sedan correctos hasta cuatro decimales. Respect0 al case 
de a = 2, v&w tambikn el ejemplo 3, Sec. 2.8.) Parece que 10s limites existen y 
para a = 2, f’(0) = lflf y = 0.69 
pama=3, fYO’=~l&+ l.,” 
DC hecho, se puede probar quk 10s kites exlsten y. correctos hasta seis deumatea, 10s ~a- 
lores son 
= 0.693147 
x=0 
Por tanto, de la ecuaci6n 4, tenemo~ 
$ (3") = 1.098612 
x=0 
$ (2") = (0.69)2' 2 (3^) = (1.10)3X 
De todas las elecciones posibles para la base a de la ecuacidn 4, se tiene la f6rmula m& 
xncilla de derivacidn cuandof’(0) = 1. En vista de las estimaciones def’(0) para a = 2 y 
a = 3, parece razonable que exista un nlimero entre 2 y 3 para el quef’(0) = 1. Es tradi- 
cional den&u este valor con la letra e. (De hecho, fue como presentamos e en la Sec. 1.5.) 
Por tanto, tenemos la siguiente definici6n: 
188 d I:APITULO 3 REGLAS DE DERIVACION 
Geom&ricamente, esto significa que, de to&s las funciones exponcnciales posibles y = 
a’, la funci6nf(x) = e’ es aquella cuya recta tangente en (0, 1) tiene una pendientef’(0) 
que es exactamente 1. (Vtanse las Figs. 6 y 7.) 
x 
Si ponemos a = e y por lo tanto, f’(0) = I en la ecuziOn -1. se convwtc en Ih mipw 
tank f6rmula de derivaci6n que se da a continuaci6n: 
De donde, la funci6n exponencialf (x) = e” tiene la propiedad de que es su propia 
derivada. El significado geomktrico de esto es que la pendiente de una recta tangente a la 
curva y = ti es igual a la coordenada y, ordenada de1 punto (figura 7). 
,c ;I, 1. .; Si f(x) = ex - x, encuentre f’. Compare las grzXcas defy f’ 
L Si se aplica la regla de la diferencia, tenemos 
f’(x) = $ (e” - x) = $ (62”) - $ (x) = e” - I 
La funcidn f y su derivada f” se muestran en la figura 8. Obscrvr que f txut WIIIU 
tangente una recta horizontal en x = 0; corresponde al hecho que S’(O) = 0. Tamblen 
vea que, para x > 0, f’(x) es positive y f es creciente. Cuando x < 0, f’(n) es negativa y 
f es decreciente. 
c,i~?l’p:,~g 8 j,En cuti punto de la curva y = ex la recta tang&e es par&la a la recta 
y = 2x? 
Coma y = e”, tenemos y’ = e”. Sea a la coordenada x de1 punto en cuesti6n. 
Entonces, la pendiente de la recta tangente en ese punto es e”. Esta recta tangente s& 
paralela a la recta y = 2~ si tiene la mimm pendiente: es de& 2. Si se igualan las 
pendientes, obtenemos 
e” = 2 a=ln2 
Por lo tanto, el punto requerido es (a, e”) = (In 2, 2). (Fig. 9.) 
1. (a) iC6mo se define el mimcro e? 
ih) Use una calculadora para estimx 10s valores de 
10s limiter 
,im 2.7” ~- 1 
Y 
li,,, 2.8” - 1 
if--o h h-0 h 
AJI~~CIOS hasta dos decimales. iQu6 puede 
mncluir acerca de1 valor de e? 
2. ia) Grafique a mano la fun&n f (n) = 8, poniendo paticular 
atenci6n a la forma en que esa grafica cruza el eje y. iQu& 
hecho le permite hater esto 
cb) iQu6 tipos de funciones son f (x) = 8 y g(x) = x’? Cornpax 
las f&mulas de derivacihn para f y g. 
s c.1 ~Cual de las dos funciones de1 incise b) crew con mayor 
rapider cuando x es grandc? 
Derive la funcihn. 
3. j\xj=5n- I 4. F(x) = -4x’” 
5. f(x) = 2 + 3x - 4 6. g(r) = 5x8 - 2x’ + 6 
7, y = x~2ii 8. y = 5e” + 3 
9. V(r) = ; d 10. R(l) = St-“5 
11. Y(t) = 6~~’ 12. R(x) = @ 
x’ 
13. F(x) = (16x)’ 14. y=$ 
15. Y(X) = 2 + 1 
2 
16. f(t) = Ji - 5 
,,, ) = L2 + 4x + 3 x1-2& 
J; ‘8.y= x 
19. , = ix + 2e’ 20. y=JF(x- I) 
21. ” = 472 yj, y = x*/3 - x2/1 
23. j = (ix2 + bx + c 24. ,=A+; 
25. > = x + $7 26. u=+‘F+zfl 
27. “=x>h++-- 
x&P 
28. y = er+’ + 1 
Encuentre~ ‘(x). Compare las gr&as defy f ’ y dselas 
para exphcar por quB su respuesta es razonable. 
29. f(x) = 2x* x4 30. f(x) = 3x1 20x” + 50x 
31. f(l) _ 3x15 5x’ + 3 32. f(I) = x + + 
33. f(x) = x -- 3.x”’ 34. f(x) = x2 + 2e 
(a) Amplifique la gr&ica def(x) = ,F y estime el valor 
def ‘(2). 
@) Use la regla de la potencia para hallar el valor exacto 
de f ‘(2) y comptielo con su estimacidn de1 incise a). 
(a) Amplilique la gr6fica de f (x) =x2 2e’ y estime el valor de 
f ‘(1). 
(b) Encuentre el valor exacto de f ’ (1) y comptielo con su 
estimaci6n de1 incise a). 
,.: :‘I Encuentre una ecuaci6n de la recta ttmgente a la curva dada 
en el punto especificado. Ilustre graficando la curva y la tangente en 
la misma pantalla. 
37. 
38. 
39. 
40. 
41. 
y=.++, (2,4) 
.__ 42. 
43. 
44. 
45. 
_$ 46. 
47. 
y = x5”, (4, 32) 
y=x+J;, (La 
y = 2 + 22, (0.2) 
(a) Use ma caiculadora gratificadora o cumpuudora paia 
graficar la funci6n cn la pantalla, f(x) = x4 3x1 - 6x’ i- 
7x + 30 en la pantalla [m3, 51 por I-10, 501. 
(b) Utdizando la grafica de la park (a) para estimar 
pendientes haga un bosquejo dc la gr.&a de f ‘. 
(ver el ejemplo 1 de la secciirn 2.9). 
(c) Calcule f’(x) y user esta expreci6n con una grahcadurd 
pam graficar / ‘. Compare con su bosquejo de la pate b) 
(a) (a) Use una calculadora graiicadora o una computadora para 
graticar la funcidn q(x) = rl 32 en la pantaila [m 1, 41 por 
18, 81. 
ib) Usando la g&c.? de la pa& (a) para estimar pendiente, 
haga usted un bosquejo a mano de la g&ica de 9’ (v&se el 
ejemplo 1 de la seccidn 2.9). 
(c) Calcule q’(x) y use esta expresi6n junta con una graficadora 
p.m graficar 9’ (compare con su bosquejo de1 incise (b) 
Encuentre 10s puntos sobre la cuva y = x’ x2 x + I donde la 
tangente es horizontal. 
i,Para w&s valores de x la gr6fica de 
f(x) = 2x3 3x2 - 6x + 87 tiene una tangente horizontal? 
Demuestre que la CUIYB y = 6.S + 5x - 3 no tiene recta tangenre 
con pendiente 4. 
iEn cuti punto sobre la curva y = 1 + 2t? 3x la recta tangente 
es paralela a la recta 3x-y = 5? Ilustre trazando las g&icas de 
la curva y lx dos rectas. 
Dibuje un diagrama pam mostril~ que hay dos recta tangentes a 
la parabola y =x2 que pasan por el punto (0, -4). Encuentre las 
coordenadas de 10s puntos donde estas rectas tangentes se 
cmzan con la parttbola. 
Encuentie las ecuaciones de las dos rectas que pasan por elpunto (2, -3) que son tangentes a la patbola y = x2 + x. 
La recta normal a una mrva C, en un punto P, es, par defini- 
cidn, la recta que pass por P y es perpendicular a la recta 
tangente a C en P. Encuentre una ecuaci6n de la recta normal a 
,a p&b&y = 1 - 9, en el punto (2, -3). Grafique la parttbo1.e 
y S” recta normal. 
&La recta normal a la parfibola y = x-x’ en el punto (I, O), 
cmza con la misma par&b& una segunda vez? Ilustre con un 
esquema. 
Aplique la definici6n de derivada para demostrar que si 
f(x) = l/x, entoncesf’(x) = - l/x’. (Con ato se prueba la regla 
de la potencia para el case n = -1.) 
Encuentre una par&b& que tenga la ecuaci6n, y = a9 + bx y 
cuya tangente en (1, 1) tenga la ecuaci6n y = 3x - 2. 
Sea 
f(x) = 2 - x 
i 
sixS1 
x2-2x+2 six>1 
,,a, derivable en el valor l? Haga Ias @icas 
defyf’. 
En quC nlimero es derivable la funcidn g que sigue 
g(x) = 
i 
-1-2.x six<-1 
x2 si -lrzxSl 
x si.r>l 
De una fkmula para g’ y haga las .@icas de g y g’ 
55. 
56. 
51. 
58. 
59. 
60. 
61. 
62. 
f(x) = I 2 9 I? Encuentre una f6rmula pan f ‘. 
(b) Haga las &&as defy f ‘. 
iEn qu6 valores es derivable la funci6n 
h(x)=~x-l~+Ix+2~?D~unaf6~ulaparah’yhagalas 
grtdicas de h y h’. 
iPam qu6 valores de a y b es la recta, 2x + y = b tangme a la 
par&b&, y = a.$ cuando x = 27 
Sea 
f(n) = xi 
six<2 
mx+b six>2 
Encuentre 10s valores de m y b para que f sea derivable en 
todos 10s puntos. 
Encuentre una funci6n ctibica, y = ari + b xi + a + d 
cuya grfifica tenga tangentes horinzontaies en 10s puntos 
(236 Y (2,O). 
Se traza una recta tangente a la hip&bola q = c, en un 
punto P. 
(a) Demuesue que el punto media de1 segmento rectilineo cor- 
tado de esta tangente par 10s ejes coordenados es P. 
(b) Demuestr? que el ui&ngulo formado por la recta tangente y 
10s ejes coordenados siempre tienen la misma tiea, sin 
importa en d6nd.e estk P sobre la hipkrbbnla 
Dibuje un diagrama en que se muestren dos recta perpendxu~ 
lares que se cmcen sobre el eje y y que scan tangentes a la 
pantbola y = x2. i,Dbnde se cortan estas rectas? 
I “. 3.2 Reglas de1 product0 y el cociente .s.-A..>.,. ‘.‘.~j*.~~~“_,~~~/l_ _.*... 1 .,,. *. .a:_ 
Las f6rmulas de esta secci6n permiten derivar nuevas funciones formadas a partit de ante- 
riores, por multiplicaci6n 0 divisi6n. 
