Diagrama de Blocos

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Projeto Reenge - Eng. Elétrica
Apostila de Sistemas de Controle I
Prof. Hélio Leães Hey - 1997
III-1
&$3Ì78/2 ,,,
“CONCEITOS FUNDAMENTAIS”
3.1- INTRODUÇÃO
Inicialmente neste capítulo, estuda-se o conceito de função de transferência, o qual é a base
da teoria de controle clássico. Após, estuda-se a representação de sistemas através de diagrama de
blocos, bem como a álgebra de blocos e suas simplificações. É também apresentado o gráfico de
fluxo de sinais e a obtenção da função de transferência de um sistema utilizando a fórmula do ganho
de Mason. Finalizando este capítulo, é apresentada uma introdução a abordagem de modelo de
variáveis de estado para representação de sistemas.
3.2- FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é definida como sendo a
relação entre a transformada de laplace da saída (função resposta) e a transformada de laplace da
entrada (função excitação), considerando-se nulas todas as condições iniciais.
Seja a seguinte expressão:
a
d y t
dt
a
d y t
dt
dy t
dt
a y t b
d t
dt
b
d t
dt
b
d t
dt
b t
n
n
n
n n n
m
m
m
m m m0 1
1
1 1 0 1
1
1 1
( ) ( )
...
( )
. ( ) ( ) ( ) ... ( ) . ( )+ + + = + + +
−
− −
−
− −
 a
χ χ χ χ
Onde: n m≥
χ( )t ⇒ entrada e y t( ) ⇒ saída
Aplicando-se a transformação de laplace na expressão acima, temos:
( ) ( )a a S a a Y s b b b b X sn n n n m m m m0 1 1 1 0 1 1 1.S .... .S ( ) .S .S .... .S ( )+ + + + = + + + +− − − −
Utilizando o conceito de função de transferência, resulta:
G s Y s
X s
b b b b
a a a a
m m
m m
n n
n n
( ) ( )( )
.S .S .... .S
.S .S .... .S
= =
+ + + +
+ + + +
−
−
−
−
0 1
1
1
0 1
1
1
 ⇒
COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
• A função de transferência de um sistema é uma propriedade do sistema, independendo da
natureza e da magnitude da entrada;
 
• Utilizando-se o conceito de função de transferência, é possível representar um sistema
dinâmico em termos de expressões algébricas da variável complexa “S”;
 
• Embora a função de transferência de um sistema inclua as informações necessárias para
relacionar a entrada com a saída, ela não fornece informações a respeito da estrutura física do
sistema. Isto significa que a função de transferência de sistemas fisicamente diferentes podem
ser idênticas;
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
(de um sistema de ordem n)
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• Se a função de transferência de um sistema é conhecida, a resposta do mesmo pode ser
analisada para diferentes formas de excitação (entrada), com a finalidade de compreender a
natureza e o comportamento do sistema;
 
• Se a função de transferência de um sistema não é conhecida, ela pode se obtida
experimentalmente pela introdução de sinais de entrada conhecidos e estudando-se as
respostas obtidas. Uma vez obtida, a função de transferência fornece uma descrição completa
das características dinâmicas do sistema.
3.3- DIAGRAMA DE BLOCOS
O diagrama de blocos de um sistema, é a representação gráfica das funções desempenhadas
pelos componentes que compõe o sistema, juntamente com o fluxo de sinais dentro do sistema. O
diagrama de blocos, ao contrário da representação matemática do sistema, fornece uma visão gráfica
global do sistema indicando realisticamente a finalidade dos componentes dentro do sistema, e como
ocorre o fluxo de sinais entre os blocos. A seguir são apresentados os componentes que compõe um
diagrama de blocos e uma descrição sobre os mesmos.
- Blocos e Fluxo de Sinais
É uma representação simbólica para a operação matemática, na qual o sinal de saída do bloco
é produzido pelo sinal de entrada deste mesmo bloco, multiplicado pelo ganho do bloco (função de
transferência do bloco).
Os fluxos de sinais são flechas que indicam o sentido em que os sinais de entrada e saída dos
blocos são interligados.
A representação de um sistema através de diagramas de blocos, permite que se saiba qual a
contribuição de cada bloco (componente) no desempenho global do sistema.
- Ponto de Soma
Os pontos de soma em um diagrama de blocos indicam como os sinais devem ser somados ou
subtraídos. Deve-se observar que os sinais a serem somados ou subtraídos, devem ter as mesmas
dimensões e unidades.
- Pontos de Ramificações
São pontos nos quais, um mesmo sinal flui em direções diferentes.
Y s X s G s( ) ( ) . ( )=
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3.4- DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA EM MALHA FECHADA
Quando em um diagrama de blocos de um sistema em malha fechada, a saída é realimentada
para um ponto de soma para comparação com o sinal de entrada, é necessário converter o sinal de
saída para a unidade do sinal de entrada (ex: tensão, força, posição, etc.). Esta conversão é feita por
um elemento de realimentação, cuja função de transferência é H(s). Na maioria das vezes, este
elemento de realimentação , é um sensor que mede a grandeza de saída Y(s), fornecendo como saída
um sinal proporcional B(s), porém de mesma natureza que o sinal de entrada X(s). O sinal E(s) é o
sinal de erro atuante do sistema.
Para o diagrama de bloco mostrado acima, as funções de transferências associados são:
Função de transferência de malha-aberta: F.T.M.A ⇒ B s
E s
G s H s( )( ) ( ). ( )=
Função de transferência direta: F.T.D ⇒ 
Y s
E s
G s
( )
( ) ( )=
Função de transferência de malha-fechada: F.T.M.F ⇒ Y s
X s
G s
G s H s
( )
( )
( )
( ). ( )= +1
A função de transferência de malha-fechada pode ser obtida como segue:
 
