Apostila Método dos deslocamentos maio16

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS - DEES 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL II 
 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professores: 
Alcebíades de Vasconcellos Filho 
Fernando Amorim de Paula 
Gabriel de Oliveira Ribeiro 
 
 
 
 
Versão 2009/1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos 
 
Exemplos de Aplicação em Vigas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Viga 
3 
 
EXEMPLO 1: Para a viga abaixo calcular os deslocamentos nodais incógnitos (rotações 
nos apoios B e C) através do Método da Rigidez (Método dos Deslocamentos). Em 
seguida calcular as reações de apoio. 
Dados: E = 2,5x10
7
 kN/ m
2
 
Seção Retangular: 15 x 40 cm 
D D
 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
 
14620
12
62
8
820 2
10 




 
6
12
62 2
20 


 
 
 Caso (1): (D1=1; D2=0) 
EI
6
7
6
EI4
8
EI4
K11 
 
EI
3
1
6
EI2
K21 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Viga 
 
4 
 
 Caso (2): (D1=0; D2=1) 
 
 
EI
3
1
6
EI2
K12 
 
EI
3
2
6
EI4
K22 
 
 
 Fase Final: 
 
0DK0 
 









6
14
0β
 
 







42
27
6
EI
K
 
 
 
0
1βKD 
 


















rad10751
 rad1055
53
11
EI
1
4
4
 ,
,
,
D
 
 
 Cálculo das Reações de Apoio 
 Caso (0): 
10
2
20
A 10R 
 
16
2
60,2
2
20
A 30R 


 
20
8
820
A 20R 


 
6
2
60,2
A 40R 


 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Viga 
5 
 
 Caso (1): 
EI
EI
ARD
32
3
8
6
211

 
EIEI
EI
EIARD
96
7
6
1
32
3
6
6
32
3
231







 
EI
EI
ARD
4
1
8
2
21 
 
EI
EI
ARD
6
1
6
6
241

 
 
 Caso (2): 
02212  RDRD AA
 
EI
EI
ARD
6
1
6
6
232

 
EI
EI
ARD
6
1
6
42 
 
 
 
Fazendo superposição de efeitos tem-se: 
 
DAAA RDR0R 
 
 















6
16
20
10
R0A 


















6
1
6
1
6
1
96
7
0
4
1
0
32
3
EIRDA
 








53
11
1
,
EI
D
 
 















kN583
kN3917
kNm7522
kN0311
 ,
 ,
 ,
 ,
AR (Reações de Apoio) 
 
 
Método dos Deslocamentos Viga 
 
6 
 
EXEMPLO 2: Calcule as reações de apoio e esforços solicitantes nas extremidades das 
barras para a viga abaixo, utilizando o Método da Rigidez (Método dos Deslocamentos). 
Dados: E = constante 
 IBC = 2 IAB 
 
 
D1 = rotação no apoio B D2 = deslocamento vertical no apoio C 
 
Ações nas extremidades das barras: 
 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
 
 22
2
22
10 3363866
612
310
8
624
12
820
β 







 
04,6863,201867,106β10 
 
  625,3720625,51220362
62
310
2
24
β
3
3
20 



 
 
Cálculo dos AR0: 
80
2
820
A 10R 


 
67106
12
820
A
2
20R ,


 
Método dos Deslocamentos Viga 
7 
 
  375116375241280363262
62
310
2
24
2
820
A 323
330R
,, 





 
  375273759183364
612
310
8
624
A
2
3
40R ,, 





 
 
Cálculo dos AM0: 
80A 10M 
 
80A 30M 
 
67106A 20M ,
 
67106A 40M ,
 
  375363752412363262
62
310
2
24
A 323
350M
,, 



 
  625383363866
612
310
8
624
A 22
2
2
60M ,





 
  62517362
62
310
2
24
A
3
3
70M ,



 
  375273364
612
310
8
624
A
2
3
80M ,





 
 
 Caso (1): (D1=1; D2=0) 
 
 
EI
6
11
EI
6
83
EI
6
8
8
4
6
EI24
8
EI4
K11 










 
 
EI
3
1
6
EI26
K
221



 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Viga 
 
8 
 
Cálculo dos ARD: 
EIEI
EI
ARD
32
3
64
6
8
6
211

 
EI
EI
ARD
4
1
8
2
21 
 
 
EIEI
EIEI
ARD
96
23
3
1
32
3
6
26
8
6
2231









 
 
EI
EI
ARD
3
2
6
22
41 


 
 
Cálculo dos AMD: 
EI
EI
AMD
32
3
8
6
211

 
EI
EI
AMD
4
1
8
2
21 
 
EI
EI
AMD
32
3
8
6
231

 
EI
EI
AMD
2
1
8
4
41 
 
 
EI
EI
AMD
3
1
6
26
251



  
EI
EI
AMD
3
4
6
24
61 


 
 
EI
EI
AMD
3
1
6
26
271



  
EI
EI
AMD
3
2
6
22
81 


 
 
 Caso (2): (D1=0; D2=1) 
 
 
 
EI
3
1
6
EI26
KK
22112



  
EI
9
1
EI
216
24
6
EI212
K
322



 
 
Cálculo dos ARD: 
02212  RDRD AA
  
EIEI
EI
ARD
9
1
216
24
6
212
332



 
 
EI
EI
ARD
3
1
6
26
242



 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Viga 
9 
 
Cálculo dos AMD: 
042322212  MDMDMDMD AAAA
  
EI
EI
AMD
9
1
6
212
352



 
 
EI
EI
ARD
3
1
6
26
262



 
 
EI
EI
AMD
9
1
6
212
372



 
 
EI
EI
ARD
3
1
6
26
282



 
 
 Fase Final: 
 
0KDβ0 
 







62537
0468
,
,
β0
 
 











9
1
3
1
3
1
6
11
EIK
 









5
99
5
18
5
18
5
6
EI
11
K
 
 
0
1βKD 
 
























031500
80253
EI
1
62537
0468
5
99
5
18
5
18
5
6
EI
1
,
,
,
,
D
 
 
 Cálculo das Reações de Apoio 
 
DAAA RDR0R 
 
















27,375
116,375
106,67
80
R0A 


















3
1
3
2
9
1
96
23
0
4
1
0
32
3
EIRDA
 









031,500
802,531
EI
D
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Viga 
 
10 
 
  956,740802,53
32
3
801 RA
 kN 
  220,930802,53
4
1
67,1062 RA
kNm 
    044,159031,500
9
1
802,53
96
23
375,1163 RA
kN 
    434103031500
3
1
80253
3
2
375274 ,,,,AR 
kNm 
 
 Cálculo das Ações nas Extremidades das Barras 
 
DAAA MDM0M 
 





























37527
62517
62538
37536
67106
80
67106
80
,
,
,
,
,
,
AM0
 




































3
1
3
2
9
1
3
1
3
1
3
4
9
1
3
1
0
2
1
0
32
3
0
4
1
0
32
3
EIMDA
 











031,500
802,531
EI
D
 
 
AM1 = 74,956 kN 
AM2 = 93,219 kNm 
AM3 = 85,044 kN 
AM4 = -133,571 kNm 
AM5 = 74,000 kN 
AM6 = 133,567 kNm 
AM7 = -20,000 kN 
AM8 = 103,424 kNm 
 
Método dos Deslocamentos Viga 
11 
 
EXEMPLO 3: Calcule as reações de apoio para a viga abaixo utilizando o Método dos 
Deslocamentos e em seguida trace os diagramas finais de força cortante e momento 
fletor. 
Dados: E = constante 
 I= constante 
D2
D1
 
 
D2
D1
 
 Caso (0): SH com carregamento 
KNm
 
75,7810525,26
12
635
8
2,450
β
2
10 




 
55,361745,51105
12
2,435
12
635
β
22
20 




 
 
