EES024 Aula04 MetodoDasForcas viga

Prévia do material em texto

EES024 - Análise Estrutural II
Aula 04: Análise de uma viga contínua pelo método das
forças
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs)
2o. semestre 2017
Método das forças: análise de uma viga contínua
Sequência da análise pelo método das forças:
• Cálculo do GIE e escolha do Sistema Principal (SP);
• Determinação dos diagramas de esforços internos do caso (0),
correspondentes ao carregamento externo;
• Determinação dos diagramas de esforços internos dos casos (j),
correspondentes aos hiperestáticos Xj = 1;
• Determinação dos termos de carga, δi0;
• Determinação dos coeficientes de flexibilidade, δij ;
• Cálculo dos hiperestáticos, Xj ;
• Determinação das reações de apoio restantes e dos diagramas de
esforços internos da estrutura hiperestática original.
Método das forças: análise de uma viga contínua
Cálculo do GIE e escolha do Sistema Principal
Sequência da análise pelo método das forças:
• Cálculo do GIE e escolha do Sistema Principal (SP);
• Determinação dos diagramas de esforços internos do caso (0),
correspondentes ao carregamento externo;
• Determinação dos diagramas de esforços internos dos casos (j),
correspondentes aos hiperestáticos Xj = 1;
• Determinação dos termos de carga, δi0;
• Determinação dos coeficientes de flexibilidade, δij ;
• Cálculo dos hiperestáticos, Xj ;
• Determinação das reações de apoio restantes e dos diagramas de
esforços internos da estrutura hiperestática original.
Método das forças: análise de uma viga contínua
Cálculo do GIE e escolha do Sistema Principal
Vamos analisar a seguinte viga contínua:
GIE = 5− 3 = 2
Uma possível escolha para o Sistema Principal (SP) seria a eliminação dos
dois vínculos centrais, ou seja,
X1 e X2 → hiperestáticos: forças com sentido positivo convencionado para
cima.
Método das forças: análise de uma viga contínua
Caso (0): diagramas de esforços internos
Sequência da análise pelo método das forças:
• Cálculo do GIE e escolha do Sistema Principal (SP);
• Determinação dos diagramas de esforços internos do caso (0),
correspondentes ao carregamento externo;
• Determinação dos diagramas de esforços internos dos casos (j),
correspondentes aos hiperestáticos Xj = 1;
• Determinação dos termos de carga, δi0;
• Determinação dos coeficientes de flexibilidade, δij ;
• Cálculo dos hiperestáticos, Xj ;
• Determinação das reações de apoio restantes e dos diagramas de
esforços internos da estrutura hiperestática original.
Método das forças: análise de uma viga contínua
Caso (0): diagramas de esforços internos
Termos de carga:
δi0 → deslocamentos associados aos vínculos eliminados, na direção
escolhida para os hiperestáticos, em função da carga externa.
Reações de apoio:
∑
Mz,1 = 0 ⇒ (3l)R2−ql
2
2
= 0 ⇒ R2 = ql
6
,
∑
Fy = 0 ⇒ R1 = 5ql
6
Método das forças: análise de uma viga contínua
Caso (0): diagramas de esforços internos
(a) x < l:
Q(x) =
5ql
6
− qx = q
(
5l
6
− x
)
M(x) =
5ql
6
x− q
2
x2 = q
(
5l
6
x− x
2
2
)
Mmax → dM
dx
= 0 ⇒ Mmax =M(x = 5l/6) = 25
72
ql2
(b) x > l:
Q(x) = −ql
6
M(x) =
ql
6
(3l − x)
Método das forças: análise de uma viga contínua
Caso (0): diagramas de esforços internos
Método das forças: análise de uma viga contínua
Casos (j): diagramas de esforços internos
Sequência da análise pelo método das forças:
• Cálculo do GIE e escolha do Sistema Principal (SP);
• Determinação dos diagramas de esforços internos do caso (0),
correspondentes ao carregamento externo;
• Determinação dos diagramas de esforços internos dos casos (j),
correspondentes aos hiperestáticos Xj = 1;
• Determinação dos termos de carga, δi0;
• Determinação dos coeficientes de flexibilidade, δij ;
• Cálculo dos hiperestáticos, Xj ;
• Determinação das reações de apoio restantes e dos diagramas de
esforços internos da estrutura hiperestática original.
Método das forças: análise de uma viga contínua
Caso (1): diagramas de esforços internos
Reações de apoio:
∑
Mz,1 = 0 ⇒ (3l)R2 + (1 kN)(l) = 0 ⇒ R2 = −1
3
kN
∑
Fy = 0 ⇒ R1 +R2 + (1 kN) = 0 ⇒ R1 = −2
3
kN
Método das forças: análise de uma viga contínua
Caso (1): diagramas de esforços internos
(a) x < l:
Q(x) = −2
3
kN
M(x) = −
(
2
3
kN
)
x
(b) x > l:
Q(x) = +
1
3
kN
M(x) = −
(
1
3
kN
)
(3l − x)
Método das forças: análise de uma viga contínua
Caso (1): diagramas de esforços internos
Método das forças: análise de uma viga contínua
Caso (2): diagramas de esforços internos
Reações de apoio:
∑
Mz,1 = 0 ⇒ (3l)R2 + (1 kN)(2l) = 0 ⇒ R2 = −2
3
kN
∑
Fy = 0 ⇒ R1 +R2 + (1 kN) = 0 ⇒ R1 = −1
3
kN
Método das forças: análise de uma viga contínua
Caso (2): diagramas de esforços internos
(a) x < 2l:
Q(x) = −1
3
kN
M(x) = −
(
1
3
kN
)
x
(b) x > 2l:
Q(x) = +
2
3
kN
M(x) = −
(
2
3
kN
)
(3l − x)
Método das forças: análise de uma viga contínua
Caso (2): diagramas de esforços internos
Método das forças: análise de uma viga contínua
Termos de carga
Sequência da análise pelo método das forças:
• Cálculo do GIE e escolha do Sistema Principal (SP);
• Determinação dos diagramas de esforços internos do caso (0),
correspondentes ao carregamento externo;
• Determinação dos diagramas de esforços internos dos casos (j),
correspondentes aos hiperestáticos Xj = 1;
• Determinação dos termos de carga, δi0;
• Determinação dos coeficientes de flexibilidade, δij ;
• Cálculo dos hiperestáticos, Xj ;
• Determinação das reações de apoio restantes e dos diagramas de
esforços internos da estrutura hiperestática original.
Método das forças: análise de uma viga contínua
Termos de carga
δi0 =
∫
estrut
NiN0
EA
dx
︸ ︷︷ ︸
=0
+
∫
estrut
MiM0
EI
dx+
∫
estrut
χ
QiQ0
GA
dx
︸ ︷︷ ︸
≈0
≈
∫
estrut
MiM0
EI
dx
A expressão do PTV acima é válida para pórticos planos ou vigas.
Neste problema, não há esforço axial e, portanto, a primeira integral é nula.
Já o termo de energia correspondente aos esforços de cisalhamento resulta
em deslocamentos bem inferiores aos associados à flexão e será, desta
forma, desprezado em nossa análise.
Método das forças: análise de uma viga contínua
Termos de carga
(a) δ10:

M0(x) = q
(
5l
6
x− x
2
2
)
(x < l)
M0(x) =
ql
6
(3l − x) (x > l)
M1(x) = −
(
2
3
kN
)
x (x < l)
M1(x) = −
(
1
3
kN
)
(3l − x) (x > l)
δ10 =
1
EI
∫ 3l
0
M1(x)M0(x) dx
=
1
EI
∫ l
0
[
− 2
3
x
][
q
(
5l
6
x− x
2
2
)]
dx+
1
EI
∫ 3l
l
[
− 1
3
(3l − x)
][
ql
6
(3l − x)
]
dx
= −1
4
ql4
EI
Método das forças: análise de uma viga contínua
Termos de carga
• Cálculo utilizando tabela de integração (Tabela 7.1 do livro):
δ10 =
1
EI
[
1
3
(
− 2l
3
)(
ql2
8
)
(l)︸ ︷︷ ︸
I1
+
1
3
(
− 2l
3
)(
ql2
3
)
(l)︸ ︷︷ ︸
I2
+
1
3
(
− 2l
3
)(
ql2
3
)
(2l)︸ ︷︷ ︸
I3
]
=
1
EI
(
− 2
9
ql4
)(
1
8
+
1
3
+
2
3
)
= −1
4
ql4
EI
= −303, 75
EI
Método das forças: análise de uma viga contínua
Termos de carga
Termo I1:
Método das forças: análise de uma viga contínua
Termos de carga
Termo I2:
Método das forças: análise de uma viga contínua
Termos de carga
Termo I3:
Método das forças: análise de uma viga contínua
Termos de carga
(b) δ20:

