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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ - UNIOESTE Disciplina: Bioestatística Professor: Wilson Alves de Oliveira Curso: Enfermagem 2 PROBABILIDADE INTRODUÇÃO EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS: Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados diferentes. Embora não saibamos qual o resultado que irá ocorrer num experimento, em geral, conseguimos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. Exemplos: a) Lançar uma moeda e observar a face de cima. b) Lançar um dado e observar o nº da face de cima. ESPAÇO AMOSTRAL: Chamamos de espaço amostral, e indicamos por S ou Ω, um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: a) Lançar uma moeda e observar a face de cima. S = { K, C}, onde K representa cara e C coroa. b) Lançar um dado e observar o nº da face de cima. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} EVENTO: Um evento é um conjunto de resultados do experimento; em termos de conjunto, é um subconjunto de S. Em geral indicamos um evento por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, ... , X, Y, Z. Os eventos que possuem um único elemento são chamados eventos elementares. Exemplo: Um dado é lançado e observa-se o nº da face de cima. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eis alguns eventos: A: Ocorrência de nº impar. A = {1, 3, 5}; B: Ocorrência de nº primo. B = {2, 3, 5}; C: Ocorrência de nº menor que 4. C = {1, 2, 3}; D: Ocorrência de nº menor que 7. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S (evento certo) E: Ocorrência de nº maior ou igual a 7. E = ∅ (evento impossível) Usando as operações com conjuntos, podemos formar novos eventos. Assim: 2 A ∪ B é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem; A ∩ B é o evento que ocorre, se A e B ocorrem; AC é o evento que ocorre se A não ocorre. (AC evento complementar de A). Obs: Se A ∩ B = ∅ , A e B são chamados eventos mutuamente exclusivos. São exaustivos se A ∪ B = S. DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE Historicamente, a teoria da probabilidade começou com o estudo de jogos de azar, como a roleta e as cartas. Probabilidade é o número que resulta da divisão do número de casos favoráveis a um evento pelo número total de casos possíveis. p f XP =)( , onde: P(X): probabilidade de ocorrer o evento X; f : nº de casos favoráveis à ocorrência de X; p: nº de casos possíveis. Exemplo 1: No lançamento de uma moeda honesta, qual a probabilidade de sair “cara”? Probabilidade de sair “cara” possíveis) casos de total(Nº jogada)numa sair podecara"" evento o que vezesde (Nº = Então, probabilidade de cara 2 1 = Exemplo 2: Vamos agora testar a definição com um dado honesto. Então, numa única jogada, qual a probabilidade de sair face 5? P(face 5) 6 1 == p f Exemplo 3: Qual a probabilidade de face impar numa única jogada? P(face ímpar) = 2 1 6 3 == p f A fórmula P(X) = f / p permite outras conclusões; f não pode ser maior que p , mas pode ser igual f ≤ p; f pode ser zero. Vamos examinar agora um problema um “pouquinho” mais complicado. Bioestatística – Prof. Wilson Alves de Oliveira 3 Exemplo 4: Jogando 2 dados “honestos” simultaneamente, qual a probabilidade de sair: a) soma 9? b) soma par? c) soma menor que 