 
Método dos Deslocamentos Viga 
 
12 
 
Cálculo dos AR0: 
25
2
50
A 10R 
 
2526
8
2450
A 20R ,
,



 
1731052543
2
635
2
50
43A 30R 


 
5178573105
2
2435
2
635
A 40R ,,
,





 
573
2
2435
A 50R ,
,



 
4551
12
2435
A
2
60R ,
,



 
 
 Caso (1): (D1=1; D2=0) 
 
EI
21
34
6
EI4
24
EI4
K11 
,
 
EI
3
1
6
EI2
K21 
 
 
Cálculo dos ARD: 
94,22,4
6
211
EIEI
ARD 
 
1,22,4
2
21
EIEI
ARD 
 
EI
EIEI
ARD
98
17
6
6
2,4
6
2231


 
66
6
241
EIEI
ARD 
 
06151  RDRD AA
 
 
 Caso (2): (D1=0; D2=1) 
 
Método dos Deslocamentos Viga 
13 
 
2112 KK 
 
EI
21
34
24
EI4
6
EI4
K22 
,
 
Cálculo dos ARD: 
02212  RDRD AA
 
66
6
232
EIEI
ARD 
 
EI
EIEI
ARD
98
17
6
6
2,4
6
2242

 
94,22,4
6
252
EIEI
ARD 
 
1,22,4
2
62
EIEI
ARD 
 
 
 Fase Final: 
 
0KDβ0 
 




























 0
0
D
D
21
34
3
1
3
1
21
34
EI
5536
7578
2
1
,
, 
 
0
1βKD 
  







032,34
646,551
EI
D
 
 
 Cálculo das Reações de Apoio 
 
DAAA RDR0R 
 

























































03234
64655
EI
1
12
10
942
10
98
17
6
1
6
1
98
17
0
12
1
0
942
1
EI
4551
573
5178
173
2526
25
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
AR






















 kNm244,35
 kN925,61
 kN678,193
 kN325,188
 kNm248,0
 kN073,6
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Viga 
 
14 
 
 Diagramas de Esforços Solicitantes 
6,073
43,927
101,398
108,602
85,075
61,925
 
Força Cortante (V) 0,248
13,001
79,246
67,633
100,861
83,861
19,536
35,245
 
Momento Fletor (M) 
Método dos Deslocamentos Viga 
15 
 
EXEMPLO 4: Calcular os deslocamentos nodais incógnitos para a viga abaixo 
utilizando o Método da Rigidez. 
Dados: E = constante 
 I = constante 
 
 
Deslocamento nodal incógnito: rotação no nó B 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
 
 
 
 2
1
2
2
2
2
2
1
10
12
q
12
q
12
q
β 


 
 
 Caso (1): (D1=1) 
 
 
 
 
12
2121
11
EI4EI4EI4
K 


 
 
 
10
11K
Método dos Deslocamentos Viga 
 
16 
 
 Fase Final: 
 
0KDβ0 
 
    0DEI4
12
q
112
21
2
1
2
2  

 
 
 
  
 
12
21
1212
12
212
1
2
21
EI412
q
EI412
q
D














 
 
EI48
q
D 21121
 

 
 
Se for considerado o caso particular de viga simétrica (1 = 2 = ), tem-se: 
 
0
12
q
12
q
β
22
10 
 

EI8EI4EI4
K11 
 
 
0KDβ0 
 
0D0D
EI8
0 11  
 
ou 
 
0
EI48
q
D
2
1 


 
 
Este resultado já era esperado, pois devido à simetria do problema, não há rotação no apoio B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos 
 
Exemplos de Aplicação em Treliças 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
18 
 
EXEMPLO 1: Calcular os deslocamentos do ponto B e os esforços solicitantes nas 
extremidades das barras da treliça abaixo usando o Método dos Deslocamentos. 
Dados: EA = 840 000 kN 
 
 
 
 
 
Deslocamentos Nodais Incógnitos 
Nó B:  
 



ydireçãoD
xdireçãoD
2
1 Grau de Indeterminação Cinemática: 2 
 
 
 
Sistema Hipergeométrico: 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
19 
 
Sistemas de eixos locais: 
 
Esforços nas extremidades das barras: 
 
Notando que: 
 
 
m,m 141421031  
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
20 
 
(HA, VA , HB, VB) são referidos ao sistema de referência global 
 y,x
. 
(AM1, AM2 , AM3, AM4) são referidos ao sistema de referência local 
 y,x
. 
 
AM1 = HA.cosγ + VA.senγ AM3 = HB.cosγ + VB.senγ 
AM2 = -HA.senγ + VA.cosγ AM4 = -HB.senγ + VB.cosγ 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
 
Desconsiderando o peso próprio tem-se: 
 
200β10 
 
300β20 
 
 
Esforços solicitantes no sistemalocal da barra: 
 
 Barra 1: (γ = 45o) Barra 2: (γ = 90o) Barra 3: (γ = 135o) 
 AM10 = 0 AM50 = 0 AM90 = 0 
 AM20 = 0 AM60 = 0 AM100 = 0 
 AM30 = 0 AM70 = 0 AM110 = 0 
 AM40 = 0 AM80 = 0 AM120 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
21 
 
 Caso (1): (D1=1; D2=0) 
 
 
 
 
 
 
Esforços nas extremidades das barras (sistema global): 
 
 Barra 1: (γ = 45o ; 1 = 14,14 m) 
  70329º45
14,14
000840 2
1  cosH
 
7032912  HH
 
  70329º45º45
14,14
000840
1  sen cosV
 
7032912  VV
 
 
 Barra 2: (γ = 90o ; 2 = 10,00 m) 
  0º90
00,10
000840 2
23  cosHH
 
  0º90º90
00,10
000840
23  cos senVV
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
22 
 
Barra 3: (γ = 135o ; 3 = 14,14 m) 
  70329º135
14,14
000840 2
24  cosHH
  70329º135º135
14,14
000840
24  sen cosVV
 
 
Coeficientes de rigidez: 
K11 = 29 703 + 0 + 29 703 = 59 406 K21 = 29 703 + 0 – 29 703 = 0 
 
Esforços solicitantes no sistema local da barra na fase 1: 
 
Barra 1: (γ = 45o) Barra 2: (γ = 90o) Barra 3: (γ = 135o) 
 
AMD1,1 = - 42 006 AMD5,1 = 0 AMD9,1 = 42 006 
AMD2,1 = 0 AMD6,1 = 0 AMD10,1 = 0 
AMD3,1 = 42 006 AMD7,1 = 0 AMD11,1 = - 42 006 
AMD4,1 = 0 AMD8,1 = 0 AMD12,1 = 0 
 
 
 Caso (2): (D1=0 ; D2=1) 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
23 
 
 
 
 
Esforços nas extremidades das barras no sistema global: 
 
 Barra 1: (γ = 45o ; 2 = 14,14 m) 
  70329º45º45
14,14
000840
1  sen cosH
 
7032912  HH
 
  70329º45
14,14
000840 2
21  senVV
 
 
 Barra 2: (γ = 90o ; 2 = 10,00 m) 
032  HH
 
00084
10
000840
32  VV
 
 Barra 3: (γ = 135o 3 = 14,14 m) 
  70329º135º135
14,14
000840
42  sen cosHH
 
7032942  VV
 
 
Coeficientes de rigidez: 
K12 = 0 K22 = 29 703 + 84 000 + 29 703 = 143 406 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
24 
 
Esforços solicitantes no sistema local da barra na fase 2: 
 
Barra 1: (γ = 45o) Barra 2: (γ = 90o) Barra 3: (γ = 135o) 
 
AMD1,2 = -42 006 AMD5,2 = -84 000 AMD9,2 = -42 006 
AMD2,2 = 0 AMD6,2 = 0 AMD10,2 = 0 
AMD3,2 = 42 006 AMD7,2 = 84 000 AMD11,2 = 42 006 
AMD4,2 = 0 AMD8,2 = 0 AMD12,2 = 0 
 
 
 Fase Final: 
 
Equação de equilíbrio: 
0KDβ0 
 
 
onde: 
 





 

300
200
0β
 







4061430
040659
K
 
 
Portanto: 
m10x0922D
m10x3673D
3
2
3
1




,
, 
 
 
Cálculo dos esforços solicitantes finais no sistema local de cada barra: 
AM = AM0 + AMDD 
 
Barra 1: (γ = 45o) Barra 2: (γ = 90o) Barra 3: (γ = 135o) 
 
AM1 = -53,55 kN AM5 = 175,72 kN AM9 = 229,30 kN 
AM2 = 0 AM6 = 0 AM10 = 0 
AM3 = 53,55 kN AM7 = -175,72 kN AM11 = -229,30 kN 
AM4 = 0 AM8 = 0 AM12 = 0 
 
 Conclusão: 
 
1) Notar que as forças cortantes (AM2, AM4, AM6, AM8, AM10 e AM12) são nulas, tal como já 
se sabia no início da solução. 
 
