2 PROBABILIDADE

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA
 INSTITUTO CIBERESPACIAL
NOTAS DE AULAS DE
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
LUCIANA MARIA DE OLIVEIRA
luciana_oliveira658@hotmail.com
BELÉM/PA
Ago/2014
2 PROBABILIDADES
	2.1 Conceitos de Probabilidade e Independência
	2.2 Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas
	2.3 Distribuições Discretas (Binomial, Hipergeométrica e Poisson)
	2.4 Distribuições Contínuas (Uniforme, Normal e Exponencial) 
2 PROBABILIDADES
Introdução
A principal preocupação da estatística é tirar conclusões acerca dos parâmetros populacionais, baseando-se nos resultados observados em uma amostra. Quando a amostra é selecionada aleatoriamente não podemos determinar, ou prever a priori, os resultados (experimento aleatório). Contudo, podemos construir modelos probabilísticos que permitem calcular as chances de ocorrência dos possíveis resultados, através da teoria de probabilidades.
2.1 CONCEITOS DE PROBABILIDADE E INDEPENDÊNCIA
Experimentos aleatórios e determinísticos.
 	Podemos distinguir dois tipos de experimentos. Observe as seguintes situações:
E.1) Experimentos do tipo 1:
i) Uma injeção contendo uma substância letal, altamente eficaz, que tem efeito em apenas 10 minutos, é aplicada em 10 cobaias. Após duas horas, o número de sobreviventes é contado.
ii) Um recipiente com água é colocado para ferver, na cidade de Santos (ao nível do mar). A temperatura de ebulição da água é registrada.
E. 2) Experimentos do tipo 2:
i) Jogar uma moeda e observar a face voltada para cima.
ii) Medir o tempo de sobrevida de um paciente com câncer, após aplicação de quimioterapia.
	Podemos dizer que nos experimentos do tipo I, os resultados são conhecidos à priori, ou seja, antes de se realizar o experimento. Assim, fatalmente não haverá sobreviventes no primeiro exemplo, assim, como se sabe que água ferve a 100º C, ao nível do mar. Esses experimentos são chamados de determinísticos e não são de interesse do ponto de vista da probabilidade. Já os experimentos do tipo 2, são chamados aleatórios e, por mais que nos esforcemos em prever o resultado, ele só e determinado após a realização do experimento. Portanto, os experimentos aleatórios são aqueles que repetidos sob as mesmas condições podem, levar a resultados distintos. Estes sim são objeto de interesse da Teoria da Probabilidade.
b) Espaço Amostral e eventos
 Embora nos experimentos aleatórios não seja possível identificar com exatidão o resultado à priori, é possível descrever todos os possíveis resultados. A esse conjunto, dá-se o nome de espaço amostral. Aqui, denotaremos espaço amostral pela letra grega (.
E = jogar uma moeda e observar a face voltada para cima
( = ( cara, coroa(
ii) Medir o tempo de sobrevida de um paciente com câncer, após aplicação de quimioterapia.
Evento e qualquer subconjunto de (, incluindo (, evento impossível e o próprio (, evento certo. Exemplos (relacionados com os experimentos anteriores).
Evento 1 – “ocorre cara”
 A = (cara(
Evento 2 – “o paciente não sobrevive”
 
Eventos complementares
Dado um evento A de, o evento complementar de A, denotado (A, é formado por todos os elementos de (, que não estão em A .
Considerando os exemplos anteriores temos:
É imediato observar que:
A ( (A = (
A ( (A = ( 
Eventos mutuamente exclusivos (ou excludentes)
Dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral ( são considerados mutuamente exclusivos se a ocorrência de um deles exclui a ocorrência do outro. Por outras palavras, os dois não podem ocorrer simultaneamente, ou simplesmente se A ( B = (, ou seja, não existe interseção.
Exemplo: No lançamento de um dado honesto, os eventos “número par” e “número ímpar” são mutuamente exclusivos.
Utilizando operações com conjuntos, podem-se formar novos eventos:
(A 
 B) ( é o evento que ocorre se A ocorre ou se B ocorre ou ambos ocorrem;
(A 
 B) ( é o evento que ocorre se A ocorre e B ocorre;
(
) ( é o evento que ocorre se A não ocorre;
Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos, se eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, (A 
 B) = (.
 Eventos complementares são sempre mutuamente excludentes, mas a recíproca nem sempre é sempre verdadeira.
c) Conceito clássico
Probabilidade – É o grau de confiança que se tem na ocorrência de um determinado evento. Seja ( um espaço amostral finito e A um evento qualquer, então a probabilidade de ocorrer A é: 
Em que: #A é o nº de maneira que ocorre o evento "
 #( nº de maneira que ocorre o espaço amostra ou ainda,
Em que: N.C.F. é o nº de casos favoráveis
 N.T.C. nº total de casos
Essa probabilidade deve satisfazer às seguintes condições:
0 
 P(A) 
 1;
P (() = 1
Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então: P(A
B) = P(A)+P(B)
Exemplos:
Lança-se um dado. Qual é a probabilidade de sair um número ímpar? Qual é a probabilidade de sair o número 2?