Y s G s E s
E s X s B s
B s H s Y s
( ) ( ). ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ). ( )
=
= −
=
{ } ( )Y s G s X s H s Y s G( ) ( ). ( ) ( ). ( )= − ∴ = Y(s) 1 + G(s).H(s) (s).X(s)
Y s
X s
G s
G s H s
( )
( )
( )
+ ( ). ( )= 1 ⇒ = +
Y s
X s
F T D
F T M A
( )
( )
. .
. . .1
Ex:
Seja o circuito abaixo representado; onde ei(t) é o sinal de entrada e e0(t) é o sinal de saída.
Obtenha o diagrama de blocos correspondente. Após obtenha a função de transferência de malha
fechada do circuito, utilizando o conceito visto.
Obs:
Para a obtenção do diagrama de blocos de um determinado sistema, deve-se inicialmente
obter as equações que descrevem cada componente. Aplica-se T.L., admitindo-se condições iniciais
nulas. Represente cada equação pelos blocos correspondentes. Então junte os blocos e tenha o
diagrama de blocos completo.
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I s E s E s
R
( ) ( ) ( )= −1 0 I s CS E s s I s
CS
( ) . ( ) ( ) ( )= ∴ =0 0 E
 
 
 
 G s
RCS
( ) = 1 e H s( ) = 1
Sabendo-se que: E s
E s
G s
G s H s
0
1 1
( )
( )
( )
( ) ( )= + , resulta:
E s
E s RCS
0
1
1
1
( )
( ) = + ⇒
E s
E s
RC
S RC
0
1
1
1
( )
( ) = +
3.5- SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAÇÕES
No sistema acima representado, temos dois sinais de entrada, isto é, a própria entrada do
sistema X(s) e uma perturbação N(s).
Quando temos um sistema sujeito a entradas diferentes podemos obter independentemente as
respostas para cada uma das entradas, utilizando-se o teorema da superposição, e após adicioná-las
resultando na resposta completa.
Para o sistema mostrado, considere que:
Y(s) = YN(s) + YX(s)
Onde:
i t
e t e t
R
i t C
d e t
dt
i( ) ( ) ( )
( ) . . ( )
=
−
=
0
0
⇒
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Y(s) = resposta completa do sistema;
YN(s) = respostado sistema devido a entrada N(s) (perturbação);
YX(s) = resposta do sistema devido a entrada X(s) (ent. principal);
Y s
N s
G s
G s G s H s
N( )
( )
( )
( ) ( ). ( ).= +
2
2 11
Y s
X s
G s G s
G s G s H s
X( )
( )
( ). ( )
( ) ( ). ( ).= +
1 2
1 21
Y s
G s N s
G s G s H s
G s G s X s
G s G s H s( )
( ). ( )
( ) ( ). ( )
( ) ( ). ( )
( ) ( ). ( ).
.
.
=
+
+
+
2
1 2
1 2
1 21 1
{ }Y s G sG s G s H s N s G s X s( )
( )
( ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ).= + + +
2
1 2
11
Se G s G s H s1 2 1( ) ( ) ( ). . >>> e G s H s1 1( ). ( ) >>> então:
 
Y s
X s
H s
( ) = ( )( )
Com isto, concluí-se que:
• Se o ganho G1(s).H(s) é elevado, os efeitos que as perturbações poderiam causar na
resposta do sistema, são desprezados.
 