2) As forças normais nas extremidades de cada barra são iguais em módulo. Observando 
os sistemas de referências locais nas barras, observa-se que a barra 1 é tracionada com 
força normal de 53,55 kN, a barra 2 é comprimida com força normal de 175,72 kN e a 
barra 3 é comprimida com força normal igual a 229,30 kN. 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
25 
 
EXEMPLO 2: Calcular as reações nos apoios da treliça abaixo. As barras têm a mesma 
rigidez axial EA e o mesmo peso próprio de 8 kN por unidade de comprimento. 
 
Dados: EA constante 
 
Deslocamentos nodais incógnitos: 
 
Nó B:  
 


ydireçãoD
xdireçãoD
2
1
 g.i.c. = 2 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
26 
 
Caso (0): SH com carregamento 
 
 
m34321  
 
m2365  
 
 
As contribuições para as ações ARi0 e βi0 das cargas aplicadas às barras (peso próprio) ou 
diretamente nos nós são: 
 
0A 10R 
 
9740
2
p
2
p
2
p
A 63120R ,

 
0A 30R 
 
9740
2
p
2
p
2
p
A 64240R ,

 
0A 50R 
 
97280240
2
p
2
p
2
p
A 53260R ,

 
480β10 
 
97,280240
2
p
2
p
2
p
β 54120 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
27 
 
 Caso (1): (D1 = 1 ; D2 = 0) 
 
 
 Sistema de coordenadas locais das barras: 
 
 
  EA,
EA
ARD 333300cos
2
1
11 



 
0413121  RDRDRD AAA
 
  EA,
EA
ARD 11790135cos
2
5
51 



 
    EA,
EA
ARD 11790135sen135cos
5
61 



 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
28 
 
    EA4512,0135
EA
0
EA
K 2
5
2
1
11  coscos 
 
    EA1179,0135sen135
EA
K
5
21  cos
 
 
 Caso (2): (D1 = 0 ; D2 = 1) 
 
 
0322212  RDRDRD AAA
 
  EA,
EA
ARD 3333090sen
2
4
42 



 
    EA,
EA
ARD 11790135sen135cos
5
52 



 
  EA,
EA
ARD 11790135sen
2
5
62 



 
EA11790KK 2112 ,
 
    EA45120135sen
EA
90sen
EA
K 2
5
2
4
22 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
29 
 
 FASE FINAL: 
 
0KDβ0 
 
 





 

97280
480
,
β0
 
 









4512011790
1179045120
EA
,,
,,
K
 
 








998,369
148,9671
EA
D
 

 
Cálculo das reações de apoio: 
 
 
DAAA RDR0R 
 
 





















97280
0
9740
0
9740
0
,
,
,
AR0
 

























1179011790
1179011790
333300
00
00
033330
EA
,,
,,
,
,
ARD
 
 
 








998369
148967
EA
1
,
,
D
 
 
 
AR1 = - 322,06 kN 
AR2 = 40,97 kN 
AR3 = 0 kN 
AR4 = 164,18 kN 
AR5 = -157,65 kN 
AR6 =438,62 kN 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
30 
 
EXEMPLO 3: Determinar os esforços nas barras e as reações de apoio na treliça da 
figura, usando o Método dos Deslocamentos. 
 
 
Dados: E = constante 
 A1= 10 cm
2 
 A2= 15 cm
2A3= 20 cm
2
 
 
Grau de indeterminação cinemática (GIC): 2 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
31 
 
Sistemas Locais das Barras 
 
 
m12,2
315
1 


 
 
m5,2
13,53
2 


 
 
m8,2
0
3 


 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
 
Desconsiderando o peso próprio tem-se: 
kN15)60(30β
kN98,25)60(30β
o
20
o
10


cos
sen AR10 = AR20 = AR30 = AR4 0= AR50 = AR60 = 0 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
32 
 
 Caso (1): (D1=1; D2=0) 
    E10657,11
EA
13,53
EA
315
EA
K 4
3
32
2
22
1
1
11


coscos
 
        E105230013531353sen
EA
315315sen
EA
K 4
2
2
1
1
21
 ,,cos,cos

 
 
Cálculo dos ARD: 
  E
EA
ARD
42
1
1
11 10357,2315cos


 
    Esen
EA
ARD
4
1
1
21 10357,2315cos315


 
  E
EA
ARD
42
2
2
31 1016,213,53cos


 
    Esen
EA
ARD
4
2
2
41 1088,213,53cos13,53


 
E
EA
ARD
4
3
3
51 1014,7


 
061 RDA
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
33 
 
 Caso (2): (D1=0; D2=1) 
 
2112 KK 
 
    E10197601353senEA315senEAK 42
2
22
1
1
22
 ,,

 
 
 
Cálculo dos ARD: 
    E
EA
ARD
4
1
1
12 10357,2315cos315sen


 
  E
EA
ARD
42
1
1
22 10357,2315sen


 
    E
EA
ARD
4
2
2
32 1088,213,53cos13,53sen


  E
EA
ARD
42
2
2
42 1084,313,53sen


 
06252  RDRD AA
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
34 
 
 Fase Final: 
0KDβ0 
 
0
,,
,,,
























2
1
44
44
D
D
101976105230
1052301065711
E
15
9825 










413,26185
724,23462
1
E
D
 
 
 Cálculo das Reações de Apoio 
DAAA RDR0R 
 


















































































0
7516
2983
472
7011
7011
41318526
72446223
E
1
00
010147
1084310882
1088210162
103572103572
103572103572
E
0
0
0
0
0
0
4
44
44
44
44
,
,
,
,
,
,
,
,
,,
,,
,,
,,
AR
 
 
 Cálculo dos Esforços nas Barras 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Treliça 
 
35 
 
Por equilíbrio tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos 
 
Exemplos de Aplicação em Pórticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
37 
 
EXEMPLO 1: Dado o pórtico abaixo determinar as reações de apoio considerando as 
deformações devidas à flexão e à força axial. 
Dado: E = 205 GPa 
 
D1
D2
D3
 
 Seção transversal da viga Seção transversal do pilar 
 (Barra AD) (Barra BC) 
 
 
 
 
Deslocamentos Nodais Incógnitos: 
 Nó B: 
 
 





)( zdireçãoD
ydireçãoD
xdireçãoD
3
2
1 g.i.c = 3 
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
 
38 
 
 
 
 
 Propriedades geométricas das seções transversais: 
 
Viga 
    22 m cm A 31036,96,935,298,02825,12 
 
  
4
4
m I
cm I
4
3
2
3
10826795,1
95,26718
12
5,298,0
375,1525,128
12
25,128
2











 
 
Pilar 
    22 m cm A 31096,86,895,248,02825,12 
 
  
44
4
3
2
3
m 10259312,1
cm 12,593 12
12
5,248,0
875,1225,128
12
25,128
2












I
I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
39 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
40KNm
 