Geometria de la regla de1 producto 
1, Regla de1 producto 
Por analogia con las reglas de la suma y la diferencia, podria sentirse la tentaci6n de pre- 
sumir, coma Leibniz lo hizo hate tres siglos, que la derivada de un producto es cl product0 
de las derivadas. Sin embargo, podemos ver que eta suposici6n es err6nea al considera 
un ejemplo particular. Sea f(x) = x y g(x) = x2. Entonces la regla de la potencia da 
f’(x) = 1 y g’(x) = 2x. Per0 (fg)(x) = x3, de mode que (fg)‘(x) = 3.x’. Par tanto, 
La f6rmula correcta fue descubierta por Leibniz (poco tiempo despu6s de su 
false inicio) y se llama regla de1 producto. 
Antes de enunciar la regla de1 producto, veamos c6mo podrfamos descubtila. En el 
case donde tanto u = f (n) coma o = g(x) son funciones positivas, podemos interpreter el 
producto uv coma un tiea de un rectingulo (Fig. 1). Six cambia una cantidad An, entonces 
10s cambios correspondientes en u y v son 
Au = f(x + Ax) -f(x) Au = g(n + Ax) - g(x) 
y el nuevo valor de1 producto, (u + Au)(v + Av), se puede interpreter coma el tiea de1 
recthngulo grande la figura 1 (siempre que Au y Au scan positives). 
El cambio en el tiea de1 rectingulo es 
A(u) = (u + Au)(v + Au) - cm = u Au + u nu + AU Au 
= la suma de las tres tieas sombreadas 
Si dividimos entre Ax, obtenemos 
Hecue,& qtie en la notac16n de 
Leibmz la definict6n de dewadas se 
A(w) Au AU AL 
~=u~+u~+Au~ 
AX 
Si ahora hacemos que Ax + 0, obtenemos la derivada de uv: 
(Advierta que AU ---f 0 cuando Ax + 0 puesto quefes derivable y. por lo tanto, continua.) 
Aun cuando se parti de la hip6tesis (para la interpretaci6n geom&rica) de que todas 
las cantidades son positivas, observamos que la ecuacidn 1 siempre es verdadera. (El age- 
bra es v&lida si u, v, Au, y Au son positivas o negativas.) De mode que hemos probado la 
ecuaci6n 2, conocida coma regla de1 producto, para todas las funciones derivables u y u. 
l:, !, :;5, Si tanto f como 9 son diferenciables, entonces 
$ Wdsb)l = f(x) $ [SC41 + SW $ [fb)l 
En p&bras, la regla de1 producto cxpresa que la derivada de un products de dosfun- 
ciones es la primera funcidn multiplicada par la derivada de la segunda. mds la segunda 
funcidn multiplicada pm- la derivada de la primera. 
EJEMPLO 1 Una compafiia telef6nica desea estimar el ntimero de lineas nuevas de 
telkfonos residenciales que necesitan instalar durante el mes venidero. A principios de 
enero de 1999, la compafifa tenia 100,000 suscriptores, cada uno con (en promedio) 1.2 
lineas telef6nicas. La compaiifa estim6 que sus suscriptores es&ban aumentando a raz6n 
de 1,000 menwales. Al hater un escmtinio entre SW suscriptores existentes, ha116 que 
cada uno pretendfa instalar un promedio de 0.01 lfneas telef6nicas nuevas para fines de 
enero. Estime el ndmero de lineas nuevas que la compatifa tendrri que instalar en enero, 
1999, calculando la tasa de crecimiento de las lineas a principios de1 ma. 
Sean s(t) 10s suscriptores y n(t) la cantidad de lfneas telef6nicas por suscriptor 
en el tiempo t, donde t se mide en aios y t = 0 corresponde al inicio de 1999. Entonces 
el nfimero total de lfneas se express por 
L(t) = s(t)n(t) 
tri lb +lgUla 2 be rnue*tian ,as grail- 
cas de la funclbn f del ejemplo 2 y su 
dewada /‘. Advierta que f’(x) es posi- 
tiva cuando f crece y negativa cuando f 
dism,nuye. 
y deszamos halIar L’(O). Segtin la reglgla de1 producto, tenem~s 
L’(t) = $ [s(t)n(t)] = s(t) $ n(t) + n(t) $ s(t) 
Se nos da que s(O) = 100,000 y n(0) = 1.2. Las estimaciones de la comptiia referentes 
a las tasas de incremento son que s’(O) = 1,000 y n’(O) = 0.01. Por consiguiente, 
L’(0) = S(O)“‘(O) + n(O)s’(O) 
= 100,000’ 0.01 + 1.2 1000 = 2200 
La comptiia necesita instalar unas 2,200 lineas nuewx durante enero de 1999. 
Advierta que 10s dos tkminos que surgen de la regla de1 producto vienen de diferentes 
fuentes: suscriptores antiguos y snscriptores nuwos. Una contribucidn para L’ es el 
nthnero de suscriptores existentes (10,000) multiplicado por la raz6n en que ordenan 
nuevas lineas (alrededor de 0.01 por suscriptor mensuahnente). Una segunda contribuci6n 
es el ntimero promedio de lineas por suscriptor (1.2 a principios de1 mes) mnltiplicado por 
la tasa de incremento de 10s suscriptores (1,000 al mes). 
EJEMPLO 2 Si f(x) = xe”, encuentre f’(n). 
i’,. Por la regla de1 producto, tenemos 
f’(x) = $ (xc”) = x; (e”) + e^ ; (1) 
= xez + ez 1 = (x + 1)e’ 
tJEMPLO 3 Derive la funci6n f(t) = 4 (1 - r). 
‘C,[^ 3, Si se aplica la regla de1 producto, tenemos 
f,(t) = J; $ (1 - t) + (1 - t) 2 J; 
= Ji(-1) + (1 - r) ‘it-“* 
=-$+$LLL$L 
‘_‘~ ‘: < Si, en primer lugar, usamos las leyes de 10s exponentea para volver a 
escribirflr), entonces podcmos proceder directamente, sin aplicar la regla de1 producto. 
f(t) = J; - tJ; = t’iZ - 912 
f’@) = $I/2 - p/z 
la cual equivale a la respuesta de la soluci6n 1. 
En el ejemplo 3, se hate ver que a veces es miis ftkil simpliiicar un product0 de fun- 
ciones que utilizer la regla de1 producto. Sin embargo, en el ejemplo 2, eta regla es el 
dnico m&odo posible. 
EJEMPLO 4 Si f(x) = &g(x), donde g(4) = 2 y g’(4) = 3, encuentre f’(4) 
StCr,“n A.2 REGLAS DEL PRODUCT0 Y EL COCIENTE 0 18.3 
SI se aplica la regla de1 producto, obtenemos 
f’(x) = $ M s(x)1 = J; -$ rsb91 + g(x) 2 [&I 
= J; g’(x) + g(x) ; x -m 
s(x) = &g’(x) + - 
245 
Par lo tanto 
f’(4) = dTg’(41 + $$ = L 3 + & = 6.5 
Regla de1 cociente 
Suponga que f y 9 son funcionesderivables. Si establecemos la hip&&s previa de que la 
funci6n cociente F = f/g es diferenciable, entonces no es dificil hallar una fkmula para 
F’ en tkminos de f’ y g’. 
Dado que F(x) = f(x)/g(x), podemos escribir f(x) = F(x)g(x) y aplicar la regla de1 
producto: 
f’(x) = F(.M4 + g(W(x) 
Si se resuelve esta ecuaci6n pam F’(x), obtenemos 
F,(x) = f’(4 - F(&iM = 
d-d s(x) 
= sww -f(.dg'(x) 
k7w 
c > f(n)‘= s(.df'(d -f(dg'(x) s(x) klw 
Aun cuando la f6rmula se. dedujo suponiendo que F es derivable, se puede probar sin 
esta hip6tesis (v&w el Ejerc. 44). 
Si tantofcomo g son derivables, entonces 
En p&bras, en la regla de1 cociente se express que la derivada de un cocienre es el 
denominador multiplicado par la derivada de1 numerador; menm el numerador multipli- 
cadopor la derivada de1 denominadol; todo dividido entre el cuadrado de1 denominador. 
La regla de1 cociente y las otras f6rmulas de derivacidn permiten calcular la derivada 
de cualquier funci6n rational, coma se ilustra en el ejemplo que sigue. 
= (x’ + 6)(2x + 1) - (x’ + x - 2)(3x’) 
(x’ + 6)2 
~ (2x4 + x3 + 12x + 6) (3x’ + 3x’ - 6~‘) 
(x’ + 6)2 
-xi 2x’ + 6x2 + 12x + 6 
(x’ + 6)” 
b Encuentre una ecuacidn de la recta tu~g~ntr: d la LXT\B y = r’/(l + x’) 
. 0 (L42. 
De acuerdo con la regla de1 cociente, tenemos 
dr ~ 
(I + x’) $ (e”) ~ e=$ (1 + h‘) 
dx (1 + x2)2 
= (1 + n’)eX - 8(2x) e’(1 - 1)’ 
(1 + .y = (1 +x2)* 
De modo que la pendiente de la recta tangente en (1, e/2) es 
dy’ e. 
dx 1=1 
Esto significa que la recta tangente en (1, e/2) es horizontal y su ~~1acn51~ cs J = e/2. jV&sz 
la Fig. 4. Advierta que la fun&n es creciente y que cmza su recta tangente en (I, e/2).1 
NOTA q No utilice la regla de1 cociente cada vez que vea un cocmm A veces, tb m& 
fkil volver a escribir un cociente pan ponerlo en una forma que sea m&s sencilla para 10s 
fines de derivaci6n. Pot’ ejemplo, sun cuando es posible derivar la fun&n 
F(n) = 
3x2 + 2& 
x 
aplicando la regla de1 cociente, es mucho III& fkil dividir ptimero y esxbn la ~~ILXXI 
corn0 
F(x) = 3x + 2x-l” 
antes de derivar. 
32 Ejercicios 
1. Encuentre ,a derivada de y = (x’ + 1)(x> + I) de dos maneras: 
aplicando la regla de1 producto y efectuando primer0 la 
multiplicacibn. iConcuerdan s”s resultados? 
z. Encuentre la derivada de la funcidn 
F(x) = 
x-3x& 
.h 
de doa mancras: aplicando la regla de1 cociente y simplifictidola 
primero. Muertre que concuerdan s”s respuestas. ~Quut mttodo 
pretiere? 
Derive la funci6n. 
21. ,(I, = 2 
X+4 
x 
ar+b 
22. f(x) = cxfd 
i: iii Escriba um ecuacx5n de la tangate a la cwva en cl punro 
dado. 
2x 
23. y=- 
x+ 1 (1, 1) 
24. y=-, .vi;, (4,0.4) 
25. ,b = he', [O,O) 26. y= $, (1,e) 
27. (a) La CUIY~ y = l/(1 + x’) se llama bruja de Maha Agnesi. 