Uma carta é extraída ao acaso de um baralho com 52 cartas. Qual é a probabilidade de sair um às?
NOTAS:
A probabilidade varia entre 0 e 1 ou entre 0 e 100%;
Se é certo de ocorrer determinado evento, então P (desse evento) = 1.
Se é impossível ocorrer determinado evento, então P (desse evento) = 0. Exemplo, lança-se um dado:
P (ocorrer um nº menor que 8) = 0
P (ocorrer um nº maior que 8) = 0
TEOREMAS:
1 – Se ( é o conjunto vazio, então P(() = 0
2 – Se 
 é complementar do evento A, então P(
) =1 – P(A)
3 – Se A 
 B, então P(A) 
 P(B) 
4 – Teorema da soma: se A e B são dois eventos quaisquer, então, 
P(A
B) = P(A) + P(B) – P(A
B)
P(A
B
C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A
B) – P(A
C) – P(B
C) + P(A
B
C)
Exercício: 
Lance um dado e verifique o espaço amostral;
Considere os eventos: A = um nº par ocorre;
		 B = o número 5 ocorre;
			 C = um nº maior que 3 ocorre.
Calcule: 
 P(A), P(B), P(C), P(A
B), P(A
C), P(B
C).
2.1.2 Probabilidade Condicional e Independência Probabilística
Probabilidade trata da probabilidade de ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B, ambos do espaço amostral S, ou seja, ela é calculada sobre o evento B e não em função o espaço amostral S. A probabilidade de ocorrer um evento A em relação a um evento B é expressa da seguinte forma:
 P(A/B) = P(A∩B) / P(B ou 
Exemplos:
Observe a seguinte tabela:
H: o aluno selecionado é do sexo masculino
C: o aluno selecionado é do Cursão.
 Note que P(H) = 41/62, P(E) = 19/62, mas dentre os alunos do cursão temos que a probabilidade dele ser do sexo masculino é: 15/19. Isto é.
P(H|C) = 15/19
Se dois dados (um vermelho e o outro verde) são lançados, qual a probabilidade da soma ser 8 dado que o dado verde saiu 3?
Dado que o dado verde teve como resultado 3, temos agora somente 6 resultados possíveis:
 (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5) e (3,6)
Independência Probabilística
Dois eventos A e B, de (, são independentes se e somente se:
P(A/B) = P(A);
P(B/A) = P(B) 
Ou seja, a ocorrência de um deles não condiciona a ocorrência do outro e vice-versa. Desse modo, temos também que:
Exemplos:
Considere o experimento aleatório do lançamento simultâneo de um dado e uma moeda e sejam os eventos:
A = ((cara, 1); (cara,2); (cara,3); (cara,4); (cara,5); (cara,6)( [“ocorrer cara”(
B = ((cara, 6); (coroa,6)( [“ocorrer número 6”(
Será que os eventos A e B são independentes(
É imediato verificar que P(A/B) = P(A) =1/2, assim como, P(B/A) =P(B) = 1/6, portanto os eventos A e B são independentes. E, nesse contexto, a probabilidade de ocorrer A e B simultaneamente é dada por:
2)Em uma pesquisa realizada com 10.000 consumidores sobre a preferência da marca de sabão em pó, verificou-se que: 6500utilizam a marca X; 5500 utilizam a marca Y; 2000 utilizam as duas marcas. Foi sorteada uma pessoa desse grupo e verificou-se que ela utiliza a marca X. Qual a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca Y?
Solução: Vamos identificar cada um dos eventos.
A: Usuário da marca Y.
B: Usuário da marca X.
Queremos determinar P(A/B) e sabemos que o número de elementos do espaço amostral é n(S) = 10000. Temos, também, que: (A∩B) = 2000 Segue que: Mas Da teoria de conjunto, temos que: n(B) = 6500 – n(A∩B) = 6500 – 2000 = 4500
Assim, teremos:
Logo,
Observação: caso A e B sejam eventos independentes, a fórmula fica assim:
p(A ∩ B) = p(A). p(B)
A relação acima pode ser generalizada para mais de dois eventos independentes.
Inversamente, caso p(A). p(B) = p(A ∩ B), os eventos A e B são independentes.
2.2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E CONTÍNUAS 
As variáveis aleatórias (que descrevemos de modo abreviado (v.a) podem ser de dois tipos: discretas ou contínuas). Uma v.a é dita discreta quando ela assume somente valores num conjunto enumerável de pontos do conjunto real. Ela é uma v.a contínua se for do tipo que pode assumir qualquer valor em um intervalo real.
obs.: na maior parte dos problemas práticos as v.a.c. representam dados medidos e as
v.a.d. representam dados contados, tais como o número de defeituosos em uma amostra de peças ou o número de acidentes em uma determinada rodovia.
2.2.1 Variáveis Aleatórias Discretas
Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X (isto é, Rx, o contradomínio) for finito ou infinito numerável, denominamos X de variável aleatória discreta. Isto é, os valores possíveis de X, podem ser postos em lista como x1, x2, x3, ..., xn. 
