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Estatística
Professora conteudista: Ângela Pizzo
Sumário
Estatística
Unidade I
1 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA .........................................................................................................................1
1.1 Introdução ..................................................................................................................................................1
1.2 Importância da estatística ...................................................................................................................2
1.3 Grandes áreas da estatística ...............................................................................................................2
1.4 Fases do método estatístico ............................................................................................................. 10
1.5 Dados estatísticos ................................................................................................................................ 13
1.6 Formas iniciais de tratamento dos dados .................................................................................. 15
1.7 Notação por índices ............................................................................................................................ 15
1.7.1 Notação sigma (∑) ................................................................................................................................. 16
1.8 Séries estatísticas – simples e compostas .................................................................................. 19
1.8.1 Tipos de séries estatísticas .................................................................................................................. 20
1.8.2 Tabelas de dupla entrada ..................................................................................................................... 23
1.9 Apresentação de dados – gráficos e tabelas ............................................................................. 25
2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL PARA DADOS SIMPLES ......................................................... 29
2.1 A média aritmética simples (µ,x) ................................................................................................... 31
2.2 A média aritmética ponderada ....................................................................................................... 34
2.3 A mediana ............................................................................................................................................... 35
2.4 A moda ..................................................................................................................................................... 37
3 MEDIDAS DE DISPERSÃO PARA DADOS SIMPLES .............................................................................. 38
3.1 Amplitude total ..................................................................................................................................... 42
3.2 Desvio médio absoluto ....................................................................................................................... 43
3.3 Variância .................................................................................................................................................. 45
3.4 Desvio padrão ........................................................................................................................................ 49
Unidade II
4 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS ............................................................................................................. 53
4.1 A construção de uma distribuição de frequências para dados contínuos .................... 54
4.2 A construção de uma distribuição de frequências para dados discretos ...................... 61
4.3 Representação gráfica de dados agrupados ............................................................................. 62
5 AS MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIABILIDADE EM UMA DISTRIBUIÇÃO
DE FREQUÊNCIA ....................................................................................................................................................71
5.1 As medidas de posição ....................................................................................................................... 72
5.1.1 A média ....................................................................................................................................................... 72
5.1.2 A mediana .................................................................................................................................................. 74
5.1.3 A moda ........................................................................................................................................................ 75
5.2 As medidas de dispersão numa distribuição de frequência ................................................ 76
5.2.1 O desvio médio ........................................................................................................................................ 76
5.2.2 Variância ..................................................................................................................................................... 77
5.2.3 Desvio padrão ........................................................................................................................................... 78
6 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR ...................................................................................................... 83
6.1 Introdução ............................................................................................................................................... 83
6.2 Coeficientes de correlação entre duas variáveis ..................................................................... 85
6.3 Coeficiente de correlação linear .................................................................................................... 87
6.4 Na prática ................................................................................................................................................ 90
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1 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
1.1 Introdução
A palavra estatística lembra, à maioria das pessoas, 
recenseamentos. Os censos existem há milhares de anos e 
constituem um esforço imenso e caro feito pelos governos 
com o objetivo de conhecer seus habitantes, sua condição 
socioeconômica, sua cultura, religião etc. Portanto, associar 
estatística ao censo é perfeitamente correto do ponto de vista 
histórico, sendo interessante salientar que as palavras estatística 
e estado têm a mesma origem latina: status.
A estatística é também comumente associada às pesquisas de 
opinião pública, aos vários índices governamentais, aos gráficos 
e médias publicadas diariamente na imprensa. Na realidade, 
entretanto, a estatística engloba muitos outros aspectos, sendo 
fundamental na análise de dados provenientes de quaisquer 
processos em que exista variabilidade.
É possível distinguir duas concepções para a palavra 
estatística:
No plural (estatísticas), indica qualquer coleção de dados 
numéricos, reunidos com a finalidade de fornecer informações 
acerca de uma atividade qualquer. Assim, por exemplo, as estatísticas 
demográficas referem-se aos dados numéricos sobre nascimentos, 
falecimentos, matrimônios, desquites etc. As estatísticas 
econômicas consistem em dados numéricos relacionados com 
emprego, produção, vendas e com outras atividades ligadas aos 
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vários setores da vidaeconômica. No singular (estatística), indica 
a atividade humana especializada ou um corpo de técnicas, ou, 
ainda, uma metodologia desenvolvida para a coleta, a classificação, 
a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos 
e a utilização desses dados para a tomada de decisões. 
1.2 Importância da estatística
O mundo está repleto de problemas. Para resolvermos a 
maioria deles, necessitamos de informações. Mas que tipo de 
informações? Quantas? E após obtê-las, o que fazer com elas? A 
estatística lida com essas informações, associando os dados ao 
problema, descobrindo como e o que coletar e obter conclusões 
a partir de todas essas informações de tal forma que possam ser 
entendidas por outras pessoas. 
Portanto, os métodos estatísticos auxiliam o cientista social, 
o economista, o engenheiro, o agrônomo e muitos outros 
profissionais a realizarem o seu trabalho com mais eficiência. 
Vejamos alguns exemplos: 
Os estatísticos do governo conduzem censos de população, 
moradia, produtos industriais, agricultura e outros. São feitas 
compilações sobre vendas, produção, inventário, folha de 
pagamento e outros dados das indústrias e empresas. Essas 
estatísticas informam ao administrador como a sua empresa 
está crescendo, seu crescimento em relação a outras empresas 
e como planejar ações futuras. A análise dos dados é muito 
importante para se fazer um planejamento adequado.
1.3 Grandes áreas da estatística
Para fins de apresentação, é usual dividir a estatística em 
três grandes áreas, embora não se trate de ramos isolados: 
• amostragem, que é o mecanismo de coleta de dados; 
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Estatística é um conjunto de 
técnicas e métodos que nos auxiliam 
no processo de tomada de decisão na 
presença de incerteza.
No serviço social:
Na área do serviço social, a estatística 
tem dado uma contribuição efetiva no 
levantamento e no relato da situação 
social das diversas comunidades, 
particularmente das carentes. A 
relevância do trabalho estatístico é 
de fundamental importância para o 
planejamento de ações que busquem 
o equilíbrio social. Entre as muitas 
aplicações, podemos citar:
• caracterizar a população, sua 
estrutura etária, de renda e perfil 
socioeconômico; 
• analisar o crescimento do 
contingente de idosos; 
• avaliar a segurança social e 
identificar violência familiar; 
• analisar a evolução da 
alfabetização; 
• levantar e acompanhar as condições 
e tipos de moradia, ocupação 
territorial e acesso aos serviços de 
saneamento básico; 
• entender o comportamento do 
mercado de trabalho; 
• pesquisar dependência de 
substâncias psicoativas; 
• entender as tábuas de mortalidade 
e natalidade, entre outras.
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• estatística descritiva, que se ocupa da organização, 
apresentação e sintetização de dados; 
• estatística inferencial, que constitui o conjunto de métodos 
para a tomada de decisões, nas situações em que existem 
incerteza e variação. 
Amostragem
É o processo de escolha da amostra. É a parte inicial de 
qualquer estudo estatístico. Consiste na escolha criteriosa dos 
elementos a serem submetidos ao estudo.
Exemplo 1: Pesquisas sobre tendências de votação - em 
épocas de eleição, é comum a realização de pesquisas com o 
objetivo de se conhecer as tendências do eleitorado. Para que 
os resultados sejam, de fato, representativos, toma-se o cuidado 
de entrevistar um conjunto de pessoas com características 
socioeconômicas, culturais, religiosas etc. tão próximas quanto 
possível da população à qual os resultados da pesquisa serão 
estendidos. A escolha da amostra, a redação do questionário, a 
entrevista, a codificação dos dados, a apuração dos resultados 
são as etapas desse tipo de pesquisa. 
Os tipos de metodologias de amostragem de dados que 
podem ser utilizados são:
Métodos probabilísticos
Exigem que cada elemento da população possua determinada 
probabilidade de ser selecionado. Normalmente, possuem a 
mesma probabilidade. Assim, se N for o tamanho da população, 
a probabilidade de cada elemento ser selecionado será 1/N. 
Trata-se do método que garante cientificamente a aplicação 
das técnicas estatísticas de inferências. Somente com base em 
amostragens probabilísticas é que se pode realizar inferências 
ou induções sobre a população a partir do conhecimento da 
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No caso do serviço social, a 
amostragem e sua metodologia definem 
o sucesso de um trabalho.
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amostra. Trata-se de uma técnica especial para recolher amostras, 
que garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha.
Amostragem casual ou aleatória simples 
É o processo mais elementar e frequentemente utilizado. 