M0(x) = q
(
5l
6
x− x
2
2
)
(x < l)
M0(x) =
ql
6
(3l − x) (x > l)
M2(x) = −
(
1
3
kN
)
x (x < 2l)
M2(x) = −
(
2
3
kN
)
(3l − x) (x > 2l)
δ20 =
1
EI
∫ 3l0
M2(x)M0(x) dx
=
1
EI
∫ l
0
[
− 1
3
x
][
q
(
5l
6
x− x
2
2
)]
dx+
1
EI
∫ 2l
l
[
− 1
3
x
][
ql
6
(3l − x)
]
dx
+
1
EI
∫ 3l
2l
[
− 2
3
(3l − x)
][
ql
6
(3l − x)
]
dx = − 5
24
ql4
EI
Método das forças: análise de uma viga contínua
Termos de carga
• Cálculo utilizando tabela de integração (Tabela 7.1 do livro):
Método das forças: análise de uma viga contínua
Termos de carga
δ20 =
1
EI
[
1
3
(
− l
3
)(
ql2
8
)
(l) +
1
3
(
− l
3
)(
ql2
3
)
(l)
]
+
1
EI
[
1
3
(
− l
3
)(
ql2
3
)
(l) +
1
6
(
− 2l
3
)(
ql2
3
)
(l)︸ ︷︷ ︸
I4
+
1
6
(
− l
3
)(
ql2
6
)
(l)︸ ︷︷ ︸
I5
+
1
3
(
− 2l
3
)(
ql2
6
)
(l)
]
+
1
EI
[
1
3
(
− 2l
3
)(
ql2
6
)
(l)
]
= − 5
24
ql4
EI
= −253, 125
EI
Método das forças: análise de uma viga contínua
Termos de carga
Termos I4 e I5:
Método das forças: análise de uma viga contínua
Termos de carga
O fato dos termos de carga apresentarem sinais negativos indica que os
deslocamentos ocorrem no sentido oposto ao arbitrado para X1 e X2,
conforme indicado nas figuras abaixo (como era de se esperar).
Método das forças: análise de uma viga contínua
Coeficientes de flexibilidade
Sequência da análise pelo método das forças:
• Cálculo do GIE e escolha do Sistema Principal (SP);
• Determinação dos diagramas de esforços internos do caso (0),
correspondentes ao carregamento externo;
• Determinação dos diagramas de esforços internos dos casos (j),
correspondentes aos hiperestáticos Xj = 1;
• Determinação dos termos de carga, δi0;
• Determinação dos coeficientes de flexibilidade, δij ;
• Cálculo dos hiperestáticos, Xj ;
• Determinação das reações de apoio restantes e dos diagramas de
esforços internos da estrutura hiperestática original.
Método das forças: análise de uma viga contínua
Coeficientes de flexibilidade
δij =
∫
estrut
NiNj
EA
dx
︸ ︷︷ ︸
=0
+
∫
estrut
MiMj
EI
dx+
∫
estrut
χ
QiQj
GA
dx
︸ ︷︷ ︸
≈0
≈
∫
estrut
MiMj
EI
dx
Método das forças: análise de uma viga contínua
Coeficientes de flexibilidade
(a) δ11:

M1(x) = −
(
2
3
kN
)
x (x < l)
M1(x) = −
(
1
3
kN
)
(3l − x) (x > l)
δ11 =
1
EI
∫ 3l
0
M1(x)M1(x) dx
=
1
EI
∫ l
0
[
− 2
3
x
]2
dx+
1
EI
∫ 3l
l
[
− 1
3
(3l − x)
]2
dx
=
1
EI
(
4
9
)∫ l
0
x2 dx+
1
EI
(
1
9
)∫ 3l
l
(9l2 − 6lx+ x2) dx
=
1
EI
(
4
9
)[
x3
3
]l
0
+
1
EI
(
1
9
)[
9l2x− 3lx2 + x
3
3
]3l
l
=
1
EI
(
4
9
)(
l3
3
)
+
1
EI
(
1
9
)(
3l3 − l
3
3
)
=
4
9
l3
EI
=
12
EI
Método das forças: análise de uma viga contínua
Coeficientes de flexibilidade
• Cálculo utilizando tabela de integração (Tabela 7.1 do livro):
⇒ δ11 = 1
EI
[
1
3
(
− 2l
3
)(
− 2l
3
)
(l) +
1
3
(
− 2l
3
)(
− 2l
3
)
(2l)
]
=
4
9
l3
EI
=
12
EI
Método das forças: análise de uma viga contínua
Coeficientes de flexibilidade
(b) δ22:

M2(x) = −
(
1
3
kN
)
x (x < 2l)
M2(x) = −
(
2
3
kN
)
(3l − x) (x > 2l)
δ22 =
1
EI
∫ 3l
0
M2(x)M2(x) dx
=
1
EI
∫ 2l
0
[
− 1
3
x
]2
dx+
1
EI
∫ 3l
2l
[
− 2
3
(3l − x)
]2
dx
=
1
EI
(
1
9
)∫ 2l
0
x2 dx+
1
EI
(
4
9
)∫ 3l
2l
(9l2 − 6lx+ x2) dx
=
1
EI
(
1
9
)[
x3
3
]2l
0
+
1
EI
(
4
9
)[
9l2x− 3lx2 + x
3
3
]3l
2l
=
1
EI
[
8
27
l3 +
(
4
9
)(
3l3 − 8l
3
3
)]
=
4
9
l3
EI
=
12
EI
Método das forças: análise de uma viga contínua
Coeficientes de flexibilidade
• Cálculo utilizando tabela de integração (Tabela 7.1 do livro):
⇒ δ22 = 1
EI
[
1
3
(
− 2l
3
)(
− 2l
3
)
(2l) +
1
3
(
− 2l
3
)(
− 2l
3
)
(l)
]
=
4
9
l3
EI
=
12
EI
Método das forças: análise de uma viga contínua
Coeficientes de flexibilidade
(c) δ12 = δ21:

M1(x) = −
(
2
3
kN
)
x (x < l)
M1(x) = −
(
1
3
kN
)
(3l − x) (x > l)