5? d) soma maior que 10? Vamos montar primeiro uma tabela que nos possibilite visualizar os vários pares de faces. Dado 2 Dado 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Sejam os eventos: A = soma 9; B = soma par; C = soma menor que 5; D = soma maior que 10. Então, a) P(A) = NCF NCP = 4 36 1 9 = ; b) P(B) = 18 36 1 2 = ; c) P(C) = 6 36 1 6 = ; d) P(D) = 3 36 1 12 = . PROPRIEDADES Dado um espaço amostral S, a probabilidade de um evento A, P(A), é uma função definida em S que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes axiomas: a) 0 ≤ P(A) ≤ 1; b) P(S) = 1; c) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos (A ∩ B = ∅ ), então P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Se A1 , A2 , ... , An é uma sequência de eventos mutuamente exclusivos, então a) P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(An). Bioestatística – Prof. Wilson Alves de Oliveira 4 Teorema 1: Seja S um espaço amostral e seja ∅ o evento impossível, então, P(∅) = 0. Teorema 2: Se AC é o complemento de um evento A, então, P(AC) = 1 - P(A). Teorema 3: Seja S um espaço amostral e sejam A e B dois eventos tais que A ⊂ B, então, P(A) ≤ P(B). Teorema 4: Seja S um espaço amostral e sejam A e B dois eventos quaisquer, então, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Teorema 5: Seja S um espaço amostral e sejam A, B e C, três eventos quaisquer, então, P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C). Exemplo 1: Um grupo de 100 estudantes fez exame em física e em matemática. Suponha que 60 passaram em matemática, 30 em física e 20 em ambas. Se um estudante é escolhido ao acaso deste grupo, qual é a probabilidade dele ter passado em matemática ou em física ou em ambas? Considere os eventos: A = {o estudante passa em matemática}; B = {o estudante passa em física}. Estamos interessados em calcular a probabilidade de P(A ∪ B). 100 60 )( =AP ; 100 30 )( =BP ; 100 20 )( =∩ BAP . Assim, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B); 10 7 100 70 100 20 100 30 100 60 )( ==−+=∪ BAP . Exemplo 2: Um hospital tem 1000 funcionários. Destes: 200 trabalham no setor A; 180 trabalham no setor B; 200 trabalham no setor C; 50 trabalham no setor A e B; 50 trabalham no setor B e C; 100 trabalham no setor A e C e 20 trabalham no setor A, B e C. Um funcionário deste hospital é selecionado ao acaso. Qual a probabilidade dele trabalhar no setor A, no setor B ou no setor C? Sejam os eventos: A = {Funcionário selecionado trabalha no setor A}; B = {Funcionário selecionado trabalha no setor B }; C = {Funcionário selecionado trabalha no setor C }. Bioestatística – Prof. Wilson Alves de Oliveira 5 1000 200 )( =AP ; 1000 180 )( =BP ; 1000 200 )( =CP ; 1000 50 )( =∩ BAP ; 1000 100 )( =∩CAP ; 1000 50 )( =∩CBP e 1000 20 )( =∩∩ CBAP . Então: 5 2 10 4 1000 400 1000 205010050200180200 )( === +−−−++ =∪∪ CBAP . DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 1 Distribuição Binomial Considere n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório. Cada tentativa admite apenas dois resultados: sucesso(p) e fracasso(q). Seja X: número de sucessos em n tentativas. A função distribuição da variável aleatória binomial é dada por: knk pp k n kXP −− == )1()( , K = 0, 1, 2, ... , n. A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, sendo indicada pela notação X: B(n , p). Se X: B(n , p) → E(X) = µ = np e VAR(X)= σ2 = npq. Exemplo. Em uma família com quatro crianças, qual a distribuição de probabilidades para a variável número de meninas? X: nº de meninas → X: 0, 1, 2, 3, 4 → p = 1/2; ( ) )4( 16 1 16 1 1)1( 2 1 2 1 0 4 )0( 40 === = == XPXP ; )3( 16 4 8 1 2 1 )4( 2 1 2 1 1 4 )1( 31 === = == XPXP ; 16 6 4 1 4 1 )6( 2 1 2 1 2 4 )2( 22 = = ==XP . 