É equivalente a um sorteio lotérico. Pode ser realizado 
numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, 
por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x números dessa 
sequência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes 
à amostra.
Exemplo 2. Pretende-se obter uma amostra de 10%, 
representativa para a pesquisa da estatura de 90 alunos de uma 
escola:
• 1º: numeramos os alunos de 1 a 90;
• 2º: escrevemos os números dos alunos, de 1 a 90, em 
pedaços iguais de papel, colocamos na urna e, após misturar, 
retiramos, um a um, nove números, que formarão a amostra.
Obs.: quando o número de elementos da amostra é muito 
grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. Nesse 
caso, utiliza-se uma tabela de números aleatórios, construída de 
modo que os algarismos de 0 a 9 são distribuídos ao acaso nas 
linhas e colunas.
Amostragem proporcional estratificada
Quando a população se divide em estratos (subpopulações), 
convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em 
consideração tais estratos, daí obtemos os elementos da amostra 
proporcional ao número de elementos desses estratos.
Exemplo 3. Para obter uma amostra proporcional 
estratificada, de 10%, do exemplo anterior, supondo que, dos 90 
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alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas. São, portanto, 
dois estratos (sexo masculino e sexo feminino). Logo, tem-se:
Sexo Populacão 10 % Amostra 
Masculino 54 5,4 5
Feminino 36 3,6 4
Total 90 9,0 9
Numeramos então os alunos de 1 a 90, sendo 1 a 54 meninos 
e 55 a 90 meninas, e procedemos ao sorteio casual com urna ou 
tabela de números aleatórios.
Amostragem sistemática
Quando os elementos da população já se acham ordenados, 
não há necessidade de construir o sistema de referência. São 
exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios 
de uma rua etc. Nesses casos, a seleção dos elementos que 
constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto 
pelo pesquisador.
Exemplo 4. Suponhamos uma rua com 900 casas, das 
quais deseja-se obter uma amostra formada por 50 casas 
para uma pesquisa de opinião. Podemos, neste caso, usar o 
seguinte procedimento: como 900/50 = 18, escolhemos por 
sorteio casual um número de 1 a 18, o qual indicaria o primeiro 
elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam 
periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, se o número 
sorteado fosse 4, a amostra seria: 4ª casa, 22ª casa, 40ª casa, 58ª 
casa, 76ª casa etc.
Amostragem por conglomerados (ou agrupamentos)
Algumas populações não permitem ou tornam extremamente 
difícil que se identifiquem seus elementos. Nãoobstante isso, 
pode ser relativamente fácil identificar alguns subgrupos da 
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população. Em tais casos, uma amostra aleatória simples desses 
subgrupos (conglomerados) pode se colhida, e uma contagem 
completa deve ser feita para o conglomerado sorteado. 
Agrupamentos típicos são quarteirões, famílias, organizações, 
agências, edifícios etc.
Exemplo 5. Em um levantamento da população de 
determinada cidade, podemos dispor do mapa indicando cada 
quarteirão e não dispor de uma relação atualizada dos seus 
moradores. Pode-se, então, colher uma amostra dos quarteirões 
e fazer a contagem completa de todos os que residem naqueles 
quarteirões sorteados. 
Métodos não-probabilísticos
São amostragens em que há uma escolha deliberada dos 
elementos da amostra. Não é possível generalizar os resultados das 
pesquisas para a população, pois as amostras não-probabilísticas 
não garantem a representatividade da população.
Amostragem acidental
Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos 
que vão aparecendo, que são possíveis de se obter até completar 
o número de elementos da amostra. Geralmente utilizada em 
pesquisas de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente 
escolhidos.
Exemplo 6. Pesquisas de opinião em praças públicas, ruas 
de grandes cidades.
Amostragem intencional
De acordo com determinado critério, é escolhido 
intencionalmente um grupo de elementos que irá compor 
a amostra. O investigador se dirige intencionalmente a grupos 
de elementos dos quais deseja saber a opinião.
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Exemplo 7. Em uma pesquisa sobre preferência por 
determinado cosmético, o pesquisador se dirige a um grande 
salão de beleza e entrevista as pessoas que ali se encontram.
Amostragem por quotas
Um dos métodos de amostragem mais comumente usado 
em levantamentos de mercado e em prévias eleitorais. Ele 
abrange três fases:
1ª: classificação da população em termos de propriedades 
que se sabe, ou presume, serem relevantes para a característica 
a ser estudada;
2ª: determinação da proporção da população para cada 
característica, com base na constituição conhecida, presumida 
ou estimada da população;
3ª: fixação de quotas para cada entrevistador, a quem tocará 
a responsabilidade de selecionar entrevistados, de modo que a 
amostra total observada ou entrevistada contenha a proporção 
e cada classe tal como determinada na 2ª fase.
Exemplo 8. Em uma pesquisa sobre o “trabalho das 
mulheres na atualidade”, provavelmente se terá interesse em 
considerar: a divisão cidade e campo, a habitação, o número 
de filhos, a idade dos filhos, a renda média, as faixas etárias 
etc.
A primeira tarefa é descobrir as proporções (porcentagens) 
dessas características na população. Imagina-se que haja 47% 
de homens e 53% de mulheres na população. Logo, uma amostra 
de 50 pessoas deverá ter 23 homens e 27 mulheres. Então o 
pesquisador receberá uma “quota” para entrevistar 27 mulheres. 
A consideração de várias categorias exigirá uma composição 
amostral que atenda ao n determinado e às proporções 
populacionais estipuladas. 
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População e amostra 
O estudo de qualquer fenômeno, seja ele natural, social, 
econômico ou biológico exige a coleta e a análise de dados 
estatísticos. A coleta de dados é, pois, a fase inicial de qualquer 
pesquisa.
População é a coleção de todas as observações potenciais 
sobre determinado fenômeno. O conjunto de dados 
efetivamente observados, ou extraídos, constitui uma amostra 
da população. É sobre os dados da amostra que se desenvolvem 
os estudos, visando a fazer inferências sobre a população. 
Exemplo 9: Avaliação de um programa de ensino - 
toma-se certo número de pares de turmas: a um conjunto de 
turmas ensina-se um assunto por um novo método, e ao outro, 
pelo método clássico. Aplica-se uma prova a ambos os grupos. 
As notas observadas nesses conjuntos de turmas constituem a 
nossa amostra. Se os resultados do novo método forem melhores, 
iremos aplicá-lo a todas as turmas, isto é, à população. A partir da 
amostra, estabelecemos o que é conveniente para a população, 
ou seja, fazemos uma inferência sobre a população.
Exemplo 10: Renda média per capita em diversas regiões 
do país - toma-se um conjunto de indivíduos em cada região, 
escolhidos ao acaso, e sobre esse grupo fazem-se os estudos. 
Os indivíduos assim escolhidos constituem a amostra, e os 
resultados nela observados serão estendidos à população. 
Estatística descritiva
É a parte mais conhecida. Quem vê o noticiário, na televisão 
ou nos jornais, sabe o quão frequente é o uso de médias, índices 
e gráficos nas notícias.
Exemplo 11: Índice Nacional de Preços ao Consumidor 
(INPC) - sua construção envolve a sintetização, em um único 
número, dos aumentos dos produtos de uma cesta básica.
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Exemplo 12: Anuário Estatístico Brasileiro - o IBGE 
publica a cada ano este anuário, apresentando, em várias 
tabelas, os mais diversos dados sobre o Brasil: educação, saúde, 
transporte, economia, cultura etc. Embora simples, fáceis de serem 
entendidas, as tabelas são o produto de um processo demorado e 
extremamente dispendioso de coleta e apuração de dados. 
Exemplo 13: Anuário Estatístico da Embratur - a 
Embratur publica este anuário, apresentando, em várias tabelas 
e gráficos, os mais diversos dados sobre turismo interno e dados 
sobre entrada de turistas estrangeiros no Brasil. 
Estatística inferencial (ou indutiva)
 A tomada de decisões sobre a população, com base em 
estudos feitos sobre os dados da amostra, constitui o problema 
central da inferência estatística.
Exemplo 14: Análise financeira em investimentos sociais 
- os analistas financeiros de instituições governamentais ou não, 
estudam dados sobre a situação da economia, visando a explicar 
tendências dos níveis de produção e de consumo, projetando-os 
para o futuro.
Exemplo 15: Ocorrência de terremotos - os geólogos 
estão continuamente coletando dados sobre a ocorrência de 
terremotos. Gostariam de inferir quando e onde ocorrerão 
tremores e qual a sua intensidade. Trata-se, sem dúvida, de uma 
questão complexa, que exige longa experiência geológica, além 
de cuidadosa aplicação de métodos estatísticos. 
