EES024 Aula18e19 MetodoDaRigidezDireta

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EES024 - Análise Estrutural II
Aulas 18 e 19: Método da rigidez direta
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs)
2o. semestre 2017
Introdução
O método da rigidez direta é uma formulação sistematizada (e, portanto, ad-
equada à programação computacional) do método dos deslocamentos. Pode
também ser entendido como uma particularização do método dos elementos
finitos para estruturas reticuladas.
Desta forma, os parâmetros de discretização são as componentes de deslo-
camentos e rotações (graus de liberdade) nos nós.
Os nós são as extremidades dos elementos de barra e podem ser introduzi-
dos no modelo discreto da estrutura de acordo com a necessidade do anal-
ista. Em geral, eles são posicionados nos pontos de encontro de barras, nos
apoios, na extremidade de uma barra em balanço e em pontos com cargas
concentradas.
As soluções fundamentais de barras isoladas fornecem os coeficientes da
matriz de rigidez e do carregamento nodal necessários à montagem do
sistema de equações.
Particularmente, os carregamentos internos num elemento de barra devem
ser transferidos aos nós, dando origem às chamadas cargas nodais equiv-
alentes. Isso pode ser feito através das reações de apoio de barras bi-
engastadas com sinais opostos, como ilustrado a seguir.
Introdução
A estrutura foi discretizada em 5 elementos de barra e 6 nós (caso II) e a
carga distribuída no elemento central foi transferida aos seus nós como car-
gas nodais equivalentes.
É importante observar que, após a solução do caso II (que é o resultado do
método da rigidez direta), a deformada do elemento central e, portanto seus
esforços internos, devem ser calculados superpondo os casos I e II.
Introdução
Lembrando o que foi estudado nas Aulas 9 a 11 (capítulo 9 do livro texto):
Relação entre deslocamentos e forças nas extremidades da barra no sis-
tema local (x′, y′):
{f ′} = [k′]{d′} (1)
{d′} → vetor de deslocabilidades no sistema local da barra;
{f ′} → vetor de forças generalizadas nas extremidades da barra no seu sis-
tema local;
{k′} → matriz de rigidez da barra no seu sistema local.
Introdução
Barra sem articulação:
[k′] =

EA/l 0 0 −EA/l 0 0
0 12EI/l3 6EI/l2 0 −12EI/l3 6EI/l2
0 6EI/l2 4EI/l 0 −6EI/l2 2EI/l
−EA/l 0 0 EA/l 0 0
0 −12EI/l3 −6EI/l2 0 12EI/l3 −6EI/l2
0 6EI/l2 2EI/l 0 −6EI/l2 4EI/l

Barra com articulação na extremidade inicial:
[k′] =

EA/l 0 0 −EA/l 0 0
0 3EI/l3 0 0 −3EI/l3 3EI/l2
0 0 0 0 0 0
−EA/l 0 0 EA/l 0 0
0 −3EI/l3 0 0 3EI/l3 −3EI/l2
0 3EI/l2 0 0 −3EI/l2 −3EI/l

Barra com articulação na extremidade final:
[k′] =

EA/l 0 0 −EA/l 0 0
0 3EI/l3 3EI/l2 0 −3EI/l3 0
0 3EI/l2 3EI/l 0 −3EI/l2 0
−EA/l 0 0 EA/l 0 0
0 −3EI/l3 −3EI/l2 0 3EI/l3 0
0 0 0 0 0 0