Distribuição de Probabilidade de uma Variável Aleatória
Seja X uma v.a. definida num espaço amostral (, tal que: X(() = {x1, x2, x3, ..., xn}. Podemos definir a probabilidade da v.a. X assumir o valor xi, (i = 1, 2, ..., n), a qual escreve-se P(X = xi) ou f(xi). Esta função f que a cada xi do conjunto X((), (os valores possíveis que a v.a. X pode assumir), associa sua probabilidade de ocorrência, é chamada de DISTRIBUIÇÃO (ou FUNÇÃO) DE PROBABILIDADE DA V.A. X, e pode ser expressa por uma tabela, um gráfico ou uma fórmula. Há outras notações, usuais para P(X = xi), que são por exemplo: pi ou P(xi) ou P(X = x) ou P(x).
A distribuição dada por P(X = xi), satisfaz às condições:
P(xi) ( 0;
.
Exemplo: Considere uma urna com 3 bolas vermelhas e 2 brancas, de onde se extraem, sem reposição, duas bolas. Defina uma v.a. X como:
X = nº de bolas vermelhas obtidas nas duas extrações.
Portanto: X(() = {0, 1, 2}. Construindo o diagrama da árvore temos o seguinte:
	RESULTADOS
	X
	PROBABILIDADES
	BB
	0
	1/10
	BV
	1
	3/10
	VB
	1
	3/10
	VV
	2
	3/10
	
	(
	1
Portanto temos:	P(X = 0) = P(BB) = 1/10
		P(X = 1) = P(BV ou VB) = 3/10 + 3/10 = 6/10
		P(X = 2) = P(VV) = 3/10
Dessa forma, a DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE dessa v.a. X, será:
	x
	P(x)
	0
	1/10
	1
	6/10
	2
	3/10
	(
	1
Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda “honesta” duas vezes. Seja a v.a. Y, dada por Y = nº de caras obtidas nos dois lançamentos. ( Y = {0, 1, 2}. Então:
	RESULTADOS
	Y
	PROBABILIDADES
	C C
	2
	¼
	C
	1
	¼
	
C
	1
	¼
	
�� EMBED Equation.3 
	0
	¼
	(
	-
	1
Portanto:	P(Y = 0) = P(
�� EMBED Equation.3 ) = 1/4
		P(Y = 1) = P(C
 ou 
C ) = 1/4 + 1/4 = 2/4
		P(Y = 2) = P(C C) = 1/4
Desta forma, a DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE desta v.a. Y, será:
	y
	P(y)
	0
	1/4
	1
	2/4
	2
	1/4
	(
	1
Assim, variável aleatória é uma função que associa a cada ponto de um espaço amostral, um número real. E a tabela que associa a cada valor de uma variável aleatória, a sua probabilidade, denominamos DISTRIBUIÇÃO (ou FUNÇÃO) DE PROBABILIDADES DA VARIÁVEL ALEATÓRIA.
2.2.2 Variáveis Aleatórias Contínuas
Suponha-se que o contradomínio de x seja formado por um número finito muito grande de valores, digamos todos os valores de x no intervalo 0 ( x ( 1, da forma: 0; 0,01; 0,02; ... 0,98; 0,99; 1,00. A cada um desses valores está associado um número não negativo p(xi) = P(X = xi), i = 1, 2, ..., cuja soma é igual a 1. Usando a definição de variável aleatória discreta, essa observação pode ser representada geometricamente como na Figura 7. Poderia ser matematicamente mais fácil idealizar a apresentação probabilística de X, usando a definição de variável aleatória contínua, pela suposição de que X pudesse assumir todos os valores possíveis no intervalo 0 ( x ( 1. Se fizermos isso, o que acontecerá às probabilidades no ponto p(xi)? Como os valores possíveis de X não são numeráveis, não podemos realmente falar do i-ésimo valor de X, e, por isso, p(xi) se torna sem sentido. O que faremos é substituir a função p definida para x1, x2,... por uma função f definida para todos os valores de x, 0 ( x ( 1.
Função Densidade de Probabilidade (fdp)
É a função que atribui a cada valor xi da v. a. discreta X sua probabilidade de ocorrência e pode ser representada pela tabela
Além disso, define-se, para qualquer a < b em Rx:
P(a < X < b) = 
,
 	 em que Rx é o contradomínio de X.
Exemplo: Se f(x) = 2x, para 0 ( x < 1, e zero fora desse intervalo, vemos que f(x) ( 0, qualquer que seja x, e a área sob o gráfico de f é unitária (verifique Figura 8). Logo, a função f pode representar a função densidade de uma variável aleatória contínua X.
Figura 7
Aqui, a P(0 ( x < ½) é igual à área do triângulo de base ½ e altura 1. Logo a probabilidade em questão é P(0 ( x < ½) = ½.( ½ . 1) = ¼.