Probabilidade 
O processo de generalização, que é característico do 
método indutivo, está associado a uma margem de incerteza. 
A existência da incerteza deve-se ao fato de que a conclusão, 
que se pretende obter para o conjunto de todos os indivíduos 
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analisados quanto a determinadas características comuns, 
baseia-se em uma parcela do total das observações. A medida 
da incerteza é tratada mediante técnicas e métodos que se 
fundamentam na teoria da probabilidade. Essa teoria procura 
quantificar a incerteza existente em determinada situação. 
1.4 Fases do método estatístico
Quando se pretende empreender um estudo estatístico 
completo, existemdiversas fases do trabalho que devem ser 
desenvolvidas para se chegar aos resultados finais do estudo.
As fases principais são as seguintes:
• definição do problema;
• planejamento;
• coleta de dados;
• apuração dos dados;
• apresentação dos dados;
• análise e interpretação dos dados.
Descrevendo mais atentamente cada fase:
Definição do problema
A primeira fase do trabalho consiste em uma definição 
ou formulação correta do problema a ser estudado. Além de 
considerar detidamente o problema objeto do estudo, o analista 
deverá examinar outros levantamentos realizados no mesmo 
campo e análogos, uma vez que parte da informação de que se 
necessita pode, muitas vezes, ser encontrada nesses últimos.
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Fica claro assim que as três áreas 
da estatística não são separadas ou 
distintas, mas tendem a se entrelaçar. A 
descrição e o resumo dos dados tende 
a ser a primeira fase da análise dos 
mesmos, já a teoria e os fundamentos 
da amostragem se baseiam na teoria 
da probabilidade, que nos leva à 
uma inferência ou a uma tomada de 
decisões baseada nas informações 
apresentadas.
Observe quais são as fases principais 
do método estatístico – compõem 
a organização de um projeto, sua 
execução e apresentação final.
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Planejamento
O passo seguinte, após a definição do problema, compreende 
a fase do planejamento, que consiste em se determinar o 
procedimento necessário para resolver o problema e, em especial, 
como levantar informações sobre o assunto objeto do estudo. 
É preciso planejar o trabalho a ser realizado, tendo em vista o 
objetivo que se pretende atingir. É nesta fase que será escolhido 
o tipo de levantamento a ser utilizado. Sob esse aspecto, pode 
haver dois tipos de levantamento:
• levantamento censitário, quando a contagem for 
completa, abrangendo todo o universo;
• levantamento por amostragem, quando a contagem for 
parcial.
Outros elementos importantes que devem ser tratados nessa 
mesma fase são:
• cronograma das atividades: através do qual são fixados os 
prazos para as várias fases;
• custos envolvidos;
• exame das informações disponíveis;
• delineamento da amostra etc.
Coleta dos dados 
O terceiro passo é essencialmente operacional, 
compreendendo a coleta das informações propriamente ditas. 
Nesta fase do método estatístico, é conveniente estabelecer 
uma distinção entre duas espécies de dados:
• dados primários: quando são publicados ou comunicados 
pela própria pessoa ou organização que os tenha escolhido;
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• dados secundários: quando são publicados ou comuni-
cados por outra organização.
Um conjunto de dados é, pois, primário ou secundário em 
relação a alguém. As tabelas do censo demográfico são fontes 
primárias. Quando determinado jornal publica estatísticas 
extraídas de várias fontes e relacionadas com diversos setores 
industriais, os dados são secundários para quem desejar utilizar-se 
deles em alguma pesquisa que esteja desenvolvendo.
A coleta de dados pode ser realizada de duas maneiras:
• coleta direta: quando é obtida diretamente da fonte, 
como no caso da empresa que realiza uma pesquisa para 
saber a preferência dos consumidores pela sua marca.
• coleta indireta: quando é inferida a partir dos elementos 
conseguidos pela coleta direta, ou através do conhecimento 
de outros fenômenos que, de algum modo, estejam 
relacionados com o fenômeno em questão. 
Apuração dos dados
Antes de começar a analisar os dados, é conveniente que 
lhes seja dado algum tratamento prévio, a fim de torná-los mais 
expressivos. A quarta etapa do processo é, então, a da apuração 
ou sumarização, que consiste em resumir os dados através de 
sua contagem e agrupamento.
Apresentação dos dados
Há duas formas de apresentação ou exposição dos dados 
observados, que não se excluem mutualmente:
• apresentação tabular: é uma apresentação numérica dos 
dados. Consiste em dispor os dados em linhas e colunas 
distribuídas de modo ordenado, segundo algumas regras 
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práticas adotadas pelos diversos sistemas estatísticos. As 
tabelas têm a vantagem de conseguir expor, sinteticamente 
e em um só local, os resultados sobre determinado assunto, 
de modo a se obter uma visão global mais rápida daquilo 
que se pretende analisar.
• apresentação gráfica: constitui uma apresentação 
geométrica dos dados numéricos. Embora apresentação 
tabular seja de extrema importância, no sentido de facilitar 
a análise numérica de dados, não permite ao analista obter 
uma visão tão rápida, fácil e clara do fenômeno e sua 
variação como conseguida através de um gráfico.
Análise e interpretação dos dados
Nesta última etapa, o interesse maior reside em tirar 
conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema. 
A análise dos dados estatísticos está ligada essencialmente 
ao cálculo de medidas, cuja finalidade principal é descrever o 
fenômeno. Assim, o conjunto de dados a ser analisado pode ser 
expresso por números-resumos, as estatísticas, que evidenciam 
características particulares desse conjunto. O significado exato 
de cada um dos valores obtidos através do cálculo das várias 
medidas estatísticas disponíveis deve ser bem interpretado. É 
possível mesmo, nessa fase, arriscar algumas generalizações, as 
quais envolverão, como mencionado anteriormente, algum grau 
de incerteza, porque não se pode estar seguro de que o que 
foi constatado para aquele conjunto de dados (a amostra) se 
verificará igualmente para a população. 
1.5 Dados estatísticos
Quando se trabalha com a observação, a mensuração, 
a análise e a interpretação de números, esses números nos 
conduzem a índices inflacionários, índices de desemprego, 
probabilidade de determinado candidato ganhar as eleições etc. 
Esses números, portanto, serão chamados de dados estatísticos. 
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Observe em jornais e revistas que, 
normalmente, as informações gráficas 
têm assimilação mais rápida por parte 
dos leitores.
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Esses dados precisarão ser organizados e sumarizados para sua 
correta interpretação. 
Dado bruto significa que os dados não estão numericamente 
organizados e processados. O processamento e a organização 
dos dados é que os transformam em informação, enfatizando 
seus aspectos mais importantes. A informação, portanto, é 
resultado de um tratamento dos dados.
Para organizar e processar os dados estatísticos, podemos 
utilizar resumos visuais e numéricos, através de gráficos, mapas, 
tabelas e modelos numéricos.
A mensuração ou a observação de itens como índices de 
preços, renda mensal per capita de um Estado etc., dão origem 
aos dados estatísticos. Como esses itens originam valores que 
tendem a apresentar um certo grau de variabilidade quando são 
medidos sucessivas vezes, chamamos, então de variáveis. 
• Variáveis contínuas: são as variáveis que podem assumir 
qualquer valor num intervalo contínuo (dado contínuo). 
Exemplos: altura, peso, velocidade etc.
• Variáveis discretas: em geral, originam-se da contagem 
de itens e só podem assumir valores inteiros. Exemplos: 
número de alunos em sala de aula, númerode professores 
que trabalham na escola etc.
• Variáveis nominais: são aquelas que existem com 
o objetivo de definir categorias, e as observações, 
mensurações e análises são feitas levando-se em conta 
essas mesmas categorias. Exemplos de categorias seriam: 
a separação por sexo, idade, nível de escolaridade etc.
• Variáveis por posto: quando existe o desejo de 
dispor os elementos observados segundo uma ordem 
de preferência ou desempenho, atribuem-se valores 
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É importante identificar os quatro 
tipos de variáveis: variáveis contínuas, 
variáveis discretas, variáveis nominais e 
variáveis por posto.
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relativos para indicar esta ordem. Exemplo: primeiro, 
segundo, terceiro. 
As variáveis discretas e contínuas são ditas variáveis 
quantitativas, porque envolvem dados numéricos. Já as variáveis 
nominais e por posto precisam ser transformadas em valores 
numéricos para serem objeto da análise estatística, e são ditas 
variáveis qualitativas.
