Apostila Resistência dos Materiais 1

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Universidade Federal de Ouro Preto 
 
 
Escola de Minas 
 
 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais Ι 
 
 
 
 
 
 
Jaime Florencio Martins 
Professor Titular – DECIV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ouro Preto, setembro/ 2017 
 
 ALFABETO GREGO 
 
 
 Nome moderno Nome clássico Minúsculas Maiúsculas 
 Alfa Alfa α Α 
 Vita Beta β Β 
 Gama Gama γ Γ 
 Delta Delta δ ∆ 
 Epsilo Èpsilón ε Ε 
 Zeta Dzeta ζ Ζ 
 Ita Eta η Η 
 Tita Theta θ Θ 
 Iota Iota ι Ι 
 Capa Capa κ Κ 
 Landa Lambda λ Λ 
 Mi Mü µ Μ 
 Ni Nü ν Ν 
 Xi (csi) Xi (csi) ξ Ξ 
 Ômicron Òmicrón ο Ο 
 Pi Pi pi Π 
 Rô Ró ρ Ρ 
 Sigma Sigma σ Σ 
 Tau Tau τ Τ 
 Ípsilon Üpsilón υ Υ 
 Fi Fi φ Φ 
 Khi Khi χ Χ 
 Psi Psi ψ Ψ 
 Ômega Omega ω Ω 
 
 1
 
Capítulo 1 – Generalidades 
 
1.1 – Objetivos da Resistência dos Materiais: É a ciência que estuda as tensões e 
deformações que ocorrem nos sólidos, provenientes de forças externas a eles aplicadas. 
A Resistência dos Materiais também é conhecida como Mecânica dos Materiais ou 
Mecânica dos Sólidos. 
Sólido: é um estado da matéria que tem volume e forma definidos. 
Fluido: Substância liquida ou gasosa que não tem resistência ao cisalhamento. Os fluidos 
tomam a forma do recipiente em que está colocado. 
 
1.2- Histórico da Resistência dos Materiais 
Madeira: Pela sua disponibilidade e propriedades foi um dos primeiros materiais utilizados 
pelo homem para construir. As primeiras pontes surgiram de forma natural pela queda de 
árvores sobre os rios ou vales. 
Ferro fundido: A fabricação do ferro fundido teve início na Ásia por volta de 1.500 a. C. O 
ferro fundido oxida com facilidade. 
Aço: Liga de ferro e carbono sendo o teor de carbono variando de 0,008% a 2,11%. Se o 
teor de carbono da liga for maior do que 2,11% e menor do que 6,67% a liga é chamada 
ferro fundido. 
 Os gregos Aristóteles e Arquimedes estabeleceram os princípios da estática. Os 
romanos foram grandes construtores de templos, estradas e pontes. Usavam, 
freqüentemente, arcos nas construções. Os egípcios tinham algumas regras empíricas 
(baseadas na experiência) para construir templos e pirâmides. 
 Muito do conhecimento dos gregos, romanos e egípcios para análise de estruturas 
foi perdido durante a idade média. 
Leonardo da Vinci estudou a resistência de colunas experimentalmente. Galileu Galilei 
foi o primeiro cientista a estudar a flexão de vigas. É considerado o pai do método 
experimental e da Resistência dos Materiais. 
 
 
1.3 – Definições: 
a) Material dúctil: É um material que apresenta grandes deformações antes de se 
romper e a resistência à tração é considerada igual à compressão. Ex.: aço doce 
(aço de construção), alumínio. 
 2
b) Material frágil: É um material que rompe bruscamente, sem aviso prévio, com 
pequena deformação. A resistência à tração é diferente da resistência à 
compressão. Ex.: aço para ferramentas, vidro, concreto, giz. 
c) Corpo rígido: corpo que não se deforma quando solicitado por forças ou momentos. 
d) Deslocamento de corpo rígido: deslocamento sem deformação. 
e) Barra - placa – bloco 
 
Barra: quando as duas dimensões da seção transversal são pequenas quando 
comparadas com o comprimento longitudinal (L>> h ; L>> b). Exemplo: vigas. 
Placa: quando uma dimensão (a espessura) é muito menor do que as outras duas 
dimensões (L ≅ b ; L>> h). Exemplos: lajes e cascas. 
Bloco: quando: L ≅ h ≅ b 
f) Eixo da barra: uma barra pode ser representada pelo seu eixo que é o conjunto de 
pontos dos centróides das seções transversais. 
 
g) Barra prismática: barra de eixo reto e seção transversal constante. 
 
1.4 - Estrutura: É a parte mais resistente de uma construção e tem a função de resistir às 
cargas aplicadas. Em um edifício a estrutura é constituída pelas vigas, pilares, lajes e 
fundação. Para o dimensionamento da estrutura deve-se levar em consideração a 
economia e a segurança. 
 
1.5 – Hipótese fundamental: a estrutura está em equilíbrio estático. 
 
• Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um ponto material no 
espaço: 
 
∑ = 0Fx 
∑ = 0Fy 
∑ = 0Fz 
 3
 
• Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço: 
 
∑ = 0Fx ; ∑ = 0M x 
∑ = 0Fy ; ∑ = 0M y 
∑ = 0Fz ; ∑ = 0M z 
 
1.6 - Apoios 
 
Uma estrutura no espaço possui seis graus de liberdade, sendo três translações e 
três rotações. A função dos apoios é retirar graus de liberdade, surgindo reações nas 
direções dos movimentos impedidos. 
 
• Apoios do primeiro gênero 
 
• Apoios do segundo gênero (ou articulação ou rótula): Retiram dois graus de 
liberdade, impedem o deslocamento em todas as direções e permitem a rotação. 
 
• Apoios do terceiro gênero (ou engaste): Retiram três graus de liberdade, impedem o 
deslocamento em todas as direções e impedem a rotação. 
 
 
 
 
 4
 
1.7 – Estaticidade e estabilidade de estruturas planas carregadas no próprio plano 
 
 Para estruturas planas carregadas no próprio plano (plano xOy) as condições 
necessárias e suficientes para o equilíbrio são três: 
 
∑ = 0Fx ; ∑ = 0Fy ; ∑ = 0MO 
 
onde “o”, na expressão do somatório de momentos, é qualquer ponto do plano da 
estrutura. 
 Para as estruturas planas carregadas no próprio plano três casos podem ocorrer 
com relação à estabilidade e estacidade: 
1o caso: O número de reações de apoio é menor que o número de equações de equilíbrio 
da estática (3). A estrutura é chamada hipostática e o equilíbrio é instável. 
 
 
2o caso: O número de reações de apoio é igual ao número de equações de equilíbrio da 
estática (3). A estrutura é chamada isostática e o equilíbrio é estável. 
 
 
3o caso: O número de reações de apoio é maior que o número de equações de equilíbrio 
da estática (3). A estrutura é chamada hiperestática e o equilíbrio é estável. 
 
 
São três as equações de equilíbrio e a viga acima possui cinco reações de apoio, 
então, a viga é duas vezes hiperestática. 
 5
As três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularem-se as 
reações de apoio das estruturas hiperestáticas. Além das três equações de equilíbrio são 
necessárias outras equações que são obtidas conhecendo-se como a estrutura se deforma 
(para impor condições de deslocamento e/ou de rotação). 
 
Observação: Casos particulares: 
 
 
 
A viga acima possui três reações, mas o equilíbrio é instável; a viga abaixo possui quatro 
reações e o equilíbrio também é instável. 
 
 
 
 
1.8 – Sistema de Unidades 
 Unidades básicas do Sistema Internacional 
m (metro): para comprimento 
quilograma (kg): para massa 
segundo (s): para tempo 
 Unidades de força no SI (unidade derivada) 
1 N = 1 kg.m/s2 
 Sistema inglês 
1 polegada = 1 in = ||1 = 2,54 cm 
1 pé (foot) = 1 ft = |1 = 12 in = 30,48 cm 
1 libra = 453,59 gramas 
 
 
 
 6
1.9 – Esforços externos: São os esforços aplicados nas estruturas e podem ser: 
a) Concentrados 
 
 
 
 
 
b) Distribuídos 
 
 
 
Observação: a carga distribuída uniforme q (N/m) é calculada multiplicando-se o peso 
específico (γ) pela área da seção transversal (A). 
 
 
 
c) Estático: quando aplicado lentamente (sem impacto) e o seu valor não varia com o 
tempo. Ex.: peso próprio de vigas. 
d) Dinâmico: quando aplicado com impacto e o seu valor varia com o tempo. Ex.: efeito 
do vento em edifícios altos, efeito das ondas do mar em uma plataforma, pontes. 
 7
1.10- Esforços internos: Os esforços externos produzem esforços internos que são em 
número de quatro. 
 
• Força normal(N) 
• Força cortante (V) 
• Momento fletor (M) 
• Momento de torção ou torque (T) 
 
• Força normal (N) → é a força normal (perpendicular) a uma área. A força normal pode 
ser de tração ou compressão. 
 