Valor Esperado de Variáveis Aleatórias Discretas
Definição: Se x1, x2, x3, ..., xn são os possíveis valores da v.a. X, e P(x1), P(x2), P(x3), ..., P(xn) são as respectivas probabilidades então o valor esperado, (ou esperança matemática ou média), de X, denotado por E(X) ou (x, é definido por:
Exemplo: Consideremos novamente o exemplo da urna com 3 bolas vermelhas e 2 brancas, de onde se extraem sem reposição duas bolas. A v.a. X é definida como:
X = “nº de bolas vermelhas obtidas nas duas extrações”. 
Portanto: X(() = {0, 1, 2}. 
O valor esperado ou média da v.a. X será:
Exemplo:	Consideremos novamente o exemplo do lançamento de uma moeda “honesta” duas vezes. Seja a v.a. Y, definida como: 
Y = “o nº de “caras” obtidas nos dois lançamentos”. ( Y = {0, 1, 2}. Portanto temos:
Valor Esperado de Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição: Se x1, x2, x3, ..., xn são os possíveis valores da v.a. X, e P(x1), P(x2), P(x3), ..., P(xn) são as respectivas probabilidades então o valor esperado, (ou esperança matemática ou média), de X, denotado por E(X) ou (x, é definido por:
Exemplo: Considerando o mesmo exemplo onde f(x) = 2x, para 0 ( x < 1, temos que 
 = 
 = 
= 2/3 
Propriedades
A média de uma constante é a própria constante: E(K) = K
Multiplicando uma v.a. X por uma constante, sua média fica multiplicada por essa constante. E(K.X) = K.E(X)
Somando ou subtraindo uma constante a uma v.a., a sua média fica somada ou subtraída da mesma constante. E(X ( K) = E(X) ( K 
A média da soma ou da diferença de duas v.a’s é a soma ou a diferença das médias. E(X ( Y) = E(X) ( E(Y)
A média do produto de duas v.a’s independentes é o produto das médias. E(XY) = E(X).E(Y)
Variância de Variáveis Aleatórias Discretas
Seja o seguinte exemplo: Vamos considerar a v.a. X, com distribuição dada conforme tabela abaixo
	X
	-2
	-1
	0
	1
	2
	P(x)
	1/5
	1/5
	1/5
	1/5
	1/5
Portanto a v.a. X tem média,
 E(X) = -2.1/5 + (-1).1/5 + 0.1/5 + 1. 1/5 + 2.1/5 = 0
Consideremos agora a v.a. Y dada por Y = 2.X. Então a tabela abaixo dá a distribuição e média de Y:
	y
	-4
	-2
	0
	2
	4
	P(y)
	1/5
	1/5
	1/5
	1/5
	1/5
Logo E(Y) = 0.
Observando as distribuições das v.a. X e Y, notamos que elas têm a mesma média, E(X)= E(Y) = 0, e que são simétricas ao redor deste valor, (o ponto 0). Porém, pode-se notar ainda que, a v.a. Y é mais “espalhada” ao redor deste ponto zero, do que a v.a. X, (ou equivalentemente: X está mais “concentrada” ao redor do 0 do que Y). Ver graficamente.
Uma medida de “DISPERSÃO” ou “EXPANSÃO” dos valores assumidos por uma v.a., ao redor de sua média, é dada pela VARIÂNCIA desta variável aleatória, (ou pelo desvio padrão).
Definição: Seja X uma v.a. discreta, com média E(X). Então, a variância da v.a. X é definida por:
Pode-se mostrar que a expressão acima equivale à fórmula alternativa (geralmente mais usada) dada por: 
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2
Outras notações, também adotadas para a variância de uma v.a. X, além de Var(X), são: (X2 ou (2(X), ou simplesmente (2 quando não suscitar dúvidas (quando por exemplo, somente se está tratando com uma variável, digamos X. Nestes casos é comum se referir a ( como média de X, e a (2 como variância de X).
Definição: O Desvio Padrão de uma v.a. X com média E(X), é definido como a raiz quadrada positiva de Var(X). Portanto, o desvio padrão de X será:
As notações usuais para o desvio padrão, além desta usada, ((X), ou ((X) ou simplesmente (, quando não suscitar dúvidas (ver comentário feito anteriormente a respeito das notações usuais de variância).
Exemplo:
Consideremos a v.a. X dada no exemplo anterior. Tínhamos que E(X) = 0. Calculemos a variância e o desvio padrão desta v.a. X. Primeiro, devemos calcular E(X2) para aplicarmos a fórmula da variância. 
	x2
	P(x)
	x2.P(x)
	0
	1/5
	0
	1
	2/5
	2/5
	4
	2/5
	8/5
	(
	1
	10/5 = 2
Portanto, E(X) = 10/5 = 2. Logo, Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = 2 – 02 = 2
E o desvio padrão será 
Variância de Variáveis Aleatórias Contínuas
 Em que: 
Exemplo: Considerando o exemplo em que f(x) = 2x, para 0 ( x < 1. 