• Se o ganho G1(s).H(s) é elevado, a função de transferência do sistema independe das
variações em G1(s) e G2(s) e é inversamente proporcional ao ganho H(s). Se o ganho
da realimentação é unitário, então o sistema em malha fechada, tende a igualar a saída
com a entrada.
3.6- REGRAS DA ÁLGEBRA DO DIAGRAMA DE BLOCOS
Geralmente, diagramas de blocos complicados envolvendo diversos laços de realimentação,
vários blocos em série, pode ser simplificado através da manipulação de blocos no diagrama,
utilizando-se as regras da álgebra de blocos mostrados a seguir:
Y sN( ) ≈ 0
Y s
H s
X sX( ) ( ) . ( )≈
1
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Observações:
- Em toda simplificação a ser feita, o produto das funções de transferência diretas deve
permanecer inalterado. Isto também vale para funções de transferência em um laço.
- Para a correta simplificação de um diagrama de blocos deve-se inicialmente deslocar-se
pontos de soma e junção, permutar pontos de soma e, então, reduzir-se os laços de realimentação
internos.
3.7- GRÁFICOS DE FLUXO DE SINAL
Da mesma forma que o diagrama de blocos, o gráfico de fluxo de sinais é usado para a
representação gráfica de uma função de transferência.
No gráfico de fluxo de sinais, os blocos são substituídos por setas e os pontos de soma por
nós. Porém, os nós também representam as variáveis do sistema. Cada seta indica a direção do fluxo
de sinal e também o fator de multiplicação que deve ser aplicado a variável de partida da seta (ganho
do bloco).
Ex:
≈
C s G s E s( ) ( ). ( )=
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DEFINIÇÕES DOS TERMOS USADOS EM GRÁFICO DE FLUXO DE SINAIS
Nó: Representa uma variável.
Ganho de Ramo: É o ganho entre dois nós.
Ramo: É uma reta interligando dois nós.
Nó de Entrada: São os nós que possuem apenas ramos que saem do nó. Corresponde a uma
variável de controle independente.
Nó de Saída: São os nós que possuem apenas ramos que chegam ao nó. Corresponde a uma
variável dependente.
Nó Misto: São os nós que apresentam ramos saindo e chegando ao nó.
Caminho: É uma trajetória de ramos ligados no sentido das flechas.
Caminho Aberto: É aquele em que nenhum nó é cruzado mais de uma vez.
Caminho Fechado: É aquele em que termina no mesmo nó em que começou.
Caminho Direto: É o caminho desde um nó de entrada até um nó de saída, cruzando cada
nó uma única vez.
Laço: É um caminho fechado.
Ganho do Laço: É o produto dos ganhos dos ramos que fazem parte do laço.
Laços que não se tocam: São laços que não apresentam nós comuns.
ÁLGEBRA DO GRÁFICO DE FLUXO DE SINAIS
≈
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3.8- FÓRMULA DO GANHO DE MASON
A fórmula do ganho de Mason permite que se determine o ganho de um sistema em malha
fechada diretamente do diagrama de blocos ou do gráfico de fluxo de sinais, sem a necessidade de
redução dos mesmos. Embora seja um procedimento simples, a aplicação desta técnica deve ser
usada com extremo cuidado para que os termos que compõe a fórmula do ganho não sejam
trocados.
Ex: Seja o seguinte sistema:
A definição dos caminhos diretos e dos ganhos dos laços envolvidos é mostrado abaixo.
CAMINHOS DIRETOS: G1 ,G2 ,G3 ,G4 ,G5
 
 
G6 ,G4 ,G5
LAÇOS: G2 H1
 
G4 H2
Seja “T”, o ganho do gráfico acima, isto é, a sua função de transferência. A fórmula do ganho
de Mason é dada por:
( )T M M M MK K
K
P
p p= = + + +
=
∑1 1
1
1 2 2∆
∆
∆
∆ ∆ ∆. . . ...... .
Onde:
∆ ⇒ Determinante do gráfico
∆ ⇒ 1 − (Σ dos ganhos dos laços individuais) + (Σ dos produtos de ganhos de todas
as possíveis combinações de dois laços que não se tocam) − (Σ dos produtos de ganhos de todas as
possíveis combinações de três laços que não se tocam) + (Σ dos produtos de ganhos de todas as
possíveis combinações de quatros laços que não se tocam) − (........
∆
 