Introdução
Para a montagem da matriz de rigidez global da estrutura, é necessário que
a Eq. (1) seja redefinida nas coordenadas globais, i.e.,
Relação entre deslocamentos e forças nas extremidades da barra no sis-
tema global (x, y):
{f} = [k]{d} (2)
{d} → vetor de deslocabilidades da barra no sistema global;
{f} → vetor de forças generalizadas nas extremidades da barra no sistema
global;
{k} → matriz de rigidez da barra no sistema global.
Introdução
Na sequência, vamos dividir a formulação do método da rigidez direta nos
seguintes itens:
• Matriz de rigidez de uma barra no sistema global;
• Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global;
• Montagem da matriz de rigidez global do modelo;
• Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo;
• Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade
desconhecidos;
• Cálculo das reações de apoio;
• Cálculo dos esforços internos.
Método da rigidez direta
Matriz de rigidez de uma barra no sistema global
• Matriz de rigidez de uma barra no sistema global;
• Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global;
• Montagem da matriz de rigidez global do modelo;
• Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo;
• Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade
desconhecidos;
• Cálculo das reações de apoio;
• Cálculo dos esforços internos.
Método da rigidez direta
Matriz de rigidez de uma barra no sistema global
Deslocamentos e forças generalizados são grandezas vetoriais que podem
ser escritas em diferentes sistemas de coordenadas a partir de operadores
de transformação. Por exemplo, num plano, pode-se definir uma rotação em
torno do eixo z e escrever o operador em questão numa forma matricial:
d′1 = d1 cosθ + d2 senθ, d
′
2 = −d1 senθ + d2 cosθ
⇒
{
d′1
d′2
}
=
[
cosθ senθ
− senθ cosθ
]{
d1
d2
}
Método da rigidez direta
Matriz de rigidez de uma barra no sistema global
Como a rotação é efetuada em torno
do eixo z, as deslocabilidades d3 e d6
permaneceriam inalteradas, de forma
que pode-se concluir que:
{d′} = [R]{d} (3)

d′1
d′2
d′3
d′4
d′5
d′6

=

cosθ senθ 0 0 0 0
− senθ cosθ 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cosθ senθ 0
0 0 0 − senθ cosθ 0
0 0 0 0 0 1

︸ ︷︷ ︸
[R]→ matriz de rotação

d1
d2
d3
d4
d5
d6

Analogamente,
{f ′} = [R]{f} (4)
Método da rigidez direta
Matriz de rigidez de uma barra no sistema global
Quando a transformação se refere apenas a uma rotação, estes operadores
são ortogonais, o que significa dizer que, na sua forma matricial, a inversa
equivale à transposta, i.e.,
[R]−1 = [R]T
Assim, as Eqs. (3) e (4) podem ser reescritas nas seguintes formas:
[R]−1{d′} = [R]−1[R]︸ ︷︷ ︸
[I]
{d} = {d} ⇒ {d} = [R]T {d′} (5)
{f} = [R]T {f ′} (6)
Ainda, aplicando as Eqs. (3) e (4) à (1) e pré-multiplicando ambos os lados
por [R]T :
[R]{f} = [k′][R]{d} ⇒ [R]T [R]︸ ︷︷ ︸
[I]
{f} = [R]T [k′][R]{d} ⇒ {f} = [R]T [k′][R]{d}
cuja comparação com a Eq. (2) permite concluir que:
[k] = [R]T [k′][R] (7)
Método da rigidez direta
Matriz de rigidez de uma barra no sistema global
Deve-se salientar ainda, que a matriz de rotação de uma barra pode ser com-
pletamente definida por suas coordenadas nodais no sistema global.
cosθ =
xj − xi
l
(8) senθ =
yj − yi
l
(9)
onde:
l =
√
(xj − xi)2 + (yj − yi)2 (10)
Método da rigidez direta
Vetor de forças generalizadas de uma barra no sistema global
• Matriz de rigidez de uma barra no sistema global;
• Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global;
• Montagem da matriz de rigidez global do modelo;
• Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo;
• Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade
desconhecidos;
• Cálculo das reações de apoio;
• Cálculo dos esforços internos.
Método da rigidez direta
Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global
Como já foi dito, as forças que atuam no interior de um elemento de barra
devem ser transferidas aos seus nós, gerando o chamado vetor de forças
nodais equivalentes, {feq}.
Estas forças nodais equivalentes correspondem às reações de extremidade
de uma barra bi-engastada, porém, com sinais trocados.
Tais reações foram obtidas anteriormente no sistema local da barra, sendo
designadas por fˆ ′k.
Desta forma, a Eq. (6) deve ainda ser
aplicada, i.e.,
{f ′eq} = −{fˆ ′} ⇒ {feq} = −[R]T {fˆ ′}
(11)
As cargas concentradas podem ser consideradas no interior de um elemento
de barra e tratadas da mesma forma que as cargas distribuídas, i.e., com-
pondo o vetor {feq}.
Entretanto, é mais prático considerar um nó do modelo discreto onde tais
solicitações ocorrem.
Método da rigidez direta
Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K]
• Matriz de rigidez de uma barra no sistema global;
• Vetor de forças nodais equivalentesde uma barra no sistema global;
• Montagem da matriz de rigidez global do modelo;
• Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo;
• Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade
desconhecidos;
• Cálculo das reações de apoio;
• Cálculo dos esforços internos.
Método da rigidez direta
Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K]
Obtidas as matrizes de rigidez de todas as barras no sistema global, [k],
basta somar os coeficientes que correspondem a um mesmo grau de liber-
dade (GL).
Para tanto, deve-se numerar os GL da estrutura completa. Vamos, então,
admitir o seguinte exemplo ilustrativo:
onde adotaremos a seguinte discretização:
Elemento de barra 1→ barra AB
Elemento de barra 2→ barra BC
Método da rigidez direta
Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K]
Discretização e numeração dos GL:
Matrizes de rigidez nos sistemas locais:
[k′1] =
1k′11 0 0
1k′14 0 0
0 1k′22
1k′23 0
1k′25
1k′26
0 1k′32
1k′33 0
1k′35
1k′36
1k′41 0 0
1k′44 0 0
0 1k′52
1k′53 0
1k′55
1k′56
0 1k′62
1k′63 0
1k′65
1k′66