Encuentre una ecuacidn de la recta tangente a esta c”rva en 
elpunto(-1,;). 
Lb) Ilustre el incise a) trazando las gr8icas de la c”nw. y la recta 
tangente en la misma plantilla. 
26. 
26. 
30. 
31. 
32. 
33 
34 
(a) La CUIW y = x/(1 + x’) se llama serpentim. Encuentre 
una ec”aci6n de la recta tang&e a esta c”rva en el punto 
(3, 0.3). 
(b) Ilustre el incise a) trazando las grticas de la c”rva y la recta 
tangente en la misma pantalla. 
(a) Si f(x) = e’/x’, halle f’(x). 
(b) Compruebe que s” respuesta al incise a) es razonable, corn- 
panmdo las graficas defy f'. 
(a) Si f(x) = x/(x' - l),balle f'(x). 
(b) Compmebe que s” respuesta al incise a) es razonable, com- 
parando las g~ttficas de f y f '. 
Suponga que f(5) = 1, f’(5) = 6, g(5) = -3, y g’(5) = 2. 
Encuentre 10s valores de (a) (fg)‘(5), (b) (f/g)‘(S), y (c) @/f)‘(S). 
Si f (3) = 4, g(3) = 2, f ‘(3) = -6, y g’(3) = 5, halle 10s 
ndmeros siguientes: 
(a) (f + d’(3) (b) (fg)‘(3) 
(cl (fld’(3) f ‘(3) (d) f - 9 i ) 
Si f(x) = @q(x), donde g(0) = 2 y g’(0) = 5, halle f ‘(0). 
Si h(2) = 4 y h’(2) = -3, encuenk 
d h(x) 
( )I dx x r=z 
35. Si f y cj son las funciones cuyas gr&ficas be m”cstmn, Sean 
44 = f (X)S(~) Y u(x) = f (add 
(a) Encuentre u’(1). (b) Encuentre u’(5). 
36. 
37. 
Si f es una funci6n derivable, encuentre “na expres~in pam la 
derivada de cada ““a de la siguientes funciones: 
(a) Y = x’f (x) (b) y = 9 
En ate ejercicio, e~t~munos la tasa a que se esti elevando 21 
ingreso personal total en el drea metropolitana de Miami-R 
Lauderdale. En julio de 1993, la poblaci6n de esta tiesea era de 
3,354,OOO y crecia a razdn de “nas 45,000 personas por 60. El 
ingreso anual promedio fue de 21,107 d6lares per cdpita y ate 
promedio aumentaba alrededor de 1,900 d6lares por afio (bien 
por arriba de1 promedio national de alrededor de 660 ddlares al 
aiio). Aplique la regla de1 producto y estos valores para &mar 
ia ubd d id que .xccia 4 mgreso personal total en Miami-I+ 
Lauderdale, en julio de 1993. Explique el significado de cada 
tCrmino en ,a regla de1 producto. 
38. Un fabricante produce roll05 de una tzla con un ancho fijo. La 
cantidad 4 de esta tela (medida en yardas) la vende en 
funci6n del precio de venta p (en d6lares par yarda), de mode 
que podemos escribir 4 = f (p). Entonces el ingreso obtenido 
con el precio de ventap es R(p) = pf (p). 
(a) i.Qd significa deck que S(20) = 10,000 y 
f’(20) = -350? 
(b) ~omr 10s valores que se dan en el incise a), encurntre R’(20) 
e interprete S” iespuesta. 
39. bCu&ltas rectas tangems a la C”rYa y = x/(x + 1) pasan por el 
punt” (I, 2)? & cuBles puntos estas tangelm tocan la curva? 
00. Encuentie las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 
y = (x - 1)/(x + 1) que Sean paralelas a la recta x - 5 = 2. 
41. (a) Utilice la regla de1 product0 por dos veces para probar que si 
f, y, y h son diferenciables, entonces 
(fgh)’ =f& + fg’h + fgh’ 
ib) morns f = y = h en el incise a) y demuestre que 
$ [f(r)J’ = 3wdl’f’(~, 
42. (a) Aplique la definicihn de derivada para probar la &a de1 
reciproco: Si 9 es diferenciable, entonces 
(b) Aplique la regla de1 reciproco para deriva la iuncl6n do1 
ejercicio 19. 
43. Utilice la regla de1 reciproco para comprobar que la regla de 
la potencia es vtiida para 10s enteros negatives; es deck 
para todos 10s enteros positivos n. 
44. Aplique las regias del producto y de1 reciprocu para probili La 
regla de1 cocienfe. 
3.3 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales ,, 
Recuerde -pa lo vista en la secci6n 2.8- que si y = f(x). entonces la derivada dy/dx 
se puede interpretar coma la ran511 de cambio de y con respecto an. En esta seccidn exa- 
minaremos algunas de las aplicaciones de esta idea a la fisica, la quimica, la biologia, la 
econoda y ottas ciencias. 
Con base en la secci6n 2.7, recordemos la idea b&ica que se encuentra detras de la: 
razones de cambio. Si x cambia de x1 a x1. entonces el cambio en x es 
y el cambio correspondiente en y es 
Ay =f(xd - fbi) 
m,* = ran% promedio de cambio 
n, = f’ (x,1 = rar6n inatadnea de 
de cambio 
El cociente de diferencias 
ay = f(a) - SbJ 
AX x2 - XI 
es la ran511 promedio de cambio y con respecto ax sobre cl inrervalo [x,, xz] y be 
puede interpreta come la pendiente de la recta secante PQ de la figura 1. Su limit% 
cuando Ax + 0 es la derivada f’(xJ, la cual, par lo tanto, puede interpretarse coma la 
ran511 insta&nea de cambio de y con respecto a x, o sea, la pendiente de la recta 
tangente en P(x,,f(x,)). Si se usa la notaci6n de Leibniz, escribimos el proceso en la 
forma 
S:lempre que la funciCln y = ,f(x) tenga una interpretaciCln especifica en una dr las ciencias, 
su derivada tendra una interpretaci6n especifica coma raz6n de cambio. (Coma se analir6 
en la Sec. 2.7, las unidades de dy/dx son las unidadec correspondientes a y divididas entre 
las de x.) Veamos ahora algunas de estas interpretaciones en las ciencias nanxales y 
sociales. 
FisicaSi s = f (t) es la funci6n de posici6n de una particula que se mueve en linea recta, enronces 
As/At representa la velocidad promedio en un periodo At, y v = dsjdt representa la 
velocidad instant&xa (la razbn de cambio de1 desplazamiento con respecto al tiempo). 
Esto se vio en las secciones 2.1 y 2.8; pero ahora que conocemos las fCIrmulas de 
derivacibn, somos capaces de resolver 10s problemas de velocidades con mayor facilidad. 
“I,: j La ecuaci6n que sigue da la posicidn de una particula 
s =f(r) = t3 - 6~’ + 9t 
donde I se mide en segundos y s en metros. 
(a)Encuenrre la velocidad en el instante t. 
(b)iCuBl es la velocidad despuks de 2 y 4 S? 
(c);Cuindo esti en repose la puticula? 
(d)iCuBndo se mueve hack adelante (es decir, en direcci6n posiuvaj? 
(e)Dibuje un diagrama que represente el movimiento de la particula. 
(f) Encuentre la distancia total recorrida por la partfcula durante 10s cinco pnrncrub xgundus. 
(a) La funcidn velocidad es la derivada de la funci6n de posici6n 
s =f(t) = t' 6t2 + 91 
(b) La vzlncidad despuCs de 2 .r significa la velocidad insranr.kea cuandr, I = 2. e\ dez~ 
42) = $ = 3(2)’ - 12(2) + 9 = -3 m/s 
La velocidad a 105 4 segundos es 
v(4) = 3(4y - 12(4J + Y = Y m/s 
(c) La particula at8 en repose cuando u(t) = 0, esto es, 
3t2 - 12t + 9 = 3(? - 4t + 3) = 3(t - l)(J 3) = 0 
y esto se cumple cuando f = 1 o I = 3. De donde, la particula esta en repo\r> dcapu& de 
1 s y despuCs de 3 s. 
(d) La pakula se mueve en direccidn posit& cuando u(t) > 0, es deck 
3f2 122 + 9 = 3(r I)@ - 3) > 0 
Esta desigualdad se cumple cuando ambos factores son positives (r > 3) o cuandu Ia 
dos son negatives (t < 1). Por tanto, la paxticula se mueve en direccidn positiva en 
10s periodos t < 1 y f > 3. Se mueve hack at& cuando 1 < t < 3. 
1=3 
S=O 
(e) En la figura 2, se esquemat,za el movmnento de la particula. 
(f) En virtud de lo que vimos en 10s incises (d) y (e), necesitamos calcula las dx~~~ua~ 
recorridas durante 10s periodos [O, 11, [1, 31 y [3, 51, por separado. 
La distancia recorrida en el primer Segundo es 
t=o 
s=o 
if(l) -f(O) / = j 4 - 01 = 4 m 
De f = 1 a t = 3 la distancia reconida es 
/f(3) -f(l) 1 = 10 4 / = 4 “I 
De t = 3 a f = 5 la distancia reconida es 
lf(5) -f(3) = 120 - 01 = zom 
La distancia total es 4 + 4 + 20 = 28 m. 
: ), E (8, ,i ;. ; :? Si una vanilla o un trozo de alambre son homog6nneo.x entonctb su denw 
dad lineal es unifomx y se define coma la mass por unidad de longitud (p = m/l) y se 
mide en kilogramos pm metro. Pero suponga que la willa no es homogknea sino que su 
masa medida desde su extrano izquierdo hasta un punto x es m = f (x) coma se muestra 
en la figua 3. 
I 
Esta pate de la varilla tiene masa f(x) 
I I I 
x1 12 
La mass de la pate de la varilla qne se encuentra entre x = n, y x = xz se cxpresa 
con Am = f(x2) - f(xl), de modo que la densidad promedio de esa seccirin es 
Am 
coniente promedio = - = 
f(n) - fbi) 
AX x* ~ XI 
Si ahora hacemos que Ax + 0 (es decir, x2 +x1), calculamos la densidad promedlo 
sobre un intervalo cada vez m& pequefio. La densidad lineal p en x1 es el lfmite de 
estas densidades promedios cuando Ax + 0, es decir, la densidad lineal es la r&n de 
cambio de la masa con respecto a la longitud. En forma simbdlica, 
Asi entonces, la densidad lineal de la varilla es la derivada de la mass con respecto a la 
longitud. 