1.6 Formas iniciais de tratamento dos dados
Em geral, quando nos propomos a buscar, construir 
informações a partir de dados, deparamo-nos, inicialmente, com 
um conjunto de dados brutos que pouco nos dizem. É preciso 
organizá-los minimamente para que eles comecem a fazer 
algum sentido, viabilizando sua análise. 
Uma primeira forma de organização dos dados é o chamado 
rol. Obtemos o rol quando organizamos os dados brutos em 
ordem crescente ou decrescente de grandeza. A amplitude do 
rol é obtida pela diferença entre o maior e o menor número do 
rol. Utiliza-se o rol quando o conjunto de dados for pequeno, ou 
seja, for inferior a trinta observações.
Por outro lado, quando se trata de um conjunto grande 
de dados, que seja superior a trinta observações, utilizamos 
a distribuição de frequências, que consiste em organizar os 
dados brutos em classes, a fim de identificar o número de itens 
pertencentes a cada classe, denominado frequência de classe. 
Os dados são assim organizados em intervalos de classes. Esse 
assunto será estudado na Unidade II.
1.7 Notação por índices
A notação por índices é bastante utilizada na estatística, 
sendo, assim, importante esclarecer seu significado. O símbolo xi 
(onde se lê “x índice i”) irá representar qualquer um dos n valores 
5
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• Variáveis discretas e contínuas = 
variáveis quantitativas.
• Variáveis nominais e por posto = 
variáveis qualitativas.
• Rol: inferior a trinta observações.
• Distribuição de frequências:superior 
a trinta observações.
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assumidos pela variável x, x1, x2, x3, x4, ..., xn. “n” é denominado 
índice e poderá assumir qualquer dos números entre 1, 2, 3, 4, 
..., n.
1.7.1 Notação sigma (∑)
A maioria dos processos estatísticos vai exigir o cálculo da 
soma de um conjunto de números. A letra maiúscula grega 
sigma (∑) é utilizada para representar tais somas. 
Assim, se uma determinada variável y tiver os valores 3, 5, 7, 
9 e 11, o ∑y será:
∑y = 3+5+7+9+11
∑y = 35.
Por outro lado, se o consumo semanal de arroz de x, durante 
um mês, foi 2kg, 4kg, 3kg, 5kg, o total consumido por x no mês 
teria sido:
∑x = 2+4+3+5
∑x = 14, x teria consumido 14kg de arroz durante o mês 
referido.
A notação sigma possui algumas propriedades que 
precisamos desenvolver, para facilitar os conteúdos que 
estudaremos nesta disciplina. 
a) x x xii
n = =∑∑∑=1 ; isso significa que devemos 
somar as n observações de x, começando com a primeira. 
Por exemplo, num conjunto de dados em que xi = {2, 4, 6, 
8, 10, 12}, em que n=6, temos:
x x
x
ii
n
ii
i
= =∑ ∑
∑
= = + + + + +
=
1 1
6 2 4 6 8 10 12
42.
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Por outro lado, é possível utilizar essa notação quando 
se pretende analisar a soma de apenas uma parte dos dados 
disponibilizados, podendo-se, portanto, abreviar a soma de um 
conjunto de dados. Desta forma, podemos ter:
I) x x x xii1 2 3 1
3+ + = =∑
II) x x x x xii8 9 10 11 8
11+ + + = =∑ .
b) Se cada valor da variável x é multiplicado ou dividido por 
uma constante, temos que isso será igual ao valor da constante 
multiplicado ou dividido pela somatória de x.
c x c x. .= ∑∑
Assim, 
4 4 4 4 4
4 4
1 2 3 4
1
4
1 2 3 4
1
4
x x x x x
x x x x x
i
i
i
i
= + + +
= + + + =
=
=
∑
∑( ) .
Por exemplo: 
Se xi = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, onde n=6 e cada valor de x é 
multiplicado pela constante c=2, temos: 
cx c x= ∑∑
cx c xi
i
i
i
= = + + + + + = + + +
= =
∑ ∑
1
6
1
6
2 2 2 4 2 6 2 8 210 212 2 2 4 6( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 88 10 12
2 2 2 42 84.
1
6
1
6
+ +
= = =
==
∑∑
)
( )x xi i
ii
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c) O somatório de uma constante c será igual ao produto 
da constante pelo número de vezes (n) que ela se repete. Assim, 
temos:
c nci
i i
n
=
=
∑ .
Por exemplo, se numa determinada observação o conjunto 
de dados de xi = {7, 7, 7, 7, 7, 7}, onde n=6, temos que xi é uma 
constante c que se repete, então temos:
x c
xi c nc
i i
i
ii
=
= = = + + + + + = =
==
∑∑
1
6
1
6
7 7 7 7 7 7 6 7 42( ) .
d) O somatório de uma soma ou de uma diferença de 
duas variáveis será igual à soma ou diferença dos somatórios 
individuais das duas variáveis. Assim, temos:
( )
( )
x y x y
x y x y
i i i i
i
n
i
n
i
n
i i i i
i
n
i
n
i
n
+ = +
− = −
===
===
∑∑∑
∑∑∑
111
111
.
Por exemplo:
i X Y (X-Y)
( )x y
x y
− =
− = − =
∑
∑ ∑
9
20 11 9 .
1 8 5 3
2 3 2 1
3 4 0 4
4 5 4 1
- - - -
∑� 20 11 9
e) O somatório de um conjunto de dados xi ao quadrado nos 
obriga a elevar cada elemento de xi ao quadrado para efetuar a 
soma. Assim, temos:
x x x x xi
i
n
n
2
1
1
2
2
2
3
2 2
=
∑ = + + + +... .
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 Por exemplo, se numa dada observação o conjunto de dados 
de xi = {2, 4, 6, 8, 10}, onde n=5, temos:
xi
i
2
1
5
2 2 2 2 22 4 6 8 10 4 16 36 64 100 220.
=
∑ = + + + + = + + + + =
f) O somatório ao quadrado de um conjunto de dados será 
obtido tomando-se a soma dos valores de xi e elevando-se ao 
quadrado. Assim, temos:
( ) ( ... ) .x x x x xi
i
n
n
=
∑ = + + + +
1
2
1 2 3
2
Por exemplo, se temos um mesmo conjunto xi = {2, 4, 6, 
8, 10}, onde n=5, tal qual no exemplo do item e, teremos um 
resultado distinto. Vejamos, neste caso:
( ) ( ) ( )xi
i=
∑ = + + + + = =
1
5
2 2 22 4 6 8 10 30 900 .
1.8 Séries estatísticas – simples e compostas
Uma série estatística define-se como toda e qualquer 
coleção de dados estatísticos referidos a uma mesma ordem 
de classificação: quantitativa. No sentido mais amplo, série é 
uma sucessão de números referidos a qualquer variável. Se os 
números expressarem dados estatísticos, a série será chamada 
de série estatística.
Em sentido mais estreito, pode-se dizer que uma série 
estatísticaé uma sucessão de dados estatísticos referidos a 
caracteres qualitativos, ao passo que uma sucessão de dados 
estatísticos referidos a caracteres quantitativos configurará uma 
serração. Em outros termos, a palavra série é usada normalmente 
para designar um conjunto de dados dispostos de acordo com 
um caráter variável, residindo a qualidade serial na disposição 
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Essa notação se encontra em 
livros de matemática. Busque outros 
exemplos.
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desses valores, e não em uma disposição temporal ou espacial 
de indivíduos.
As tabelas servem para apresentar séries estatísticas. Os 
três caracteres presentes na tabela que as apresenta são:
• a época (fator temporal ou cronológico) – a que se refere 
o fenômeno analisado;
• o local (fator espacial ou geográfico) – onde o fenômeno 
acontece;
• o fenômeno (espécie do fato ou fator especificativo) – que 
é descrito. 
As séries são divididas em dois grupos:
• séries homógradas: aquelas em que a variável descrita 
apresenta variação discreta ou descontínua. São séries 
homógradas a série temporal, a série geográfica e a série 
específica.
• séries heterógradas: aquelas nas quais o fenômeno 
ou o fato apresenta gradações ou subdivisões. Embora 
fixo, o fenômeno varia em intensidade. A distribuição de 
frequências é uma série heterógrada.
1.8.1 Tipos de séries estatísticas
As séries estatísticas diferenciam-se de acordo com a variação 
de um dos três elementos: época, local e fenômeno.
• Série temporal
Também chamada de série cronológica, série histórica, série 
evolutiva ou marcha, identifica-se pelo caráter variável do fator 
cronológico. Assim, deve-se ter:
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• elemento variável: época;
• elementos fixos: local e fenômeno.