2 Distribuição de Poisson Considere a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo. Seja X o número de sucessos no intervalo. Então: P(X = k) = !k e kλλ− , onde λ é a média. Bioestatística – Prof. Wilson Alves de Oliveira 6 A variável X assim definida tem distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é muito usada na distribuição: a) do número de carros que passam por um cruzamento, por minuto, durante uma certa hora do dia; b) do números de erros tipográficos, por página, em um material impresso; c) do número de defeitos de uma peça produzida; d) do número de telefonemas que chegam, por hora, em uma central telefônica; e) do número de colônias de bactérias, em uma cultura por 0,01 mm2, numa plaqueta de microscópio; f) do número de mortes por ataque do coração, por ano, numa cidade. Esperança (Média): E(X) = λ; Variância: VAR(X) = λ. Exemplo: Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que: a) num minuto não haja nenhum chamado; b) em dois minutos haja 2 chamados. a) X: nº de chamadas por minuto → λ = 5, P(X = 0) = ( ) !0 5 05−e = e−5 = 0,006738; b) dois minutos → λ = 10, P(X = 2) = !2 )10( 210−e = 0,002270. Distribuição normal Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal de probabilidade se a sua função densidade de probabilidade é dada por: f(x) = ∞<<∞− −− xparae X , 2 1 2 2 1 σ µ πσ ; Graficamente: µ - σ µ µ + σ X Bioestatística – Prof. Wilson Alves de Oliveira 7 As principais características dessa função são: a) O ponto de máximo de f(x) é o ponto X = µ; b) Os pontos de inflexão da função são: X = µ + σ e X = µ - σ; c) A curva é simétrica com relação a µ; d) E(X) = µ e VAR(X) = σ2. Demonstra-se que f x dx( ) = −∞ ∞ ∫ 1 . Para calcular a probabilidade P(a ≤ X ≤ b), deve-se fazer: P(a ≤ X ≤ b) = f x dx a b ( )∫ , que apresenta um grau relativo de dificuldade. É utilizada a seguinte notação: X: N(µ , 2σ ), (X tem distribuição normal com média µ e variância 2σ ). Seja X: N(µ , σ2), define-se: Z = X − µ σ . Demonstra-se que Z também tem distribuição normal. Z é chamada de variável normal reduzida. Pode ser mostrado que E(Z) = 0 e VAR(Z) = 1 . Logo, se X: N(µ , 2σ ) → Z: N(0, 1). A função densidade de probabilidade de Z é: f(z) = ∞<<∞− − zparae Z , 2 1 2 2 π . Exemplo de relação entre X e Z: Seja X: N(20, 4). Achar os valores reduzidos correspondentes a X1 = 14, X2 = 16, X3 = 18, X4 = 20, X5 = 22, X6 = 24 e X7 = 26. Se X: N(20, 4) µ σ = = 20 2 e Z = X X− = −µ σ 20 2 ; a) X1 = 14; Z1 14 20 2 3= − = − ∴ = −Z1 3; b) X2 = 16; Z2 16 20 2 2= − = − ∴ = −Z2 2 ; c) X3 = 18; Z3 18 20 2 1= − = − ∴ = −Z3 1; Bioestatística – Prof. Wilson Alves de Oliveira 8 d) X4 = 20; 0 2 2020 4 = − =Z ∴ =Z4 0; e) X5 = 22; Z5 22 20 2 1= − = ∴ =Z5 1; f) X6 = 24; Z6 24 20 2 2= − = ∴ =Z6 2 ; g) X7 = 26; Z7 26 20 2 3= − = ∴ =Z7 3. Concluí-se que a variável Z indica quantos desvios padrões a variável