Por ejemplo, si m = f(x) = &, en donde x se mide en metros y m en kilogramos, 
entonces la densidad promedio de la pate de la vailla dada por 1 s x s 1.2 es 
Am 
AX 
f(1.2) -f(l) = m - 1 ? o,48 kg,m 
1.2- 1 0.2 
en tanto que la densidad en x = 1 es 
&?I 1 
p=dr.=, I I =2J; ==, = 0.50 kg/m 
EJtMPLU 3 Hay corriente siempre que la& cargas elkzricas se mueven. En la figura 4 
se muestra pate de un alambre con electrones que cruan una superficie plana 
sombreada. Si AQ es la carga neta que pasa por esta superficie durante un periodo At, 
entonces la corriente promedio durante este intervalo se define coma 
corriente promedio = 2 = 9: 1 f1 
Si tomamos el limite de esta corriente promedio sobre lapsob n&s y ~a) brevea 
obtenemos lo que se llama corriente I en un instante dado fi: 
Par tanto, la corriente es la rapider con que la carga fluye pur una supcrtxx. SC tmdc en 
unidades de carga por unidad de tiempo (a menudo coulombs por Segundo, llamados 
amperes). 
La velocidad, la densidad y la corrienre no son las umcas ruones de camblo de import 
tancia para la ffsica. Otras incluyen la potencia (la rapidez a la curd se realiza trabajo), la 
rar6n de flujo de calor, el gradiente de temperatura (la raz6n de cambio de la temperatura 
con respecto a la posici6n) y la tasa de desintegracidn de una sustancia radiactiva en la 
ffsica nuclear. 
Quimica 
EiErMI'LO 4 Una reacci6n quimica genera una o m&s SUS~~IC~I~ (Ilamada& pruducwb) a 
partir de uno o m& materiales de arranque (reactivos). Por ejemplo, la “ecuaci6n” 
2H2 + 02 --------) 2H20 
indica que dos mol&ulas de hidr6geno y una de oxigeno forman dos moMc&s de aqua 
Consideremos la reacci6n 
A+B+C 
donde A y B son 10s rcactivos y C es el producto. La concentracich dc UII r~a~‘t~u 
A es el nlimero de moles (6.022 X 10” mokulas) por litro y se denota con [Al. La con- 
centraci6n varfa durante una reacci6n, de modo que [A], [B] y [Cl son funciones 
del tiempo (t). La velocidad promedio de reacci6n del producto C durante un periodo 
fl s t s t2 es 
NC1 _ [Cl(h) - [‘%I) 
At t2 - t1 
Pero 10s quimicos tienen m& inter& en la velocidad instantzinea de reacc%n, ia a~ai x 
obtiene tornado el lfmite de la velocidad promedio de reacci6n conforme el intervalo Ar 
tiende a 0: 
UC1 ~ d[Cl velocidad insttitanea de reacci6n = lim ~ - - 
I,-o Ar dt 
Puesto que la concentraci6n de1 producto aumenta a medida que la reacci6n avanza, la 
derivada d[C]/dr s&I positiva (Puede ver intuitivamente que la pendiente de la tangentc 
a la gr&ica de una funci6n creciente es positiva.) Luego la velocidad de su acci6n de C 
es posmva. Sin embargo, las concentracwnes de 10s rcactivos dismmuyen durante la 
reacci6n; par lo tanto, para que las velocidades de reaccidn de A y B scan nfimeros 
positives, ponemos signos negatives delante de las derivadas d[A]/dt y d[B]/dr. Dada 
que [Al y [Bl disminuyen con la misma rapidez que [C] crece, tenemos 
d[Cl d[Al d[Bl velocidad instant6nea de reacci6n = ~ = - - = ~ _ 
dt dr dt 
De mode mb general, resulta que para una reacci6n de la forma 
aA + bB -cC+dD 
1 &Al 1 d[Bl 1 4’3 1 d[D] --~=-bdr=cd2=-- 
a dt d dt 
La velocidad de reacci6n se puede determiner con mktodos grSicos (vbase cl 
ejercicio 20). En algunos cases, podemos user la velocidad de reacci6n con el tin de 
hallar fkmulas explicitas pam las concentraciones como funciones de1 tiempo 
(v&me 10s Ejercs. 9.3). 
‘rJEN’P?:: 5 Una de las cantidades de inter& en la terrnodin&nica es la 
compresibilidad. Si una sustancia dada se mantiene a una temperatura constante, 
entonces su volumen V depende de su presi6n P. Podemos considerar la r&n de 
cambio de1 volumen con respecto a la presibn: a saber, la derivada dV / dP. Cuando P 
wee, V decree, de modo que dV,dP < 0. La compresibilidad se define al 
introducir un signo menus y dividir &a derivada entre el volume” K 
compresibilidad intema = p = - $ g 
Por lo tanto, /3 mide cuiin ripido, par unidad de volume& decrece el volumen dr una 
sustancia a medida que la presi6n aumenta, a temperatnra constank. 
Por ejemplo, se encontr6 que la ecuacidn relaciona el volumen V (en metros 
chbicos) de una muestm de aire a 25 “C con la presi6n P (en kilopascales). 
La raz6n de cambio de V con respecto a P, cuando P = 50 kPa, es 
La compresibilidad a esa presi6n es 
1 dV 0.00212 
P=--- V dP p=so 
= - = 0.02 (m3/kPa)/m’ 
5.3 
lo 
Biologia 
Sea II = f(t) el nhmero de individuos de una poblaci6nde animales o 
:U en el tiempo f. El cambio del tamaio de la poblaci6n entre 10s tiempos r = f, y 
f = 11 es An = ,f(t:) -f(r)), de modo que la tasa promedio de crecimiento durante el 
period” f, < f < f2 es 
An 
tasa promedio de crecimiento = I\t = f(h) -.fb) 
12 - f, 
La tasa instantha de crecimiento se obtiene a panir de esta tasa promedio al hater que 
el period” At tienda a 0: 
An dn 
tasa instantkvsa de crecimiento = Jill, It = z 
En tCnninos estrictos, esto no es muy exacto porque la gr&a real de una funcidn de 
poblaci6n n = ,f(t) serfa una fun&n escaldn que es discontinua siempre que ocurre on na- 
cimiento o una muene y, por lo tanto, no es diferenciable. Sin embargo, para una pohlacidn 
grande de animales o plantas, podemos reemplazar la gr&ica con una curva lisa de aproxi- 
maci6n (Fig. 5). 
Una cum3 lisa es una aproxnnacidn 
a una funckin de crecimiento 
Para xr mzk especificos, considere una poblaciirn de bactenas en un medio nummvo 
homogeneo. Suponga que. por media de la toma de muestras de la poblaci6n a ciertos 
intervalos. se determina que esa poblaci6n ce duplica cada horn. Si la poblnci6n initial es 
no y el tiempo f se mide en horas, entonces 
f(I) = 2f(O) = 2rl” 
f(2) = ?f(l) = 2%,1 
f(3) = ?f(Z, = l’nrr 
y en general, 
f(r) = 2’no 
La funcidn de pohlacidn es n = ni,Z’ 
202 3 ca 
En la recciSn 1.1 analiramos lx derivadas de las funciones exponenciales y encon- 
traln”S que 
; (2’) = (0.69)2’ 
Por lo tanto, la tasa de crecimiento de la poblaci6n de bacteria. en el tiempo i. es 
2 = i (~2’) = n,i(0.69)2’ 
Par ejemplo, suponga que se parte con una poblaci6n initial de nn = 100 bacterias. 
Entonces. la tasa de crecimienro de?pu& de 4 horas es 
dnl 
dr Ii-, 
= 100(0.69)2’ = I I04 
Esto signitica que, despu& de 4 horas. la poblaci6n de bacterias crew a rar6n de unas 
I IO0 bacterias por hon. 
Cuando consideramoq el flujo de la sangre por un vase wnguineo. en 
una vena o ma arteria. podemos tomar la forma de este vase corn” el de un tubo 
cilindrico con radio R y longitud I (Fig.6). 
Debido a la fricciSn en las paredch del tuba, la velocidad u de la \anyre es maxima 
a lo lqo del eje central del propio tubo y decrece conforms aumenta la distancia r 
del eje. hasta que v se vuelve 0 en la pared. La ley del flujo laminar dwxbierta por 
el fisico franc& Poiseuille en 1840. express la relaciCln entre ~1 y I. En &I se afimu 
ve 
donde TJ e\ la viscosidad de la sangre y P es Ia diferencia en la presi6n entre lo\ 
extremes del tuba. Si P y I son conaantes, entonces II es funci6n de r. con dominio 
[O. RI. [Para una infomxci6n mis detallada. v&w W. Nichol\ y M. O‘Rourke (edts.) 
McDonuid’s Blood F/m in Arteries: Theoretrc. E.qrrinwntnl, md Cl~nicoi 
Prin+ie.~. 3a. ed. (Filadeltia: Les & Febiger. 199tI.j 
La raAn promedio de cambio de la velocidad. cuando nos movemos de r = r, 
hacia afuera, hasta r = I: es 
Arv u(c) - u(r,l 
Ar i-2 - I, 
y zi hacemos que Ar - 0, obtenemos el gradiente de velocidad, que es la rar6n 
in\tantinea de cambio de la vclocidad con rapecto a r: 
gradiente de velocidad = !f~,, $ = $ 
Con la ecuacidn I obtenemos 
Para una de lx anerias humana, m& pequefias, podemos tomar 7 = 0.027, R = 0.008 
cm, I = 2 cm. y P = 4,000. dinasicm*, lo cual de 
4.000 
= 4(0.027)2 
(0.000064 - r2) 
= 1.85 X lO’(6.4 X IO-‘ - r’) 
En r = 0.002 cm. la sangre fluye a una velocidad de 
~(0.002) = I.RS X lO’(64 X 10~” - 4 X 10~“) 
= I.1 I cm/s 
y el gradientc dc velocidad en ese punto e‘; 
Para tener una idea de lo que e\lo significa. cambicmos nuestras unidades de cen- 
timetros a micr6metros (I cm = IO.000 ,~rn). Entonces el radio de la nrteria es de 80 /~m. 
La velocidad en et eje central e\ de I I.850 pm/s. la cual disminuye hasta I I, I IO pm/\ a 
una distancia de r = 20 wm. El hecho de que dl’/ilr = -74 (p*m/\)/@m significa que 
cuando I’ = 20 ~rn, la velocidad disminuyr a rardn de mjs o menor 74 &m/s par cada 
micrdmetro que no~ alqjemos del centro. 
Economia 
Suponfa que Cki es el costo total en que una compafiia incurre al pro- 
duck x unidades de cierto articulo. La funcikl C se llama funci6n de costo. Si el 
nlimero de articulos producidos se incrementa de .I, hxta .x2, el costo adicional e\ 
AC = C(x:) - C(.r,). y la ran511 promedio de cambio drl costo es 
[Coma x suele loo& ~610 \alorr\ enteros. quiG no tenga sentido hacrr que Ax tienda a 
0, pero siempre podremo\ reemplazar C(x) con una funciSn lka de aproximacidn. coma 
en el Ejem. 6.1 
Si se toma AI = I y II grande (de mode que AY sea pequeiio en comparaciCln con n). 
tenem”S 
Entonces. el costo marginal de producir n unidades e\ aproxlmadamenre 1gua1 al costo de 
elaborar una unidad m8s [la (n + I) .&ma unidad]. 