Tabela 1.1
Operadora WKX – Venda de bilhetes aéreos – 
Mercado interno – 2007
Meses Vendas (em milhares de reais)
Janeiro 2.300
Fevereiro 1.800
Março 2.200
Abril 2.210
Maio 2.360
Junho 2.600
Julho 2.690
Agosto 3.050
Setembro 3.500
Outubro 3.440
Novembro 3.100
Dezembro 2.760
Total anual 31.510
Fonte: Departamento de Análise de Mercado.
• Série geográfica 
Também chamada de série territorial, série espacial ou 
série de localização, identifica-se pelo caráter variável do fator 
geográfico. Assim, deve-se ter:
• elemento variável: local;
• elementos fixos: época e fenômeno.
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Tabela 1.2
Operadora WKX – Vendas por unidade da federação – 2007
Unidades da federação Vendas (em milhares de reais)
Minas Gerais 4.000
Paraná 2.230
Rio Grande do Sul 6.470
Rio de Janeiro 8.300
São Paulo 10.090
Outros 420
Total Brasil 31.510
Fonte: Departamento de Análise de Mercado.
• Série específica
Também chamada de série categórica, série por categoria, 
identifica-se pelo caráter variável de fator especificativo. Assim, 
deve-se ter:
• elemento variável: fenômeno;
• elemento fixos: local e época.
Tabela 1.3
Operadora WKX – Venda de bilhetes aéreos por linha – 2007
Linha do produto Vendas (em milhares de reais)
Linha A 6.450
Linha B 9.310
Linha C 15.750
Todas as linhas 31.510
Fonte: Departamento de Análise de Mercado.
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Tabela 1.4
Número de empregados das várias classes de salários no estado 
de São Paulo – 2007
Classes de salários (R$) Número de empregados
Até 80 41.326
De 80 a 119 123.236
De 120 a 159 428.904
De 160 a 199 324.437
De 200 a 399 787.304
De 400 a 599 266.002
De 600 a 799 102.375
De 800 a 999 56.170
1000 e mais 103.788
Total 2.233.542
Fonte: Serviço de Estatística da Previdência e Trabalho (dados alterados para 
melhor compreensão).
1.8.2 Tabelas de dupla entrada
As tabelas apresentadas anteriormente são tabelas 
estatísticas simples, em que apenas uma série está representada. 
É comum, todavia, haver necessidade de apresentar, em uma 
única tabela, mais do que uma série. Quando as séries aparecem 
conjugadas, tem-se uma tabela de dupla entrada.
Exemplos: 
• série específico-temporal;
• série geográfico-temporal.
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Tabela 1.5
População economicamente ativa por setor de atividades – Brasil
Setor
População (1 000 Hab.)
1940 1950 1960
Primário 8.968 10.255 12.163
Secundário 1.414 2.347 2.962
Terciário 3.620 4.516 7.525
Fonte: IPEA.
Tabela 1.6 
População indígena brasileira 
Unidade de Produção
Produção
1937 1938 1939
Acre 5.007 4.765 4.727
Amazonas 6.858 5.998 5.631
Pará 4.945 4.223 4.500
Mato Grosso 1.327 1.285 1.235
Outros Estados 333 539 337
Fonte: Anuário Estatístico do Brasil – IBGE (dados alterados para melhor 
compreensão).
Observação: nem sempre uma tabela representa uma 
série estatística. Por vezes, os dados reunidos não revelam 
uniformidade, sendo meramente um aglomerado de informações 
gerais sobre determinado assunto, as quais, embora úteis, não 
apresentam a consistência necessária para se configurar uma 
série estatística.
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Tabela 1.7
Situação dos espetáculos cinematográficos no Brasil – 1967
Especificação Dados numéricos
Número de cinemas 2.488
Lotação dos cinemas 1.722.348
Sessões por dia 3.933
Filmes de longa metragem 131.330.488
Meia entrada 89.581.234
Fonte: Anuário Estatístico do Brasil – IBGE.
1.9 Apresentação de dados – gráficos e 
tabelas
A representação gráfica das séries estatísticas tem por 
finalidade representar os resultados obtidos, permitindo 
chegar-se à conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre 
como se relacionam os valores da série. A escolha do gráfico mais 
apropriado ficará a critério do analista. Contudo, os elementos 
simplicidade, clareza e veracidade devem ser considerados 
quando da elaboração de um gráfico. 
Diretrizes para a construção de um gráfico:
• o título do gráfico deve ser o mais claro e completo possível, 
sendo necessário, acrescentem-se subtítulos;
• a orientação geral dos gráficos deve ser da esquerda para 
a direita;
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• as quantidades devem ser representadas por grandezas 
lineares;
• sempre que possível, a escala vertical há de ser escolhida 
de modo a aparecer a linha 0 (zero);
• só devem ser incluídas no desenho as coordenadas 
indispensáveis para guiar a vista na leitura, um tracejado 
muito cerrado dificulta o exame do gráfico;
• a escala horizontal deve ser lida da esquerda para a direita, 
e a vertical, de baixo para cima;
• os títulos e marcações do gráfico dispor-se-ão de maneira 
que sejam facilmente legíveis, partindo da margem 
horizontal inferior ou da margem esquerda.
Leitura e interpretação de um gráfico:
• declarar qual o fenômeno ou fenômenos representados, aregião considerada, o período de tempo, a fonte dos dados 
etc.;
• examinar o tipo de gráfico escolhido, verificar se é o mais 
adequado, criticar a sua execução, no conjunto e nos 
detalhes;
• analisar cada fenômeno separadamente, fazendo notar 
os pontos mais em evidência, o máximo e o mínimo, as 
mudanças mais bruscas;
• investigar se há uma “tendência geral” crescente ou 
decrescente ou, então, se o fato exposto é estacionário;
• procurar descobrir a existência de possíveis ciclos periódicos, 
qual o período aproximado etc.
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Eis os tipos mais comuns de gráficos:
Gráfico em linhas
500
400
300
200
100
0
1 2 3 4 5 6 7
 Sequência 1
 Sequência 2
Gráfico em colunas
100
80
60
40
20
0
1940 1950 1960 1970
 População
População
Gráfico em barras
É semelhante ao gráfico em colunas, porém, os retângulos 
são dispostos horizontalmente. 
1970
1960
1950
1940
0 20 40 60 80 100
 População
do Brasil
População do Brasil
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Gráfico em setores
Anos Receita (em R$ 1.000.000,00)
1975 90
1976 120
1977 150
Total 360
Fonte: Departamento da Fazenda, Município X.
É a representação gráfica de uma série estatística, em 
círculo, por meio de setores. É utilizado principalmente quando 
se pretende comparar cada valor da série com o total.
Total __________360º
Parte___________ xº
• Para 1975: 360 – 360º
 90 – xº
 x = 90º
• Para 1976: 360 – 360º
 120 – xº
 x = 120º
• Para 1977: 360 – 360º
 150 – xº
 x = 150º
 1975
 1976
 1977
Receita do Município X
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Gráfico polar
É a representação de uma série por meio de um polígono.
Movimento mensal de gastos com saúde em 
um pequeno município
Meses Valores (R$1.000,00)
Janeiro 12
Fevereiro 13
Março 14
Abril 12
Maio 15
Junho 19
Julho 17
Agosto 18
Setembro 14
Outubro 16
Novembro 12
Dezembro 18
20
15
10
5
0
Jan
Dez
Nov
Out
Set
Ago
Jul
Jun
Mai
Abr
Mar
Fev
 Sequência 1
2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL PARA 
DADOS SIMPLES
Na realização de qualquer estudo, quase nunca é possível 
examinar todos os elementos da população de interesse. Temos, 
usualmente, de trabalhar com uma amostra da população. A 5
Resumindo:
• a estatística utiliza métodos 
matemáticos para solucionar 
problemas reais de tomada de 
decisão quando há incerteza;
• em situações nas quais poderíamos 
contar unicamente com a sorte, 
temos um instrumento que nos 
possibilita aumentar as chances de 
tomar a melhor decisão;
• utiliza ferramentas matemáticas 
definidas. Mesmo lidando com um 
grande número de dados, essas 
ferramentas resumem a análise em 
tabelas ou gráficos;
• na prática, a estatística pode ser 
empregada como base conceitual 
e fundamental em várias outras 
ciências, inclusive em análises 
gerenciais.
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inferência estatística nos dá elementos para generalizar, de maneira 
segura, as conclusões obtidas da amostra para a população.
É errôneo pensar que, caso tivéssemos acesso a todos os 
elementos da população, seríamos mais precisos. Os erros 
de coleta e manuseio de um grande número de dados são 
maiores do que as imprecisões a que estamos sujeitos quando 
generalizamos, via inferência, as conclusões de uma amostra 
bem selecionada.