 
0β10 
  
016,8140
4,6
44,24,2460
4,6
4,260
60β
320





 
25,1640
4,6
4,2460
β
2
2
30 


 
0AAAA 60R50R40R10R 
  
98418
46
44242460
46
4260
A
320R
,
,
,,
,
,





 
7533
46
42460
A
2
2
30R ,
,
,



 
 
 Caso (1): (D1 = 1 ; D2 = 0 ; D3 = 0) 
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
 
40 
 
E1049491E102393E1046251
EI12EA
K 353
3
BC
BC
AB
AB
11
  ,,,

 
0K21 
 
E1083015
EI6
K 5
2
BC
BC
31
 ,

 
E
EA
A
AB
AB
RD
3
11 104625,1




 
0513121  RDRDRD AAA
 
E
EEI
A
BC
BC
RD
5
3
4
341
10239,3
6,3
10259312,11212 







 
E1083015
EI6
A 5
2
BC
BC
61RD


 ,

 
 
 Caso (2): (D1 = 0 ; D2 = 1 ; D3 = 0) 
 
0KK 2112 
 
E106762
EI6
K 5
2
AB
AB
32


 ,

 
E1049732E1048892E1036248
EAEI12
K 336
BC
BC
3
AB
AB
22
  ,,,

 
0624212  RDRDRD AAA
 
E
EI
A
AB
AB
RD
6
322
103624,8
12 



 
E
EI
A
AB
AB
RD
5
232
10676,2
6 



 
E,
EA
A
BC
BC
RD
3
52 1048892




 
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
41 
 
 Caso (3): (D1 = 0 ; D2 = 0 ; D3 = 1) 
 
 
E1083015KK 53113
 ,
 
E106762KK 53223
 ,
 
E105412E1039921E1014171
EI4EI4
K 444
BC
BC
AB
AB
33
  ,,,

 
05313  RDRD AA
 
E
EI
A
AB
AB
RD
5
223
10676,2
6 

 
E
EI
A
AB
AB
RD
5
33 107087,5
2 

 
E
EI
A
BC
BC
RD
5
243
108301,5
6 



 
E
EI
A
BC
BC
RD
5
63 109962,6
2 

 
 
 Fase Final: 
 
0KDβ0 
 












2516
01681
0
,
,β0
 
E
1054121067621083015
10676210497320
108301501049491
455
53
53

















,,,
,,
,,
KMétodo dos Deslocamentos Pórtico 
 
42 
 
Resolvendo-se o sistema: 













897,61150
17,31786
881,2384
1
E
D
 ou seja, 

















rad
m
m
4
4
5
10983,2
10551,1
10163,1
D
 
 
Cálculo das reações de apoio: 
 
DAAA RDR0R 
 


































































89761150
1778631
8813842
E
1
109962601083015
010488920
10830150102393
10708751067620
10676210362480
001046251
E
0
0
0
7533
98418
0
55
3
55
55
56
3
,
, 
, 
,,
,
,,
,,
,,
,
,
,
AR
 






















 kNm139,4
 kN113,79
 kN488,3
 kNm092,38
 kN886,20
 kN488,3
RA
 
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
43 
 
EXEMPLO 2: Calcular, através do Método dos Deslocamentos, as reações nos apoios e 
os esforços nas extremidades das barras do pórtico da figura. As barras têm seção 
transversal constante. 
Dados: EA = 500 000 kN 
 EI = 30 000 kNm
2 
 
D
D
D
 
 
Deslocamentos Nodais Incógnitos: 
 Nó B: 
 
 





)(3
2
1
zdireçãoD
ydireçãoD
xdireçãoD
 g.i.c = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
 
44 
 
Esforços nas extremidades das barras: 
 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
100KNm
 
000β10 
 
200100
2
100
2
50,2
40β20 
 
417,110100
8
50,2
100
12
50,2
40β
2
30 
 
 
Esforços nas extremidades das barras: 
 
 Barra AB: (γ = 0o) 
0A 10M 
 
50
2
502
40A 20M 
,
 
83320
12
502
40A
2
30M ,
,

 
0A 40M 
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
45 
 
50
2
502
40A 50M 
,
 
83320
12
502
40A
2
60M ,
,

 
 Barra BC: (γ = 322,765o ) 
º765,322
º235,37º360



 





6050
7960
,sen
,cos

 
 
  2530605050sen500A 70M ,,cos   
  803979605050sen0A 80M ,,cos   2531
8
502
100A 90M ,
,

 
  2530605050sen500A 010M ,,cos,   
  803979605050sen0A 011M ,,cos,   2531
8
502
100A 012M ,
,
, 
 
 
 Caso (1): (D1 = 1; D2 = 0; D3 = 0) 
 
 
1503052564894100000200K
sen00030
143
12
143
000500
52
1
000500K
11
2
3
2
11







 
,
cos
,,
 
  0857160507960607147sen
143
0003012
143
000500
K
321





 
 ,,cos
,,
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
 
46 
 
  045116050
143
000306
K
231


 ,
,
 
Parcela dos esforços solicitantes devidos à translação horizontal no nó B: 
 
 Barra AB: 
000200
52
000500
11 


,
AMD
 
021 MDA
 
031 MDA
 
000200
52
000500
41 
,
AMD
 
051 MDA
 
061 MDA
 
 
 Barra BC: 
    7061266050085717960256489410071  ,,AMD
 
  0327796008571605015010581  ,,AMD
 
  045116050
143
000306
291


 ,
,
AMD
 
  7061266050085717960150105110  ,,A ,MD
 
  03277960085716050150105111  ,,A ,MD
 
  045116050
143
000306
2112


 ,
,
A ,MD
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
47 
 
 Caso (2): (D1 = 0 ; D2 = 1 ; D3 = 0) 
 
08571KK 2112 
 
    692887960
143
0003012
6050
143
000500
52
0003012
K
2
3
2
322










 ,
,
,
,,
 
268145321480028
143
000306
52
000306
K
2232










 cos
,,
 
 
Parcela dos esforços solicitantes devidos à translação vertical no nó B: 
 
 Barra AB: 
012 MDA
 
04023
52
0003012
322



,
AMD
 
80028
52
000306
232



,
AMD
 
042 MDA
 
04023
52
0003012
352



,
AMD
 
80028
52
000306
262



,
AMD
 
 
 Barra BC: 
    303967960
143
0003012
6050
143
000500
08571
2
3
2
72 







  sen,
,
,
,
cosAMD
    253979606526560500857182  ,,AMD
 
532147960
143
000306
292


 ,
,
AMD
 
30396210 ,MDA
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
 
48 
 
2539211 ,MDA
 
53214212 ,MDA
 
 
 Caso (3): (D1 = 0 ; D2 = 0 ; D3 = 1) 
 
04511KK 3113 
 
26814KK 3223 
 
217862173800048
143
000304
502
000304
K33 




,,
 
 
Parcela dos esforços solicitantes devidos à rotação no nó B: 
 
 Barra AB: 
013 MDA
 
80028
50,2
000306
223


MDA
 
00024
502
000302
A 33MD 


,
 
043 MDA
 
80028
50,2
000306
253


MDA
 
00048
502
000304
A 63MD 


,
 
 
 Barra BC: 
0
143
000306
143
000306
2273





 


  cossen
,,
AMD
 
25018
143
000306
143
000306 2
2
2
283




  cos
,
sen
,
AMD
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
49 
 
21738
143
000304
93 


,
AMD
 
0
143
000306
143
000306
22310





 


  cossen
,,
A ,MD
 
25018
143
000306
143
000306 2
2
2
2311




  cos
,
sen
,
A ,MD
 
10819
143
000302
312 


,
A ,MD
 
 
 Fase Final: 
 
0KDβ0 
 











417110
200
0
,
β0
 














217862681404511
268146928808571
0451108571150305
K
 
 
 
