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Introdução ao Método de Elementos Finitos
Vitor Takashi Endo
endo.takashi@ufsc.br
EMB 5013 - Métodos Computacionais para Engenharia
2015/2
Conteúdo
1 Introdução
2 Simulação
Tipos de simulação
3 Simulação Computacional
Tipos de simulação computacional
4 Análise estrutural
5 Elementos unidimensionais
Mola
Barra
Função de forma
Princípio dos trabalhos virtuais
Viga
Função de forma
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 2 / 41
Introdução
Contextualização
Discussão
• Por que simular?
• Quais vantagens?
• Quais objetivos?
• Software vs. Usuário
Blog
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 3 / 41
Simulação Tipos de simulação
Simulação icônica
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 4 / 41
Simulação Tipos de simulação
Simulação analógica
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Simulação Tipos de simulação
Simulação computacional
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 6 / 41
Simulação Tipos de simulação
Exemplo
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Simulação Computacional Tipos de simulação computacional
Análise estrutural
Exemplos
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Simulação Computacional Tipos de simulação computacional
Análise estrutural
Exemplos
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Simulação Computacional Tipos de simulação computacional
Análise de transferência de calor e dinânica de fluidos
Exemplos
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 10 / 41
Simulação Computacional Tipos de simulação computacional
Análise de processos de fabricação
Exemplos
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Simulação Computacional Tipos de simulação computacional
Evolução da aplicação da ferramenta
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Simulação Computacional Tipos de simulação computacional
Custo x tempo
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Análise estrutural
Objetivos principais de uma análise estrutural
• Análise de corpos flexíveis
• Condição deformada mediante aplicação de carregamento
• Aplicação de critérios de falha
Descrição: Lagrangeana x Euleriana
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Análise estrutural
Informações da análise
Entrada
• Geometria
• Material
• Condições de contorno
• Carregamento
Saída
• Deslocamentos
• Deformações
• Tensões
Engenheiro
• Tomada de decisão
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Análise estrutural
Conhecimentos envolvidos na simulação
Análise estrutural
• Mecânica dos sólidos
• Método de elementos finitos
• Materiais
• Processos de fabricação
• Produto
• ...
Nível 2
• Estatística
• Qualidade
• Experimental
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Análise estrutural
Reflexões sobre a simulação realizada
Exemplos de Perguntas
• Atende requisitos de projeto?
• Critérios de Falha?
• FMEA!
• Quais as regiões críticas?
• Como melhorar?
• Há possibilidade de redução de custo? Onde?
• Material é o mais indicado? Foi realizada uma análise estatística?
• E o processo de fabricação?
• Gerei conhecimento sobre o produto?
• Hipóteses consideradas são realísticas?
• ...
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Análise estrutural
Softwares: versão estudantil
http://academy.3ds.com/software/simulia/abaqus-student-edition/
http://www.ansys.com/student
http://www.altairuniversity.com/academic-program/
Blog: E aí, Convergiu?
Reflexões sobre a filosofia CAE
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Elementos unidimensionais Mola
Elementos de mola
Relação entre Força e Deslocamento
F = KU
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Elementos unidimensionais Mola
Elementos de mola
Graus de liberdade
1 Deslocamento: nó 1
2 Deslocamento: nó 2
Representação matricial
Forças nodais:
{f } =
{
f1
f2
} Deslocamentos nodais:
{u} =
{
u1
u2
}
Equação de equilíbrio: {
f1
f2
}
=
[
k11 k12
k21 k22
]{
u1
u2
}
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 20 / 41
Elementos unidimensionais Mola
Elementos de mola
Sistema de equações {
f1
f2
}
=
[
k11 k12
k21 k22
]{
u1
u2
}
Sistema de equações
• Simetria da matriz de rigidez
I Reciprocidade: deslocamento e força
• Solução do sistema de equações
I Singularidade de matriz
I Equilíbrio estático
I Convergência: Solução única
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Elementos unidimensionais Mola
Generalização
Associação de vários elementos
1 Comportamento de cada elemento: Matriz de rigidez do elemento
I Equilíbrio de forças
I Compatibilidade de deslocamentos
2 Comportamento da estrutura: Matriz de rigidez global
I Condição de contorno
I Carregamento
3 Solução do sistema de equações
I Incógnitas: Deslocamentos nodais
4 Cálculos complementares
I Força de reação
I Esforços internos no elemento
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 22 / 41
Elementos unidimensionais Mola
Exemplo
Problema com dois elementos
• Solução manual
• Software comercial de elementos finitos: Abaqus
• Programação: SciLab
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 23 / 41
Elementos unidimensionais Mola
Exercício
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 24 / 41
Elementos unidimensionais Mola
Exercício
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 25 / 41
Elementos unidimensionais Mola
Solução utilizando Elementos Finitos
Sequência básica de etapas
• Pré-processamento
I Definição do problema
I Planejamento
I Malha e propriedades mecânicas
I Condições de contorno e carragamentos
• Processamento
I Solução do sistema de equações
• Pós-Processamento
I Verificação dos resultados
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 26 / 41
Elementos unidimensionais Barra
Elemento de barra
Resumo
• Aplicação: treliças
• Hipóteses
• Abaqus: Truss
• Ansys: Link180
• Relação com elemento de mola
• Matriz de rigidez do elemento
• Sistema de coordenada local
• Sistema de coordenada global
• Matriz de transformação
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 27 / 41
Elementos unidimensionais Barra
Sistema local e global
Matriz de transformação
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 28 / 41
Elementos unidimensionais Barra
Matriz de rigidez do elemento (coord.global)
Elemento de barra
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 29 / 41
Elementos unidimensionais Barra
Cálculo de esforços internos e tensão
Sistema local de coordenadas
fe =
AE
L
(u2 − u1)
Sistema global de coordenadas
{δ} = [T ]{∆} ⇒