⇒ −1 L L L L L L
aa bb c c d e fd e f
∑ ∑ ∑+ − +
, , ,
. . . .....
MK = ganho do K-ésimo caminho direto;
∆K = É o determinante associado ao K-ésimo caminho direto. É obtido de ∆, remo-
 
 vendo-se os laços que tocam este K-ésimo caminho direto.
Para o exemplo mostrado, resulta:
M1 = G1, G2, G3, G4, G5
M2 = G6, G4, G5
L1 = - G2H1
Ganho dos caminhos Diretos;
Ganhos dos laços individuais;
L2 = - G4H2
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L1. L2 = G2H1.G4H2 Ganho de 2 laços que não se tocam;
∆ = 1 - (- G2H1 - G4H2) + (G2H1.G4H2)
∆1 = 1
∆2 = 1 + G2H1
T
M M
=
+1 1 2 2∆ ∆
∆
( ) ( ) ( )
T
G G G G G G G G G H
G H G H G H G H=
+ +
+ + +
1 2 3 4 5 6 4 5 2 1
2 1 4 2 2 1 4 2
1 1
1
. .
.
3.9- INTRODUÇÃO A TEORIA DE MODELOS DE VARIÁVEIS DE ESTADO
A tendência dos sistemas modernos é de que cada vez mais aumente sua complexidade. Isto
se deve principalmente a necessidade de uma boa precisão, aliada a própria complexidade das tarefas
a serem executadas pelo sistema. Nestes sistemas tem-se várias-entradas e várias-saídas que
geralmente podem ser variantes no tempo.
Esta complexidade fez com que os sistemas de controle fossem analisados segundo uma nova
abordagem, que é o modelo de variáveis de estado.
Esta abordagem é uma ferramenta fundamental na teoria de sistemas de controle moderno,
sendo aplicável a sistemas com múltiplas entradas e saídas, lineares ou não, variantes ou invariantes
no tempo. Esta abordagem é feita no domínio de tempo.
Vale lembrar que a abordagem de controle clássico, baseada no conceito de função de
transferência, é válida para sistemas lineares, invariantes no tempo e uma entrada-uma saída e feita
no domínio freqüência.
A seguir são feitas algumas definições necessárias para a abordagem de ESPAÇO DE ESTADO.
- Estado:
O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (de estado), tal que o
conhecimento destas variáveis em t = t0, juntamente com a entrada para t ≥ t0, determina
completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t ≥ t0.
- Variáveis de Estado
É o menor conjunto de variáveis que determina o estado de um sistema dinâmico. Se pelo
menos “n” variáveis ( )χ χ χ1 2( ), ( ),.... ( )t t tn são necessárias para descrever completamente o
comportamento de um sistema dinâmico, então estas “n” variáveis são um conjunto de variáveis de
estado.
Embora não seja necessário, é interessante que as variáveis de estado sejam grandezas
facilmente mensuráveis devido a aplicação das de de controle que necessitam da realimentação
destas variáveis.
- Vetor de Estado
Se “n” variáveis de estado são necessárias para descrever o comportamento de um sistema,
então estas “n” variáveis podem ser consideradas como “n” componentes de um vetor X t1 ( ) ,
chamado VETOR DE ESTADO.
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- Modelo de Variáveis de Estado
É um conjunto de equações diferenciais de 1a ordem, escritas na forma matricial que permite,
além de representar as relações entre as entradas e as saídas do sistema, permite representar também
algumas características internas do sistema.
Como característica desta abordagem, pode-se citar:
- Como o sistema pode ter mais de uma entrada, é possível enviar para dentro do modelo
mais informações a cerca da planta;
 
- Vários modelos de variáveis de estado podem ser obtidos para um mesmo sistema. Visto
que depende da escolha das variáveis de estado;
 
- As teorias de controle moderno são desenvolvidas para esta abordagem;
 
- Para simulação de sistemas, geralmente necessita-se do seu modelo de variáveis de estado.
Ex:
Seja o sistema mostrado abaixo. Obtenha a equação diferencial de segunda ordem que
o define, a sua função de transferência e duas representações por modelo de variáveis de estado.
“1”, “2”, “4” → “3”
ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ
i t
R
c t
R
t
R
C
d
dt t
L
R
d
dt t
( ) ( ) ( )
. ( ) . . ( )
1 1
0
2
0
2
0= + + +