A menudo. resulta apropiado representa una funci6n de costo total con on polinomio 
C(x) = a + b.r + cx' + dxx' 
donde a representa el costo de 10s gastos generales (renta. calefaccidn. man~enmuenro~ 1 
Ios dem& tCmkms. el costo de las materias prima, la mano de obra. etc&era. (El co\fo 
de las materias prima puede ser proportional a I, pero 10s cows de la mano de obre 
podrian depender parcialmente de potencia\ mayores de I, debldo a 10s costos del 
tlempo extra y de las faltas de eticiencia relacionado~ con las operacioner a gran escala.) 
Por ejemplo. suponga que una compafiia ha ertimado que el c~sto (en d&ares) de 
producir .x aniculos es 
C(x) = 1u.000 + sx - V.“,,, 
Entonces la funcidn de co~o marginal es 
C’(*i = 5 + O.O?,l 
El COW marginal en el nivel de producci6n de 500 articulos es 
C'i500) = 5 + 0.02(500) = S15/aniaula 
Esto da la rar6n a la cual ,e incrementan 10s co~tos con respecto al nivel de pmduccidn. 
cuando I = 500. y predxe el costo de1 SOI-kmo artfculo. 
El cost” real para producir el 501.Csimo articulo es 
C(501) - C(5OOI = [l0,000 f 5!5011 + 0.01(501)~] 
[l0.000 + 5lSOO1 + 0.01(5001~] 
= s15.01 
Adkiena que C’iSllO) = C(SO1 C(SO0). 
Lo\ economistas tambkn estudian la demanda. el mgreso 1 la utilidad marginal. que 
son las derivadas de las funciones de demanda, ingrsso y utilidad. &la\ \e consideran en 
el capitol” 3, despu& de desarrollar las tknica para hdllar lo\ ralore\ m8ximos y mini- 
mos de funciones. 
Otras ciencias 
La\ razones de cambio se pre\entan en todz Ias clencias. Un g&logo se intere?a en cono- 
cer la raz6n a la coal una mau intmsiva de rota fundida se enfria par conduccidn de1 calor 
hack las roca~ que la rodean. Un ingeniero desea conocer la razdn a la cual el agua Ruye ha- 
cia adentro o hacia afuera de un dep&l[o. Un gehgrato urbane \e interesa en la razdn de 
cambio de la densidad de poblacilin en una c&dad. al aumenta~ la distanan al centro de la 
propia ciudad. Un meteorfilogo \e interesa par la r&n de cambio de la presidn atmos- 
fkrica con rapecto a la altora. (V&se el Ejerc. IS. de la Sec. 9.4.) 
En psicologia. quienes se mteresan en la teoria del aprendiaje e\tudian la curia de1 
aprendizaje, la cual presenta en forma de gr6tica el rendimiento t’(t) de alguien que apren- 
de una habilidad. coma funcidn de1 tiempo de capacikSm r. Tiene on inter& particular la 
r&n a la cual mejora el rendimirnto a medida que pasa el tiempo: e( deck, dPldi. 
En wciologia, el cBlculo diferencial se aplica al anilisis del e?parcimiento de rumore$ 
(o de inno\acione\. novedades o modas). Si [J(I) denote la proporci6n de una poblacidn 
que conoce un rumor en el moment” r. entonces la derivada dp I dr denota la velocidad de 
esparcimiento de ese rumor. (V&w? el ejercicio xc&n. 3.5.) 
Resumen 
La velocidad, la densidad. la corriente, la potencia y el gradiente de temperaura. en fisica: 
la velocidad de reaccicin y la compresibilidad. en quimica: la tasa de crecimiento y la ve- 
locidad de la sangre. en biolo@a: el cost” mar&d y la utilidad marginal. en economia: la 
ran% dc flujo del calor, en geologia; la razdnde mejora del rendimiento, en psicologia, y 
la velocidad de esparcimiento de un rumor, en sociologia. son cases especiales de un con- 
cept” matem8tico: la deriwtda. 
&ta es una ilustraci6n de1 hecho de que pate de1 poder de las matemiticas se apoya en 
su abstraccibn. Un solo concept” matemkico abstracto (corn” la derivada) puede tener 
interpretaciones diferentes en cada ciencia. Cuando desarrollamos las propiedades del 
concept” matemAtico, de una ver y par todas, podemos regresar y aplicar estos resultados 
a to&as las ciencias. Esto es much” m& eficiente que desarrollar prop&dada de concep- 
tos especiales en cada una por separado. El matem&tico franc& Joseph Fourier 
(1768-1830) lo expres6 de manera sucinta: “Las matemAticas comparan 10s fen6menos 
m8s diversos y descubren las analogias secretas que 10s unen”. 
3.3 Ejercicios 
P’na particula se muew seglin la ley de movimlent” .$ = t If). 
r > 0. donde i w mide en \egundo\ y r en metros. 
(a) Encuentre la velocidad en el mitnnte I. 
(b) ~Cuji e\ la velocldad de\pu& de 3 \? 
(c) ;Cubnd” e\tA la panicula en rep”\“? 
(d) ;,Cu&nd” se mueve ha& adelante! 
(ei Encuentre la dlrtancia total recorrida durante Ioc 
pnmeros 8 \. 
cfl Dibulr un diagrama. corn” el de la figura 2. para ilustrar 
el movimiento de la particular. 
1. f(I) = r? - 1or + I2 2. f(r) = f3 91: + 13 + 10 
3. fir, = 1' - 12' + 361 4. f(t) = r4 - 4r + I 
5. s=r 
1: + 1 
6. s = ,?(3r' - 35r + 90) 
1. La funci6n de posici6n de una panicula esta dada par 
5 = I1 - 4.51' - 7f f20 
;CuBndo alcanz~ la panicula una velocidad de 5 m/s? 
6. Si se lanza una pelota venicalmente hack arnba con una 
veloadad de 80 pies/s, entonces su alum despues de f 
segundos es 5 = 801 16t’. 
(al ;CuAl es la altura mdnima que alcanza la pelota? 
Cbi ,,CuBI es la \elocidad de la pelota cuando rsti 96 pies arribe 
del pis” en w camno hack arriba’l y Juepo hacm abayP 
9. (ai Una compaiiia fabrica cin,,r para computadora a party de 
plaqutas cuadradas de silici”. Se daea con~eruc la long,- 
tud del lad” de rsa? plaquta5 muy pr6xima a 15 mm y. 
asimivn”. ,sber c6m” cambia cl Srea .4(a) de elIa\ cuando 
cambia la longitud ‘i del lad”. Encuentre Al IS1 y sxpiique 
su slgmficado en csta Gruac!hn. 
tb) Demuestre que la rarbn de cambi” del Bra de “no de 1”s 
cuadrados con respect” a la longitud de w lad” es la mitad 
de w pertmetro. Explique geom~tticamente par que esto es 
cirno, dibujand” un cuadrado cuya longitud x dci lad” se 
mcremente en una cantidad AI. ;C6mo puede obtrner una 
nproxunac%n del cambio resultante en cl &a. AA si .LY es 
pequeflo’ 
10. (a) ES fkil hater crecer cristales de clorato de sodio en forma 
de cubes dejando que una soluci6n de erta sal en agua sc 
aapore con lentitud. Si Ves el volumen de un” de esos 
cubos. con longitud x del lad”, calcule dVl dx cuando 
x = 3 mm y explique su significado. 
lb) Demuestre que la rank de cambio del volumen de un cube 
con respect” a la Ion&d de su ari%a es igual a la mitad 
del Area superficial de ese cub”. Explique geom&icamente 
par quC este resultado es cieno: bkese en el ejercicio Yb) 
para establecer una analogia. 
11. (a) Encuentre la razdn promedio de cambio de1 Area de un 
circuio con respect” a w radio r, cuando Cute cambia de 
ii) 2 a 3 (iii 2 a 2.5 (iii) 2 a 2.1 
(b) Encuentre la raz6n instantA”ea de cambi” cuando r = 2. 
(cj Demuestrc que la rar6n de cambi” del tiea de on circulo con 
rnpcct” a co radio (a cualquier I) es igual a la circunferencia 
del circulo. lntente explicar geomCtricamente por quC est” es 
cicno dibujando on circulo coy” radio w incrementa cn una 
cantldad A,-. ;,C6mo puede “btener una apronmaci6n del 
cambio resultante e” el Area. AA si Ares pequefio? 
12. SC deja caet una pxdra en on lag” que crea una “nda crcu1.u 
que vidja hacu afuera con una \elocidad de 60 cmls. Encuentre 
la rarirn a la cual aumenta el irea dentro del circulo despuk de 
(a, I s. (b, 3 s y (c) 5 \. ~Que puede conclu~r? 
13. Se esti inflando un glob” esf.%co. Encuentre la ramn de 
aumenfo del &XI wperhcial (S = 4nr’) con reipecto al radio r. 
cuando &te e* de iu) I pie. (b) 2 pies y cc) 3 pies ,,A que 
conclusiones llegia? 
14. (al El volumende una ctlula e\f&ica en crecimxmo e\ 
I’ = t rrr’, donde cl radio I se mide en micrcimetros 
(1 firn = 10 *m). Encuentre la ran% promedio dc cambx 
de Vcon respecto a r. cuando Me cambia de 
(ij 5 a 8 I*‘” (ii) 5 a 6 urn (iii) 5 a 5.1 pm 
(h) Hall? la r&n ~nst;tnt~nea dc camhio de V con re\pecto a r. 
cuando r = 5 pm. 
ICI Demuestre que la rar6n de cambn del volumen de una 
esfera con respecto a so radio es igual a w area wperIicial. 
Enplique geometricamente par quC esto e5 &no. Argumenre 
por analogia con el ejercicio I I(c). 
15. La mara de la ptie de una varilla metztbca que se encucntrn 
entre so extreme izquierdo y un punto I metros a la derecba es 
3x’ kg. Encuentre la densidad Imeal (Ejem. 2) cuando .r es 
(a, I m. (b) 2 m y (c, 3 m. ;,En d6nde cs m$ a,&, la densldad y 
d6nde es m8s baJe’! 
16. SI un ranque cuntiene 5.OOOgalones de agua.iacual\r drrna 
dc\de el fond” del tanque en 40 min. enfoncc\ la ley de 
Torricelli da el bolumen 1/de agua que queda en el tanque 
desPu& de r minutw coma 
Encuentre la raz6n de drenado de\pu& de (a) S min. lb) 
IO min. (c) 20 min y (d) 40 min. iEn que momenro Ruye cl 
agua m&rapid” hacia afuera? ;,Con mayor lenritud? Resuma 
S”S hallazgos. 
17. La cantidad de carga. Q, en coulombs (Cl que ha pasado par un 
punto de un alambre hasta el tiempo I (medido en qegundos) se 
express con Q(r) = r’ - 21’ + 61 + 2. Encuentre la cornrn,r 
cuando (a1 f = 0.5 s y (b) t = I s. [V&se el Ejem. 3. La umdad 
de coniente es el ampere (1 A = 1 C/s).] ;,En qut momemo la 
corriente es m& baja? 