u1
v1
u2
v2
 =

λ µ 0 0
−µ λ 0 0
0 0 λ µ
0 0 −µ λ


U1
V1
U2
V2

fe =
(
AE
L
)
e
[
λ µ
]
e
{
U2 − U1
V2 − V1
}
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 30 / 41
Elementos unidimensionais Barra
Análise Linear
Hipóteses
Proporcionalidade linear para Forças e Deslocamentos
• Material
I Modelo constitutivo linear elástico isotrópico
I Pequenas deformações
• Geometria
I Pequenos deslocamentos
• Sem contato
Elemento de barra
• Coeficiente de Poisson
• Matriz de rigidez global do elemento e [T ]
• Flambagem
Pcr =
pi2EI
L2
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 31 / 41
Elementos unidimensionais Barra
Função de interpolação no domínio do elemento
Campo de deslocamentos
• Função linear
• Continuidade da função nos nós
Deformação
• Função constante
• Descontinuidade de deformação nos nós
• ε = dudx
Resultados numéricos
• Barra com área de seção transversal constante vs variável
• Curva de convergência de malha: maior quantidadede elementos é
sempre melhor?
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 32 / 41
Elementos unidimensionais Barra
Função de forma: campo de deslocamentos no elemento
Deslocamentos
u =
[
L−x
L
x
L
]{u1
u2
}
u = Nd
Deformação
εx =
du
dx
=
[
d
dx
N
]
d = Bd
B =
[−1
L
1
L
]
εx =
u2 − u1
L
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 33 / 41
Elementos unidimensionais Barra
Matriz de rigidez
Princípio dos trabalhos virtuais
{
Wext = δu
TF
Wint =
∫
V δε
TσdV
Entidades virtuais: δu, δε
Entidades reais: F , σ
Fórmula geral para matriz de rigidez
k =
∫
BTEBdV
Matriz de rigidez do elemento de barra
k =
∫ L
0
{−1
L
1
L
}
E
[−1
L
1
L
]
Adx =
AE
L
[
1 −1
−1 1
]
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Elementos unidimensionais Viga
Elementos de viga
viga
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 35 / 41
Elementos unidimensionais Viga
Matriz de rigidez: Flexão
f1
M1
f2
M2
 =

12EI
L3
6EI
L2
−12EI
L3
6EI
L2
6EI
L2
4EI
L
−6EI
L2
2EI
L−12EI
L3
−6EI
L2
12EI
L3
−6EI
L2
6EI
L2
2EI
L
−6EI
L2
4EI
L


v1
v ′1
v2
v ′2

Matriz de rigidez: Flexão + axial
fx1
fy1
M1
fx2
fy2
M2

=

EA
L 0 0
−EA
L 0 0
0 12EI
L3
6EI
L2
0 −12EI
L3
6EI
L2
0 6EI
L2
4EI
L 0
−6EI
L2
2EI
L−EA
L 0 0
EA
L 0 0
0 −12EI
L3
−6EI
L2
0 12EI
L3
−6EI
L2
0 6EI
L2
2EI
L 0
−6EI
L2
4EI
L


u1
v1
v ′1
u2
v2
v ′2

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Elementos unidimensionais Viga
Elemento de viga
Comportamento em flexão
Deslocamento vertical:
v(x) = ax3 + bx2 + cx + d
• Função interpoladora: Polinômio de terceiro grau
• 4 graus de liberdade
I Deslocamento vertical
I Rotação do nó
• 4 coeficientes para a função
• Curvatura da viga: Polinômio de primeiro grau
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Elementos unidimensionais Viga
Mecânica dos sólidos
Revisão
Tensão devido à flexão:
σ =
My
I
Curvatura da viga:
1
ρ
=
d2v
dx2
Momento fletor:
M = −EI d
2v
dx2
Método do somatório
Carga distribuída:
w(x)
Força cortante:
V (x) = −
∫
w(x)dx
Momento fletor:
M(x) = −
∫
V (x)dx
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Elementos unidimensionais Viga
Modelos de viga engastada
Carga concentrada
• M(x) = P(x − L)
• V (x) = P
• v(x) = Px2(3L−x)6EI
Carga distribuída
• M(x) = −q(L2−2Lx+x2)2
• V (x) = q(L− x)
• v(x) = qx2(6L2−4Lx+x2)24EI
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Elementos unidimensionais Viga
Função de forma: campo de deslocamentos no elemento
Deslocamentos verticais
v =
[
N1 N2 N3 N4
]
v1
θz1
v2
θz2
 = Nd
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Elementos unidimensionais Viga
Deformação: curvatura da viga
d2v
dx2
=
[
d2
dx2
N
]
d = Bd
B =
[− 6
L2
+ 12x
L3
− 4L + 6xL2 6L2 − 12xL3 − 2L + 6xL2
]
Momento Fletor
M = EI
d2v
dx2
= EIBd
Tensão
σx =
My
I
Endo, V.T. Método de Elementos Finitos UFSC 41 / 41
	Introdução
	Simulação
	Tipos de simulação
	Simulação Computacional
	Tipos de simulação computacional
	Análise estrutural
	Elementos unidimensionais
	Mola
	Barra
	Viga