Para calcular Var(X), deve-se primeiro calcular E(X2)
= 
= 
 = ½
Então, 
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2
Var(X) = ½ - (2/3)2 = 1/2 – 4/9 = 1/18
Propriedades da variância
A variância de uma constante é zero. Var(K) = E[(K – E(K))2] = E[(K – K)2] = 0
Multiplicando-se uma v.a. por uma constante, sua variância fica multiplicada pelo quadrado da constante. Var(KX) = K2.Var(X)
Somando-se ou subtraindo-se uma constante a uma v.a., sua variância não se altera. Var (X ( K) = Var(X) ( Var(K) = Var(X), pois Var(K) = 0 
A variância da soma ou diferença de duas v.a’s independentes, é a soma das respectivas variâncias. Var(X ( Y) = Var(X) + Var (Y) ,quando Cov(X,Y) = 0.
Função de Distribuição Acumulada (v. a. discretas e contínuas)
Definição 1: Dada a variável aleatória discreta X, chamaremos de função de distribuição acumulada (f.d.a.) ou, simplesmente, função de distribuição (f.d.) F(X) a função:
F(x) = P(X ( x)
Observe que o domínio de F é todo o conjunto real.
Exemplo: Suponha que a v.a. X tem a distribuição seguinte:
	 x
	1
	2
	3
	p
	1/3
	1/6
	1/2
A f.d.a. de V será dada por: 
 
Cujo gráfico será uma função em escada, ilustrado na figura a seguir.
Definição 2: Se X é uma v.a. contínua com função densidade de probabilidade f(x), podemos definir a sua função de distribuição acumulada 
F(x) = P(X ( x)
De P(a ( X < b) = 
, segue-se que 
 para todo x real.
Exemplo: 
Se 
Então, 
Portanto, 
Exercícios 
Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
ela não tenha defeitos graves;
ela não tenha defeitos;
ela ou seja boa ou tenha defeitos graves.
Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se duas peças ao acaso. Qual a probabilidade de que:
ambas sejam perfeitas;
pelo menos uma seja perfeita;
nenhuma tenha defeito grave;
nenhuma seja perfeita.
Um time de futebol ganha (G) com probabilidade 0,6, e perde (P) com probabilidade 0,3 e empata (E) com probabilidade 0,1. O time joga três partidas durante o fim de semana.
Determine os elementos do evento A: o time ganha pelo menos duas vezes e não perde; e encontre P(A).
Determine os elementos do evento B: o time ganha, perde e empata; e encontre P(B).
Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas A e B. De procedimentos de ensaios anteriores, as seguintes probabilidades se admitem conhecidas:
P(A falhe) = 0,20; P(A e B falhem) = 0,15; P(B falhe sozinho) = 0,15.
Calcule as seguintes probabilidades:
P(A falhe / B tenha falhado); 		b) P(A falhe sozinho)
Uma caixa contém 5 tubos de rádio dos quais 2 são defeituosos. Os tubos são testados um após outro até que os dois tubos defeituosos sejam encontrados.
Qual a probabilidade do processo parar no segundo teste?
Qual a probabilidade do processo parar no terceiro teste?
Cinco bolas são numeradas 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Seja X a v.a. denotando a soma dos números de duas bolas extraídas ao acaso. Obtenha a distribuição de X, calcule E(X) e Var(X).
Três máquinas A, B e C produzem respectivamente 60%, 30% e 10% do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de defeitos na produção destas máquinas são respectivamente 2%, 3% e 4%. Uma peça é selecionada aleatoriamente.
a) Encontre a probabilidade dela ser defeituosa.
b) Encontre a probabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina c.
Seja x uma variável aleatória contínua tal que:
		
	Determinar:
o valor da constante A; 		b) P(250 ( x ( 750)
2.3 DISTRIBUIÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
2.3.1 Distribuição Binomial
Considere n tentativas de um mesmo experimento aleatório. Cada tentativa admite apenas dois resultados: sucesso (com probabilidade p) ou fracasso (insucesso) (com probabilidade q), em que p + q = 1. As probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para cada tentativa. 
Seja X: nº de sucessos em n tentativas independentes.
Determine a função de probabilidades da variável X, isto é, P(X = k).
Um resultado particular (RP):	 
 
Logo, 
	P(RP) = P(SSS ... SFFF ... F) = 
		
Considerando todas as n-úplas com k sucessos têm-se:
, 0 ( k ( n 
A variável X tem distribuição Binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X~B(n,p).
Exemplo:
Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo as questões de forma aleatória, qual a probabilidade de tirar nota 5, sabendo-se que a prova vale 10?
Solução:	X = nº de acertos. X = 0, 1, ..., 50
p = P( acerto ) = 1/5 
 X : B( 50, 1/5 ) 
		P( X = 25 ) = 
Exemplos:
• uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
• o resultado de um exame médico para detecção de uma
 doença é positivo ou negativo;
• um paciente submetido a um tratamento, durante um
 período de tempo fixo, cura-se ou não da doença;
• um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
• no lançamento de um dado ocorre ou não a face “5”.