 
 
Fazendo-se um corte imaginário na barra tracionada, tem-se: 
 
 
 
Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: N = N| 
N = esfoço externo e N| = esforço interno 
 
• Força cortante (V) → é a força que está contida em uma seção transversal. 
 
 
 
 8
• Momento fletor (M) → é o momento de uma força que produz flexão em uma barra. 
 
 
 
Fazendo-se um corte imaginário na barra solicitada por um momento fletor positivo: 
 
 
 
Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: M = M| 
M = esfoço externo e M| = esforço interno 
 
Observação: Força vertical com o sentido para cima produz momento fletor positivo 
(traciona em baixo). Força vertical com o sentido para baixo produz momento fletor 
negativo (traciona em cima). 
 
 
• Momento de torção ou torque (T) → é o momento de uma força que produz torção 
em uma barra. 
 
 9
 
 
Não existe convenção de sinais para o momento de torção. 
 
1.11 – Exemplos de estruturas 
 
a) Treliças: As treliças ideais são formadas por barras, as extremidades são rotuladas 
e o carregamento atua nas rótulas (chamadas nós). As barras das treliças ideais 
estão solicitadas apenas por forças normais (tração ou compressão). 
 
 
 
OBS.: O contraventamento permite que a treliça resista aos esforços horizontais como, por 
exemplo, a ação do vento. 
Tirante: elemento estrutural que trabalha à tração. 
Escora: elemento estrutural que trabalha à compressão. 
 
 
 
 
 10
 
b) Vigas: As vigas estão solicitadas, geralmente, por momento fletor e força cortante. 
 
 
 
 Qualquer parte ou ponto de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio. 
Fazendo-se um corte imaginário na viga acima, os esforços que eram internos tornam-
se externos e devem equilibrar a parte recortada. 
 
 
 
c) Pórticos (ou quadros) planos carregados no próprio plano: Estas estruturas estão 
solicitadas por força normal, força cortante e momento fletor (torção é igual a zero). 
 
 
 
 11
No pórtico (a) têm-se cinco (5) reações de apoio, portanto, este pórtico é duas vezes 
hiperestático. O pórtico (b) também tem cinco reações de apoio, mas possui uma rótula a 
mais. Impondo-se que o momento fletor nesta rótula é nulo, obtém-se mais uma equação. 
Desta forma, o pórtico (b) é uma vez hiperestático. As rótulas transmitem força, mas não 
transmitem momento fletor. 
c) Grelhas: O carregamento nas grelhas é perpendicular ao seu plano. As grelhas 
estão solicitadas por momento fletor, força cortante e torção (força normal é igual a 
zero). 
 
 
 
1.12 – Exemplos de vigas isostáticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12
 
 
 
 
 
 
1.13 – Relação entre momento fletor e força cortante 
 
 
 
 
 
de onde: V
dx
dM0VdxdM =→=+− 
 
q
dx
dV0)dVV(qdxV0FY −=→=+−−→=⊕↑ ∑ 
 
Derivando-se a relação entre M e V em relação a x, tem-se: 
 
q
dx
Md
dx
dV
dx
Md
2
2
2
2
−=→= 
 13
Capítulo 2 – Tensão e deformação 
2.1 – Tensão normal (σ): 
 
Por definição: 
σ
A
F
= (2.1) 
onde: σ : tensão normal dada em N/m2 (no Sistema Internacional) 
 F : Força normal axial 
 A : área da seção transversal da barra 
Por convenção: σ de tração é positiva e σ de compressão é negativa. 
 
 Fazendo ensaios de tração Galileu demonstrou que a resistência à tração de uma barra 
é proporcional à área da seção transversal e independe do comprimento longitudinal. 
 
 A tensão normal no Sistema Internacional é dada em Pascais. Por definição 1 Pa = 1 
N/m2. Então: 1 MegaPascal = 106 N/m2. Uma vez que 1 m = 1.000 mm ⇒ (1 m)2 = (1.000 
mm)2 ⇒ 1 m2 = 106 mm2. Portanto: 226 mm/N1m/N10MPa1 == 
 
 
• Tensão admissível (
__
adm ou σσ ): É a tensão que está dentro dos limites de segurança. 
SF
R
adm
σ
=σ 
onde: Rσ = Tensão de ruptura 
 SF = Fator de segurança ( SF > 1,0) 
 14
• Definição matemática de tensão normal: A definição de tensão normal dada pela 
equação (2.1) somente pode ser usada se ocorre distribuição uniforme das tensões 
normais na seção transversal. Uma vez que esta condição nem sempre é satisfeita deve-
se usar a definição matemática de tensão normal: 
 
A
F
0A ∆
∆
=σ
→∆
 
dA
dF
=σ→ (2.2) 
 
2.2 – Deformação linear específica (ε): 
 
 
Por definição: 
 
L
L∆
=ε (2.3) 
ε é adimensional e também conhecida como deformação específica normal, deformação 
específica ou deformação normal. 
 
• Fluência: deformação lenta de um corpo submetido a uma tensão constante. 
 
2.3 – Coeficiente de Poisson (ν): Quando uma barra é tracionada o alongamento longitudinal 
é acompanhado de contrações laterais, isto é, o comprimento da barra aumenta e a seção 
transversal diminui. A relação entre a deformação lateral e a deformação longitudinal é 
chamada coeficiente de Poisson (ν): 
 
allongitudindeformação
lateraldeformação
=ν 
 
x
y
ε
ε
−=ν 
 
 O coeficiente de Poisson é adimensional e sempre positivo. O sinal negativo na 
expressão acima é necessário porque se a deformação εx for positiva εy será negativa, e vice-
versa. 
 15
 Material isotrópico: é um material que apresenta as mesmas propriedades físicas em 
todas as direções. Em um material isotrópico: 
x
'z
x
z
x
y
ε
ε
−=
ε
ε
−=
ε
ε
−=ν 
2.4 – Diagrama tensão - deformação 
2.4.1 – Aço doce (aço usado na construção civil com baixo teor de carbono) 
 Em um ensaio de tração sendo a força aplicada gradualmente (sem impacto) os diversos 
pares F - ∆L são anotados e podem ser colocados em um gráfico. 
 
 
 
O diagrama tensão – deformação permite obter dados sobre o material sem considerar as suas 
dimensões (área da seção transversal (A) e comprimento longitudinal (L)). 
Pσ → Tensão de proporcionalidade (ou limite de proporcionalidade): É a maior tensão que 
pode ser aplicada à barra sem que haja perda da proporcionalidade entre a tensão e a 
deformação (ponto a). 
Yσ → Tensão de escoamento (limite de escoamento): Neste ponto, a deformação aumenta 
sem que haja acréscimo de tensão (ponto c). 
Encruamento: endurecimento, enrijecimento (ponto d). 
Uσ → Tensão última: É a maior tensão que a barra suporta. Esta tensão também é conhecida 
como resistência do material (ponto e). 
Rσ → Tensão de ruptura: (ponto f). 
Fase elástica: Nesta fase a deformação desaparece com a retirada da tensão, não há 
deformação permanente. Esta fase vai do início do carregamento até o ponto b. 
Fase plástica: Descarregando-se a barra ela não retorna às suas dimensões iniciais, isto é, 
surgem deformações permanentes (ou deformações plásticas). Esta fase vai do ponto b até à 
proximidade da ruptura. 
 16
Resiliência: É a energia armazenada por unidade de volume quando uma barra se deforma até 
atingir o limite de proporcionalidade ( Pσ ) . A resiliência faz com que a barra retorne às suas 
dimensões iniciais quando descarregada. O aço usado na fabricação de molas é um material 
com alta resiliência. 
Estricção: Durante o alongamento ocorre contração lateral (estricção), portanto, a área da 
seção transversal diminui. A estricção somente ocorre nos materiais dúcteis. 
 
 Obs.: O diagrama tensão × deformação convencional nãoleva em consideração que a área 
da seção transversal diminui durante o alongamento da barra. 
 
2.4.2 - Alumínio 
 No diagrama tensão × deformação do alumínio, não existe o ponto de escoamento 
definido como no diagrama do aço doce. Neste caso, a tensão de escoamento σY é obtida 
tomando-se no eixo das deformações o valor ε = 0,2% e por este ponto traça-se uma reta 
paralela ao trecho linear do diagrama. Onde esta reta cortar a curva σ x ε tem-se a tensão de 
escoamento σY. 
 
 
 
2.4.3 - Material frágil: Rompe-se com uma deformação relativamente pequena. 
 