Em se tratando de amostra, a preocupação central é que ela 
seja representativa.
Assim que decidimos obter informações através de um 
levantamento amostral, temos imediatamente dois problemas:
• definir cuidadosamente a população de interesse;
• selecionar a característica que iremos pesquisar.
Portanto, temos situações profissionais em que nos bastam 
poucos dados ou estatísticas de dados simples. Por outro 
lado, há também situações em que um número maior de 
elementos deve ser investigado e tratado como distribuições 
de frequência. 
Quando estamos diante de um conjunto de dados, seja ele 
pequeno ou grande, em geral buscamos medidas que possam 
ser usadas para indicar um valor que tende a representar melhor 
aquele determinado conjunto de números. E as medidas mais 
usadas neste sentido são as chamadas medidas de tendência 
eventual ou central, que são: a média, mediana e moda. 
Sabe-se que esses valores serão medidos de forma distinta 
conforme um grande conjunto de dados ou um pequeno 
conjunto de dados. Também o cálculo desses valores irá ser 
afetado caso as variáveis sejam discretas ou contínuas.
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Distribuição por frequência é a tabela em que se resumem 
grandes quantidades de dados, determinando o número de 
vezes que cada dado ocorre (frequência) e a porcentagem com 
que aparece (frequência relativa).
Atenção: nesta unidade trataremos do cálculo destas 
estatísticas para os chamados dados simples ou conjuntos de 
dados com menos de trinta elementos. 
2.1 A média aritmética simples (µ,x)
A média aritmética é um dos valores mais representativos de 
um conjunto de dados. Obtém-se o valor da média aritmética 
dividindo-se o somatório dos valores do conjunto de dados pelo 
número de valores total deste conjunto.
Assim, temos que:
média
x
n
i
i
n
= =
∑
1 .
Para a população, calcula-se a média aritmética através dos 
seguintes parâmetros:
µ = =
∑Xi
N
i i
N
, onde 
µ ⇒ Média aritmética da população (parâmetro)
N ⇒ Total de observações da população (total da 
população)
Xi ⇒ Cada variável populacional
Para a amostra, calcula-se o valor médio utilizando-se os 
seguintes parâmetros:
x
x
n
i
i
n
= =
∑
1 , onde
 
x ⇒ Média aritmética da amostra (estimativa)
n ⇒ Número de dados da amostra 
xi ⇒ Cada variável da amostra
5
10
15
Em estatística, a média é o valor 
médio de uma distribuição ou de 
um conjunto de dados, determinado 
segundo uma regra estabelecida a priori 
e que se utiliza para representar todos 
os valores da distribuição. Existem 
diversas formas de se calcular a média 
de um conjunto de números. Por 
exemplo, algumas delas são: aritmética, 
geométrica e harmônica.
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Vamos agora tomar um exemplo de média aritmética. 
Supondo um conjunto de dados xi = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, onde 
N=6, temos:
µ = = + + + + + ==
∑X
N
i
i
N
1 2 4 6 8 10 12
6
7.
Para simplificar o nosso estudo, padronizaremos a notação 
para o cálculo da média e passaremos a usar sempre a notação 
utilizada para o cálculo da média aritmética simples em conjuntos 
de dados amostrais, como no exemplo abaixo:
Uma amostra das notas das provas de matemática dos 
estudantes da sétima série de uma grande escola de São Paulo 
xi, onde xi = {87, 42, 64, 58, 90, 90, 85, 63, 47, 74, 100, 94} e 
n=12, temos:x
x
n
i
i
n
= = + + + + + + + + + + + ==
∑
1 87 42 64 58 90 90 85 63 47 74 100 94
12
74 5 .,
A nota média na prova de matemática dos estudantes da 
sétima série desta escola de São Paulo, por amostragem, é 74,5.
São propriedades da média aritmética:
1.-em um conjunto de dados, é sempre possível o cálculo 
da média, independentemente de quais os elementos que 
compõem esse conjunto de dados.
2.-em um determinado conjunto de dados, o valor da média 
será único e corresponderá a uma constante.
3.-todos os valores de um determinado conjunto de dados 
irão afetar a média. Se um valor se modifica, a média 
aritmética também irá modificar-se.
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Embora tenhamos destacado uma 
diferença na notação utilizada para o 
cálculo da média aritmética em uma 
amostra e numa população, a expressão 
para o cálculo da média é a mesma tanto 
no cálculo da média de uma população 
quanto de uma amostra. 
São as propriedades que a média 
aritmética simples possui que a fazem 
a medida de tendência central mais 
usada e mais importante de todas.
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4.-somando-se ou subtraindo-se uma determinada constante 
c a cada elemento de um determinado conjunto de dados 
xi = x1, x2, x3, ..., xn, a média aritmética ficará aumentada 
ou diminuída desta constante c. Se, por outro lado, 
multiplicarmos cada elemento deste conjunto de dados por 
uma constante c, a nova média será também multiplicada 
por esta constante c; se dividirmos cada elemento do 
conjunto de dados por esta mesma constante c, a média 
será dividida por c.
Assim, se temos um conjunto xi = x1, x2, x2, ..., xn, a média 
será:
x
x
n
i
n
1
1
1= =
∑
, logo 
x
c x
n
x
x
n
nc
n
x x c
i
i
n
i
i
n
2
1
2
1
2 1=
+
⇒ = + ⇒ = += =
∑ ∑( )
.
5.-A soma algébrica dos desvios dos números de um 
conjunto de dados em torno da média é zero. Isso pode ser 
representado da seguinte forma:
x xi − =∑ 0
Por exemplo, se temos um conjunto de dados xi = 2, 4, 6, 8, 
10, onde n=5, temos que:
x
xi
i= = + + + + ==
∑
1
5
5
2 4 6 8 10
5
6 ,
Se aplicarmos a fórmula acima, temos:
x x x
x x
i i
i
− = − = − + − + − + − + −
− = − − + + +
∑ ∑
∑
6 2 6 4 6 6 6 8 6 10 6
4 2 0 2 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xx xi − =∑ 0 .
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A média aritmética é a mais utilizada 
no nosso dia a dia. É obtida dividindo-se 
a soma das observações pelo número 
delas.
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2.2 A média aritmética ponderada
Num conjunto de dados em que cada elemento ou cada 
observação possua a mesma importância, o cálculo da média 
aritmética simples mostrará bem a população ou a amostra 
estudada. Mas, se queremos atribuir pesos distintos ou 
importâncias distintas aos elementos de um conjunto de dados, 
a estatística a ser adotada é a média aritmética ponderada, em 
que a cada valor xi deverá ser atribuído um determinado peso wi. 
A expressão estatística para o cálculo da média ponderada é:
x
w x
w
p
i i
i
n
i
i
n=
=
=
∑
∑
1
1
Supondo que um estudante tenha que efetuar uma série de 
quatro exames para obter sua média final para passar de ano. 
Cada exame possui um peso diferente na composição desta 
média, conforme a tabela abaixo:
Exame Nota Peso
1 68 0,30
2 89 0,20
3 45 0,40
4 100 0,10
1,00
x
w x
w
p
i i
i
n
i
i
n=
=
=
∑
∑
1
1
, logo
xp =
+ + +
+ + +
( , ) ( , ) ( , ) , ( )
, , , ,
0 30 68 0 20 89 0 40 45 0 10 100
0 30 0 20 0 40 0 10
xxp = + + + =20 4 17 8 18 10 66 2, , ,
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A nota média será então 66,2, resultado diferente do que 
seria obtido se utilizássemos a média aritmética simples.
Exemplificando média aritmética e ponderada:
• Um aluno tirou as notas 5, 7, 9 e 10 em quatro provas. A 
sua média será (5 + 7 + 9 + 10) / 4 = 7,75.
• Um aluno fez um teste (peso 1) e uma prova (peso 
2), tirando 10 no teste e 4 na prova. A sua média 
(ponderada) será (10 + 2 x 4) / 3 = 6. Se o teste e a prova 
tivessem mesmo peso (e não importa qual o valor do 
peso, importa apenas a relação entre os pesos), a média 
seria 7. 
2.3 A mediana
Uma outra medida importante de um conjunto de dados é 
a mediana. 
A mediana divide um determinado conjunto de dados, que 
deverá estar ordenado, em dois grupos iguais, em que metade 
terá valores menores que a mediana e metade terá valores 
maiores que a mediana. 
Antes de calcular a mediana, é preciso organizar os valores em 
um rol em ordem crescente, para então contar até a metade dos 
valores para encontrar a mediana. Em geral, após organizarmos 
os dados em um rol, podemos calcular a posição da mediana 
com a fórmula abaixo:
posmed
n= +( )1
2
, 
onde n é o número de dados observados.