[k′2] =
2k′11 0 0
2k′14 0 0
0 2k′22
2k′23 0
2k′25
2k′26
0 2k′32
2k′33 0
2k′35
2k′36
2k′41 0 0
2k′44 0 0
0 2k′52
2k′53 0
2k′55
2k′56
0 2k′62
2k′63 0
2k′65
2k′66

Método da rigidez direta
Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K]
Matrizes de rotação:
Barra 1:
cosθ =
lAB
lAB
= 1
senθ =
0
lAB
= 0
[R1] = [I] =
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1

[R2] =
cosθ senθ 0 0 0 0
− senθ cosθ 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cosθ senθ 0
0 0 0 − senθ cosθ 0
0 0 0 0 0 1

Método da rigidez direta
Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K]
Matrizes de rigidez das barras no sistema global:
[k1] = [I][k
′
1][I] = [k
′
1] =

1 2 3 4 5 6
1k11 0 0
1k14 0 0
0 1k22
1k23 0
1k25
1k26
0 1k32
1k33 0
1k35
1k36
1k41 0 0
1k44 0 0
0 1k52
1k53 0
1k55
1k56
0 1k62
1k63 0
1k65
1k66

| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
Observar que os índices das linhas e colunas correspondem aos GL do mod-
elo, conforme numeração adotada.
Método da rigidez direta
Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K]
Matrizes de rigidez das barras no sistema global:
[k2] = [R2]
T [k′2][R2] =

4 5 6 7 8 9
2k11
2k12
2k13
2k14
2k15
2k16
2k21
2k22
2k23
2k24
2k25
2k26
2k31
2k32
2k33
2k34
2k35
2k36
2k41
2k42
2k43
2k44
2k45
2k46
2k51
2k52
2k53
2k54
2k55
2k56
2k61
2k62
2k63
2k64
2k65
2k66

| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
Método da rigidez direta
Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K]
Matrizes de rigidez global do modelo:
[K] =

1 2 3 4 5 6 7 8 9
1k11 0 0
1k14 0 0 0 0 0
0 1k22
1k23 0
1k25
1k26 0 0 0
0 1k32
1k33 0
1k35
1k36 0 0 0
1k41 0 0
1k44+
2k11 0+
2k12 0+
2k13
2k14
2k15
2k16
0 1k52
1k53 0+
2k21
1k55+
2k22
1k56+
2k23
2k24
2k25
2k26
0 1k62
1k63 0+
2k31
1k65+
2k32
1k66+
2k33
2k34
2k35
2k36
0 0 0 2k41
2k42
2k43
2k44
2k45
2k46
0 0 0 2k51
2k52
2k53
2k54
2k55
2k56
0 0 0 2k61
2k62
2k63
2k64
2k65
2k66

| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
Método da rigidez direta
Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo: {F}
• Matriz de rigidez de uma barra no sistema global;
• Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global;
• Montagem da matriz de rigidez global do modelo;
• Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo;
• Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade
desconhecidos;
• Cálculo das reações de apoio;
• Cálculo dos esforços internos.
Método da rigidez direta
Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo: {F}
A contribuição dos vetores de cargas nodais equivalentes das barras, {feq},
para o vetor de forças do modelo, {F}, segue um procedimento análogo ao
da matriz de rigidez.
Vamos apresenta-lo seguindo o mesmo exemplo:
Método da rigidez direta
Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo: {F}
Vetores de forças equivalentes de cada barra nos sistemas locais:
{f ′eq,1} =

0
−ql/2
−ql2/12
0
−ql/2
ql2/12

=

0
f ′eq,12
f ′eq,13
0
f ′eq,15
f ′eq,16

{f ′eq,2} =

0
0
0
0
0
0

Observe que apenas as cargas no interior dos elementos de barra contribuem
para {f ′eq}. As cargas concentradas nos nós são incluídas posteriormente.
Método da rigidez direta
Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo: {F}
Vetores de forças equivalentes de cada barra no sistema global:
{feq,1} = [R1]T︸ ︷︷ ︸
=[I]
{f ′eq,1} = {f ′eq,1} =
{1 2 3 4 5 6
0 feq,12 f
eq,1
3 0 f
eq,1
5 f
eq,1
6
}
T
{feq,2} = [R2]T {f ′eq,2} =
{4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0
} T
Contribuição das forças nodais equivalentes para {F}:
{Feq}T =
{1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 feq,12 f
eq,1
3 0+0 f
eq,1
5 +0 f
eq,1
6 +0 0 0 0
}
Método da rigidez direta
Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo: {F}
Ainda falta introduzir as demais cargas externas que atuam na estrutura, i.e.,
as cargas concentradas diretamente nos nós, {Fn}, e as reações de apoio,
{Fr}. Assim:
{F} = {Feq}+ {Fn}+ {Fr} (12)
As componentes das forças generalizadas no sistema global são introduzidas
diretamente no vetor {Fn}.
Já o vetor das reações de apoio apresentará valor nulo para coeficientes cor-
respondentes aos graus de liberdade livres e valores desconhecidos onde
houverem restrições.
Neste segundo caso, os deslocamentos generalizados são conhecidos (nulos
ou não) e a partição do sistema de rigidez, a ser detalhada adiante, permite
a solução para os graus de liberdade incógnitos.
As reações são calculadas numa etapa posterior.
Método da rigidez direta
Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo: {F}
Aplicando a Eq. (12):
{F} =

0
feq,12
feq,13
0+0
feq,15 +0−100
feq,16 +0−100
0
0
0

| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
+

HA
VA
MA
0
0
0
HC
VC
MC

| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
=

0 +HA
F2 + VA
F3 +MA
0
F5
F6
0 +HC
0 + VC
0 +MC

| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
onde Fk são valores conhecidos e HA, ..., MC são desconhecidos.
Método da rigidez direta
Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos
• Matriz de rigidez de uma barra no sistema global;
• Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global;
• Montagem da matriz de rigidez global do modelo;
• Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo;
• Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade
desconhecidos;
• Cálculo das reações de apoio;
• Cálculo dos esforços internos.
Método da rigidez direta
Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos
Após a montagem de [K] e {F}, ficamos com o seguinte sistema:
K11 0 0 K14 0 0 0 0 0
0 K22 K23 0 K25 K26 0 0 0
0 K32 K33 0 K35 K36 0 0 0
K41 0 0 K44 K45 K46 K47 K48 K49
0 K52 K53 K54 K55 K56 K57 K58 K59
0 K62 K63 K64 K65 K66 K67 K68 K69
0 0 0 K74 K75 K76 K77 K78 K79
0 0 0 K84 K85 K86 K87 K88 K89
0 0 0 K94 K95 K96 K97 K98 K99