M2(x) = −
(
1
3
kN
)
x (x < 2l)
M2(x) = −
(
2
3
kN
)
(3l − x) (x > 2l)
δ12 = δ21 =
1
EI
∫ 3l
0
M1(x)M2(x) dx
=
1
EI
∫ l
0
[
− 2
3
x
][
− 1
3
x
]
dx+
1
EI
∫ 2l
l
[
− 1
3
(3l − x)
][
− 1
3
x
]
dx
+
1
EI
∫ 3l
2l
[
− 1
3
(3l − x)
][
− 2
3
(3l − x)
]
dx =
7
18
l3
EI
Método das forças: análise de uma viga contínua
Coeficientes de flexibilidade
• Cálculo utilizando tabela de integração (Tabela 7.1 do livro):
Método das forças: análise de uma viga contínua
Coeficientes de flexibilidade
δ12 = δ21 =
1
EI
[
1
3
(
− l
3
)(
− 2l
3
)
(l)
]
+
1
EI
[
1
3
(
− 2l
3
)(
− l
3
)
(l) +
1
6
(
− 2l
3
)(
− 2l
3
)
(l)
+
1
6
(
− l
3
)(
− l
3
)
(l) +
1
3
(
− l
3
)(
− 2l
3
)
(l)
]
+
1
EI
[
1
3
(
− 2l
3
)(
− l
3
)
(l)
]
=
7
18
l3
EI
=
10, 5
EI
Método das forças: análise de uma viga contínua
Cálculo dos hiperestáticos
Sequência da análise pelo método das forças:
• Cálculo do GIE e escolha do Sistema Principal (SP);
• Determinação dos diagramas de esforços internos do caso (0),
correspondentes ao carregamento externo;
• Determinação dos diagramas de esforços internos dos casos (j),
correspondentes aos hiperestáticos Xj = 1;
• Determinação dos termos de carga, δi0;
• Determinação dos coeficientes de flexibilidade, δij ;
• Cálculo dos hiperestáticos, Xj ;
• Determinação das reações de apoio restantes e dos diagramas de
esforços internos da estrutura hiperestática original.
Método das forças: análise de uma viga contínua
Cálculo dos hiperestáticos
Obtidos os termos de carga e os coeficientes de flexibilidade, pode-se
montar o sistema para cálculo dos hiperestáticos:
{δ0}+
[
δ
]{X} = {0} ⇒ [δ11 δ12
δ21 δ22
]{
X1
X2
}
=
{−δ10
−δ20
}
1
��EI
 12 10, 5
10, 5 12