18. La icy de Newton de la gravitaciirn &ma que la magnirud F 
de la fuerza ejercida por un cuerpo de mass m hobre otro de 
mass M es 
GmM F=- 
2 
donde G es la constante gravitational y I es la distancia entre IOF 
C”Wp”S. 
(a) Si 10s cuerpoc estin moviendose. encuentre dFldr y explique 
su significado. ioue indica el sign” menos? 
(b) Suponga que se sabe que la Tiena atrae un ohjeto con una 
fuerra que dirninuye B la rardn de 2 N/km. cuandrr 
r = 20 000 km. ;,Con que rapida cambia rsta fuer/e wand” 
I = 10 000 km7 
19. La ley de Boyle enpresa que cuundo se comprime una mue~trn 
de gas a una temperafura constente. el producto de la prcsidn y 
el volumen se mantiene consrante: PV = C. 
(a) Encuentre la r&n de cambio del volumen en relacilin con 
la presi6n. 
(bl Una muesua de gas exa en un reapxnw a ha,” presmn y se 
Ic comprime paulatinamente a temperature constantr durante 
IO rmnuto<. ;,El volumen disminuye con mayor rapider al 
prmcipio o al tinal de 10s 10 mmutos? Enplique. 
(c) Pmebe que la compresibilidad isottrmica (v&se el Ejem. 5) 
se express co” p = I/P. 
20. Los dams de la tabId se relieren a la lactonizaci6n del aado 
hldronivalCrico a 25°C. y dan la concentrac~bn C(t) de este dcido 
en moles par lifro derpues de f mmutos. 
(a) Encuenlre la velocidad promedlo de reaccidn para 10s inter- 
~10s de tiempo ciguientes: 
(1) 2 5 , s 6 (ii) 2 S I G 4 (iii) 0 s f s 2 
(b) Sitlie en una grhfica 10s puntos de la tabla y dlhuje una 
curve li\a que pax por ellos. como una aproximaciiin para 
la gr5fica de la funcidn de concentraci6n. Luego trace la fan- 
gate en f = 2 y lisela para estmxu la velocidad instanttmea 
de reaccilin cuando r = 2. 
2: 21. La tabla proporciona la poblacirin en el siglo XX. 
I 
I 
(al Estime la tasa de crecimienfo de la poblaci6n en 1920 yen 
1980 promediando las pendientes de 2 rectas secantes. 
(b) Use una calculadora graiicadora o una computadora para 
encontrar una funcidn clibica (es de&, un polinomio de tercer 
grad”) que srxa pan mod&x lo? dates (ver la secci6n I .2). 
(c) Use el modelo de la pate (b) para encontrar un modelopara 
la ma de crecimiento de la poblacidn en el siglo XX. 
(d) Use la pate (cj para estnna las tasas de crecimxnto en 
1920 y 1980. Compare con sus estimaciones de la pate (a). 
le) Estime la tasa de crecimienlo en 1985. 
‘;; 22 La tasa de imeres sobre 10s bones de1 Tesoro de 10s E.U. es una 
funci6n del tiempo. La tabla siguiente de 10s valores a medio 
ario de esta funci6n. I(r) a lo lxgo de on perfodo de 9 ai~os 
(cum0 un porcentaje anual). 
(ii) USC una calculadora grahcadma o una computadora para (ij Cuando se disminuye la longltud efectiva de una 
mod&r e\tos dates con on polinomm de cuano grade. cuerda colocando un dedo sobre &a de modo que 
(b) Use la pane (a) para encontra un modelo para /‘(rl. vibre una ptie m& cona de la misma. 
(cl Mime la usa de cambio de Ia> rasas de inter& en 1988 ! (ii) Cuando se aumenta la tensi6n haclendo girar una de las 
1991. clavijas. 
(iii) Cuanda se aumenta la densidad lineal cambiando a otra 
cuerda. 
23. Si cn el ejcmplo 4 \e forma una molCcula del producto C a partir 
de und molecula del reactiao A y una mol&ula del reactive 6 y 
la\ conccntrac~ones m~~ale$ de A y B tienen un valor corntin 
[A] = [B] = n moles/l. entonces 
21. 
28. 
2; 
29. 
30. 
El costo. en d6lares. para producirr pares de jeans er 
fxr) = 2000 4 3x + 0.01.x’ + 0.0002.r’ 
[C] = ‘i’kI/kJkI + 1) 
donde k es una comtante. 
ia) Encuentre In wlocidad de reaccidn en el instante r. 
,b) Drmue\tre que ?i r = [C]. entonce, 
(a) Encuentre la Sunci6n de costo marginal. 
(b) Halle C’(lW) y explique su significado. iQuC pronostica? 
(c) Compare C’(lO0) con el costo de fabricaci6n de la 
101 &ma yarda. 
La fun&n de costo para un articulo Ed 
C(I) = 84 + 0.16x - 0.0006x~ + 0.000003.r‘ 
,c, ;,Qu6 Swede a la concenrrac16n cuando I -+ x ! 
cd1 i.QoC wcede a la wlocldad de rencci6n cuando i - x’? 
Ce) i,Que \ignifican en tCrminos practices 10s resultados de 10s 
mcisos (cl 1 (d)? 
24. Suponga que una poblaa6n de bacteria5 se m~ta con SO0 y que 
w triplica cada hors. 
(a, ;Cdl es la poblau6n de\puCc de 3.4 y i horas? 
(b) Use el resultado de (5~ de la recciirn 3.1 con el kin de 
estimar la r&n de ilumemc de la poblaci6n de bactcna\ 
de,pu& de 6 horas. 
25. Vea a la ley del Aujo lammar de1 ejemplo 7. Considere un YBW 
sanguineo con radio de 0.01 cm. longitud de 3 cm. diferencia de 
pres%in de 3.000 dmasicm’ y \iscosidad 7 = 0.027. 
(a, Encuentre la relocidad de la sangre a IO Iargo de la linea 
central I = 0. en el radio r = 0.005 cm y en la pared 
I = R = 0.01 cm. 
(b) Halle el gradiente de xlocidad en I = 0. I = 0.005 y I = 
0.01. 
(cl ;,Ddnde es maxima la vslocidad’? iD6nde cambia m& la 
velocidad’ 
26. La frecuencia de las vibracionec de una cuerda vibrante de un 
wolin se enpreu medxtme 
donde L er la longjtud de la cuerda. Tes su tensiCln y p e\ su 
dens,dad lineal. [V&se el Cap. I I en D. E. Hall. ,Mucrcui 
Acourrirs, 2a. ed. (Pacific Grove. CA: Brooks/Cole. 1991J.I 
(d) Encuentre la rarrin de camblo de la frecuencia con respect” a 
(11 Ld longitud (cuando T) p &on constantes). 
01) La tens16n (cuando I. y p son constane\,. y 
(111, La densidad I’neal (cuando L y 7 son conslanresi. 
(b) La Srecuencia/(entre in& alta es la frecuencia. mayor es la 
altura) determina la altwa de una nota lcu;ln alto o U&I 
bajo ~%a). Use 10s slgnos de las derivadas de1 inci\o a) 
pan, hallar que sucedc a la altura de una nota 
5: 
31 
,a, Encuentre e lnterprete c’(lO0). 
(bl Compare C’I 1001 con cl co\to para producir el 101 &imo 
articulo. 
(c) Grafique la fun&n de costo y estime cl pumo de inRexi6n. 
(d) Calcule el valor de x pan el cual C tiene un punto de 
inflexirin. ;,CuSl es el significado de este valor de x? 
Si p(x) es el valor total de 18 produc&n. cuando se tienen .t tra- 
bajadores en una planta. enfonces la produ tividad pmmrdio de 
la fuerra de trabdjo en la planra es 
(a) Encuentre A’(s). ;,Por quC la compaiua aesea con~rarar mas 
trabajadores SI Xix) > O! 
(b) Demuestre que A’(x) > 0 SI p’(l) es mayor que la produc- 
tividad promedio. 
SI R denota la reacci6n de1 cuerpo a algunos estimulos de inten- 
sidad x, la srnsibilidad S se define corn” la raz6n de cambio de 
Id reaccl6n con respect” ax. Un ejemplo particular es que 
cuando se aumenta la briilanter de una fuente luminosa. el ojo 
reacciond di\mmuyendo el drea R de la pupila. Se ha uwdo la 
f6rmula experimental 
40 + 24x”” 
R= 
I + 4x”” 
para mod&r la dependencla de R rerpecto ax. cuando R se 
mide en mllimetros cuadrados y I en unidades apropladas de 
bnllanru 
(a) Encuentre la senubilidad. 
(b) Ilustrc cl in&o (a) trazando las gr%~as de R y S coma 
funciones de I. Comente 10s valo~e~ de R y S con bajor 
nixleA dc brillanter. ;Es lo que usted e$peratia? 
La Icy de lo\ gases pam un gas ideal a la temperatura absoluta T 
(en kelvinsj ) la presi6n P (en atmbsferas). con un volumen V 
(en litros), es PI/ = NRT, donde >I es el mimer” de moles del gas 
y R = 0.0821 e\ la constante de los gases. Suponga que en cieno 
mstante. P = X.0 am y nunenta a rarh de 0.10 atmlmin. ) 
V = 10 L y disminuye a r&m de 0.15 L/mm Encuenrre la 
r&n de cambio de 7 con respecto al tiempo, en ese instame. si 
n = IO mol. 
32. En una gan,a piscicola. se introduce una poblaci6n de peces 
en un estanque y se cosechan con regulatidad. Un modelo 
para la rar6n de cambio de la poblacidn se enpresa con la 
ecuachl 
donde r,, es la tasa de nacimientos. P, es la poblaci6n m&kna 
que et estanque puede sostener (Ilamada capacidad dr 
mnrencidn) y p es el porcentaje de la poblacihn que se cosecha. 
(a) ;,CuSl valor de dP/dr corresponde a una poblacidn estable? 
(bl Si cl estanque puede sostener 10,000 peces, la tasa de 
nacimxnto eb de 5% y la tasa de cosecha es de 4%. 
encuentre el nivel estable de la poblaci6n. 
33. En el estudio de 10s ecosiatemas, a menudo se usan 10s modelos 
depredador-presu para estudiar la interacci6n entre las especies. 
ConGdere una poblaci6n de lobes de la tundra. dada por W(r). y 
de caribtis, dada par C(r), en el none de Canad. La mreracckin 
se ha modelado por las ecuaciones 
% = aC - bCW $=-cW+dCW 
(ai i.Cu8les valores de dCldr y dWldr corresponden a 
poblaciones estables? 
(b) ;Chmo se representark matrm&ticamente la afirmacihn “10s 
caibljs fan ha& la extinci6n”? 
(cl Supongaquen=0.05, b= 0.001,c=O.O5 y d=O.OQOl 
Encuentre todas las pxejas de poblaciones (C, WJ que con- 
ducen a poblaclones ambles. De acuerdo con este modelo, 
ies posible que las especies vivan en armonia o una de elks, 
o ambas. se entinguir&n? 