Resolvendo-se o sistema: 
310
702,1
049,3
6485,0















rad
m
m
D
 
Cálculo das ações nas extremidades das barras 
DAAA MDM0M 
 
 


















































































































































 
kNm243115
kN634103
kN709241
kNm26685
kN03424
kN209181
kNm71814
kN76928
kN7129
kNm79667
kN23171
kN7129
10
7021
0493
64850
108195321404511
2501825390327
030396706126
217385321404511
2501825390327
030396706126
00048800280
80028040230
00000200
00024800280
80028040230
00000200
2531
8039
2530
2531
8039
2530
83320
50
0
83320
50
0
3
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
AM
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
 
50 
 
Diagramas de esforços solicitantes: 
 
Força Normal (N) 
 
 
Força Cortante (V) 
 
Momento Fletor (M) 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
51 
 
EXEMPLO 3: Traçar os diagramas de esforços solicitantes para o pórtico da figura 
abaixo. Além do carregamento indicado, considerar também o peso próprio da 
estrutura. 
Dados: Material = concreto 
 Módulo de elásticidade E = 25 000 MPa 
 Densidade γ = 25 kN/m3 
 A barra AC tem altura h = 70 cm e a barra BD têm altura h = 40 cm 
 Todas as barras têm largura constante b = 25 cm 
D
D
D
 
 
 
Deslocamentos Nodais Incógnitos: 
 Nó B: 
 
 





)(3
2
1
zdireçãoD
ydireçãoD
xdireçãoD
 g.i.c = 3 
 
 
D
D
D
 
 
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
 
52 
 
 Propriedades geométricas das seções transversais: 
 
 Barra AC Barra BD 
2m 175,070,025,0 A
 
2m 1,040,025,0 A
 
43
3
m 1014583,7
12
70,025,0 

I
 
43
3
m 1033333,1
12
40,025,0 

I
 
 
 Carregamento devido ao peso próprio: 
 
 Barra AC Barra BD 
kN/m 375,42570,025,0 p
 
kN/m 5,22540,025,0 p
 
 
 Esboço da estrutura sujeita ao carregamento total: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sistema local: 
 
77,10410
62,82,38
22
22


BC
AB

 
 
º2,338
º801,21º360
º801,21
18
2,7
tan






 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
53 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
 
 
 
Cálculo dos ADL e ARL: ( = 338,2º) 
000β10 
 
655,40750
2
0,45,2
2
77,10375,36
2
62,8375,36
β20 






 
   
331,117
12
77,10º2,338375,36
12
62,8º2,338375,36
β
22
30 




coscos
 
0AAAA 70R60R40R10R 
 
776156
2
62837536
A 20R ,
,,



 
128209
12
628γ37536
A
2
30R ,
,cos,



 
05
2
0452
A 50R ,
,,



 
879195
2
771037536
A 80R ,
,,



 
459326
12
7710γ37536
A
2
90R ,
,cos,



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
 
54 
 
 Caso (1): (D1 = 1 ; D2 = 0 ; D3 = 0) 
 
E101793K
90sen
04
10333331E12
90
04
10E
sen
7710
10145837E12
7710
1750E
sen
628
10145837E12
628
1750E
K
2
11
2
3
3
22
3
3
22
3
3
2
11


















,
º
,
,
ºcos
,
,
,
,
cos
,
,
,
,
cos
,
,


 
E102531K
sen
04
10333331E12
04
10E
sen
7710
10145837E12
7710
1750E
sen
628
10145837E12
628
1750E
K
2
21
3
3
3
3
3
3
21









 







 








 



,
90º cos90º 
,
,
,
,
cos
,
,
,
,
cos
,
,
,
,


 
E10234K
90sen
04
10333331E6
sen
7710
10145837E6
sen
628
10145837E6
K
4
31
2
3
2
3
2
3
31










,
º 
,
,
,
,
,
, 
 
 
Esen
EE
ARD
22
3
3
2
11 10752,1
62,8
1014583,712
cos
62,8
175,0 











  
Esen
EE
ARD
3
3
3
21 10954,6cos
62,8
1014583,712
62,8
175,0 






 


  
Esen
E
ARD
4
2
3
31 10143,2
62,8
1014583,76 



 
E,-90º sen
E
A -RD
42
3
3
41 1052
0,4
1033333,112



 
051 RDA
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
55 
 
Esen
E
ARD
4
3
3
61 105º90
0,4
1033333,16 




 
Esen
EE
ARD
22
3
3
2
71 10402,1
77,10
1014583,712
cos
77,10
175,0 











  
Esen
EE
ARD
3
3
3
81 10579,5cos
77,10
1014583,712
77,10
175,0 






 


  
Esen
E
ARD
4
2
3
91 10373,1
77,10
1014583,76 



  
 
 
 
 Caso (2): (D1 = 0 ; D2 = 1 ; D3 = 0) 
 
E102531KK 22112
 ,
 
E10022390
04
10333331E12
90sen
04
10E
7710
10145837E12
sen
7710
1750E
628
10145837E12
sen
628
1750E
K
22
3
3
22
3
3
22
3
3
2
22

















,ºcos
,
,
º
,
,
cos
,
,
,
,
cos
,
,
,
,


E109261K
90
04
10333331E6
7710
10145837E6
628
10145837E6
K
4
32
2
3
2
3
2
3
32










,
º cos
,
,
cos
,
,
cos
,
, 
Esen
EE
ARD
3
3
3
12 10954,6cos
62,8
1014583,712
62,8
175,0 






 


  
Ecos
E
sen
E
ARD
32
3
3
2
22 10915,2
62,8
1014583,712
62,8
175,0 











  
Método dos Deslocamentos Pórtico 
 
56 
 
Ecos
E
ARD
4
2
3
32 10358,5
62,8
1014583,76 



  06242  RDRD AA 
Esen
E
ARD
22
52 105,20º90
0,4
1,0 








 
Esen
EE
ARD
3
3
3
72 10579,5cos
77,10
1014583,712
77,10
175,0 






 


  
Ecos
E
sen
E
ARD
32
3
3
2
82 10300,2
77,10
1014583,712
77,10
175,0 











  
Ecos
E
ARD
4
2
3
92 10432,3
77,10
1014583,76 



  
 
 Caso (3): (D1 = 0 ; D2 = 0 ; D3 = 1) 
 
E10234KK 43113
 ,
 
E109261KK 43223
 ,
 
E103037
04
10333331E4
7710
10145837E4
628
10145837E4
K 3
333
33








 ,
,
,
,
,
,
,
 
Esen
E
ARD
4
2
313 10143,2
62,8
1014583,76 



  
Ecos
E
ARD
4
2
3
23 10358,5
62,8
1014583,76 



  
E
E
ARD
3
3
33 10658,1
62,8
1014583,72 




 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
57 
 
E90º sen
E
ARD
4
2
3
43 100,5
0,4
1033333,16 




 
053 RDA
 
E
E
ARD
4
3
63 10667,6
0,4
1033333,12 




 
E sen
E
ARD
4
2
3
73 10373,1
77,10
1014583,76 



  
Eosc
E
ARD
4
2
3
83 10432,3
77,10
1014583,76 



  
E
E
ARD
3
3
93 10327,1
77,10
1014583,72 




 
 
 Fase Final: 
0KDβ0 
 











331117
655407
0
,
,β0
 
E
10303710926110234
109261100223102531
10234102531101793
344
422
422

















,,,
,,,
,,,
K
 
 
Resolvendo-se o sistema: 































rad104546
m104576
m104592
763916135
666916141
51996147
E
1
4
4
4
,
,
,
D
,
,
,
D
 
 
Cálculo das reações de apoio: 
DAAA RDR0R 
 
E
1
763916135
666916141
51996147
103271104323103731
1043231032105795
103731105795104021
1066760105
010520
10501052
106581103585101432
103585109152109546
101432109546107521
E
459326
879195
0
0
05
0
128209
776156
0
344
433
432
44
2
44
344
433
432




























































