Por exemplo, para um conjunto de dados xi = {6, 9, 3, 5, 2, 
9, 5, 5, 8, 7, 1, 7, 2}, onde n = 13, temos primeiro que organizar 
5
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Num conjunto de dados em que 
cada elemento ou cada observação 
possua importância diferente, utilizamos 
a média aritmética ponderada.
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os dados em um rol, depois encontrar a posição da mediana e 
então saber qual será a mediana. Vejamos:
rolxi = {1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9}
posiçãomediana
n
mediana
= + = + =
=
( )1
2
13 1
2
7
5
Para um conjunto de dados xi = {6, 4, 8, 3, 2, 9, 7, 1}, onde 
n=8, temos então:
rolx
posiçãoomediana
n
i =
= + = + =
{ , , , , , , , }
( )
,
12 3 4 6 7 8 9
1
2
8 1
2
4 5.
A mediana será o valor que está a meio caminho dos dois 
valores médios, neste caso entre 4 e 6. Como fazer? Deve-se 
tirar a média entre os dois valores do meio para obter o valor da 
mediana. Assim, temos:
mediana= + =4 6
2
5
Quando usamos a mediana?
Empregamos a mediana quando:
• desejamos obter o ponto que divide a distribuição em 
partes iguais;
• há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada 
a média;
• a variável em estudo é salário.
5
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A mediana é outra medida de posição 
definida como o número que se encontra 
no centro de uma série de números, 
estando estes dispostos segundo uma 
ordem. Em outras palavras, a mediana 
de um conjunto de valores, ordenados, é 
o valor situado de tal forma no conjunto 
que o separa em dois subconjuntos de 
mesmo número de elementos.
Obs.: se o número de elementos for 
ímpar, então a mediana será exatamente 
o valor “do meio”; se o número de 
elementos for par, então a mediana será 
exatamente a média “dos dois valores 
do meio”.
Para determinar a mediana:
• organize o conjunto de dados em 
um rol;
• para um conjunto de dados cujo n 
= ímpar, a mediana será o valor do 
meio;
• para um conjunto de dados cujo n 
= par, a mediana será a média dos 
dois valores do meio.
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2.4 A moda
Muitas vezes, em um conjunto de dados, existem valores que 
se repetem com uma frequência maior. A moda é justamente 
este valor ou estes valoresque mais se repetem em um conjunto 
de dados. É possível haver estatísticas que não possuam moda 
ou que possuam mais de uma moda. 
No exemplo que demos acima, para um conjunto de dados xi 
= {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}, não existe moda e diz-se que o conjunto 
ou distribuição é amodal.
A moda é uma estatística muito mais descritiva, e sua 
importância cresce na medida em que um valor ou grupo de 
valores se repete mais que outros, e neste sentido a moda 
indicaria o valor “típico” daquele conjunto de dados com maior 
ocorrência. 
Por exemplo, o conjunto de dados xi = 2, 2, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 
11, 12, 18} tem moda igual a 9, porque o número 9 é aquele 
com maior frequência, repetindo-se três vezes. 
Repetindo: denominamos moda a um conjunto de dados ou 
valores que ocorre com maior frequência.
Por exemplo: o salário modal dos empregados de uma 
indústria é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo 
maior número de empregados dessa indústria.
Exemplo:
Sabendo que o número de casos de alergia em crianças de 
uma comunidade, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 
16, 18 e 12, encontre a média, a moda e a mediana para esses 
registros da doença.
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Então, em teoria da probabilidade 
e em estatística, a mediana é uma 
medida de tendência central, um 
número que caracteriza as observações 
de uma determinada variável de tal 
forma que este número (a mediana) de 
um grupo de dados ordenados separa a 
metade inferior da amostra, população 
ou probabilidade de distribuição, da 
metade superior. Mais concretamente, 
1/2 da população terá valores inferiores 
ou iguais à mediana e 1/2 da população 
terá valores superiores ou iguais à 
mediana.
Em casos de populações (n) ímpares, 
a mediana será o elemento central 
(n+1)/2. Para os casos de populações 
(n) pares, a mediana será o resultado 
da média simples dos elementos n/2 e 
(n/2)+1.
Para a seguinte população:
1, 3, 5, 7, 9 – a mediana é 5 (igual à 
média); no entanto, para a população 1, 
2, 4, 10, 13, a mediana é 4 (enquanto a 
média é 6).
Para populações pares: 1, 2, 4, 7, 9, 
10 – a mediana é (4+7)/2, que é 5,5.
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Média:
x
x
n
i
i
n
= = + + + + + + = ==
∑
1 10 14 13 15 16 18 12
7
98
7
14.
Logo, x = 14 casos em média por dia, que representa um 
atendimento de 98 casos em média por semana.
Obs.: a média pode ser um número diferente de todos os 
valores da amostra que ela representa.
Moda: como não existe um valor que aparece com maior 
frequência que os outros, não há valor de moda para esse 
exemplo.
Mediana: ordenando os dados, temos:
10 12 13 14 15 16 18
 Desta forma, o valor mediano é o valor central dos dados, 
ou seja, 14 casos de alergia por dia.
3 MEDIDAS DE DISPERSÃO PARA DADOS 
SIMPLES
Vimos que a moda, a mediana e a média podiam ser usadas 
para resumir, num único número, aquilo que é “médio” ou “típico” 
de um conjunto de dados. Mas a informação contida fornecida 
pelas medidas de posição necessita em geral ser complementada 
pelas medidas de dispersão. Estas servem para indicar o quanto 
os dados se apresentam dispersos em torno da região central. 
Caracterizam, portanto, o grau de variação existente no conjunto 
de valores. As medidas de dispersão que nos interessam são:
• a amplitude total;
• o desvio padrão;
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Em estatística descritiva, a moda 
é o valor que detém o maior número 
de observações, ou seja, o valor ou 
valores mais frequentes. A moda não é 
necessariamente única, ao contrário da 
média ou da mediana. É especialmente 
útil quando os valores ou observações 
não são numéricos, uma vez que a 
média e a mediana podem não ser 
bem-definidas.
A moda de {maçã, maçã, banana, 
laranja, laranja, laranja, pêssego} é 
laranja.
A série {1, 3, 5, 5, 6, 6} apresenta 
duas modas (bimodal): 5 e 6.
A série {1, 3, 2, 5, 8, 7, 9} não 
apresenta moda.
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• a variância;
• o coeficiente de variação.
Observe: quanto maior as medidas de dispersão, mais 
heterogêneos são os dados, e, ao contrário, quanto menor essas 
medidas, mais homogêneo o conjunto.
Para ilustrar a necessidade de conhecermos as medidas de 
dispersão de um conjunto de dados, iremos introduzir alguns 
exemplos.
Exemplo 1
Sabe-se que em Honolulu (Havaí) e Houston (Texas) a 
temperatura média diária é quase a mesma, em torno de 
aproximadamente 23,9ºC. Pergunta-se: será que, por isso, 
podemos admitir que a temperatura é basicamente a mesma 
em ambas as localidades? Ou não será possível que enquanto 
uma cidade é melhor para natação a outra o seja para atividades 
externas?
Sabemos que a temperatura em Honolulu varia muito 
pouco ao longo do ano, oscilando, em geral, entre 21,1ºC e 
26,7ºC. Por outro lado, a temperatura em Houston pode diferir 
sazonalmente (nas estações do ano), isto é, apresentar-se baixa 
em janeiro (cerca de 4,4ºC) e alta em julho e agosto (bem perto 
de 37,8ºC). Desnecessário dizer que as praias em Houston não 
estão abarrotadas de gente o ano todo!
Exemplo 2
Suponham que, numa particular cidade, tanto ladrões 
quanto professores secundários tenham uma renda média 
mensal de R$ 900,00. Será que essa informação indica 
que as duas distribuições de renda são necessariamente 
semelhantes? Muito ao contrário, poder-se-ia descobrir que 
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elas diferem, e muito, num outro aspecto importante, que é 
o fato de as rendas dos professores concentrarem-se ao redor 
de R$ 900,00 (serem constantes, homogêneas), enquanto 
que as dos ladrões espalham-se mais (são descontínuas, 
heterogêneas), o que reflete, portanto, maiores oportunidades 
para prisões, desemprego, pobreza e, em alguns casos, fortunas 
excepcionais.
Tais fatos demonstram que necessitamos, além de uma 
medida de tendência central, de um índice que indique o grau 
de dispersão dos dados em torno da média. Este índice é uma 
medida indicativa do que costumamos chamar de variabilidade 
(ou dispersão). 