︸ ︷︷ ︸
[K]

0
00
D4
D5
D6
0
0
0
︸ ︷︷ ︸
{D}
=

HA
F2 + VA
F3 +MA
0
F5
F6
HC
VC
MC
︸ ︷︷ ︸
{F}
Método da rigidez direta
Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos
Este sistema pode ser reorganizado da seguinte maneira:
K11 0 0 K14 0 0 0 0 0
0 K22 K23 0 K25 K26 0 0 0
0 K32 K33 0 K35 K36 0 0 0
K41 0 0 K44 K45 K46 K47 K48 K49
0 K52 K53 K54 K55 K56 K57 K58 K59
0 K62 K63 K64 K65 K66 K67 K68 K69
0 0 0 K74 K75 K76 K77 K78 K79
0 0 0 K84 K85 K86 K87 K88 K89
0 0 0 K94 K95 K96 K97 K98 K99


0
0
0
D4
D5
D6
0
0
0

=

HA
F2 + VA
F3 +MA
0
F5
F6
HC
VC
MC

⇒
[K˜1] [K˜2] [K˜3][K˜4] [K˜5] [K˜6]
[K˜7] [K˜8] [K˜9]

{D˜1}
{D˜2}
{D˜3}
 =

{F˜1}
{F˜2}
{F˜3}
 ou

[K˜1]{D˜1}+ [K˜2]{D˜2}+ [K˜3]{D˜3} = {F˜1}
[K˜4]{D˜1}+ [K˜5]{D˜2}+ [K˜6]{D˜3} = {F˜2}
[K˜7]{D˜1}+ [K˜8]{D˜2}+ [K˜9]{D˜3} = {F˜3}
⇒

[K˜2]{D˜2}+ [K˜1]{D˜1}+ [K˜3]{D˜3} = {F˜1}
[K˜5]{D˜2}+ [K˜4]{D˜1}+ [K˜6]{D˜3} = {F˜2}
[K˜8]{D˜2}+ [K˜7]{D˜1}+ [K˜9]{D˜3} = {F˜3}
⇒

[K˜5]{D˜2}+ [K˜4]{D˜1}+ [K˜6]{D˜3} = {F˜2}
[K˜2]{D˜2}+ [K˜1]{D˜1}+ [K˜3]{D˜3} = {F˜1}
[K˜8]{D˜2}+ [K˜7]{D˜1}+ [K˜9]{D˜3} = {F˜3}
⇒
[K˜5] [K˜4] [K˜6][K˜2] [K˜1] [K˜3]
[K˜8] [K˜7] [K˜9]

{D˜2}
{D˜1}
{D˜3}
 =

{F˜2}
{F˜1}
{F˜3}

Método da rigidez direta
Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos
ou seja:
K44 K45 K46 K41 0 0 K47 K48 K49
K54 K55 K56 0 K52 K53 K57 K58 K59
K64 K65 K66 0 K62 K63 K67 K68 K69
K14 0 0 K11 0 0 0 0 0
0 K25 K26 0 K22 K23 0 0 0
0 K35 K36 0 K32 K33 0 0 0
K74 K75 K76 0 0 0 K77 K78 K79
K84 K85 K86 0 0 0 K87 K88 K89
K94 K95 K96 0 0 0 K97 K98 K99


D4
D5
D6
0
0
0
0
0
0

=

0
F5
F6
HA
F2 + VA
F3 +MA
HC
VC
MC

Daí:
K44 K45 K46K54 K55 K56
K64 K65 K66
D4D5
D6
 =
 0F5
F6
−
K41 0 0 K47 K48 K490 K52 K53 K57 K58 K59
0 K62 K63 K67 K68 K69