X1
X2
 = 1��EI

303, 750
253, 125

∴ X1 = 29, 25 kN, X2 = −4, 50 kN
Portanto:
Método das forças: análise de uma viga contínua
Determinação das demais reações de apoio e esforços internos
Sequência da análise pelo método das forças:
• Cálculo do GIE e escolha do Sistema Principal (SP);
• Determinação dos diagramas de esforços internos do caso (0),
correspondentes ao carregamento externo;
• Determinação dos diagramas de esforços internos dos casos (j),
correspondentes aos hiperestáticos Xj = 1;
• Determinação dos termos de carga, δi0;
• Determinação dos coeficientes de flexibilidade, δij ;
• Cálculo dos hiperestáticos, Xj ;
• Determinação das reações de apoio restantes e dos diagramas de
esforços internos da estrutura hiperestática original.
Método das forças: análise de uma viga contínua
Determinação das demais reações de apoio e esforços internos
Reações de apoio:
∑
Mz,2 = 0⇒ (4, 5 kN)(3 m)−(29, 25 kN)(6 m)+(45 kN)(7, 5 m)−(9 m)R1 = 0
∴ R1 = +19, 5 kN
∑
Fy = 0⇒ (19, 5 kN)− (45 kN) + (29, 25 kN)− (4, 5 kN) +R2 = 0
∴ R2 = +0, 75 kN
Método das forças: análise de uma viga contínua
Determinação das demais reações de apoio e esforços internos
Diagramas d esforços internos:
(a) x < l:
Q(x) = (19, 5 kN)− (15 kN/m)x
M(x) = (19, 5 kN)x− (7, 5 kN/m)x2Mmax → dM
dx
= 0 ⇒ Mmax =M(x = 1, 3 m) = 12, 675 kN ·m
(b) x > 2l:
Q(x) = −0, 75 kN
M(x) = (6, 75 kN ·m)− (0, 75 kN)x
Método das forças: análise de uma viga contínua
Determinação das demais reações de apoio e esforços internos
Diagramas d esforços internos:
(c) l < x < 2l:
Q(x) = (4, 5 kN)− (0, 75 kN) = +3, 75 kN
M(x) = (0, 75 kN)(3l − x)− (4, 5 kN)[3l − x− (3 m)]
= −(20, 25 kN ·m) + (3, 75 kN)x
Método das forças: análise de uma viga contínua
Determinação das demais reações de apoio e esforços internos
Método das forças: análise de uma viga contínua
Determinação das demais reações de apoio e esforços internos
Como já foi visto, uma outra maneira de obter os diagramas anteriores (e as
rotações de apoio) seria através da superposição dos efeitos dos casos
básicos, ponderados pelos valores obtidos para os hiperestáticos
correspondentes, i.e.,
Reações:
R = R0 +
∑
j
RjXj
Diagramas:
Q(x) = Q0(x) +
∑
j
Qj(x)Xj = Q0(x) +Q1(x)X1 +Q2(x)X2
M(x) =M0(x) +
∑
j
Mj(x)Xj =M0(x) +M1(x)X1 +M2(x)X2
Sistemas Principais alternativos
No exemplo abordado acima, foram eliminados dois vínculos externos
(deslocamentos verticais de dois nós) e os hiperestáticos correspondentes
foram reações de apoio verticais, enquanto que os termos de carga e os
coeficientes de flexibilidade foram deslocamentos absolutos.
Dada uma estrutura hiperestática, existem, no entanto, diversas maneiras de
se definir o SP.
Uma alternativa à "quebra" de vínculos externos, seria a eliminação de
vínculos de continuidade interna. Neste caso, os hiperestáticos seriam
esforços internos na seção escolhida e os termos de carga e coeficientes
de flexibilidade seriam deslocamentos relativos.
Como exemplo, vamos assumir o seguinte sistema principal:
Sistemas Principais alternativos
Deve-se notar que, neste caso, os vínculos eliminados foram as
continuidades da rotação da viga nos apoios internos e os hiperestáticos, a
serem calculados, são momentos fletores que reestabeleçam uma inclinação
contínua da linha elástica.
O procedimento de cálculo é o mesmo, conforme resumido a seguir.
Sistemas Principais alternativos
Caso (0): diagramas de momentos fletores
Sistemas Principais alternativos
Caso (1): diagramas de momentos fletores
Sistemas Principais alternativos
Caso (2): diagramas de momentos fletores
Sistemas Principais alternativos
Termos de carga
⇒ δ10 = 1
EI
[
1
3
(
ql2
8
)
(−1)(l)
]
= − ql
3
24EI
= −16, 875
EI
δ20 = 0
Sistemas Principais alternativos
Coeficientes de flexibilidade
⇒ δ11 = 1
EI
[
1
3
(−1)2(l) + 1
3
(−1)2(l)
]
=
2
3
l
EI
=
2
EI
⇒ δ22 = 1
EI
[
1
6
(−1)(−1)(l)
]
=
1
6
l
EI
=
1
2EI
⇒ δ22 = 1
EI
[
1
3
(−1)2(l) + 1
3
(−1)2(l)
]
=
2
3
l
EI
=
2
EI
Método das forças: análise de uma viga contínua
Cálculo dos hiperestáticos
{δ0}+
[
δ
]{X} = {0} ⇒ [δ11 δ12
δ21 δ22
]{
X1
X2
}
=
{−δ10
−δ20
}
1
��EI
 2 1/2
1/2 2

X1
X2
 = 1��EI

16, 875
0

∴ X1 = 9 kN ·m, X2 = −2.25 kN kN ·m
Observa-se que que estes valores correspondem aos momentos fletores
obtidos nestes pontos para a estrutura hiperestática original, como esperado.
Leitura recomendada
• Livro Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando
Martha, 2a. ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2017:
Capítulo 8 (seção 8.4)
	Método das forças: análise de uma viga contínua
	Cálculo do GIE e escolha do Sistema Principal
	Caso (0): diagramas de esforços internos
	Casos (j): diagramas de esforços internos
	Termos de carga
	Coeficientes de flexibilidade
	Cálculo dos hiperestáticos
	Determinação das demais reações de apoio e esforços internos
	Sistemas Principais alternativos
	Caso (0): diagramas de momentos fletores
	Caso (1): diagramas de momentos fletores
	Caso (2): diagramas de momentos fletores
	Termos de carga
	Coeficientes de flexibilidade
	Cálculo dos hiperestáticos
	Leitura recomendada