 
 17
2.4.4 – Material elástico-plástico idealizado 
 
 
 
2.5 - Lei de Hooke 
 Em 1678, Robert Hooke enunciou a lei “Ut tensio sic vis” (o estiramento é proporcional à 
força ou F = Kx). Hooke aplicou esta lei na invenção da balança de mola e do relógio sem 
pêndulo. 
 Thomas Young, em 1807, sugeriu que a aplicação da Lei de Hooke nos sólidos deve 
estabelecer a dependência linear entre tensão e deformação: “A tensão é proporcional à 
deformação”, ou seja: 
εΕ=σ . 
onde: σ → tensão normal 
 ε → deformação linear específica 
 Ε → constante de proporcionalidade e é chamado de módulo de elasticidade ou 
módulo de Young e tem a mesma dimensão de tensão: N/m2 
No SI o módulo de elasticidade é dado em GigaPascal: 2329 mm/N10m/N10GPa1 == 
Exemplos: Εaço = 200 GPa; Εliga de titânio = 120 GPa; Εliga de alumínio = 70 GPa. 
Nota: A Lei de Hooke é válida até a tensão de proporcionalidade. 
 
 
 
 tg α = 
ε
σ
 → σ = tgα × ε ; então: Ε = tgα 
 18
Capítulo 3 - Tração e Compressão 
3.1 – Alongamento de barras carregadas axialmente 
 
 
 A variação do comprimento (∆L) de uma barra prismática solicitada por uma força axial 
constante pode ser calculada usando-se a lei de Hooke: 
σ = Ε × ε 
Lembrando que: 
A
F
=σ e que: 
L
L∆
=ε , tem-se: 
 
L
LE
A
F ∆
⋅= 
de onde: 
 
EA
FLL=∆ 
 
 A expressão acima somente pode ser aplicada no regime de validade da Lei de Hooke, 
ou seja, para tensões menores ou iguais que σP. 
 
 Para se calcular o alongamento de barras não prismáticas e/ou solicitadas por força axial 
variável tem-se que usar o conceito de integral: 
 
 
 
 
)x(EA
dx)x(Fdx =∆ → ∫∫ =∆
L
0 )x(EA
dx)x(Fdx → ∫=∆
L
0 )x(EA
dx)x(FL 
 
 19
 Considere-se, agora, uma barra prismática, suspensa por uma extremidade. Deseja-se 
determinar a expressão do alongamento (∆L) da barra produzido pela ação de seu peso 
próprio. 
 
 
 
 
 ∫=∆→=∆
L
0 )x(AE
dx)x(FL)x(AE
dx)x(Fdx 
 
Considerando-se o equilíbrio de forças verticais da parte recortada, tem-se: 
 
 x.A.)x(F γ= 
Então: 
 
 ∫∫ ⋅
γ
=⋅
γ
=
⋅
⋅⋅⋅γ
=∆
L
0
L
0
2L
0 2
x
E
dxx
EAE
dxxAL 
 
Portanto: 
 
 
E2
LL
2γ
=∆ 
 
 
 
 
 20
3.2- Princípio da superposição dos efeitos 
 
 Se em uma estrutura estão aplicadas várias forças podem-se calcular os deslocamentos 
referentes a cada força, como se atuasse separadamente, e somar os resultados 
correspondentes obtendo-se, assim, o resultado da ação de todas as forças. 
 
∑
=
=∆
n
1i ii
ii
AE
LFL 
3.3 – Sistemas estaticamente indeterminados 
 
 Para as estruturas hiperestáticas as três equações de equilíbrio não são suficientes para 
calcularem-se as reações de apoio. Além das três equações de equilíbrio são necessárias 
outras equações obtidas com as condições de deslocamentos da estrutura. 
 
3.4 – Efeitos da variação da temperatura 
 
 A variação da temperatura pode provocar tensão normal nas estruturas. A tensão normal 
somente ocorrerá se o deslocamento (movimentação) devido à variação da temperatura estiver 
impedido. 
 
 
 
tLL t ∆α=∆ (fórmula empírica) 
 
onde 
tL∆ : variação do comprimento da barra devida à variação da temperatura (m) 
α : coeficiente de dilatação térmica (1/ 0C) 
L : comprimento inicial (m) 
t∆ : variação da temperatura ( 0C) 
 
Observação: nos problemas envolvendo variação da temperatura usam-se as fórmulas: 
 
 
tLL t ∆α=∆ ; EA
FLL=∆ ; 
A
F
=σ 
 
 21
Capítulo 4 – Cisalhamento Puro 
 
4.1 – Força cortante (V) 
 
 A força cortante está contida no plano da área e provoca deslizamento. A força 
cortante produz tensão cisalhante, representada pela letra grega τ (tau), que tem o mesmo 
sentido da força. 
 
 
 
4.2 – Cisalhamento Puro 
 
 Se em uma área atua apenas força cortante, ela fica solicitada por cisalhamento puro. 
 
 
 
4.3 – Teorema de Cauchy 
 
Em um ponto, as tensões de cisalhamento são iguais nos planos perpendiculares 
entre si. 
 
 
 
 
 22
AF
A
F
×τ=→=τ 
 
 0dydx1dxdy10M xy0 =×××τ−×××τ→=∑ 
 
 Portanto: yx τ=τ 
 
4.4 – Lei de Hooke no cisalhamento 
 
Solicitando-se um material ao cisalhamento puro, pode-se estabelecer a relação entre 
a tensão e a deformação de cisalhamento. 
 
 
 
 
γ
τ
=αtg → ( ) γ×α=τ tg 
 Chamando de α= tgG , tem-se a lei de Hooke no cisalhamento: 
 
τ = γ⋅G 
 
onde: τ → tensão de cisalhamento em N/m2 
 G→ é conhecido como módulo de elasticidade transversal ou módulo de 
elasticidade ao cisalhamento ou módulo de cisalhamento (em N/m2). 
 γ → distorção (deformação por cisalhamento) em radianos 
 
Relação entre E , G e ν 
 
Na Resistência dos Materiais 2 demonstra-se que: 
 
 
( )ν+= 12
EG 
 
 
 
+ 
 23
4.5 – Ligações parafusadas 
 
Por hipótese, a tensão de cisalhamento é uniformemente distribuída na seção 
transversal do parafuso. 
 
 
 Na ligação acima tem-se um parafuso que transmite a força de uma chapa para a 
outra. A tensão de cisalhamento média no parafuso é dada por: 
 
A
F
méd =τ 
 
onde A é a área da seção transversal do parafuso. 
 
 Para uma ligação com "n" parafusos deve-se dividir a força F por n e pelo número de 
áreas de corte (nA). Geralmente, nA é igual a 1 (uma área de corte) ou igual a 2 (duas 
áreas de corte). 
 
 É interessante observar que a força F produz tensão normal (σ) nas chapas e tensão 
cisalhante (τ) no parafuso. 
 
 
4.6 – Ligações parafusadas solicitadas por força excêntrica 
 
 
 
 Nestas ligações os parafusos devem resistir à força vertical P e ao momento fletor M 
= P.e. A força vertical produz força cortante (F1) nos parafusos dada por F1 = P/n, onde n é 
o número de parafusos. O momento fletor provoca em cada parafuso a força cortante F2 
que é perpendicular à reta que une o centro geométrico dos parafusos (ponto c) ao centro do 
parafuso e varia linearmente com a distância ao ponto c. 
 
 
 24
 Exercícios: 1) Calcule a tensão de cisalhamento máxima que ocorre nos parafusos 
da ligação abaixo. Todos os parafusos têm diâmetro igual a 18 mm. 
 
 
 
 1875015,0F221,0F40M *22C =⋅+⋅→=∑ 
 
As forças F2 são diretamente proporcionais à distância ao ponto c, então tem-se a relação: 
 
 
*
22
2
*
2 F4,1F
21,0
F
15,0
F
=→= 
 N3,12703F1875015,0F221,0)F4,1(4 *2*2*2 =→=⋅+⋅ 
Então: N6,17784F4,1F *22 == 
 
A força cortante resultante é dada pela expressão: 
 
 α++= cosFF2FFR 21
2
2
2
1 
 
Nos dois parafusos extremos do lado direito F1 = 2500 N, F2 = 17784,6 N e α = 45º, 
então a força cortante resultante é: 
 
 
N1,19632R45cos6,17784250026,177842500R o22 =→⋅⋅⋅++= 
 
No parafuso central do ladodireito da ligação as forças F1 e F2* têm o mesmo sentido, a 
força cortante resultante neste parafuso é dada por: R = 2500 + 12703,3 = 15203,3 N. 
Portanto, a maior força cortante na ligação ocorre nos dois parafusos extremos do lado 
direito e a tensão de cisalhamento máxima é dada por: 
 
 
2
2máx mm/N15,77mm47,254
N1,19632
==τ 
 
 
 
 25
 
2) Calcule a tensão de cisalhamento máxima que ocorre nos parafusos da ligação abaixo. 
Todos os parafusos têm diâmetro igual a 25,4 mm. 
 
 
 
 
N6250
4
25000
4
PF1 === 
 
 
 4500014,0F40M 2C =⋅→=∑ 
 
de onde: 
 N1,80357F2 = 
 
Nos dois parafusos do lado direito a força cortante resultante é dada por: 
 
 
 N6,84891R45cos1,80357625021,803576250R o22 =→⋅⋅⋅++= 
 
A tensão de cisalhamento máxima na ligação é: 
 
 
2
2máx mm/N53,167mm71,506
N6,84891
==τ 
 
ou: 
 
 MPa53,167máx =τ 
 
 
 
 
 
5 - Torção 
5.1. Introdução - A torção ocorre: 
• Na ação do vento em edifícios altos 
• Nos eixos de transmissão 
• Nos chassis de ônibus, caminhão, avião. 
 