3.4 Derivadas de las funciones trigonometricas 
Antes de iniciar esta secci6n. quiz3. podria necesitar repasar las funciones trigcnom&icas. 
En particular, es importante recordar que cuando hablamos de la funci6n f definida para 
todos 10s nlimeros reales x por 
f(x) =senx 
se entiende que sen I significa el sent de1 ingulo cuya medida en radianes es x. Se cumple 
una convenci6n similar para las danas funciones trigonom&icas: cos, tan, csc, set y cot. 
Recuerde, por lo vista en la secci6n 2.4. que todas las funciones trigonomttricas son con- 
tinuas en cada nlimero en sus dominios. 
Si bacemos la gr8ica de la funci6n f(.k) = sen x y utilizamos la interpretaci6n de f’(x) 
entonces coma la pendiente de la tangente a la curva seno para trazar la grifica de f 
(v&se el Eierc. 14, Sec. 2.9), parece que la gtifica de esta liltima es la misma que la cur%+ 
coseno (Fig. 1). 
.r N 3 DERIVADAS DE LAS FUNClONES TRIGONOM6TRICAS 0 209 
Hemos usado la f6rmul.a de la 
adlcldn ,,ara el seno Vea el 
aohdice D 
.XB 
G 
E 
0 -A 
b) 
htentemOS conlirmar nuestra conjetwa de que si f (x) sen x, entonces f'(x) = cos X. A 
panir de la definici6n de derivada, tenemos 
f'(l) = lim f(x + h) -f(x) 
h-0 h 
= lim~en(~ + h) - senx 
h-O h 
= lim senxcm h + cos x senh- senx 
h-0 h 
senx cos h - senx 
= lfm senx . lim 
cm h - 1 se” h 
+ limcosx. lim- 
DOS de estos cuatro limites son fkiles de evaluar. f’uesto que considframos x cotno cons- 
tante cuando calculamos un limite cuando h + 0, tenemm 
lim senx =senx 
h-0 
y rrn, cos x = cos x 
El limite de (senh)/h no es tan obvio. Con base en la evidencia numtrica y gr&fica. en el 
ejemplo 3 de la seccidn 2.2, conjeturamos que 
sen e 
lim- = 
0-o f? 
1 
Ahora, usaremos un argumento geomCtrico para probar la ecuaci6n 2. Suponga primer0 
que 8 se encuentra entre 0 y 7~12. En la figura 2(a) se muestra “n sector de circulo co” cen- 
tro en 0, dngulo central 8, y radio 1. EC se tram perpendicular a OA. Por la definici6n de 
radik, tenemos arc AB = 0. Asimismo, /EC 1 = 1 OB / sen 0 = sen 0. Con base en el dia- 
grama, “emOS que 
Pa lo tanto, sen e < e de modo que 
se” e 
-<l 
8 
Sup6ngase que la tangentes en A y B se cmzan en E. Puede ver, con base en la figura 2(b) 
que la circunferencia de un circulo es menor que la longitud de un poligono circunscrito, 
de modo que arc AB < I AE I + I EB /. Por lo tanto, 
O=arcAB< IAEI + lEBl 
< JAEI + IEDl 
=IADI=IOA/tanfI 
= tan e 
(En el apkndice F se demuestra directamente la desigualdad 0 S tan tJ apatir de la delinicidn 
de longitud sin recunir intenci6n geomCtrica que verernw aqui.) AG que 
de mode que 
Sabrmos que Km R+ I = I y lfm, .,, co5 0 = I, por lo tanto, por el teorema de In corn- 
presiirn, tenemos 
se” 0 
Km _ = l 
H-l,- (j 
Pero la fun&k (sen HI/H eh una funci6n par. de werte que su? Ifmites par la derecha y la 
irquierda dehen ser iguala. De donde tenemos 
sen H 
lim-= I 
H.,, 0 
de tomu que hemos probado la ecuaci6n 2. 
Podemos deducir el valor del limire restanre en (11, coma vgue: 
lim 
co\ 0 I 
= Km 
L 
co\ 0 - I COY 0 + I co?0 - I 
s-0 n N-ii 0 cos n + 1 I= ~QB(C”SH+ I) 
= lim 
-WI’0 sen H WI0 
n-0 Hlcos 0 + I, -2 * co.5 H + I 
sen 0 
=-limp- Km 
sen 0 
cl-t> 0 ” ‘0 cos H + I 
0 =-I. ~ = 
i J I+1 
0 
lil l l 
cos 0 - I = 
“~-0 0 
0 
Si ahora ponemos Ios limites (2) y (3) en (I ), obtenemos 
= (smxi 0 + (cm 1) I = cos x 
Por tanto. hemos probado la f6rmula para la derivada de la funci6n seno: 
Derive y = x2 sen x. 
Con la regla del product0 y la f6rmula 4, tenemos 
SI se aplican 10s rmxnos m&ados que en la demostracmn de la tormula 4, se puede pro- 
bar (&se el Ejerc. 20) que 
2 (cos x) = -sen x 
TambiCn se puede derivar la funci6n tangente aplicando la detinici6n de derivada, pero 
es m&s fkil war la regla del cociente con las fdnulas 4 y 5: 
d d 
cos x dr (sen x) - senx d, (cos x) 
= 
cos2x 
COSX’COSX-ssenx(-senx) 
co&x 
= cos’x +sen2x 
cos5 
$ (tan x) = set** 
Tambien es fkil hallar lx derivadas de las funciones trigonom&ica\: restantes, csc, \ec 
y cot, aplicando la regla de1 cociente (vkmsc 10s Ejercs. 17.19). En la tabla que sigue, 
reunimos todas las f&m&s de derivaci6n dc Ias funciona trigonom&ricas: 
Cuando memor~ce esta tabla. resulta 
tit11 nota‘ que IX slgms me”05 “an 
con las dewadas de las 
“cofunc~ones”. es dew coseno, cose- 
came y cotangente 
3 
sell x) = cos x $ (csc x) = --csc .rcot x 
2 (cos x) = -sen x 2 (set x) = xc x tan x 
2 (tan x) = se& $ (cot x) = -c& 
3 
I 
-3 5 
FIGURA 5 
FIGURA E 
xc .r 
Derive f(.Y) = 
rite honrontal’? 
, + tan ., ;,Para cu5les \alores de .x la @ica deftiene 
La re& de1 cocicnte da 
f’(.r, = 
(1 + tan*)~!sec.il - se+ + tanx) 
(1 + tan xy 
(I + tan x) set x tan * - xc x . 9x5 
(I + tan x)2 
xc x [tan * + tan% - sec’x] 
(I + tan *I? 
set x(tanx - I) 
(1 + tan.+ 
Al simplificar la respuesta, hemos usado la identidad tan’\- + I = xc% 
Como w I nunca es 0, vemos que f’(x) = 0 cuando tan x = I, y esto sucede cuando 
I = HOT + ~14, dnnde n es un entero. (Fig. 4.). 
Las funciones trigonom&icas SC usan con frecucncla en el mod&do de fen6menos del 
mundo real. En particular. Ias vibraciones, las ondas, 10s movimientos ekticos y otras 
cantidades que varian de manera peri6dica se describen con funciones trigonom&ricas. 
Un objet” que se rncuentra en el extremo de un resorte venical se 
.~laza ha& abajo 4 cm m& all6 de su posici6n de repose. para estirar el resorte, y se 
deja en libatad en el instante f = 0. (V&se la Fig. 5 y note que la direcci6n hack abajo 
es positiva.) Su posici6n en el instante f es 
Encuentre la velocidad y la aceleraci6n en el instante r y iiselas pan analirar el 
movimiento del objet”. 
La velocidad y la aceleracidn son 
El objet” oscila desde rl punto m& bajo (S = 4 cm) hasta el punt” m8s alto 
(5 = -4 cm). El period” de la oscilaci6n es 277, el period” de cos f. 
La rapider (magnitud de la velocidad) es 1 L’ 1 = 41 sent 1, la cual es mkima cuando 
1 sen f 1 = I, es deck, cuando cos r = 0. De modo que el objet” se mueve con la mayor 
rapider cuando pass por su posici6n de equilibrio (s = 0). Su rapidez es 0 cuando 
serif = 0 , esto Ed. en 10s puntos alto y bajo. (Fig. 6.) 
Nuestro no primordial del limite de la ecu&k 2 ha sido en la demostraci6n de la f6r- 
mula de derivaci6n de la fun&n cero. Pero ate limite tambien sine para calcular otro 
limite trigonom&icc coma se ve ahore en el ejemplo. 
DERIVADAS DE LAS F”NCiONES TRlGONOMETRlCAS 7 213 
Para ampliar la ecuacih 2 primero reescribimos la funcidn multiplicando y 
dividiendo par 7, 
Observe que cuando x + 0. tenemos que 7x + 0, con 0 = lx, y, par lo tanto. par la 
ecuaci6n 2. 
Del tal mode 
Aqui dividimos el numerador y el denominador par x: 
lim cos x 
= lirn cosx = 1 ./I 
IS 3m4 Ejercicios 
11. y= I ,z, \' = ran r ' 
Se" I + CO\ 'i set ., 
13. 1 = y 14. Y = tan R, cm" + co\ H, 
15. > = csc I cot 2 16. ) = r senr co\ 1 
17. Pmeoe que 6 (csc 1) = --csc x C”, .r. 
20. Aplique la definicih de derivada y pruebe que si f (.r) = cos .A. 
enf”“CeS f’(x, = -se,, x. 
Encuenue ,a ecuadn de la recta tangenre a la curva ddda 
en el punto especificado. 
21. ? = tan .\. i?r/J. I) 22 > = 2\en i. iii/h. II 
(a) Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente a la CUN~ 
y = x co.5 x en el punt0 (77, Tr). 
(b) liustre el incise (a) graficando la cuva y la recta tangente en 
la misma pantalla. 
(a) Encuentre una ecuaci6n de la recta fangente a la curva 
y = set x - 2 cos x en el punto (114, I). 
(b) llustre el incise (a) graficando la cuwa y la recta tangente en 
I+ misma pantalla. 
(a) Si f(x) = 2x + cot ~,encuentre f'(x). 
(b) Compruebe que su respuesta al incise a) razonables trazando 
las grAficas de f y f’ para 0 < x < ?i. 
(a) Si f(x) = J; sax, encuentre f’(x), 
(b) Compmebe que su respuesta al in&o a) es razonable 
trazando las grztficas defy f’ para 0 s x s 2,r. 
i,PWa CURIES YBIOT~S de x la grili~a def (x) =X + 2 hen x tiene 
una tangente horizontal‘? 
Encuenue 10s puntos sobre la curva y = (cos x)/(2 + se,, x) en los 
cuales la tangente es horizontal. 
Una masa en un resorte vibra horizontalmente sobre una superfi- 
tie l&y nix&da. (V.&se la Fig.) Su ecuaci6n del movimiento 
es x(f) = 8 en f, donde I est& en segundos y x en centimetros, 
(a) Encuentre la velocidad en el instante 1. 
