EES024 2a Prova Solucao (1)

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Escola de Engenharia da UFMG
Departamento de Engenharia de Estruturas
EES 024: Ana´lise Estrutural II - 2a. Prova - 2o. semestre 2017 - 08/11/2017
1a. Questa˜o (15 pontos) Para a viga da figura, empregando o Me´todo dos Deslocamentos, pede-se calcular
as rotac¸o˜es dos no´s B e C, determinar as reac¸o˜es de apoio e trac¸ar os diagramas de esforc¸o cortante e momento
fletor na barra BC. Na˜o bloquear a rotac¸a˜o do no´ D no Sistema Hipergeome´trico (bloqueamento parcial).
A B C D 
6,0 m 2,5 m 2,5 m 4,0 m 
40 kN 
12 kN/m 
20 kN/m 
E = 2,5 x 107 kN/m2 Seção Transversal 
60 cm 
20 cm 
80 kNm 
2a. Questa˜o (10 pontos) Para o po´rtico plano da figura, empregando o Me´todo dos Deslocamentos, pede-se
determinar o termo de carga β10 e o coeficiente de rigidez global K11.
1,2 m 5,0 m 
3,2 m 
3,2 m 
24 kN/m 
1,2 m 
10 kN 
D1 D4 
D2 D5 
D3 D6 
D7 
(a) Configuração e carregamentos (b) Deslocabilidades 
E = 2,8 x 107 kN/m2 
I = 3,6 x 10-3 m4 
A = 1,2 x 10-1 m2 
X 
Y 
1
3a. Questa˜o (5 pontos) Para a trelic¸a plana da figura, empregando o Me´todo da Rigidez Direta, pede-se
determinar a forc¸a P que aplicada no no´ 1 implique em um deslocamento vertical unita´rio deste no´ (D1 = 1 uc)
e calcular o esforc¸o normal na barra 1 decorrente deste estado de solicitac¸a˜o.
1 
2 3 4 
P 
1 2 3 
D1 = 1 uc 
1 
2 3 4 
1 2 3 
D1 
(a) Configuração indeformada 
3 uc 3 uc 
4 uc 
(b) Configuração deformada 
EA = 1,0 x 105 uf 
uc - unidade de comprimento 
uf - unidade de força 
Expresso˜es do Me´todo dos Deslocamentos
βi0 +
n∑
j=1
Kij ·Dj = 0;
(Esforc¸os internos)
E = E0 +
n∑
j=1
Ej ·Dj;
(Reac¸o˜es de apoio)
R = R0 +
n∑
j=1
Rj ·Dj
Expresso˜es do Me´todo da Rigidez Direta
[K] · {D} = {F} ;
[
[Kll] [Klf ]
[Kfl] [Kff ]
]{ {Dl}
{Df}
}
=
{ {Fl}
{Ff}
}
;
(Esforc¸o normal em barra de trelic¸a plana)
Ni = f
′
1; Nj = f
′
4
{f ′} = [k′] · {d′} ; {f} = [k] · {d} ; {f ′} = [R] · {f} ; {d′} = [R] · {d} ; [R]−1 = [R]T
l =
√
(Xj −Xi)2 + (Yj − Yi)2; cosθ = Xj −Xi
l
; senθ =
Yj − Yi
l
2
Reac¸o˜es de Engastamento de Barras Prisma´ticas
Figura 1: Reac¸o˜es de engastamento de barras prisma´ticas com forc¸a transversal uniformemente distribuı´da.
Figura 2: Reac¸o˜es de engastamento de barras prisma´ticas com forc¸a transversal concentrada no meio do va˜o.
Figura 3: Reac¸o˜es de engastamento de barras prisma´ticas com forc¸a axial uniformemente distribuı´da.
Figura 4: Reac¸o˜es de engastamento de barras prisma´ticas com forc¸a axial concentrada no meio do va˜o.
3
Matrizes de Rigidez Locais de Barras Prisma´ticas
Figura 5: Eixos locais e deslocabilidades de uma barra isolada.
Barra de po´rtico plano/viga sem articulac¸a˜o:
[k′] =

d′1 d
′
2 d
′
3 d
′
4 d
′
5 d
′
6
EA/l 0 0 −EA/l 0 0
0 12EI/l3 6EI/l2 0 −12EI/l3 6EI/l2
0 6EI/l2 4EI/l 0 −6EI/l2 2EI/l
−EA/l 0 0 EA/l 0 0
0 −12EI/l3 −6EI/l2 0 12EI/l3 −6EI/l2
0 6EI/l2 2EI/l 0 −6EI/l2 4EI/l

d′1
d′2
d′3
d′4
d′5
d′6
Barra de po´rtico plano/viga com articulac¸a˜o na extremidade final:
[k′] =

d′1 d
′
2 d
′
3 d
′
4 d
′
5 d
′
6
EA/l 0 0 −EA/l 0 0
0 3EI/l3 3EI/l2 0 −3EI/l3 0
0 3EI/l2 3EI/l 0 −3EI/l2 0
−EA/l 0 0 EA/l 0 0
0 −3EI/l3 −3EI/l2 0 3EI/l3 0
0 0 0 0 0 0

d′1
d′2
d′3
d′4
d′5
d′6
Barra de trelic¸a plana:
[k′] =
EA
l

d′1 d
′
2 d
′
4 d
′
5
1 0 −1 0
0 0 0 0
−1 0 1 0
0 0 0 0

d′1
d′2
d′4
d′5
Matrizes de Transformac¸a˜o por Rotac¸a˜o e de Rigidez Global de Barras Prisma´ticas de Trelic¸a Plana
[R] =

C S 0 0
−S C 0 0
0 0 C S
0 0 −S C
 ; [k] = [R]T · [k′] · [R] = EAl

diX diY djX djY
C2 CS −C2 −CS
CS S2 −CS −S2
−C2 −CS C2 CS
−CS −S2 CS S2

diX
diY
djX
djY
C = cosθ S = senθ
4