5.2 - Momento de inércia à torção ( J ) para barras com seção circular vazada 
 
 
 
 
 
α 
dα 
r 
dr 
di 
de 
 
 
Por definição: dA r J
A
2∫= onde: 
dr d rdA α= 
 
∫∫
pi
α=
2
0
r
r
3 d dr r J
e
i
 
piα= 20
r 
r 
4
 . 
4
rJ
e
i
 
( )0 - 2 . rr 
4
1
J
4
i
4
e pi





−= 
( )4i4e rr 
2
J −
pi
= 
 
Ou em função dos diâmetros externo e interno: ( )4i4e dd
32
J −
pi
= 
Particularizando para seções cheias: ( )0di = : ( )4d
32
J
pi
= 
 
5.3 – Hipóteses: 
• As deformações são pequenas; 
• É válida a Lei de Hooke no cisalhamento ( γ=τ G ); 
• O momento de torção provoca apenas tensão de cisalhamento ( τ ); 
• As tensões de cisalhamento são perpendiculares e variam linearmente com o raio (esta 
hipótese é válida somente para eixos de seção transversal circular). 
 
 
 
Observações: 1) A tensão cisalhante tem o mesmo sentido do momento de torção 
 2) A tensão cisalhante máxima ocorre na superfície do eixo. 
 
 
5.4 - Tensão e deformação nos eixos de seção circular solicitados por momento de torção 
 
 
T
 
T
 
γ 
θ 
R
 B 
B’ 
L
 
T
 
B 
B’ 
R
 
θ 
 
 
Onde: θ : ângulo de torção (giro relativo entre duas seções transversais) 
 γ : distorção (deformação por cisalhamento) na superfície do eixo 
 Da figura acima, têm-se as expressões: 
 
 
L
BB
 tg
′
=γ≅γ e 
R
BB
 tg
′
=θ≅θ 
 Portanto: γ =
L
Rθ
 
 
dAdF ⋅τ= e rdA dT ⋅τ= 
∫ τ=
A
dA r T ou: ∫ τ=
A
2
dA 
r
rT 
Onde 
r
τ
 é uma constante (por hipótese a tensão cisalhante varia linearmente com o raio), 
então: 
dA r
r
T
A
2
∫
τ
= 
Por definição: dA rJ
A
2
∫= , então: 
J 
r
T
τ
= 
De onde se tem a tensão de cisalhamento produzida por momento de torção em barras de seção 
transversal circular: 
 
J
r T
=τ 
A maior tensão de cisalhamento ocorre na superfície do eixo: 
 
J
TR
máx =τ 
 
Aplicando-se a Lei de Hooke no cisalhamento ( γ=τ G ) na superfície do eixo, tem-se: 
L
RG
J
TR θ
= 
de onde tem-se o giro relativo ( )θ entre duas seções transversais: 
GJ
TL
=θ 
 
5.5 – Eixos hiperestáticos solicitados por momento de torção 
 
5.6 – Torção de barras com seção vazada de parede fina com espessura t constante 
 
 
 
Linha do esqueleto: linha média da espessura da seção transversal 
t: espessura 
 Sendo a espessura t constante (não varia ao longo da linha do esqueleto e também 
invariável ao longo do comprimento longitudinal), pode-se demonstrar que a tensão de 
cisalhamento média médτ é dada por: 
At2
T
méd =τ 
e o ângulo de torção (θ) é dado por: 
tGA4
TLP
2=θ 
onde: A: área limitada pela linha do esqueleto 
 P: perímetro da linha do esqueleto 
 L: comprimento longitudinal 
 
5.7 - Torção de barras com seção retangular vazada de parede fina com espessura t variável 
 
 
 
 Para o caso particular de uma barra, com seção transversal mostrada na figura 
acima solicitada por um momento de torção Τ têm-se as expressões de máxτ e do ângulo de 
torção: 
bamin
min
máx tetentrevalormenoroétonde,At2
T
=τ 
ba
22
t
t
t
b
t
a
ba2J:onde,
JG
TL
+
==θ 
5.8 – Torção de barras com seção transversal retangular 
 
onde: a é o maior lado da seção transversal e b é o menor lado da seção transversal 
L: comprimento longitudinal 
 Usando a “analogia da membrana” Timoshenko & Goodier (1980) demonstram que a 
tensão cisalhante máxima ocorre na linha central da face maior e seu valor é dado por: 
2
1
máx
abc
T
=τ 
e o ângulo de torção θ é dado por: 
Gabc
LT
3
2
=θ 
Os valores de c1 e c2 são obtidos na tabela abaixo. 
a/b c1 c2 
 
 
a/b c1 c2 
 
1,0 0,208 0,141 
 
5,0 0,291 0,291 
2,0 0,246 0,229 
 
10,0 0,312 0,312 
3,0 0,267 0,263 
 ∞ 0,333 0,333 
4,0 0,282 0,281 
 
 
 
5.9 – Torção de barras com seção transversal aberta de parede fina com t constante 
 
 
 
 
 Os casos acima, com espessura t constante, podem ser entendidos da seguinte 
forma: 
 
 
 
 ∞==
t
a
b
a
 → 2máx ta333,0
T
=τ e 
Gta333,0
LT
3=θ 
5.10 – Torção de barras com seção transversal aberta composta por retângulos de paredes 
finas 
 
 Para estes casos máxτ e θ são dados pelas equações: 
 
 ( )∑
⋅
=τ 3
ii
máx
máx ta333,0
tT
 e ( )∑=θ 3ii taG333,0
LT
 
5.11 – Torção de barras com seção transversal em forma de triângulo eqüilátero de lado "d" 
 
 
 
5.12 – Torção de barras com seção elíptica solicitadas por um torque T 
 
Para a = b as expressões acima coincidem com as fórmulas para seção circular. 
 
 31
6 – FLEXÃO 
 
6.1 - Introdução 
 Flexão é o ato de dobrar, curvar. Quando uma estrutura fica solicitada por momento 
fletor ela fica curvada. Neste caso, dizemos que a estrutura está flexionada. O objetivo deste 
capítulo é obter as tensões e deformações que surgem nas estruturas quando estão solicitadas 
por momento fletor. A flexão de uma estrutura pode ser pura, simples, oblíqua ou composta. 
 
6.2 - Flexão pura 
 
 A flexão pura ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada 
apenas por momento fletor. Este é o caso do trecho CD da viga abaixo. Neste trecho, a força 
cortante é nula e o momento fletor é constante, como mostram os diagramas de esforços 
internos. É interessante observar que para não ocorrer força cortante no trecho CD, as forças P 
são simétricas e desprezamos o peso próprio da estrutura na presença das forças P. 
 Todas as estruturas que vamos abordar neste item e no próximo (flexão simples), 
possuem, pelo menos, um plano de simetria longitudinal. 
 
 
 
(a) Viga e carregamento 
 
 
 
(b) Diagrama de momento fletor 
 
 
 
(c) Diagrama de esforço cortante 
 
Figura 6.1 - Viga sobre dois apoios e diagramas de esforços internos (M e V) 
 
 
 
 32
 
y 
z 
x 
P 
P 
 
 
Figura 6.2 – Viga em perspectiva 
 
 
Hipóteses: 
 
1- O carregamento atua em um plano de simetria longitudinal. Uma vez que queremos obter as 
tensões que surgem na flexão pura, deve atuar apenas momento fletor, e se o carregamento 
atuar forado plano de simetria, a viga ficará solicitada também por momento de torção. 
2- O carregamento é perpendicular ao eixo da viga. Se as forças P forem inclinadas teremos 
componentes horizontais que são forças normais. 
3- Seções planas permanecem planas depois de aplicado o carregamento. Esta hipótese, 
formulada pelo cientista francês Navier em 1826, é chamada fundamental e deve-se ao fato 
que no trecho CD: .0VT == Estes dois esforços provocam a deformação distorção (γ). Uma 
vez que no trecho CD estes dois esforços são nulos, as seções transversais permanecem 
planas e perpendiculares à superfície neutra depois de aplicado o carregamento. 
4- A maior tensão que surge na viga é a tensão de proporcionalidade. Portanto, podemos usar a 
lei de Hooke. 
5- O material da viga é homogêneo e os módulos de elasticidade à tração e à compressão são 
iguais. 
6- O carregamento é aplicado sem impacto. 
 