Esperança (média) e Variância
E(X) = n.p
Var(X) = n.p.q
2.3.2 Distribuição Hipergeométrica
 Considere uma população com N elementos, dos quais r tem uma determinada característica (a retirada de um desses elementos corresponde ao sucesso). Retira-se dessa população, sem reposição, uma amostra de tamanho n. Seja X: nº de sucessos na amostra (saída do elemento com a característica). Qual a P(X = k)?
Há 
 amostras sem reposição. Os sucessos na amostra podem ocorrer de
 maneiras e os fracassos de 
 modos. Logo,
, 0 ( k ( n e k ( r
A variável aleatória X, assim definida, tem distribuição Hipergeométrica.
Esperança (média) e Variância
E( X ) = n.p
Var( X ) = n.p.(1-p)
 onde p = 
Exemplo:
Pequenos motores são guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum motor for defeituoso,a caixa é aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os 50 motores são testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores dessa caixa?
Solução:	X: nº de motores defeituosos da amostra. 
N = 50; r = 6; n = 5
P(X ( 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) = 
= 1 – 0,5126 = 0,4874
2.3.3 Distribuição de Poisson
Considere a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo. A probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo. A probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequena com relação à probabilidade de um sucesso. Por exemplo: observando-se automóveis que trafegam numa esquina, anota-se, num determinado intervalo de tempo, o número de carros que passam. Seja X o número de sucessos no intervalo então:
Esperança (média) e Variância
E( X ) = (
Var( X ) = (
Exemplo:
Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos 3 erros?
Solução: Seja X: número de erros por página e ( = 1
P(X ( 3) = 1 – P(X < 3) = 1- {P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)} = 
= 1 - 
 = 1 - {0,367879 + 0,367879 + 0,183940} =
			 = 1 – 0,919698 = 0,080302
Exercícios 
Seja X uma v. a. correspondente ao número de caras em quatro lançamentos de uma moeda. Qual a probabilidade de se obter:
exatamente duas caras?
Pelo menos uma cara?
Mais de uma cara?
A probabilidade de um menino ser daltônico e 6%. Qual é a probabilidade de serem daltônicos todos os 4 meninos que se apresentaram, em determinado dia, para um exame oftalmológico?
Se o número de chamadas telefônicas que um operador recebe entre 9:00 e 9:05 segue uma distribuição de Poisson com ( = 2, qual é a probabilidade de que o operador não receba nenhuma chamada amanhã, no mesmo intervalo?
Em estudo sobre o crescimento de jacarés, uma pequena lagoa contém 4 exemplares da espécie A e 5 da espécie B. A evolução de peso e tamanho dos 9 jacarés da lagoa é acompanhada pelos pesquisadores através de capturas periódicas. Determinar a probabilidade de, em três jacarés capturados de uma vez, se obter:
todos da espécie A;
não todos da espécie B;
a maioria ser da espécie A.
Um laboratório estuda a emissão de partículas de certo material radioativo. Seja X: número de partículas emitidas em 1 minuto. O laboratório admite que X tem função de probabilidade de Poisson com parâmetro 5. 
Calcule a probabilidade de que em um minuto não haja emissões de partículas.
Determine a probabilidade de que pelo menos uma partícula seja emitida em um minuto.
Qual a probabilidade que, em um minuto, o número de partículas emitidas esteja entre 2 e 5 (inclusive)?
2.4 DISTRIBUIÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
2.4.1 Distribuição Uniforme
Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme de probabilidade no intervalo [a;b], se sua f.d.p. é dada por:
	
		
O valor de k é: 
Gráfico
Esperança (média) e Variância
E( X ) = 
	 e		Var(X) = 
Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no intervalo [0,2]. Qual a probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 1 e 1,5?
Solução
P(1 ( X ( 1,5) = 
2.4.2 Distribuição Normal
Definição: Diz-se que a v. a. X tem distribuição normal com parâmetros ( e (2, 
 
, se sua f.d.p. é dada por:
Pode-se demonstrar que:
E(X) = (;
Var(X) = (2;
f(x) ( 0 quando x ( 
;
( - ( e ( + ( são pontos de inflexão de f(x);
x = ( é ponto de máximo de f(x), e o valor máximo é 
;
f(x) é simétrica ao redor de x=(, isto é, f((+x) = f((-x), para todo 
Para uma perfeita compreensão da distribuição normal, observe a Figura 01 e procure 
visualizar as seguintes propriedades: 
Realizar o cálculo dessa integral não seria algo tão simples, então Gauss para facilitar o cálculo criou uma metodologia que reduziria tal fórmula, chegando assim a distribuição normal ou reduzida
Notação:
Se X tem distribuição normal, com média ( e variância (2, então: X~N((, (2). 
A Distribuição Normal Padrão ou Normal Reduzida
Se X~N((, (2), então a v.a. Z definida por:
 tem uma distribuição N(0,1), ou seja, Z ~ N(0,1).