,
,
,
,,,
,,,
,,,
,
,
,
,,,
,,,
,,,
,
,
,
,
,
AR
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
 
58 
 



































kNm ,
kN ,
kN ,
kNm ,
kN ,
kN ,
kNm ,
kN ,
kN ,
AR
27354
25204
651
8313
54408
619
34192
43152
008
 
 
 
 Esforços solicitantes nas extremidades das barras: 
 
Por equilíbrio tem-se: 
 Barra AB: (γ = 338,2o ) 
 
(tração) kN sen oscNA 04,6443,15200,8   
 kN cos senVA 56,13843,15200,8   
 , kNm34192M A 
 
o)(compressã kN 4,52 12,161 c00,8'   senosNB 
kN cos senVB 57,15212,16100,8
'   
kNm 69252MB ,
' 
 
 
 Barra BC: (γ = 338,2o ) 
 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
59 
 
(tração) kN sen oscNB 10,6851,18765,1
''   
kN cos senVB 72,17451,18765,1
''   
 kNm 21277MB ,
'' 
 
o)(compressã kN sen oscNC 38,7725,20465,1   
 kN cos senVC 03,18925,20465,1   
kNm 27354MC ,
 
 Barra BD: (γ = 90º) 
 
o)(compressã kN NB 54,398
''' 
 
kN VB 61,9
''' 
 
 kNm 6024MB ,
''' 
 
o)(compressã kN ND 54,408
 
 kN VD 61,9
 
kNm 8313MD ,
 
Diagramas de esforços solicitantes: 
 
Força Normal (N) 
Método dos Deslocamentos Pórtico 
 
60 
 
 
Força Cortante (V) 
 
 
 
Momento Fletor (M) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos 
 
Exemplos de Aplicação em Grelhas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
 
62 
 
EXEMPLO 1: Calcular os deslocamentos nodais incógnitos na grelha abaixo utilizando 
o Método dos Deslocamentos. As barras da grelha possuem seção transversal retangular 
em concreto armado. 
Dados: E = 2 500 kN/cm
2 
 Seção Transversal: 20 x 40 cm
 
 Coeficiente de Poisson = 0,2 
 Constante de torção: Jefetivo = 0,15 x Jpleno 
 
 
Deslocamentos nodais incógnitos: 
 
Nó B: 
 
 
 



zde tornoem rotação
xde tornoem rotação
y em verticaltranslação
3
2
1
D
D
D
 g.i.c = 3 
 
 
 
Rigidez das barras: 
À flexão: 
434
33
1007,167,666106
12
4020
12
mcm
hb
I 




 
    2437 kNm106672100711052EI   ,,,
 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
63 
 
À torção 
27
7
/1004,1
)2,01(2
105,2
)1(2
mkN
E
G 




 
 
 315,015,0 bhJJJ Pleno  
2289,0
.12
121,0
3
1
4
4







h
b
h
b
 
441010,1 mJ 
 
    2347 kNm101411010110041GJ   ,,,
 
 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
 
 
 
5,2720
2
P
β10 
 
0β20 
 
375,9
8
515
β30 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
 
64 
 
 Caso (1): (D1 = 1 ; D2 = 0 ; D3 = 0) 
 
 
 
 
325602
5
10667212
L
EI12
K
3
4
311
,
,' 


 
64120556025602K11 ,
 
325602
5
10667212
L
EI12
K
3
4
311
,
," 


 
0K21 
'
 
8400640060K21 ,
 
84006
5
1066726
L
EI6
K
2
4
221
,
," 


 
84006
5
1066726
L
EI6
K
2
4
231
,
,' 




 
8400604006K31 ,
 
0K31 
"
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
65 
 
 Caso (2): (D1 = 0 ; D2 = 1 ; D3 = 0) 
 
 
 
 
 
0K12 
'
 
84006840060K12 ,, 
 
84006
5
1066726
L
EI6
K
2
4
212
,
," 


 
228
5
10141
L
GJ
K
3
22 


,'
 
5642133621228K22 
 
33621
5
1066724
L
EI4
K
4
22 


,"
 
0K32 
'
 
000K32 
 
0K32 
"
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
 
66 
 
 Caso (3): (D1 = 0 ; D2 = 0 ; D3 = 1) 
 
 
 
84006
5
1066726
L
EI6
K
2
4
213
,
,' 




 
84006084006K13 ,, 
 
0K13 
"
 
0K23 
'
 
000K23 
 
0K23 
"
 
33621
5
1066724
L
EI4
K
4
33 


,'
 
5642122833621K33 
 
228
5
10141
L
GJ
K
3
33 


,"
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
67 
 
 Fase final: 
 
0KDβ0 
 
 











3759
0
5027
,
,
β0
 













56421084006
05642184006
840068400661205
,
,
,,,
K 
 
Resolvendo o sistema de equações obtém-se: 
 











radD
radD
mD
3
3
3
2
2
1
10120,5
10555,5
10871,1
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
 
68 
 
EXEMPLO 2: Calcular as reações de apoio da grelha da figura utilizando o Método dos 
Deslocamentos. 
Dados: EI = 4 GJ
 
 
 
Deslocamentos nodais incógnitos: 
Nó B:  
 


yde torno em rotaçãoD
xde torno em rotaçãoD
2
1
 Nó C: 
  vertical translaçãoD3
 g.i.c = 3 
 
 Estrutura equivalente: 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
69 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
 
 
45,08,10
12
315
β
2
10 


 
75,3
4
3120
β
2
2
20 


 
5,22
2
315
β30 


 
0A 10R 
 
2511
4
3120
A
2
2
20R ,


 
87516
4
313320
A
3
2
30R ,
)(



 
6254318
2
315
4
133120
A
3
2
40R ,
)(





 
2511
12
315
A
2
50R ,


 
0A 60R 
 
 
 Caso (1): (D1 = 1; D2 = 0; D3 = 0) 
 
12
GJ67
3
GJ16
4
GJ
3
EI4
4
GJ
K11 
 
0K21 
 
3
GJ8
9
GJ24
3
EI6
K
231






 
4
11
GJ
ARD


 
0613121  RDRDRD AAA
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
 
70 
 
3
8
9
24
3
6
241
GJGJEI
ARD 
 
3
8
3
2
51
GJEI
ARD 
 
 
 
 Caso (2): (D1 = 0 ; D2 = 1 ; D3 = 0) 
 
 
0KK 2112 
 
3
GJ13
3
GJ
GJ4
3
GJ
4
EI4
K22 
 
0K32 
 
05212  RDRD AA
 
GJ
EI
ARD 2
4
2
22 
 
2
3
4
6
232
GJEI
ARD




 
2
3
4
6
242
GJEI
ARD 
 
3
62
GJ
ARD


 
 
 Caso (3): (D1 = 0 ; D2 = 0 ; D3 = 1) 
 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
71 
 
3
GJ8
KK 3113


 
0KK 3223 
 
9
GJ16
3
EI12
K
333

 
0332313  RDRDRD AAA
 
9
16
3
12
343
GJEI
ARD




 
3
8
3
6
253
GJEI
ARD




 
063 RDA
 
 
 Fase final: 
 
0KDβ0 
 
 











522
753
450
,
,
,
β0
 















9
160
3
8
0
3
130
3
80
12
67
GJK 
 
Resolvendo o sistema de equações obtém-se: 
 














056,45
865,0
600,21
1
GJ
D
 

Cálculo das reações de apoio: 
DAAA RDR0R 
 
































































05645
8650
60021
GJ
1
0
3
10
3
80
3
8
9
16
2
3
3
8
0
2
30
020
00
4
1
GJ
0
2511
62543
87516
2511
0
,
,
,
,
,
,
,
AR
 





















 
 kNm288,0
 kNm3,51
 kN827,64
 kN173,18
 kNm981,12
 kNm4,5
RA
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
 