 Vamos analisar o trecho L - 2a, onde atua apenas momento fletor. A ação do momento 
fletor faz com que este trecho da viga se curve (Figura 6.4). O momento fletor é constante neste 
trecho, sendo assim, a curvatura é também constante. 
 A Figura 6.4 mostra que a parte inferior da viga aumentou de comprimento, enquanto a 
parte superior diminuiu. Havendo variação de comprimento ∆L, tem-se deformação linear 
específica ε. Portanto, pode-se afirmar que o momento fletor produz tensão normal σ. Esta 
tensão provoca variação de comprimento. Uma vez que uma parte aumentou e outra diminuiu 
de comprimento existe uma superfície que separa as duas regiões e não tem o seu 
comprimento alterado. Esta superfície é chamada superfície neutra e está indicada na Figura 
6.4 pelo arco CD. 
 O arco CD é dado por: 
 
CD r= .θ 
 
 33
 
a a L - 2a 
P P 
y 
x 
y C 
E 
D 
F 
 
 
Figura 6.3 
 
 
y 
r 
E
 
C
 
F
 
D
 
θ
 
O 
M 
M
 
 
 Figura 6.4 
 
 O arco EF, que está y abaixo do arco CD, é dado por: 
 ( )EF r y= + ⋅ θ 
É interessante observar que esta variação linear de EF só é possível se a seção 
transversal permanecer plana. 
 Por definição: 
L L∆=ε 
Então, a deformação linear específica ε de EF é: 
ε EF
EF CD
CD
=
−
 
Ou 
( )
ε
θ θ
θEF
r y r
r
=
+ ⋅ − ⋅
⋅
 
Simplificando-se a expressão anterior, tem-se: 
r yEF =ε 
O → centro da curvatura da 
superfície neutra. 
 
r → raio de curvatura da superfície 
neutra. 
 34
Utilizando-se a lei de Hooke, σ ε= ⋅E , pode-se obter a tensão normal que provocou o 
alongamento de EF: 
 
r
yEEF ⋅=σ (6.1) 
 A Figura 6.5 mostra um corte imaginário na viga da Figura 6.2. A linha neutra divide, na 
seção transversal, as regiões tracionada e comprimida. 
 
 
y
 
z 
P 
NL 
 
Figura 6.5 
 Vamos impor a condição que: 
σ ⋅ =∫ dAA 0 
 
Esta condição deve-se ao fato de não existir força normal atuando na seção transversal. 
Uma vez que σ ⋅ =dA dF , a soma de todas as forças elementares dF é igual a zero. 
Colocando-se a equação (6.1) na equação acima, tem-se: 
E y
r
dA
A
⋅
⋅ =∫ 0 
Por hipótese, o módulo de elasticidade E é o mesmo à tração e à compressão, portanto, 
não varia na área. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma: 
E
r
y dA
A
⋅ ⋅ =∫ 0 
Como o módulo de elasticidade E não pode ser igual a zero e o raio r não pode ser 
infinito (neste caso não haveria flexão), tem-se que: 
y dA
A
⋅ =∫ 0 
A integral acima é, por definição, o momento estático da área da seção transversal em 
relação à linha neutra. O momento estático de uma área em relação a qualquer eixo que passa 
pelo centróide é igual a zero. Portanto, a linha neutra passa pelo centróide da área da seção 
transversal. 
 A outra condição a ser imposta é que: 
σ ⋅ ⋅ =∫ y dA MA 
Linha neutra → Intersecção da 
superfície neutra com a seção 
transversal 
 35
Esta condição deve-se ao fato que σ ⋅ ⋅ =y dA dM e somando-se o momento de todas 
as forças elementares tem-se o momento fletor aplicado. Ou, em outras palavras, a toda ação 
corresponde uma reação em sentido contrário. A reação ao momento fletor aplicado é produzida 
pela soma de todos os momentos das forças elementares. Colocando-se a equação (6.1) na 
equação acima, tem-se: 
E y
r
y dA M
A
⋅
⋅ ⋅ =∫ 
Ou 
E
r
y dA M
A
⋅ ⋅ =∫
2
 (6.2) 
Por definição: 
y dA I zA
2
⋅ =∫ 
O eixo y tem origem na linha neutra da área da seção transversal, sendo assim, o 
momento de inércia I z , calculado pela expressão acima, é o momento de inércia da área da 
seção transversal em relação ao eixo horizontal do centróide. 
 Colocando-se a expressão acima em (6.2), o momento fletor assume a forma: 
M E
r
I z= ⋅ 
Isolando-se o raio da curvatura r, tem-se: 
r
E I
M
z
=
⋅
 
Substituindo-se a expressão de r na expressão (6.1), tem-se: 
σ =
⋅
⋅
E y
E I
M
z
 
Ou: 
zI
yM ⋅
=σ (6.3) 
Portanto, a tensão normal referente ao momento fletor varia linearmente em uma seção 
transversal. 
 
6.3 – Flexão simples 
 A flexão simples ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada 
por momento fletor e força cortante. Este é o caso dos trechos AC e DB da estrutura da 
apresentada na Figura 6.1. Vamos admitir, a priori, que a tensão normal nos trechos AC e DB, 
da mesma forma que no trecho CD, varie linearmente. 
 
 36
 
 
Figura 6.6 
 O momento fletor varia ao longo do comprimento dx. A tensão normal nas seções 
transversais f-f e g-g são, respectivamente, dadas pelas expressões: 
σ =
⋅M y
I z
 e 
( )
σ =
+ ⋅M dM y
I z
 
 A força normal resultante na seção transversal é nula, conforme já visto. Entretanto, tem-
se força resultante em uma área genérica |A . A força resultante F (Figura 6.7) é dada pela 
expressão: 
∫ ∫
⋅
=⋅σ= | |A A
z
dA
I
yMdAF 
e a força resultante dFF + dada por: 
( )
∫
⋅+
=+ |A
Z
dA
I
ydMMdFF 
 
NL 
dx 
|A dx 
|A
.
F 
F + dF 
 
 
 (a) (b) 
Figura 6.7 
Nas três faces externas do elemento da Figura 6.7(b) não ocorre nenhuma ação. 
Portanto, no plano de corte e no sentido da força F existem tensões cisalhantes τ que mantêm o 
equilíbrio de forças (Figura 6.8). 
 
 37
dx
F
F + dF
τ
dx
F + dFF
 
 
Figura 6.8 
O equilíbrio de forças na direção da força F fornece a expressão: 
( ) 0dFFdxbF =+−⋅⋅τ+ 
onde b representa a largura da seção transversal. 
Colocando-se as expressões de F e de dFF+ na equação acima, tem-se: 
( ) 0dA 
I
y dMMdx b dA 
I
y M
|| A
z
A
z
=
+
−τ+ ∫∫ 
Simplificando a expressão anterior, tem-se: 
0dA 
I
y dMdx b |A
z
=−τ ∫ 
O momento fletor e o momento de inércia não variam na área, isto é, dependem apenas 
da coordenada x. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma: 
∫ ⋅⋅⋅
⋅
=τ |A
z
dAy
dx
dM
Ib
1
 
A integral acima é, por definição, o momento estático da área |A em relação ao eixo z. A 
derivada do momento fletor em relação à coordenada x fornece a força cortante, então: 
τ =
⋅
⋅
V Q
b I z
z
 (6.4) 
 Uma vez que as tensões cisalhantes são iguais nos planos perpendiculares entre si 
(Teorema de Cauchy), a seção transversal também está solicitada por τ (Figura 6.9). Estas 
tensões τ produzem a deformação distorção (γ) fazendo com que as seções transversais 
inicialmente planas não permaneçam planas depois de aplicado o carregamento.dx 
b 
 
Figura 6.9 
 
 Entretanto, em alguns casos, a força cortante desempenha um papel secundário. Sejam, 
por exemplo, as duas vigas da Figura 6.10. As duas vigas têm a mesma altura h e estão 
solicitadas pela mesma força cortante (P). Na viga da Fig. 6.10(a), onde L >> h, o momento 
fletor é predominante, desta forma as seções planas permanecem praticamente planas depois 
de aplicado o carregamento. 
 38
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 6.10 
 
Ensaios em laboratórios mostram que as expressões (6.3) e (6.4) podem ser usadas nas 
estruturas em que: 
L
h
≥ 5 
Nas estruturas em que a relação acima é verificada são chamadas vigas. 
OBS.: No cisalhamento puro (Fig. 6.10(b)), conforme já visto, a tensão de cisalhamento é dada 
por: τ = F/A. Na flexão simples (M+V) a tensão cisalhante é dada pela equação (6.4). 
 
6.4 – Distribuição das tensões de cisalhamento 
 A força cortante V, o momento de inércia I z e a largura b, no caso geral variam segundo 
a coordenada x. Sendo assim, em uma seção transversal qualquer a tensão de cisalhamento 
varia apenas em função do momento estático. 
 