Voltando ao exemplo 1, poderíamos dizer que a distribuição 
de temperatura em Houston (Texas) tem maior variabilidade do 
que a distribuição de temperaturas em Honolulu (Havaí). Da 
mesma forma, podemos dizer que a distribuição de rendas entre 
professores apresenta menos variabilidade do que a distribuição 
de rendas entre ladrões. 
Exemplo 3
Considere os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, 
Y e Z:
X: 70, 70, 70, 70, 70.
Y: 68, 69, 70, 71, 72.
Z: 5, 15, 50, 120, 160.
Calculando a média aritmética de cada um destes conjuntos, 
obtemos:
X = 70
Y = 70
Z = 70
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Vemos, então, que os três conjuntos apresentam a mesma 
média aritmética: 70; entretanto, é fácil notar que o conjunto 
X é mais homogêneo que os conjuntos Y e Z. Para quantificar o 
quão heterogêneos os dados são, precisamos encontrar algumas 
medidas de posição.
Assim, quando se deseja entender, analisar e descrever de 
forma adequada um determinado conjunto de dados, faz-se 
necessário dispor não apenas de informações relativas às 
medidas de posição, vistas anteriormente. É preciso que se 
disponha de informações relativas à variabilidade(dispersão) 
daqueles números que compõem o referido conjunto de dados. 
Essas medidas de variabilidade ou dispersão indicam se os dados 
observados estão próximos ou separados uns dos outros. 
Diferente das medidas de posição, as medidas de dispersão 
não são autoexplicativas; sua aplicabilidade depende da 
comparação de populações ou amostras de mesmo tamanho e 
mesmas características para que se obtenha alguma informação 
importante a partir daquela determinada variabilidade. 
As principais medidas de dispersão são: a amplitude total (ou 
intervalo), o desvio médio, a variância e o desvio padrão. A média 
serve de referência para todas essas medidas, exceto para o 
intervalo (ou amplitude total). À proporção que essas medidas se 
elevam, isso representa um aumento da dispersão. Isso significa 
que se a medida for igual a zero, não existe dispersão. 
As medidas de variabilidade que têm a média aritmética 
como ponto de referência são importantes porque nos permitem 
avaliar o grau de dispersão das observações em relação a esta 
mesma média, isto é, permitem-nos avaliar o quão distante 
os dados de um determinado grupo de observações estão 
da média calculada, dando-nos uma noção mais precisa da 
situação de determinada população ou amostra e condições 
de tirar conclusões e informações importantes daqueles dados 
disponíveis. 
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Medidas de dispersão não são 
autoexplicativas, dependem de 
suas aplicações em tratamentos 
comparativos de dados.
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Exemplo 4
Um estudante de economia resolve fazer uma pesquisa 
sobre os salários médios dos funcionários de determinado setor 
industrial em São Paulo. Na pesquisa, o estudante conseguiu os 
seguintes dados em termos de salários mínimos mensais:
xi = {1.0, 1.5, 2.0, 2.0, 2.0, 2.5, 3.0, 3.0, 80.0, 85.0}.
Ao calcular o salário médio desse setor, ele chegou ao valor 
médio de 18,2 salários mínimos por mês. Ora, mas este dado, sem 
o cálculo de sua dispersão, em relação à média aritmética, pouco 
nos diz sobre a realidade dessa população, e acabamos por ter uma 
visão distorcida do padrão de vida da maior parte dos funcionários 
deste setor analisado pelo estudante. As medidas de variabilidade 
ou dispersão nos permitem perceber essa distorção. 
Temos como principais medidas de dispersão, intervalo, 
desvio médio, variância e desvio padrão.
3.1 Amplitude total
O intervalo ou amplitude total de um determinado 
conjunto de dados é obtido pela diferença entre o maior e o 
menor valor neste conjunto de números. Indica, portanto, a 
distância entre a maior e a menor observação de um conjunto 
de dados. Assim, temos:
Amplitudetotal = Valormáximo ~ Valormínimo
Por exemplo, para um conjunto de dados xi = {2, 3, 3, 5, 5, 5, 
8, 10 12}, onde n=9, a amplitude total será:
Atotal = Vmáximo - Vmínimo ⇒ Atotal = 12-2 = 10.
Em alguns casos, o intervalo ou amplitude total pode ser 
expresso simplesmente pela indicação do menor e do maior 
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As medidas mais comuns de 
variabilidade para dados quantitativos 
são a variância, a sua raiz quadrada, 
o desvio padrão. A amplitude total, 
a distância interquantílica e o desvio 
absoluto são mais alguns exemplos de 
medidas de dispersão.
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número do conjunto de dados. No caso do exemplo anterior, 
a amplitude total poderia ser expressa simplesmente pela 
identificação do menor e do maior número, indicada como 
sendo de 2 a 12 ou 2-12. 
A grande vantagem da amplitude total é que ela apresenta 
uma certa facilidade de ser calculada, mesmo quando o conjunto 
de dados observados é relativamente grande. No entanto, como 
a amplitude total apenas leva em conta os dois extremos do 
conjunto de números, em alguns casos, ela pode ser uma medida 
enganosa quanto à indicação da dispersão de um conjunto de 
números, tendo, portanto, uma utilidade limitada.
3.2 Desvio médio absoluto
O desvio médio absoluto inaugura o estudo das medidas de 
variabilidade que têm a média como ponto de referência. 
O chamado desvio nada mais é que a diferença entre cada 
valor de um determinado conjunto de dados e a média deste 
mesmo conjunto de números (xi - x). O valor absoluto de um 
número será ele próprio, sem o sinal que lhe é associado, e é 
indicado por meio de duas linhas verticais que o enquadram. 
Assim, |-67|=67;|9|=9 É preciso calcular primeiro a média 
aritmética dos dados disponíveis, que em geral se apresentam 
como dados amostrais. 
O desvio médio absoluto será calculado pela média dos 
desvios dos valores a contar da média, ignorando o sinal (+ ou 
-) do desvio, ou seja, convertendo os valores dos desvios em 
valores absolutos, considerando-os todos desvios positivos. 
Assim, temos:
D
x x
nmédio
i
i
n
=
−
=
∑
1 , 
onde n é o número de observações.
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O intervalo de um determinado 
conjunto de dados é obtido pela 
diferença entre o maior e o menor valor 
neste conjunto de números.
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Vamos agora tomar um exemplo de desvio médio. Para um 
conjunto de dados amostrais xi = 2, 4, 6, 8, 10, 12, onde n=6, 
determine o desvio médio. Temos, então:
D
x x
nmédio
i
=
−∑ .
Precisamos primeiro calcular a média, para então passarmos 
ao cálculo do desvio médio. Relembrando a fórmula do cálculo 
da média aritmética, temos:
x
x
n
x xi= ⇒ = + + + + + = ⇒ =∑ 2 4 6 8 10 12
6
7 7.
Agora podemos calcular os desvios para cada valor do 
conjunto de dados. Assim, temos:
xi - x
D
x x
n
D
D
médio
i
médio
médio
=
−
=
− + − + − + + +
=
+ + + + +
=
=
∑ 5 3 1 1 3 5
6
5 3 1 1 3 5
6
3
3
2-7 -5
4-7 -3
6-7 -1
8-7 1
10-7 3
12-7 5
0
O valor encontrado acima representa a diferença média de 
cada observação e a média da distribuição. Mas também neste 
caso só seria possível obter mais informações, a partir do desvio 
médio, comparando com outras populações ou amostras de 
mesmas características. 
Por exemplo, se um outro conjunto de dados, com as mesmas 
características e tamanho, apresentasse um desvio médio absoluto 
igual a 2,4, ou seja, menor que o desvio médio absoluto calculado 
no exemplo acima, poderíamos dizer que este segundo conjunto 
de valores é mais homogêneo do que o nosso exemplo, já que a 
diferença de cada um dos seus elementos em relação à média 
aritmética é menor. Teríamos, assim, uma dispersão menor. 
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O desvio é a diferença entre cada 
valor de um determinado conjunto de 
dados e a média deste mesmo conjunto 
de números.
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3.3 Variância
Como no cálculo do desvio médio, para o cálculo da 
variância precisaremos utilizar o desvio de cada elemento de 
um conjunto de dados em relação à média aritmética (xi - x). 
No entanto, ao invés de trabalharmos com os valores absolutos 
(em módulo), agora os desvios são elevados ao quadrado antes 
da soma. Para o caso de dados amostrais, ao invés de dividirmos 
por n, dividimos por n-1 (que é o total da amostra menos uma 
unidade).
A variância irá nos dizer o grau de dispersão de um 
determinado grupo de dados com relação à média aritmética 
destes números. 
Assim, a variância populacional