(b) Halle la posici6n, la velocidad de la masa en el instante 
e = 2~13. iEn quC direccidn se mueve en ese instante? 
Una banda elAstica cuelga de un gancho, con una mnsa sujeta en 
su extreme inferior Cuando se tirade la mass ha& abajo y, 
luego, se deja en libertad, vibra venicalmenre en un movimienro 
m6nico simple. La ecuaci6n del movimiento es 
s = 2 cos r + 3 serif, f > 0. donde s se mide en centimetros y f 
en segundos. * (Tomemos la direcci6n positiva la correspondienle 
ha& abajo.) 
(a) Encuentre la velocidad en el instame 1. 
(b) Grafique las funciones velocidad y posici6n. 
(0 ;,CuBndo pasa la mass por la posici6n de equilibria por 
primeraver? 
(d) ;,CuBn lejos de w posicihn de equilibria viaja la masa? 
(e) i,Cusndo es mAxima la magnitud de la velocidad? 
Una escalera de IO pies de largo est& apoyada en una pared ver- 
tical. Sea y el Bngulo enve la pane superior de la escalera y la 
pared, y .li la distancia del extrano inferior de aquClla hasta la 
pared. Si el extreme inferior de la escalera se desliza alejtidose 
de la pared, i,con quC rapidez camhia x con respecto a 0 cuando 
0 = T/3? 
34. Un objet” con peso W es arrastrado a 10 large de un piano how 
zontal por una fuerza que act& a lo largo de una cuerda sujeta al 
propio objet”. Si la cuerda forma un dngulo 0 con el piano, 
entonces la magnitud de la fuerza es 
F= PW 
psen 0 + cos 0 
donde & es una constame llamada coefcirnre de fricridn. 
(a) Encuentre la raz6n de cambio de F con respecto a 0. 
(b) iCu&ndo es igual a 0 esta w&n de camhio? 
(c) Si W = 50 lb y fi = 0.6, dibuje la gr.%fica de F corm 
funci6n de 0 y lisela para localizar el valor de esta liltima 
para el cual dF/dO = 0. ;Resulta coherente el valor con su 
respuesta al in&o (b)? 
Halle el limite. 
35. 
se” 5r 
lim __ 
t-0 f 
36, lim ~ 
r-o sen9t 
37, lim sen(cos 0) 
8-D set 0 
J8, ,im C”S 0 1 
e-0 0 se” 
39. 
SdO 
lim - 
e-0 0 
42, lim se” * - co.5 x 
j - r,Y cos2.r 
43. lim senO 
8-0 0 + tan 0 
44, ,im sedx - II 
z-1 2 +x - 2 
45. Derive cada identidad trigonom&ica para obtener una identidad 
nueva o conocida. 
(a) tan x = = 
cos * 
I 
(b) set x = ~ 
CO) x 
46. Un semicfrculo con di&metro PQ descansa sobre un triAngulo 
is&c&s PQR para forma una regidn somhreada semejanfe a 
8 
R 
3.5 
Vea la section I 3 par.3 repasar el 
tema de funciones compuestas. 
8. Encuentre 
Regla de la cadena 
Suponga que se le pide derivar la funciSn 
F(x) = .‘r’ 
Las f6mxulas de derivaci6n quc aprendi6 en las recciones anteriora de ate capitulo no lo 
capacitan para calcular F’(x). 
Observe que F es una fur&n compuesta. Si hacemos ? = f (11) = >; J eablccemo\ 
u = g(x) = I’ + 1, entonces podemos escribir v = F(T) =.f(q(.rJI. es deck. F = fo q. 
Sabemos c6mo derivar tanto ,f coma CJ, de modo que vria htil contar con una regla que 
nos diga c6mo hallar la derivada de F = ,fo y en tbminos dc Ia? derivedas de f y q. 
Resulta que la derivada de la funcidn compuesta fm yes rl producto de Ia\ dcrivadas de 
f y 9. Este hecho e\ uno de 105 m6s importantes de las reglas de deriraci6n y se llama rqlcl 
de lo cadenn. Parece plausible, si interpretamos las derivadas coma ra~onrs de cambio. 
Considere dujdr coma la razh de cambio de u con respecto a x. dy/drt corm la rar6n de 
cambio de J en relaci6n a II y d\ldl coma la r&n de cambio de v con recpecto de \. Si M 
cambia el doble de rkipido que x y y tres veers tnis rapid” que u. emonce\ resulta won- 
able que J cambie seis veces m& ripido que .r y. por consiguieme. esperarmx que 
d? dy du 
dx du dr 
Si tantof cwno g son funciones derivnbles y F = ,fa 9 es la 
funci6n compursta definida por F(x) = f(y(xJ). emonce\ F c\ derivable y F’ se 
express mediante el producto 
I- ‘(xl = j ‘1 I$ YJJcjl i) 
En la notaci6n de LeibniL. 51 ~imto y =.f(u) coma u = g(s) son funcnvzs derlra 
bles entonces 
Sea Au el cambio en u corre- 
spondiente a un cambio de Ax en x, es deck, 
Au = g(x + Ax) - g(x) 
Entonces el cambio correspondiente en y es 
Ay = f(u + Au) - f(u) 
Resulta tentador escribir 
dy du 
du dx 
El tinico defecto de este razonamiento es que, en (l), podrfa suceder que Au = 0 (incluso 
cuando Ax # 0) y, por supuesto, no podemos dividir entre 0. No obstante, este razona- 
miento por lo menos sugiere que la regla de la cadena es verdadera. Al final de la secci6n 
se da una demostraci6n completa de la Regla de la Cadena. 
La regla de la cadena se puede escribir con apdstrofes 
(fo sH4 = f’Md)g’(x) 
o bien. si y = f(u) y u = g(x), en la notaci6n de Leibniz: 
dy _ dy du 
dx du dx 
La ecuaci6n 3 es f&i1 de recorder porque, si dyldu y duldx fueran cocientes, entonces 
podtiamos cancelar du. Sin embargo, recuerde que du no se ha definido y no debe conce- 
bir dub coma un cociente real. 
FJFMPLO 1 Encuentre F’(x) si F(x) = m 
(con la EC. 2): al principio de esta secc1611, expresamos F coma 
F(x) = (fo g)(x) = f(g(.x)) donde f(u) = ,/; y g(x) = x2 + I. Dado que 
I 
f+) = iu-1!2 = ~ )’ g’(x) = 2x 
(con la EC. 3): si hacemos u = x2 + I y J = &, entonces 
F’(x) = !g = +$2x) 
Al utilizar ta fkmula 3, debemos tener presente que +/d.x se refiere a la derivada de y 
cuando t%ta se considera coma funci6n de x (Ilamada derivada de y con respecto u x). en 
tanto que dyldu se refiere a la detivada de y cuando se considera como funci6n de u (la 
derivada de y respecto de u). Verbigracia. en el ejemplo I y se puede considerar coma fun- 
ci6n de x ( y = m) y como funci6n de u ( y = A). Note que 
$ = ‘q) = ,yL 
V’X’ + I 
en tanto que 2 = J’(u) = $ 
NOTA i En la aplicacilin de la regla de la cadena, trabajamos del exterior hack el inte- 
rior. La f6mnda 2 express que deriwmos /u,firnci6n erteriorf [en /uJimcidn interior g(x)] 
y, a continuacidn. mdtipiicumos pm la drrivndn de lu funrih interior. 
d 
dx J 
(g(x)) = f' (s(x)) . S'(l) 
1 ,I :,*.., i. . Derive (a) y =sen(x’) y (b) y =wI’~T. 
(a) Si y =Fen( 1’). entonces la funci6n exterior es la funcidn seno y la interior es la 
funci6n de elevar al cuadrado. de modo que la regla de la cadena da 
dy d 
dx dx 
se” (.I?) = cos (2) . 2r 
= Lx cos(x’) 
(b) Note que sen’x = (wn x)‘. En ate case. la tunctCln extenor es la de ele~ar al 
cuadrado y la interior es la fun&n wno. Par tanto. 
La respuesta w puede dejar coma 2 sen x cos x. o bien. escribirw como sat 2-r (par una 
identidad trigonomktrica conocida coma la fkmula del 6ngulo doble). 
En el ejemplo 2(a). combinamos la regla de la cadena con la regla para derivar la fun- 
ci6n seno. En general, si y = WI u, donde II e\ una funcidn diferenciable de x. entonces, 
por la regla de la cadena, 
& dv du du do =--=c”?,i~ 
du dA 
De donde 
du 
senu) = cos u ix 
De manera semejante, todas las fhmulas para derivar funciones trigonomhica se 
pueden combinar con la regla de la cadena. 
Hagamos explfcito el case especial de la regla de la cadena donde la funcih exterior / 
es ma funcidn potencia. Si y = [g(x)]“, entonces podemos escribir x =f(u) = u” donde 
u = g(x). Si aplicamos la regla de la cadena y, a continuacih. la regla de la potencia. 
obtenemos 
dy dy du 
z=dz=nU 
” 
u 
’ $ = n[g(x)]“-‘g’lx, 
_ 
4 Regla de la potencia combinada con la regla de la catleua Sin es cualquier 
, nlimero real y u = g(x) es diferenciable. entonces 
De modo altemativo, 6 [y(*)]” = n[g(x)]“~ ’ y’(.d 
Advierta que la derivada del ejemplo I pudo calcularse al tomar n = i en la regla 4 
Si en (4), se toma u = g(.r) = .r’ I y II = 100, tenemos 
= lOO(r’ I)” 3x’ = 300x’(n’ - 1y 
Encuentre f’(r) si ,f(x) = 
I 
$‘x’+x+ I 
En primer lugar, volvemos a eqcribir .f: f(x) = (xz + x + I)-’ ‘. De exe 
modo 
f’(x) = -:(x2+x + I)P$ ix:+x+ I) 
= -i(P + .r + I) “‘(2X + I) 
Encuentre Ia derivada de la funci6n 
Si se combinan la regla de la potmcia, la de la cadena y la del cociente. 
obtenemos 
Derive y = (2x + I)‘(x’ - x + I)‘. 
En ate ejemplo debemos aplicar la regla del product” antes de aplicar la regla 
de la cadena: 
!g = (2x + I)‘$ (x3 - I + I)’ + (x.1 - 1 + I)‘$ (21 + 1)’ 
= (2x + I)’ . 4(x2 - x + I )’ & (I’ - x + I) 
+ (1’ - x + I)‘. 5(2x + I)’ $ (21. + 1) 
= 4(2x + l)‘(x’ - x + 1)‘(3x’ - I) + 5(x’ - x + l)‘(Zx + I)’ 2 
Si se uan lo\ factores comune\, podrinmo? escribir la rapuesta corm, 2(2x + Ii’ i I’ - 1 
+ I)’ podemos factorizarlos y escribimos la respuea coma 
2 = 2(2x + l)J( x7 -x + l)‘(l7x’ + 6x’ - Yx + 3) 
En este caso, la funci6n interior e\ q(x) = sax y la exterior es