6.4.1- Seção transversal retangular 
 
 
Figura 6.11 
 
 O momento estático da área hachurada é dado por: 
 
Q A y= ⋅|
_
 
Onde: 
( ) y
2
y2hy
_
+
−
= 
Ou: 
( ) ( )4 h2 yy_ += 
A área A | é dada por: 
 39
by2
hA| ⋅





−= 
Então: 
Q h y b y h= −




 ⋅ ⋅ +






2 2 4
 
Resultando em: 
Q b h y= ⋅ −





2 4
2
2
 
Portanto, a tensão cisalhante varia segundo uma equação do segundo grau. Nos pontos 
com coordenadas y = h/2 e y = −h/2 a tensão cisalhante é nula. O valor máximo da tensão 
cisalhante é obtido nos pontos com coordenada y = 0, isto é, a tensão cisalhante é máxima na 
linha neutra e seu valor é calculado da seguinte forma: 
A2
V3
4
h
2
b
12
bhb
V0
4
h
2
b
bI
V
máx
2
3
2
2
z
máx =τ→





⋅
⋅
=





−⋅=τ 
 
 
 
Figura 6.12 – Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ 
6.4.2 – Seção transversal em forma de "I"e"T" 
 
 
c 
τmáx 
τ
 
σ
 
 
 
c 
τ
 
τmáx 
σ 
 
 
Figura 6.13 – Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ 
6.5 - Deformações 
6.5.1 - Momento Fletor 
 
 40
 
Figura - 6.14 - Deformação referente ao momento fletor 
 
dxL
L δ
=ε→
∆
=ε 
Lei de Hooke: ε=σ .E , onde: 
I
y.M
=σ 
Então: 
 
dx
ydE
I
M.y
 
dx
E
I
y.M θ
=→
δ
= 
de onde: 
 
I
dx.Md
Ε
=θ 
 
6.5.2 - Força cortante 
 
 
 
Figura 6.15 - Deformação referente a força cortante 
Lei de Hooke no cisalhamento: τ = G . γ , onde τ na flexão simples (M + V) é dado por: 
Ib
Q.V
=τ 
A tensão cisalhante τ pode ser colocada na forma: 
A
Vf=τ , onde f , chamado fator de forma, 
resulta da distribuição não uniforme das tensões de cisalhamento e seu valor depende da forma 
da seção transversal. Então: 
 
dx
GA
Vfdhdx
G
dh =→τ= 
 41
 
6.6 – Módulo elástico de resistência à flexão ( W ) 
 Em uma viga solicitada por momento fletor a maior tensão normal é dada por: 
 
d
I
M
I
dM máxmáx
máx =
⋅
=σ 
onde I é o momento de inércia da seção transversal e d é a distância da linha neutra até um 
ponto localizado na superfície da viga. Por definição: 
 
d
IW = 
Então: 
W
Mmáx
máx =σ 
Se a seção transversal não tiver eixo de simetria horizontal é evidente que: is WW ≠ . 
Dimensão do módulo elástico de resistência à flexão ( W ): [ ]3L 
Para vigas com seção transversal retangular, tem-se: 
2
h
12
bh
WW
3
is == → 6
bhWW
2
is == 
Para vigas com seção transversal circular, tem-se: 
2
D
64
D
WW
4
is
pi
== → 
32
DWW
3
is
pi
== 
Para uma viga com seção transversal em forma de “ T ”, com as dimensões mostradas na figura 
abaixo, o momento de inércia em relação ao eixo z é igual a 6,15 x 10 − 3 m4. Então: 
 
217,0
10x15,6W
3
s
−
=
32
s m10x83,2W
−
=→ 
383,0
10x15,6W
3
i
−
=
32
i m10x61,1W −=→ 
 42
6.7 – Flexão oblíqua (flexão assimétrica) 
 Na flexão oblíqua a linha neutra não é perpendicular (portanto, é oblíqua) ao plano que 
contém o carregamento e o centróide. 
 Nos estudos precedentes demonstrou-se a expressão da tensão normal (σ) produzida 
por momento fletor atuando em vigas que possuem, pelo menos, um plano de simetria. Impôs-
se também que o carregamento atuava no plano de simetria. 
 Considerem-se, agora, vigas nas quais os carregamentos que provocam flexão atuam 
em planos que não são planos de simetria e vigas que não possuem planos de simetria (vigas 
assimétricas). Para analisar estas situações impõe-se que a linha neutra coincida com o vetor 
momento e determina-se em quais situações isto é possível. 
 
 
∫ =σ→=σ A zxzx MdA.y.dMy.dA. onde: 
z
z
x I
y.M
=σ 
∫ =σ→=σ A xyx 0dA.z.dMz.dA. 
∫ ∫ ∫ =→=→=A A Az
z
z
z 0yzdA0yzdA
I
M0dA.z
I
y.M
 (1) 
 A integral (1) é, por definição, o produto de inércia (ΙZY) da área A em relação aos eixos Y 
e Z, e será igual a zero se estes eixos forem os eixos principais de inércia. Portanto, a linha 
neutra vai coincidir com o vetor momento se, e somente se, o vetor momento for dirigido 
segundo um dos eixos principais de inércia da área. 
 Se os eixos y e z são eixos principais de inércia, tem-se a expressão para calcular a 
tensão normal nas estruturas solicitadas por Mz e My: 
 
=σx 
z
z
I
y.M
 
y
y
I
z.M
+ 
 43
6.8 – Flexão de vigas constituídas de dois materiais 
 
 Impondo-se que os dois materiais estão unidos as seções transversais, inicialmente planas, 
permanecerão planas depois de aplicado o carregamento. Para esta demonstração supõe-se que: 
Ε2 > Ε1. 
 
 
 
 Uma vez que seções planas permanecem planas o diagrama de deformação é linear, como 
mostra o diagrama das deformações. O gráfico das tensões tem a variação brusca na interface entre 
os dois materiais (ponto d) porque, para se ter a mesma deformação neste ponto, a tensão normal no 
material 2 é maior do que a tensão normal no material 1 (lembrando que Ε2 > Ε1). Usando-se a lei de 
Hooke pode-se determinar as tensões nos pontos a, d e f: 
a1a . εΕ=σ 
d1
1
d . εΕ=σ 
d2
2
d .εΕ=σ 
f2f . εΕ=σ 
 A Equação (6.1) pode ser usada para vigas feitas de dois materiais: 
 
r
yE1
1 =σ e 
r
yE 2
2 =σ 
Onde r é o raio de curvatura da superfície neutra. 
 No estudo da flexão pura foi imposta a condição que: 0dA.
A
=σ∫ . Para vigas constituídas por 
dois materiais a condição a ser imposta é que: 
 
+σ∫ 1A 1 dA. 0dA.2A 2 =σ∫ 
 
 Colocando-se as expressão de σ1 e σ2, tem-se: 
 
+
Ε
∫ 1A
1 dA.
r
y
 0dA.
r
y
2A
2
=
Ε
∫ 
 
 44
 Uma vez que os módulos de elasticidades e o raio de curvatura não variam na área, pode-se fazer: 
+
Ε
∫ 1A
1 dA.y 
r
0dA.y
r 2A
2
=
Ε
∫ (a) 
Ou simplificando-se a raio de curvatura r e dividindo-se por Ε1: 
 +∫ 1A dA.y 0dA.y2A
1
2
=
Ε
Ε
∫ 
 Chamando de 
1
2n
Ε
Ε
= , tem-se: 
 
 +∫ 1A dA.y 0dA.yn 2A =∫ 
 
Então, cada elemento de área dA da área A2 é multiplicado por n conservando-se a distância y 
destes elementos. 
 
 
 
A seção homogeneizada acima é constituída apenas pelomaterial da área 1, com módulo de 
elasticidade Ε1 (método da seção equivalente). 
 
 A seção homogeneizada pode ter como referência o material 2. Neste caso, a expressão (a) 
deve ser dividida pelo módulo de elasticidade do material 2 (Ε2): 
 
+
Ε
∫ 1A
2
1 dA.y 
E
0dA.y
2A
=∫ → +∫ 1A dA.yn
1 0dA.y
2A
=∫ 
 
Os elementos de área dA da área A1 são divididos por n conservando-se a distância y destes 
elementos. Então, a base b do material 1 deve ser dividida por n , como mostra a figura abaixo. 
 
 45
6.9 – Flexão de vigas de concreto armado 
 
 Nas vigas de concreto armado despreza-se a resistência à tração do concreto. Assim sendo, na 
seção homogeneizada aparece apenas a parte de concreto acima da linha neutra (quando a viga está 
solicitada por momento fletor positivo). Por definição: 
c
s
E
E
n = 
onde: sE é o módulo de elasticidade do aço e cE é o módulo de elasticidade do concreto. 
 