72 
 
EXEMPLO 3: Calcular as reações de apoio e os esforços nas extremidades das barras da 
grelha da figura abaixo, utilizando o Método dos Deslocamentos. As barras têm mesmas 
rigidezes à flexão EI e à torção GJ. 
Dados: EI = 840 000 kNm
2
 
 GJ = 500 000 kNm
2 
 
 
 
Deslocamentos nodais incógnitos: 
Nó B: 
 
 
 



vertical todeslocamen D
yde torno em rotaçãoD
xde torno em rotaçãoD
3
2
1
 g.i.c = 3 
 
Esforços nas extremidades das barras: 
 
 Barra BC: 
 
m
m
BC
AB
403,645
5
22 


 
º34,321
º66,38º360



 
Método dos Deslocamentos Grelha 
73 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
 
 
 
0β10 
 
167,15450
12
550
β
2
20 


 
225100
2
550
β30 


 
0A 10R 
 
167104
12
550
A
2
20R ,


 
125
2
550
A 30R 


 
0AAA 60R50R40R 
 
0A 10M 
 
167104A 20M ,
 
125A 30M 
 
0A 40M 
 
167104A 50M ,
 
125A 60M 
 
0AAA 90M80M70M 
 
0AAA 012M011M010M  ,,,
 
 
 Caso (1): (D1 = 1 ; D2 = 0 ; D3 = 0) 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
 
74 
 
03639235234321
4036
0008404
34321
4036
000500
5
000500
K11 , )º,(sen
,
 
)º,(cos
,
 22 


 
44388121734321os34321
4036
0008404
4036
000500
0K21 , )º,(c)º,(sen
,
 
,
 





 

 
781,7917634321
4036
0008406
0K
231
 )º,(sen
,
 



 
 
000100
5
000500
11 
 
ARD 


 
03121  RDRD AA
 
09077554)º34,321(
403,6
0008402
)º34,321(
403,6
000500
41 , sen
 
cos
 
A 22RD 




 
464,077166)º34,321()º34,321(
403,6
0008402
403,6
000500
51 oscsen
 
ARD 




 

 
781,79176)º34,321(
403,6
0008406
261
 .sen
 
ARD 


 
 
00010011 AMD 
 
021 MDA
 
031 MDA
 
00010041 AMD 
 
051 MDA
 
061 MDA
 
610,97560)º34,321(443,881217)º34,321cos(036,39225271 sen AMD 
 
878,804327)º34,321cos(443,881217)º34,321(036,39225281 sen AMD 
 
781,7917691 AMD 
 
610,97560)º34,321(464,077166)º34,321cos(090,77554101 sen AMD 
 
439,902163)º34,321cos(464,077166)º34,321(090,77554111 sen AMD 
 
781,79176121 AMD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
75 
 
 Caso (2): (D1 = 0 ; D2 = 1 ; D3 = 0) 
 
443881217KK 2112 , 
 
685438022134321os
4036
0008404
34321en
4036
000500
5
0008404
K22 , )º,(c
,
 
)º,(s
,
 22 




 
27361010534321os
4036
0008406
5
0008406
K
2232
, )º,(c
,
 





 
012 RDA
 
000336
5
0008402
22 
 
ARD 


 
600201
5
0008406
232
 
 
ARD 


 
    4641660771432114321sen
4036
840000x2
4036
500000
A 42RD ,º,cosº,
,,







 
949,509129)º34,321(
403,6
0008402
)º34,321(
403,6
000500
52 osc
 
ens
 
A 22RD 


 
727,98995)º34,321(
403,6
0008406
262
 osc
 
ARD 


 
012 MDA00033622 AMD 
 
60020132 AMD 
 
042 MDA
 
00067252 AMD 
 
60020162 AMD 
 
487,780 48)º34,321(385,350438)º34,321cos(443,881 21772  senAMD
098,756409)º34,321cos(385,438350)º34,321(443,88121782 sen AMD 
 
727,9899592 AMD 
 
487,78048)º34,321(949,509129)º34,321cos(464,077166102 sen AMD 
 
049,878204)º34,321cos(949,509129)º34,321(464,077166112 sen AMD 
 
727,98995122 AMD 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
 
76 
 
 Caso (3): (D1 = 0 ; D2 = 0 ; D3 = 1) 
 
 
78179176KK 3113 , 
 
273610105KK 3223 , 
 
891035119
4036
00084012
5
00084012
K
3333
, 
,
 





 
013 RDA
 
600201
5
0008406
223
 
 
ARD 


 
64080
5
00084012
333
 
 
ARD 


 
781,79176)º34,321(
403,6
0008406
243
 sen
 
ARD 


 
727,98995)º34,321(
403,6
0008406
253
 osc
 
ARD 


 
891,39538
403,6
00084012
263
 
 
ARD 


 
 
013 MDA
 
60020123 AMD 
 
6408033 AMD 
 
043 MDA
 
60020153 AMD 
 
6408063 AMD 
 
0)º34,321(727,98995)º34,321cos(781,7917673  sen AMD
829,926122)º34,321cos(727,98995)º34,321(781,7917683 sen AMD 
 
891,3953893 AMD 
 
0)º34,321(727,98995)º34,321cos(781,79176103  sen AMD
 
829,926122)º34,321cos(727,98995)º34,321(781,79176113 sen AMD 
 
891,39538122 AMD 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
77 
 
 Fase final: 
 
0KDβ0 
 
 











225
167154
0
,β0
 













891,035 119273,610 105781,791 76
273,610 105685,438 022 1443,881 217
781,791 76443,881 217036,392 352
K 
 
Resolvendo o sistema de equações obtém-se: 
 

















 m106141,2
 rad102771,0
 rad107410,0
3
3
3
D
 

Cálculo das reações de apoio: 
DAAA RDR0R 
 
































































3
3
3
106141,2
102771,0
107410,0
891,395 38727,989 95781,791 76
727,989 95949,129509464,077 166
781,791 76464,077 166090,775 54
640 80600 2010
600 201000 3360
00000 100 
0
0
0
125
167,104
0
RA
 





















 
 kN070,70
 kNm755,163
 kNm181,206
 kN930,279
 kNm051,538
 kNm101,74
RA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
 
78 
 
Cálculo das ações nas extremidades das barras 
 
DAAA MDM0M 
 
















































































































































 
kN07070
kNm671256
kNm70358
kN07070
kNm998191
kNm70358
kN93029
kNm597236
kNm10174
kN930279
kNm051538
kNm10174
10
61412
27710
74100
891995387279899578179176
829926122049878204439902163
04877804861097560
891995387279899578179176
829926122098756409878804327
04877804861097560
640806002010
6002010006720
00000100
640806002010
6002010003360
00000100
0
0
0
0
0
0
125
167104
0
125
167104
0
3
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A
,
,
,
,,,
,,,
,,
,,,
,,,
,,
,
,
A
M
M
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Grelha 
79 
 
 Diagramas de esforços solicitantes: 
 
Barra AB Barra BC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos 
 
Exemplos de Aplicação em Estruturas 
sobre Apoios Elásticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 
 
81 
 
Apoios Elásticos 
 
 
 
 
 
 
Apoios Rígidos Apoios Elásticos 
 
 
 
 
Tipos de Apoios Elásticos 
 
Apoio Rígido Apoio Elástico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 
82 
 
Apoios linearmente elásticos: 
Onde é a rigidez da mola, igual ao esforço correspondente a um deslocamento unitário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de Estruturas com Apoios Elásticos 
 
Considerar os deslocamentos nas direções dos apoios elásticos. 
 