Exemplo: Obter probabilidades a partir da Tabela da Distribuição Normal Reduzida. Essa tabela fornece a probabilidade sob uma curva normal padrão correspondente à área sob a curva. A figura ao abaixo ilustra a probabilidade fornecida pela tabela, a saber, P(0 ( Z ( zc),
Assim: se zc = 1,73, então P(0 ( Z ( 1,73) = 0,4582;
	 se zc = - 1,73, então P (-1,73 ( Z ( 0) = 0,4582;
Exercícios
Usando a tábua da Normal padrão, ou seja, se Z ~ N(0,1) estabeleça as seguintes probabilidades:
a) P(0<Z<2,13);			d) P(Z
2,13);
b) P(-2,13<Z<0);			e) P(Z< -2,13).
c) P(-2,13<Z<2,13);
Numa população, o peso dos indivíduos é uma variável aleatória X que, segundo estudos anteriores, segue o modelo normal com média 78Kg e desvio-padrão 10Kg. Uma pessoa é escolhida ao acaso nessa população. Determine a probabilidade de que seu peso:
seja maior que 60Kg;
esteja entre 62Kg e 72Kg;
seja inferior a 90Kg;
seja superior a 90Kg.
2.4.3 Distribuição Exponencial
	A distribuição exponencial envolve probabilidades ao longo do tempo ou da distância entre ocorrências num intervalo contínuo. Por exemplo, a exponencial é usada como modelo do tempo entre falhas de equipamento elétrico, tempo entre a chegada de clientes a um supermercado, tempo entre chamadas telefônicas, etc. Há estreita relação entre a distribuição exponencial e a de Poisson. Na verdade, se um processo de Poisson tem média de ( ocorrências durante um intervalo, o espaço (ou tempo, etc) entre ocorrências naquele intervalo é de 1/(. Por exemplo, se as chamadas telefônicas ocorrem em média à razão de 6 por hora, então o tempo médio entre as chamadas será de 1/6 de hora, ou 10 minutos.
Uma variável aleatória X tem distribuição Exponencial de probabilidade se a sua f.d.p. é dada por:
 
O gráfico da f.d.p. de X é apresentado na figura ao lado 	
É fácil verificar que:		
Esperança (média) e Variância
E( X ) = 
 			 Var(X) = 
Exemplo: Uma fábrica de tubos de TV determinou que a vida média dos tubos de sua fabricação é de 800 horas de uso contínuo e segue uma distribuição exponencial. Qual a probabilidade de que a fábrica tenha que substituir um tubo gratuitamente, se oferece uma garantia de 300 horas de uso?
X: vida útil dos tubos de TV e E(X) = 800
Como E(X) = 
 ( 
 = 800 ( ( = 
	Logo,		
	P(X < 300) = 
Exercícios 
Seja Z ~N(0,1). Determine:
	P(Z ( 2,10)
	P(Z ( 1,25)
	P(Z ( - 1,02)
	P(1,03 ( Z ( 2,46)
	P(-0,26 ( Z ( 0,13)
	P(-1,35 ( Z ( -0,13);
	P(0 ( Z ( 4,0);
	P(Z ( 3,23);
	P(Z ( -4,2).
	
Supõe-se que X ~ N(4,9). Determine:
	a) P( 2,5 ( X ( 3,8);			b) P( 6 ( X ( 8);
	c) P( X ( 3).
Se X ~ N(10,4), calcule:
	a) P( 8 ( X ( 10);
	b) P( X ( 10);
	c) P( { x ( 8 } ( { X ( 11 } ). 
Se X ~ N(100,100), calcule:
	a) P ( X ( 115 );			b) P ( X ( 80 );
	c) P ( ( X - 100 ( ( 10 );
	d) O valor de a tal que P ( 100 - a ( X ( 100 + a ) = 0,95.
Seja X ~ N( (,(2 ), encontre:
	a) P ( X ( ( + 2( );			b) P ( ( X - ( ( ( ( );
	c) O número a tal que P( ( - a.( ( X ( ( + a.() = 0,99
	d) O valor de a tal que P( x ( a ) = 0,90.
Uma fábrica de tubos de TV determinou que a vida média dos tubos de sua fabricação é de 800 horas de uso contínuo e segue uma distribuição exponencial. Qual a probabilidade de que a fábrica tenha que substituir um tubo gratuitamente. Se oferece uma garantia de 300 horas de uso?
Na leitura de uma escala, os erros variam de -1/4 a 1/4, com distribuição uniforme. Calcule a média e a variância da distribuição dos erros.
Um dado equilibrado é lançado 120 vezes. Determine a probabilidade de aparecer a face 4:
	a) 18 vezes ou menos			b) 14 vezes ou menos.
Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempode vida X que é considerado uma v.a. contínua com distribuição exponencial de parâmetro 1/1000 horas. Suponha que o custo de fabricação de um item seja de R$ 200,00 e o preço de venda seja R$ 500,00. O fabricante garante total devolução se o temo de vida for menor ou igual a 900 horas. Qual o lucro esperado por item?
Suponha que X seja uniformemente distribuída em [-a, 3a]. Determine a média e a variância de X.