 
• Cálculo da posição da linha neutra (colocando-se o sistema de referência na face superior): 
dnA
2
ybynAyb
nAyb
dnA
2
yyb
y s
2__
__
s
2__
s
_
s
_
_
_
+=+→
+
+
= 
de onde se tem a equação do segundo grau que fornece a posição da linha neutra: 
0dnAynA
2
yb
s
__
s
2__
=−+ 
A raiz positiva da equação acima é dada por: 








−+= 1
nA
bd21
b
nAy
s
s
_
 
• Cálculo do momento de inércia em relação à linha neutra: 
2
__
sB
4
2
__
__
3__
)yd(nAnn
64
D
2
yyb
12
ybI −+pi+










+= 
 O termo nn
64
D
B
4pi
, onde Bn é o número de barras de aço, pode ser desprezado por ser muito 
menor que os outros dois termos. Então, o momento de inércia em relação à linha neutra é dado por: 
2
__
s
3__
)yd(nA
12
yb4I −+= 
 46 
7 – Solicitações compostas 
7.1 – Introdução: Nos estudos precedentes foram obtidas as expressões das tensões (σ 
e τ) provocadas pelos quatro esforços internos :MeT,V,N 
Força normal ( N ): 
A
N
=σ 
Força cortante ( V ): 
A
V
=τ (cisalhamento puro) ou 
bI
VQ
=τ (flexão simples: M + V) 
Momento de torção ( T ): 
J
Tr
=τ onde ( )4i4e DD32J −
pi
= (Observação: fórmula válida 
para barras que têm seção transversal circular) 
Momento fletor ( M ) : 
I
yM
=σ 
• Flexão pura: quando uma estrutura fica solicitada somente por momento fletor (M) 
• Flexão simples: quando uma estrutura fica solicitada por M + V 
• Flexão composta: quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor + força 
normal ou momento fletor + momento de torção 
Flexo-tração: momento fletor + força normal de tração 
Flexo-compressão: momento fletor + força normal de compressão 
Flexo-torção: momento fletor + torção 
A flexão composta pode ser normal ou oblíqua: 
• Flexão composta normal: quando a linha neutra é perpendicular ao plano que 
contém o carregamento e o centróide. A flexão composta normal ocorre quando o 
carregamento atua em um dos eixos principais de inércia. 
• Flexão composta oblíqua: quando a linha neutra é oblíqua ao plano que 
contém o carregamento e o centróide. A flexão composta oblíqua ocorre quando o 
carregamento atua em um eixo que não é eixo principal de inércia. 
 
 
• Equação geral da flexão composta para vigas solicitadas por momento fletor e força 
normal: 
+=σ
A
N
x 
z
z
I
y.M
 
y
y
I
z.M
+ 
 47 
7.2 – Núcleo central 
 Núcleo central é a região de uma seção transversal onde ao aplicar-se uma força 
normal de compressão (tração) a seção transversal ficará solicitada apenas por tensão 
normal de compressão (tração). 
• Núcleo central de uma seção transversal retangular 
Seja um pilar solicitado por uma força de compressão P com excentricidade d em 
relação ao eixo y e excentricidade a em relação ao eixo z. A tensão normal é dada por: 
 
−−=σ
A
P
 
12
bh
y.aP
3 
12
hb
z.dP
3− 
 
 
Para determinar o núcleo central impõe-se que não existe tensão normal de tração, 
então a linha neutra tangencia a seção transversal no ponto de coordenadas y = − h/2 e 
z = − b/2: 
−−=
bh
P0 
12
bh
)2/h.(aP
3
−
 
12
hb
)2/b.(dP
3
−
− 
ou: 
=1 
h
a.6
 
b
d.6
+ 
 
 
 48 
• Núcleo central de uma seção transversal circular 
Seja uma área com seção transversal circular solicitada por uma força de 
compressão com excentricidade a em relação ao eixo z. A tensão normal é dada por: 
 
−
pi
−=σ
4
D
P
2 
64
D
y.aP
4pi
 
 
 
 
Impondo-se que a linha neutra tangencia a seção transversal no ponto de coordenada 
y = − D/2, tem-se: 
−
pi
−= 2D
4P0 4D
64)2/D.(aP
pi
−
 
Ou: 
=a 
8
D
 
 
 
 
 
 49
8 - Deformações na flexão 
8.1 - Linha elástica: Por definição, linha elástica é a curva na qual se transforma o 
eixo da viga depois de aplicado o carregamento. 
P
x
v
vd
d
d’
o
linha elástica
 
 
Onde: 
dv : deflexão (flecha) do ponto d (componente vertical do deslocamento do ponto d). 
A deflexão é uma função da coordenada x. 
 
8.2 - Métodos de cálculo: 
Método da integração direta 
Método da energia 
Métodos numéricos 
Outros. 
 
8.3 - Hipóteses 
• Despreza-se a contribuição da força cortante no cálculo das deflexões; 
• As deflexões são pequenas quando comparadas com as dimensões da 
viga (base, altura e comprimento); 
• É válida a Lei de Hooke. 
 
8.4 - Método da integração direta 
 
 Em coordenadas cartesianas a expressão da curvatura de uma curva em um 
ponto Q(x, y) é dada por: 
 
2
3
2
2
2
dx
dy1
dx
yd
r
1













+
= 
 
 50
 A inclinação da tangente à linha elástica é muito menor que 1,0. Então, para 
uma curva no plano xOv, pode-se fazer: 
2
2
dx
)x(v d
r
1
= 
Da flexão pura, tem-se o raio de curvatura da superfície neutra: 
 
)x(M
EI
r = → 
EI
)x(M
r
1
= 
Igualando-se as duas últimas expressões, tem-se: 
EI
)x(M
dx
)x(vd
2
2
= 
 
 Para ΕΙ constante e analisando-se o sinal da segunda derivada (considerando-
se o sentido do eixo das deflexões ( v ) positivo para baixo), tem-se: 
 
)x(M)x(vIE || −= 
 
Condições de contorno (ou condições de extremidades): 
 
 Nos apoios do 1o e do 2o gênero: 0v = 
 
 Nos engastes: 0vv | == 
 
Observação: )x(V)x(vIE ||| −= 
 )x(q)x(vIE VI = 
8.5 – Consideração do esforço cortante no cálculo de deflexões 
 
 
 51
 O deslizamento relativo dh, provocado pela força cortante, entre duas seções 
transversais distantes dx está demonstrado no item 6.5.2: 
dx
GA
)x(Vfdh = 
Somando-se todos os deslocamentos relativos dh tem-se a contribuição da força 
cortante ( Sv ) para a deflexão: 
∫∫ =→= dxGA
)x(Vf
vdhv SS 
 
Exercício: Determine a deflexão no meio da viga considerando-se a contribuição do 
momento fletor e da força cortante. A viga tem seção transversal retangular ( f = 1,2) 
e ΕΙ = constante. 
 
 
A deflexão total (vT) é dada pela contribuição do momento fletor (vB) e pela 
contribuição da força cortante (vS) : 
sBT vvv += 
 
∫= dhv S dx)qx2
qL(
GA
f
v
2/L
0
S −=→ ∫ 
 








−=→





−=
8
L
4
L
GA
qf
v
2
x
x
2
L
GA
qf
v
22
S
2/L
0
2
S 
de onde:8
L
GA
qf
v
2
S ⋅= 
 
Considerando-se a contribuição do momento fletor e da força cortante a deflexão no 
meio da viga é dada por: 
GA8
Lqf
EI384
Lq5
v
24
T += 
 
 52
8.6 – Vigas hiperestáticas: Método da superposição dos efeitos 
 
 As três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularem-
se as reações de apoio de vigas hiperestáticas, ou seja, são vigas estaticamente 
indeterminadas. Além das três equações de equilíbrio são necessárias outras 
equações que são obtidas impondo-se condições de deslocamentos da estrutura. 
Neste item, o método da superposição dos efeitos é empregado para calcularem-se 
as reações de vigas hiperestáticas. 
A deflexão de uma estrutura solicitada por várias cargas pode ser calculada 
somando-se a contribuição de cada carga como se atuasse separadamente. Esta 
constatação permite calcularem-se as reações de apoio de vigas hiperestáticas com 
o seguinte procedimento: 
1. Retira-se um vínculo da estrutura deixando-a isostática; 
2. Calcula-se o deslocamento (ou a rotação) que o vinculo retirando estava 
impedindo; 
3. Coloca-se a ação (força ou momento) do vínculo retirado sobre a estrutura. 
Determina-se o deslocamento (ou a rotação) do ponto de aplicação desta ação 
como se fosse o único carregamento que atua na estrutura; 
4. Impõe-se uma condição de deslocamento (geralmente, deslocamento nulo) 
obtendo-se a reação de apoio do vínculo retirado. As outras reações serão 
obtidas com as equações de equilíbrio da estática. 
 
8.7 – Contra-flecha 
 
 Durante a construção de uma viga recomenda-se provocar deslocamentos em 
sentido contrário aos deslocamentos que ocorrerão quando for aplicado o 
carregamento. Este procedimento é chamado de contra-flecha. 
 
 
 
 
 53
9 - FLAMBAGEM 
 
9.1 - Introdução 
Barras esbeltas solicitadas à compressão rompem por flexão quando a força atinge um 
valor crítico (Pcr) . 
Barra esbelta: quando o comprimento longitudinal é muito maior que as dimensões da 
seção transversal. 
 Para estudar-se o fenômeno da flambagem tem-se que usar a “teoria de 2a ordem”. 
 Teoria de 1a ordem: para calcularem-se os esforços internos esta teoria permite confundir 
a forma inicial da estrutura com sua forma deslocada pelas cargas. 
 Teoria de 2a ordem: tem-se que levar em consideração a posição deslocada da estrutura 
para calcularem-se os esforços internos. 
 