 
 
Observar que a mola contribui apenas para o cálculo dos coeficientes da diagonal principal da 
matriz de rigidez, correspondentes aos deslocamentos da mola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 
83 
 
EXEMPLO 1: Calcular as reações de apoio da viga da figura, substituindo a estaca 
BD por um apoio elástico de rigidez equivalente. Desprezar o atrito lateral em BD. 
Dados: Barras I = 100 000 cm
4 
Barra A = 11, 91 cm
2
 
 AC e BC E = 20 000 MPa BD E = 210 000 MPa 
 
 
 
Grau de indeterminação cinemática = 2 
 
 
 Estrutura Equivalente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 
 
84 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
 
 
 
kN60
2
620
2
wL
A AB10R 


 
kN60
2
620
2
wL
β AB10 


 
kNm60
12
620
12
wL
A
22
AB
20R 


 
kNm60
12
620
12
wL
β
22
AB
20 




 
0AAA 50R40R30R 
 
 
 Caso (1): (D1 = 1; D2 = 0) 
 
 
kN
L
EI
A
AB
AB
RD 11,1111
12
311

 
5
10911110000210 43 

,
L
EA
K BDMOLA
 
kNm
L
EI
A
AB
AB
RD 33,3333
6
221

 m/kNKMOLA 31050
 
kN
L
EI
A
BC
BC
RD 7503
12
331

  1DDKA MOLA51RD 
 
kNm
L
EI
A
BC
BC
RD 5007
6
241

 m/kNARD 351 1050
 
1186154K
L
EI12
L
EI12
K MOLA3
BC
BC
3
AB
AB
11 ,
 
 
671664
L
EI
6
L
EI
6K
2
BC
BC
2
AB
AB
21 ,
 
 
Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 
85 
 
 Caso (2): (D1 = 0; D2 = 1)kN,
L
EI
A
AB
AB
RD 3333336 212 
 
kNm
L
EI
A
BC
BC
RD 00010242 
 
kNm,
L
EI
A
AB
AB
RD 676666222 
 052 RDA
 
kN
L
EI
A
BC
BC
RD 50076 232 
 
 
6716645007333333K12 ,, 
 
3333333000203333313
L
EI
4
L
EI
4K
BC
BC
AB
AB
22 ,, 
 
 
 Fase final: 
 
0KDβ0 
 
























 0
0
D
D
3333333671664
6716641186154
60
60
2
1
,,
,,  











rad
m
3
3
109553,1
102422,1
D
 
 
DAAA RDR0R 
 
 
















































3
3
1095531
1024221
000050
000105007
50077503
676666333333
333333111111
0
0
0
60
60
,
,
,,
,,
AR
  

















kN1162
kNm2410
kN0110
kNm1877
kN967
,
,
,
,
,
AR
 
 
 Diagrama de Momento Fletor: 
 
Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 
 
86 
 
EXEMPLO 2: Calcular através do Método da Rigidez (Método dos Deslocamentos), os 
deslocamentos nodais incógnitos, a reação da mola, e traçar os diagramas de esforços 
solicitantes na barra BC do pórtico da figura abaixo. 
Dados: E = 3 x 10
7
 kN/m
2 
 Seção transversal das barras retangulares b = 0,20 m e h = 0,40 m 
 Rigidez da mola : k = 1,5 x 10
5
 kN/m 
 
 
Grau de indeterminação cinemática = 2 
Nó B:  
 


rotaçãoD
vertical todeslocamenD
2
1
 
 
 
 Propriedades geométricas das seções transversais: 
 
2m A 08,040,020,0 
 
4m I 3
3
10067,1
12
40,020,0 


 
kN EA 0004002
 
2kNm00032EI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 
 
87 
 
 Esforços solicitantes na barra BC: 
 
m BC 543
22 
 
 
6,0
8,0
º13,53
3
4
tan






cos
sen
 
 
 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
 
 
 
0A 10R 
 
8448
2
418
β10 


 
0AAA 30M20M10M 
 
24
12
418
β
2
20 


 
0AAA 60M50M40M 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 
 
88 
 
 Caso (1): (D1 = 1; D2 = 0) 
 
9230546410519210512003070006KK
5
60EI12
5
80EA
4
EI12
K 5113
22
311
, ,, 
,,





3927K608400012
5
60EI6
4
EI6
K 212221 
,



 
5
111RD 1051KDA  ,
 
  0003848,092,10512003076,06,08,0
5
12
5 3
11 

















 
EIEA
AMD
 
    2,84316,092,3093088,044,925 228A 21MD 
 
608431 MDA
 
0003848,06,0
5
12
8,0
5
6,06,08,0
5
12
5
2
3
2
341































EIEAEIEA
AMD
 
    2843160923053088044925228A 51MD ,,,,, 
 
608461 MDA
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 
 
89 
 
 Caso (2): (D1 = 0; D2 = 1) 
 
3927KK 2112 
 
600576002500032
5
EI4
4
EI4
K22 
 
012 RDA
 
08,06,0
5
6
6,08,0
5
6
2212















EIEI
AMD
 
    68076,060848,0114622  MDA
 
6002532 MDA
 
08,06,0
5
6
6,08,0
5
6
2242















EIEI
AMD
 
    68076,060848,0114652  MDA
 
80012
5
2
62 
EI
AMD
 
 
 
 Fase final: 
 
 Cálculo dos deslocamentos nodais incógnitos: 
 
0KDβ0 
 
 


























 0
0
D
D
600573927
392792305464
24
84
2
1,
  











rad
m
4
4
10943,3
10746,1
D
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Apoio Elástico 
 
90 
 
 Cálculo da reação da mola: 
 
    kN196,26A10943,3010746,1105,10A
DADAAA
1R
445
1R
212RD111RD10R1R



 
 
 
 Cálculo dos esforços solicitantes na barra BC: 
 
DAAA MDM0M 
 






















































4
4
109433
107461
128004608
768021843
0384000
256004608
768021843
0384000
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
AM
  























 kNm242,4
 kN706,2
 kN061,67
 kNm288,9
 kN706,2
 kN061,67
MA
 
 
 Diagrama de esforços solicitantes na barra BC: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos 
 
Exemplos de Aplicação em Estruturas 
Sujeitas à Variação de Temperatura, Recalque 
de Apoio e Deformações Prévias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura, Recalque, Deformação 
 
92 
 
EXEMPLO 1: A viga da figura abaixo está submetida a: 
- variação de temperatura na barra BC, sofrendo acréscimo de 20ºC na face inferior e 
decréscimo de 20ºC na face superior; 
- recalque vertical de 1,0 cm no apoio B; 
- erro de fabricação da barra BC, consistindo de um desvio de 0,5º em relação ao seu 
eixo a partir do ponto médio; 
- carga distribuída de 20 kN/m na barra AB. 
Dados: E = 2 x 10
8
 kN/ m
2
 
  = 10-5/ ºC 
 
 Deformação prévia da barra BC: 
 = 0,5º y 0,00873 rad E = 2 x 108 kN/ m2 
h = 30cm (altura da seção transversal) 
I = 10 000 cm
4
 = 10
-4
 m
4
 EI = 2 x 10
4
 kNm
2
 
 
 Caso (0): SH com carregamento 
 
60
12
620
β
2
10 


 
60
2
620
A 10R 


 
60
12
620
A
2
20R 


 
60
2
620
A 30R 


 
0AA 50R40R 
 
Método dos Deslocamentos Efeito de Temperatura, Recalque, Deformação 
93 
 
 Fase T: 
 
 
66726
30,0
202000020
10A 51DT ,

 
 
667265 ,RTA
 
0AAAA 4RT3RT2RT1RT 
 
 
 Fase R: 
 
 
66741
4
010000206
6
010000206
A
221DR
,
, , 





 
111,11
6
01,00002012
31



 
ARR
 
333,33
6
01,0000206
22



 
ARR
 
611,48
4
01,00002012
111,11
33



 
ARR
 
50,37
4
01,00002012
34



 
ARR
 
00,75
4
01,0000206
25



 
ARR
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Deslocamentos