0
0
0
0
0
0

donde pode-se calcular D4, D5 e D6.
Método da rigidez direta
Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos
Generalizando essa ideia de partição do sistema de rigidez:[
[Kll] [Klf ]
[Kfl] [Kff ]
]{ {Dl}
{Df}
}
=
{ {Fl}
{Ff}
}
(13)
onde o sub-índice l está associado aos graus de liberdade livres e o sub-
índice f , aos graus de liberdade fixos (não necessariamente nulos, como no
caso dos recalques de apoio).
Convém destacar que esta configuração do sistema seria automaticamente
satisfeita se os graus de liberdade livres fossem (todos) numerados anterior-
mente aos fixos.
A solução para os deslocamentos generalizados desconhecidos seria obtida
resolvendo:
[Kll]{Dl} = {Fl} − [Klf ]{Df} (14)
Método da rigidez direta
Cálculo das reações de apoio
• Matriz de rigidez de uma barra no sistema global;
• Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global;
• Montagem da matriz de rigidez global do modelo;
• Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo;
• Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade
desconhecidos;
• Cálculo das reações de apoio;
• Cálculo dos esforços internos.
Método da rigidez direta
Cálculo das reações de apoio
Acabamos de ver que a solução para os deslocamentos generalizados de-
sconhecidos é dada por:[
[Kll] [Klf ]
[Kfl] [Kff ]
]{ {Dl}
{Df}
}
=
{ {Fl}
{Ff}
}
⇒ [Kll]{Dl} = {Fl} − [Klf ]{Df}
Uma vez resolvida esta última equação para {Dl}, as reações de apoio po-
dem ser calculadas da seguinte forma:
{Ff} = [Kfl]{Dl}+ [Kff ]{Df} (15)
Entretanto, deve-se atentar ao fato de que o vetor {Ff} pode conter parce-
las referentes a cargas nodais equivalentes e/ou referentes a cargas concen-
tradas. Tais parcelas precisam ser subtraídas para a correta apuração das
reações de apoio. No exemplo que vínhamos abordando:
HA
VA
MA
HC
VC
MC

=

K14 0 0
0 K25 K26
0 K35 K36
K74 K75 K76
K84 K85 K86
K94 K95 K96

D4D5
D6
+

K11 0 K0 0 0 0
0 K22 K23 0 0 0
0 K32 K33 0 0 0
0 0 0 K77 K78 K79
0 0 0 K87 K88 K89
0 0 0 K97 K98 K99


0
0
0
0
0
0

−

0
F2
F3
0
0
0

Método da rigidez direta
Cálculo dos esforços internos
• Matriz de rigidez de uma barra no sistema global;
• Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global;
• Montagem da matriz de rigidez global do modelo;
• Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo;
• Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade
desconhecidos;
• Cálculo das reações de apoio;
• Cálculo dos esforços internos.
Método da rigidez direta
Cálculo dos esforços internos
Nos programas de análise estrutural baseados no método da rigidez direta,
os traçados dos diagramas de esforços internos são obtidos a partir dos seus
valores extremos em cada elemento de barra.
Assim sendo, devemos atentar para dois pontos fundamentais.
O primeiro deles está associado ao fato dos diagramas serem referenciados
ao sistema local das barras, de forma que a Eq. (1) seria a mais apropriada
para obtenção destes valores extremos. Entretanto, os deslocamentos gener-
alizados foram calculados no sistema global, de forma que a Eq. (3) também
deve ser levada em conta. Desta forma:
{f ′} = [k′]{d′} = [k′][R]{d}
O segundo ponto já foi abordado no início destas notas de aula (ver figura na
próxima página) e refere-se ao fato das cargas internas ao elemento terem
sido transferidas aos nós e aplicadas de forma concentrada, o que não ocorre
de fato. Na sobreposição dos casos I e II, estas cargas nodais equivalentes
seriam anuladas pelas reações de engastamento. Assim, os esforços de ex-
tremidade, {fe}, seriam dados, finalmente, por:
{fe} = {f ′} − {f ′eq} = [k′][R]{d} − {f ′eq} (16)
Método da rigidez direta
Cálculo dos esforços internos
Leitura recomendada
• Livro Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando
Martha, 2a. ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2017:
Capítulo 13
	Introdução
	Matriz de rigidez de uma barra no sistema global
	Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global
	Montagem da matriz de rigidez global do modelo
	Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo
	Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos
	Cálculo das reações de apoio
	Cálculo dos esforços internos
	Leitura recomendada