Lista 1 - Domínio, Limites e Continuidade de Funções de Duas ou mais variáveis

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Lista 1 de Exercícios – Cálculo Diferencial 2. 
 Domínio, Limites e Continuidade de Funções de Duas ou mais variáveis 
 
 
Cálculo II – Lista de exercícios 1 
 Domínio, Limites e Continuidade de funções de várias variáveis 
 
1) Determine e esboce o domínio das seguintes funções: 
(a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + √9 − 𝑥2 − 𝑦² 
(b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥2 + 𝑦2) 
(c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = arcsin(√|𝑥| + |𝑦|) 
(d) 𝑓(𝑥) = 
2
√1−𝑥
+ √𝑥 + 1 
2) Determine a imagem das funções abaixo: 
 
(a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √9 − 𝑥2 − 𝑦2 
 
(b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln (25 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2) 
 
3) Esboce o gráfico das seguintes funções: 
 
(a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √2𝑥 − 𝑥2 + 4𝑦 − 𝑦2 
 
(b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = −(𝑥 − 1)2 − (𝑦 + 1)2 + 1 
 
(c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 − 𝑦 
 
4) Trace curvas de nível das seguintes funções para 𝑧 = 1, 𝑧 = 2 e 𝑧 = 3: 
(a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥2 + 4𝑦2) 
(b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥
2−𝑦² 
(c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
 
 
 
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 Domínio, Limites e Continuidade de Funções de Duas ou mais variáveis 
 
5) Na figura a seguir está representada parte da interseção do gráfico de 
𝒇(𝒙, 𝒚) =
𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐+𝒚𝟐)
𝒙𝟐+𝒚𝟐
 com o plano z = 0. 
 
(a) Qual o domínio dessa função? 
(b) Determine o raio das duas circunferências representadas e explique como 
chegou ao resultado. 
 
6) Determine os seguintes limites (se existirem). Justifique os casos que os 
limites não existem. 
(a) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2𝑠𝑖𝑛2(𝑦)
𝑥2+𝑦²
 
(b) lim
(𝑥,𝑦)→(1,−1)
𝑒−𝑥𝑦cos (𝑥 + 𝑦) 
(c) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2𝑦4
𝑥2+𝑦8
 
(d) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
 √𝑦2 − 𝑥² 
(e) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
 
(𝑒−𝑥
2−𝑦2−1)
𝑥²+𝑦²
 
(f) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥²𝑦𝑒𝑦
𝑥4+4𝑦²
 
(g) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4−4𝑦²
𝑥2+2𝑦²
 
 
 
 
x
y
z
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 Domínio, Limites e Continuidade de Funções de Duas ou mais variáveis 
 
7) Analise a continuidade da função a seguir: 
(a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦
𝑥𝑦
, 𝑥𝑦 ≠ 0
1 , 𝑥 = 0
 
8) Diga o valor de “a”, se possível, de modo que a seguinte função seja 
contínua na origem. 
 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
 3𝑥𝑦²
𝑥2+𝑦²
, (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
𝑎 , (𝑥, 𝑦) = (0,0)
 
 
GABARITO 
 
1. (a) 𝐷𝑚 (𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2| 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 𝑒 𝑥 ≥ 0} 
 (b) 𝐷𝑚 (𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2| 𝑥2 + 𝑦2 > 0} 
(c) 𝐷𝑚 (𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|√|𝑥| + |𝑦| ≤ 1} 
(d) 𝐷𝑚 (𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2| − 1 ≤ 𝑥 < 1} 
2. (a) 𝐼𝑚 (𝑓) = [0,3] 
(b) 𝐼𝑚 (𝑓) = [−∞, 2𝑙𝑛5] 
3. a. Esfera centrada em (1,2,0) e raio √5 b. Parabolóide com concavidade 
para baixo e vértice em (1, -1, 1) c. Plano que passa no ponto (0,0,2) e tem 
(0, -1, -1) como vetor normal. 
4. a. Elipses concêntricas centradas na origem. 
Dado K uma constante natural, k = x² + 4y² 
b. Circunferências concêntricas centradas na origem. 
Dado k uma constante natural, k = x²+y² 
c. Analisar as assíntotas da secante. A função secante tende a +/ - infinito 
quando x se aproxima de k*pi. Dado k constante natural. 
 
 
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 Domínio, Limites e Continuidade de Funções de Duas ou mais variáveis 
5. (a) 𝐷𝑚 (𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2| 𝑥2 + 𝑦2 > 0} 
(b) 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑦2) = 0; 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑘. 𝜋 ( 𝑘 𝑐𝑡𝑒 𝑁) 
 
6. (a) Não Existe. 
(b) 𝑒 
(c) 0 
(d) 0 
(e) -1 
(f) Não existe 
(g) Não existe 
7. 𝑓 é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑅2. 𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟 𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠. 
8. 𝑎 = 0