X está afastada da média. Como as curvas são simétricas em relação às médias, P(µ - σ ≤ X ≤ µ) = P(µ ≤ X ≤ µ + σ); P(-1 ≤ Z ≤ 0) = P(0 ≤ Z ≤ 1). Também concluí-se que se X: N(µ ; σ2) então, P(X1 ≤ X ≤ X2) = P(Z1 ≤ Z ≤ Z2), onde Z1 = X1 − µ σ e Z2 = X 2 − µ σ . USO DA TABELA A vantagem de se usar a variável Z é que pode-se tabelar os valores da área, ou as probabilidades, pois para cada X dado, a área depende de µ e 2σ . A tabela usada fornece a área sob a curva normal padrão entre Z = 0 e qualquer valor positivo de Z. 0 Zα Z αα =≤≤ )0( ZZP α Bioestatística – Prof. Wilson Alves de Oliveira 9 Exemplo de uso da tabela: Seja X: N(100, 25). Calcular: a) P(100 ≤ X ≤ 106); c) P(112 ≤ X ≤ 116); b) P(89 ≤ X ≤ 107); d) P(X ≥ 108). a) P(100 ≤ X ≤ 106) = P(0 ≤ Z ≤ 1,2) = 0,384930; * 2,1 5 100106 0 5 100100 21 = − == − = ZeZ ; b) P(89 ≤ X ≤ 107) = P(-2,2 ≤ Z ≤ 1,4) = P(-2,2 ≤ Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 1,4) = = 0,486097 + 0,419243 = 0,90534; * 4,1 5 100107 2,2 5 10089 21 = − =−= − = ZeZ ; c) P(112 ≤ X ≤ 116) = P(2,4 ≤ Z ≤ 3,2) = P(0 ≤ Z ≤ 3,2) – P(0 ≤ Z ≤ 2,4) = = 0,499313 – 0,491803 = 0,007510; * 2,3 5 100116 4,2 5 100112 21 = − == − = ZeZ ; d) P(X ≥ 108) = P(Z ≥ 1,6) = 0,5 – P(0 ≤ Z ≤ 1,6) = 0,5 – 0,445201 = 0,054799; * Z1 108 100 5 1 6= − = , . Exemplo de Aplicação: Um fabricante de microscópios sabe, por longa experiência, que a duração dos aparelhos que produz tem distribuição normal com média 1200 dias e desvio padrão de 200 dias. Oferece uma garantia de 2 anos (730 dias). Produz, mensalmente, 2000 aparelhos. Quantos espera trocar pelo uso da garantia dada, mensalmente? X: duração dos aparelhos = = dias dias 200 1200 σ µ ; P(X ≤ 730) = P(Z ≤ - 2,35) = 0,5 - P(- 2,35 ≤ Z ≤ 0) = 0,5 - 0,490613 = 0,009387; * 35,2 200 1200730 1 −= − =Z ; ∴ Deverá trocar mensalmente: 2000(0,009387) = 18,77 ≅ 19 microscópios. Bioestatística – Prof. Wilson Alves de Oliveira 10 LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 3 1) Dê o espaço amostral dos seguintes experimentos: a) Lançamento simultâneo de duas moedas; b) Lançamento simultâneo de três moedas; 2) Considere o experimento: lançamento de dois dados, um branco e outro verde, e observação da face superior. Determine : a) O espaço amostral; b) O evento A: Ocorrência de números iguais nos dois dados; c) O evento B: Ocorrência de números cuja soma seja 5; d) O evento C: Ocorrência de números cuja soma seja 12. 3) Qual a probabilidade de se jogar um dado e obter o número 4 ou um número par? (1/2) 4) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) Não tenha defeitos graves; (5/8) b) Não tenha defeitos; (7/8) c) Seja boa ou tenha defeitos graves. (6/8) 5) Uma urna contém 3bolas brancas, 2 vermelhas, 1 azul e 2 pretas. Retira-se uma bola da urna ao acaso. Qual é a probabilidade de sair uma bola de cor vermelha ou azul? (3/8) 6) Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sanguíneo O é 0,4, ser A é 0,3 e ser B é 0,2. Suponha ainda que a probabilidade de Rh+ é de 0,9 e que o fator Rh independe do tipo sanguíneo. Nestas condições, qual é a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso da população ser: a) O, Rh+? (0,36) b) AB, Rh-? (0,01) 7) Em uma cidade onde se publicam três jornais A, B e C, constatou-se que entre 1000 famílias, assinam: A: 470, B: 420, C: 315, A e B: 110, A e C: 220, B e C: 140 e 75 assinam os três. Escolhendo-se ao acaso uma família, qual a probabilidade de que ela: a) assine o jornal A ou o B? (780/1000) b) assine o jornal A ou B ou o C? (810/1000) c) não assine nenhum dos três jornais? (190/1000) 8) O quadro abaixo dá a distribuição das probabilidades dos quatro tipos sanguíneos, numa certa comunidade. Tipo sanguíneo A B AB O Probabilidade de ter o tipo especificado 0,2 Probabilidade de não ter o tipo especificado 0.9 0,95 Calcular a probabilidade de que a) um indivíduo, sorteado ao acaso nessa comunidade, tenha o tipo O; (0,65) b) dois indivíduos, sorteados ao acaso nessa comunidade, tenham tipo A e B, nessa ordem. (0,02) Bioestatística – Prof. Wilson Alves de Oliveira 11 9) Um exame é constituído de dez testes com 5 alternativas, onde apenas uma é correta. Quantos testes acerta, em média, um aluno que nada sabe sobre a matéria do exame? Qual é a variância da distribuição? (2 e 8/5) 10) Admitindo-se que os nascimentos de meninos e meninas sejam iguais, calcular a probabilidade de um casal com 6 filhos ter 4 filhos homens e 2 mulheres. (15/64) 11) A probabilidade de um casal heterozigoto para o gene da fenilcetonúria (Aa x Aa) ter um filho afetado (aa) é 1/4. Qual é a probabilidade de um, de três filhos de um casal nestas condições, apresentar a doença? (27/64) 12) Se a probabilidade de um indivíduo ter sangue Rh- é 10%, qual a probabilidade de 5 indivíduos que se apresentam para exame do tipo de sangue: a) 0 com Rh- ; (0,59049) d) 3 com Rh- ; (0,00810) b) 1 com Rh- ; (0,32805) e) 4 com Rh- ; (0,00045) c) 2 com Rh- ; (0,07290) f) Todos Rh- ; (0,00001) 13) Na fabricação de peças de determinado tecido aparecem defeitos ao acaso, um a cada 250 m. Supondo-se a distribuição de Poisson para os defeitos, qual a prob. de que na produção de 1000 m; a) não haja defeito; (0,018316) b) aconteçam pelo menos três defeitos. (0,761896) 14) De acordo com a Divisão de Estatística Vital do Departamento de Saúde dos U.S.A., a média anual de afogamentos acidentais neste país é de 3 por 100.000 indivíduos. Determinar a probabilidade que em uma cidade com 300.000 habitantes se verifiquem: a) nenhum afogamento; 0,000123 b) menos de 3 afogamentos; 0,006232 c) no máximo 2 afogamentos; 0,006232 d) mais de 4 e menos de 8 afogamentos. 0,268933 15) Sendo Z uma variável com distribuição normal padronizada, encontre as seguintes probabilidades. a) P(0 < Z < 1,96) (0,475) b) P(-0,5 < Z < 0,5) (0,382926) c) P(Z > -2) (0,977250) 16) Em mulheres, a quantidade de hemoglobina por 100ml de sangue é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ = 16g e desvio padrão σ = 1g. Qual a probabilidade de uma mulher apresentar: a) de 16 a 18g de hemoglobina por 100ml de sangue? 0,4772 b) mais de 18g de hemoglobina por 100ml de sangue? 0,0228 17) Suponha que a estatura de 500 recém-nascidos do sexo masculino é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal de média 50 cm e desvio padrão 2,50 cm. Quantos recém- nascidos do sexo masculino têm estatura: a) inferior a 48 cm? (105,93 ≅ 106) b) entre 45 e 55 cm? (477,25 ≅ 477) c) entre 42,5 e 57,5 cm? (498,65 ≅ 499) Bioestatística – Prof. Wilson Alves de Oliveira
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