 O diâmetro de um cabo elétrico é normalmente distribuição com media 0,8 e variância 0,0004. Um cabo será considerado defeituoso se o diâmetro diferir de sua média em mais de 0,025. Pergunta-se:
a) Qual é a probabilidade de se encontrar um cabo defeituoso.
b) Se você escolhe dez cabos aleatórios e se estas escolhas são independentes, qual será a probabilidade de haver:
b.1) exatamente dois defeituosos?
b.2) pelo menos um defeituoso?
b.3) o número esperado de cabos defeituosos.
12) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?
13 Em uma pesquisa realizada com 10.000 consumidores sobre a preferência da marca de sabão em pó, verificou-se que: 6500 utilizam a marca X; 5500 utilizam a marca Y; 2000 utilizam as duas marcas. Foi sorteada uma pessoa desse grupo e verificou-se que ela utiliza a marca X. Qual a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca Y?
14) No processo produtivo de uma empresa são utilizados diariamente 4 unidades de um certo insumo. Ocorre que as diferentes formulações desse insumo podem afetar o rendimento do processo bem como o nível de poluição ambiental. Num determinado dia a empresa possui 40 unidades desse insumo em estoque e elas podem ser classificados segundo a tabela a seguir:
15) Admita que as 4 unidades a serem usadas nesse dia serão sorteadas aleatoriamente do estoque. Qual a probabilidade de que:
(a) Não seja usado nenhum insumo que polui o ambiente?
(b) Seja usado pelo menos um insumo que acelera o processo produtivo?
(c) Seja usado pelo menos um insumo que acelera o processo produtivo, dado que não foi usado nenhum insumo que polui o ambiente?
(d) Não seja usado nenhum insumo que polui o ambiente, dado que foi usado pelo menos um insumo que acelera o processo produtivo?
16)Um departamento de polícia recebe em média 5 solicitações por hora. Qual  a  probabilidade  de  receber  2 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente?
17)A  experiência  passada  mostra  que  1%  das  lâmpadas  incandescentes  produzidas numa  fábrica  são  defeituosas. Encontre  a  probabilidade  de  mais  que  uma  lâmpada numa  amostra  aleatória  de  30  lâmpadas  sejam  defeituosas.
Usando:   
a.  A distribuição Binomial e 
b.  A distribuição de Poisson. 
18)Um processo  de  produção  produz  10 itens  defeituosos  por  hora.  Encontre a  probabilidade  que  4  ou menos itens sejam defeituosos numa retirada aleatória por hora  Usando:   
a.  A distribuição de Poisson e 
b.  A aproximação normal da Poisson. 
19) O intervalo de ocorrências sucessivas de uma doença contagiosa, afetando animais de uma determinada fazenda é uma variável aleatória que tem distribuição exponencial com média de 100 dias. Qual a probabilidade de não se ter registro de incidência da doença por pelo menos 200 dias a partir da data em que o último caso for registrado?
20)Os salários mensais dos executivos de uma determinada indústria são distribuídos normalmente, em torno da média de R$ 10.000, com desvio padrão de R$ 800.Calcule a probabilidade de um executivo ter um salário semanal situado entre R$ 9.800 e R$ 10.400 
21) Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote. Qual a probabilidade de o lote ser aceito?
22) Suponha que Xt, o nº de partículas emitidas em t horas por uma fonte radioativa, tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro 20t. Qual será a probabilidade de que exatamente 5 partículas sejam emitidas durante um período de 15 min?
23) O Departamento de Estatística é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando,
ao acaso, três membros do departamento. Qual é a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos duas mulheres?
24) Em problemas de controle de qualidade, lotes com N itens são examinados. O número de itens com defeito (atributo A), r, é desconhecido, colhemos uma amostra de n itens e determinamos k. Somente para ilustrar, suponha que num lote de N=100 peças, r=10 sejam defeituosas. Escolhendo n=5 peças sem reposição, a probabilidade de não se obter peças defeituosas é:
25)Suponha que o conteúdo de bactérias de um tipo particular, presentes em um recipiente de água de 1 milímetro, tenha distribuição aproximadamente normal, com média de 85 bactérias e desvio padrão de 9. Qual é a probabilidade de uma dada amostra de 1 ml conter mais de 100 bactérias?
26) No fichário de um hospital, estão arquivados os prontuários de 20 pacientes, que deram entrada no PS apresentando algum problema cardíaco. Destes 5 sofreram infarto. 
Retirando-se uma amostra ao acaso destes prontuários, qual a probabilidade de que dois deles sejam pacientes que sofreram infarto? Utilize distribuição hipergeométrica.
RFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Bussab, W.O.; Morettin, P.A. Estatística básica. 1987. Atual
 Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros,Douglas Montgy g g omery, George Runger, LTC 2º Ed.
MARTINS, G.A. Estatística Geral e Aplicada. Editora Atlas, 2ª edição, 2002
MORETTIN, L.G. Estatística Básica-Probabilidade. Editora McGraw-Hill, 4ªedição,1992. V. 1
http://www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/DistribuicaoProbabilidades/binomial.htm
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