Lista 3

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Lista 3 de Exercícios – Cálculo Diferencial 2 
Diferenciais, Plano Tangente e Vetor Gradiente 
 
 
1) Calcule o plano tangente à função 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐em (𝒙𝟎, 𝒚𝟎) =
(𝟎, 𝟏). 𝒁 = −𝟐𝒚 + 𝟓 
2) Calcule o plano tangente à função 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒆−𝒙
𝟐−𝒚𝟐+𝟐𝒙+𝒚. (−𝟐𝒚 +
𝟏) 𝒆𝒎 (𝒙𝟎, 𝒚𝟎) = (𝟎, 𝟎). 𝒁 = 𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝒚 
3) Calcule a diferencial da função 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝒚𝟐). 𝒅𝒇 =
𝒚𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒚𝟐)𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝒚𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒚𝟐)𝒅𝒚 
4) Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento 
de cálculo e precisamos resolver os seguintes problemas: 
a. Se 𝑻 (𝒙, 𝒚) = 𝒙. 𝒆𝒙𝒚representa a temperatura num ponto (𝒙, 𝒚) 
numa certa região do plano. Calcular a temperatura em 
 𝑻(𝟏. 𝟎𝟎𝟐𝟑 , 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐). 𝒙 . 𝒆𝒙𝒚 ≅ 𝒙 + 𝒚 
b. Se 𝜷 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒍𝒏(√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛²) representa a densidade num 
ponto (𝒙, 𝒚, 𝒛)numa certa região do espaço que não contem a 
origem. Determina 𝜷 (𝟏. 𝟎𝟎𝟓, 𝟎. 𝟎𝟎𝟕, 𝟏. 𝟎𝟏). 𝒍𝒏(√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛²) ≅
𝒙+𝒛+𝒍𝒏𝟐
𝟐
− 𝟏 
 
5) Uma empresa, cuja produção é modelada por 𝑷 = 𝑲𝟎,𝟔𝑳𝟎,𝟒 tem 1 milhão 
de reais investidos em capital e 1 milhão gastos em trabalho. 
a. Calcule ∆𝑃 = 𝑃(𝐾 + ∆𝐾, 𝐿 + ∆𝐿) − 𝑃(𝐾, 𝐿) 𝑒 𝑑𝑃 = 𝑃𝑘𝑑𝐾 + 𝑃𝐿𝑑𝐿 
para esses valores. 
 
 
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Diferenciais, Plano Tangente e Vetor Gradiente 
 
 
b. Suponha que você precise estimar qual o efeito sobre a produção 
de um investimento extra de 200mil em capital e 100mil em 
trabalho. Qual será o resultado calculado? 160 mil reais 
6) Considere uma função de duas variáveis 𝒇(𝒙, 𝒚) e as funções de uma 
variável 𝒙(𝒕)𝒆 𝒚(𝒕), todas diferenciáveis tais que: 
a. 𝒙(𝟒) = 𝟓 𝒆 𝒚(𝟒) = −𝟐 
b. 𝒙′(𝟒) = 𝟏 𝒆 𝒚′(𝟒) = 𝟐 
c. 𝑓𝑥 (5, −2) = −3 𝑒 𝑓𝑦(5, −2) = 6 
Nessas condições, calcule 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 4. 9 
7) Considere uma função 𝒇(𝒙, 𝒚) tal que, para todo 𝒕 ∈ 𝑹, verifica-se a 
igualdade 𝒇(𝒕𝟐, 𝟐𝒕) = 𝟖𝒕𝟕 − 𝒕𝟔. 
a. Determine o valor de 𝑓𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 1. 50 
b. Calcule o valor da expressão 𝑓𝑥 (1,2) + 𝑓𝑦 (1,2) 25 
c. Sabendo que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑝𝑦𝑞 − 𝑥𝑞, em que p e q são constantes, 
calcule os valores de p e q. p = 2 e q = 3 
8) Considere a função 𝒈(𝒕) = 𝒕𝟐. 𝒇(𝒙(𝒕), 𝒚(𝒕)), em que 𝒙(𝒕) = −𝟐𝒕 𝒆 𝒚(𝒕) =
𝒕𝟐. 
a. Sabendo que 𝑓(2, −1) = 2, 𝑓𝑥(2, −1) = 1, 𝑓𝑦(2, −1) = −2. Calcule 
𝑔′(−1). −12 
b. Dado que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦4 − 𝑦2, 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑔′(𝑡), deixando a 
resposta apenas em função de t. Em seguida, calcule 𝑔′(−1) a 
 
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Diferenciais, Plano Tangente e Vetor Gradiente 
 
 
partir da lei que você escreveu e compare com o resultado obtido 
no item a. 
 
 𝑔′(𝑡) = 14𝑡3 − 8𝑡7 − 6𝑡2 O valor de 𝑔′(−1) obtido agora é igual ao do item a