 
9.2 – Carga crítica de barras bi-articuladas solicitadas por força axial (caso fundamental) 
 
 
v (x) 
v 
x 
P 
P 
L
 
 Então: )x(v.P)x(EIv || −= ou: 0)x(v.P)x(EIv || =+ 
Dividido-se a expressão acima por IE tem-se: 
 0)x(v
EI
P)x(v || =+ 
Chamando-se de 
EI
P
c2 = tem-se: 
 0)x(vc)x(v 2|| =+ → Equação diferencial de segunda ordem homogênea 
Solução: xe.)x(v βα= onde α é uma constante e ci=β 
 
 ou: cx cos B cx sen A (x)v += 
E I v | | (x) = − M (x) 
 
M (x) = P . v(x) 
 
 54
 A equação da linha elástica cx cos B cx sen A (x)v += tem que satisfazer as 
condições de extremidade: 
1ª) para x = 0 → v (0) = 0 = A sen c.0 + B cos c.0; 0 = A.0 + B.1 → B = 0 
2ª) para x = L → v (L) = 0 = A sen c.L; 
 Se A = 0 → solução trivial → não existe elástica → não existe flambagem. 
 Então: sen c.L = 0 
 
 
 
 
 A solução é: n = 1, 2, 3 ,4... 
 Lembrando que: →=
EI
P
c2 →=
pi
EI
P
L
n
2
22
 
2
22
L
IEnP pi= 
 
A figura abaixo mostra os três primeiros modos de flambagem, que podem ser verificados 
colocando-se n = 1, 2 e 3 na expressão de v(x): 
 
 x
L
n
senA cx sen A v(x) pi== 
 
 
 
 
 
 
cL = npi 
 
n = {...,-4,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3 ,4,...} 
 55
 
 
Utilizamos o menor valor de P, isto é, n = 1: 
 
 2
2
cr L
IEP pi= 
 
crP → é conhecido como carga crítica de Euler. A flambagem é um problema de equilíbrio. 
Formas de equilíbrio: estável, instável, indiferente. 
 
9.3 – Tensão crítica (σcr) 
 
 
AL
EI
A
P
2
2
cr pi
= 
AL
EI
2
2
cr
pi
=σ 
 
 Por definição, o raio de giração i é dado por: AIi2 = [i = m, cm, mm] 
 
Então: 
 
 
2
22
cr
L
Eipi
=σ 
 
Chamando de: 
i
L
=λ , onde λ é conhecido como índice de esbeltez e é adimensional, tem-se: 
 
2
2
cr
E
λ
pi
=σ 
Obs.: No cálculo do raio de giração usa-se o menor momento de inércia. Se ocorrer flambagem, 
ela acontecerá na direção perpendicular ao eixo de menor momento de inércia (condição mais 
desfavorável): 
 AIi minmin = 
 
 
9.4 – Fórmula de Euler para outros casos de vinculação 
 
 A fórmula de Euler torna-se geral se considerarmos o comprimento de flambagem 
LKL fl = : 
 
2
fl
min
2
rc
L
EIP pi= e 2
2
rc
E
λ
pi
=σ onde 
min
fl
i
L
=λ 
 
 56
K
 
=
 
1,0
L
K
 
=
 
2,0 K
 
=
 
0,7 K
 
=
 
0,5
 
 
 
9.5 – Validade da fórmula de Euler 
 
 
 O maior valor que a tensão crítica pode assumir é a tensão de proporcionalidade: 
pcr σ≤σ 
 
Por exemplo: Aço CA - 25 com pσ = 210 x 106 N/m2 e AçoΕ = 200 x 109 N/m2 
 
2
2
cr
E
λ
pi
=σ → 2
92
6 10.200.10.210
λ
pi
= → 6
92
10.210
10.200.pi
=λ 95,96=λ→ 
 
 
 
 57
ANEXO 
 
ΙΙΙΙ – Propriedades de áreas planas 
ΙΙΙΙ.1 – Momento estático (Q): Seja a área A situada no plano YOZ. Sendo y e z as coordenadas de um 
elemento de área dA, o momento estático da área A, por definição, é dado por: 
 
 
 
•
 Dimensão de Q: [ L ] 3 
• O momento estático de uma área, dependendo da posição do sistema de referência, pode ser 
positivo, negativo ou nulo. 
 
ΙΙΙΙ.2 – Centróide: Por definição as coordenadas do centróide (
__
y;z ) de uma área são dadas por: 
 
 
 
• Observação: o momento estático de uma área finita em relação a um eixo que passa pelo 
centróide é nulo. 
 
ΙΙΙΙ.3 – Momento de inércia (ΙΙΙΙ): Por definição: 
 
 
 
 58
•
 O momento de inércia de uma área é sempre positivo. Dimensão de Ι : [ L ]4 
 
Teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner): O momento de inércia de uma área em 
relação a um eixo de seu plano é igual ao momento de inércia em relação a um eixo paralelo que 
passa pelo seu centróide acrescido ao produto da área pelo quadrado da distância entre os dois eixos. 
 
 
 
ΙΙΙΙ.4 – Produto de inércia (ΙΙΙΙZY): Por definição: 
 
 
 
 
 
 O produto de inércia de uma área em relação a um par de eixos ortogonais é nulo quando um 
dos eixos é um eixo de simetria. 
 
 
 
 
 59
• Teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia 
 
 
ΙΙΙΙ.5 – Rotação de eixos 
 
 
 
∫= A
2
Z dAyI ∫= A
2
Y dAzI ∫= AZY ydAzI 
 
 Por analogia: ∫= A
2|
Z dAyI | ⇒ ∫ θ+θ= A
2
Z dA )ycoszsen (I | 
 
θθ+θ+θ= cossenI2senIcosII ZY2Y2ZZ| (1) 
 
∫= A
||
YZ dAyzI || ⇒ ∫ θ+θθ−θ= AYZ dA )ycoszsen )(senycosz(I || 
 
)sen(cosIcossen)II(I 22ZYZYYZ || θ−θ+θθ−= (2) 
 
 60
ΙΙΙΙ.6 – Circunferência de Mohr para momentos de inércia e produtos de inércia 
 
 As equações (1) e (2) formam uma equação paramétrica da circunferência, ou seja, o lugar 
geométrico dos pares )I;I( ||| YZZ forma uma circunferência. Para demonstrar esta propriedade deve-se 
eliminar o parâmetro θ das equações (1) e (2). Da trigonometria têm-se as seguintes relações:θ=θθ 2sencossen2 )2cos1(
2
1
cos2 θ+=θ )2cos1(
2
1
sen 2 θ−=θ 
 Substituindo-se as relações trigonométricas acima nas equações (1) e (2), elevando ao 
quadrado e somando-as, tem-se a seguinte equação de uma circunferência: 
 
( ) 2ZY
2
ZY2
YZ
2
YZ
Z I2
III
2
III ||| +




 −
=+




 +
− 
 Sem perder a generalidade, para esta demonstração, supõe-se que ZY II > . 
 
 
Circunferência de Mohr para momentos e produtos de inércia 
Ι1 e Ι2 são chamados momentos de inércia principais. Ι1 é o maior momento de inércia e Ι2 o menor. 
2
ZY
2
ZYYZ
1 I2
II
2
III +




 −
+
+
= 
2
ZY
2
ZYYZ
2 I2
II
2
III +




 −
−
+
= 
θ1 e θ2 são chamados direções principais, são marcados a partir do eixo OZ e positivo quando o giro é 
realizado no sentido anti-horário. θ1 é a direção do plano onde encontra-se o maior momento de inércia 
(Ι1) e θ2 é a direção do plano onde encontra-se o menor momento de inércia (Ι2). 
Y1
ZY
1 II
I
tg
−
=θ 





−
−=θ
2Y
ZY
2 II
I
tg 
• 
0
21 90=θ+θ 
• Da circunferência de Mohr conclui-se que nas direções principais o produto de inércia ΙZY = 0. 
 
 61
 
 
Resumo das equações de M(x) e V(x) dos carregamentos mais usados na Engenharia 
 
 
Carregamento )x(M )x(V 
 
 
M− 
 
0 
 
 
xP− 
 
P− 
 
 
2
xq 2
− 
 
 
xq− 
 
 
L6
xq 3
− 
 
L2
xq 2
− 
 
 
L6
xq
2
xq 32
+− 
 
L2
xq
xq
2
+− 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
BEER, F. P. & JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos Materiais – McGraw-Hill.1982. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais 7a ed. – Prentice Hall. 2009. 
PFEIL, W. & PFEIL M. Estruturas de Aço – Dimensionamento Prático – LTC Editora. 1995. 
POPOV, E. P. Resistência dos Materiais – Prentice Hall. 1984. 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural – v. 1. Editora Globo. 1973. 
TIMOSHENKO, S. P. & GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos – LTC Editora. 1982.