 “6”
ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑi t
R
t
R
L
R R
d t
dt
t
R
C
d t
dt
LC
R
d t
dt
( ) ( )
.
( ) ( )
.
( )
.
( )
1
0
1 1 2
0 0
2
0
2
2
0
2= + + + + “7”
LCR
R t
L CR R
R t
R R
R t i t
1
2
0
1 2
2
0
1 2
2
0.�� ( ) . � ( ) . ( ) ( )ϑ ϑ ϑ ϑ+ +



 +
+


 = “8”
A expressão acima representa o sistema mostrado, através da equação diferencial de 2a
ordem que o define.
- Função de Transferência
Para a obtenção da função de transferência deste sistema, deve-se obter a razão entre as
transformações de laplace dos sinais de entrada e saída.
i t
i t c t
R1 1
( ) ( ) ( )= −ϑ ϑ “1”
ϑ ϑc t t L di tdt( ) ( ) .
( )
− =0
2
 “2”
i t i t C d c t
dt1 2
( ) ( ) . ( )− = ϑ “3”
ϑ0 2 2( ) . ( )t R i t= “4”“2” → ϑ ϑc t t L
di t
dt
( ) ( ) . ( )= +0 2 “5”
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Entrada: ϑi t Vi s( ) ( )− Saída: ϑ0 0( ) ( )t V s−
LCR
R
S V s
L CR R
R
SV s
R R
R
V s Vi s1
2
2
0
1 2
2
0
1 2
2
0. ( ) . ( ) ( ) ( )+ +



 +
+


 = “9”
Seja:
A
LCR
R
=
1
2
; B
L CR R
R
=
+ 1 2
2
; C
R R
R
=
+1 2
2
;
V s
Vi s AS BS C
0
2
1( )
( ) = + + “10”
- 1o Modelo de Variáveis de Estado
Para a obtenção do modelo de variáveis de estado, deve-se inicialmente definir quem são as
variáveis de estado; sinais de entrada e sinais de saída.
Entrada: ϑi t( ) Saída: ϑ0( )t
Variáveis de Estado: ϑ ϑ0 0( ), � ( )t t 
Desta forma, tem-se que:
χ ϑ
χ ϑ
1 0
2 0
( ) ( )
( ) � ( )
t t
t t
=
=
 Variáveis de estado y t t t( ) ( ) ( )= =ϑ χ0 1 → Sinal de saída
LCR
R
t
L CR R
R
t
R R
R
t i t1
2
1
1 2
2
1
1 2
2
1.
�� ( ) . � ( ) . ( ) ( )χ χ χ ϑ+ +

+
+


 = “11”
mas, � ( ) ( )χ χ1 2t t= . Desta forma, resulta que:
LCR
R
t
L CR R
R
t
R R
R
t i t1
2
2
1 2
2
2
1 2
2
1.
� ( ) . ( ) . ( ) ( )χ χ χ ϑ+ +
 +
+


 = “12”
Seja:
D
R R
LCR=
+1 2
1
; E
L CR R
L CR=
+
+
1 2
1
; F
R
LCR=
2
1
;
� ( )
� ( ) .
( )
( ) . ( )
χ
χ
χ
χ ϑ
1
2
1
2
0 1 0t
t D E
t
t F i t



 = − −







 +



 “13”
[ ]y t t
t
( ) . ( )( )=



1 0
1
2
χ
χ “14”
- 2o Modelo de Variáveis de Estado
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Sejam agora as variáveis de estado, a tensão do capacitor e a corrente do indutor.
Entrada: ϑi t( ) Saída: ϑ0( )t
Variáveis de Estado: χ ϑ1( ) ( )t c t=
 
 
 
χ2 2( ) ( )t i t=
� ( ) . ( ) . ( ) . ( )χ ϑ χ χ1
1 1
1 2
1 1 1
t
R C i t R C t C t= − − “15”
� ( ) ( ) ( ) ( )χ χ χ ϑ1
1
1 2
1
1 1 1
t
R C t C t R C i t= − − + “16”
� ( ) ( ) . ( )χ χ χ2 1 2 2
1
t
L
t
R
L
t= − “17”
y t R t( ) . ( )= 2 2χ
� ( )
� ( ) .
( )
( ) . ( )
χ
χ
χ
χ ϑ
1
2
1
2
1
2
1
1 1
1
1
0
t
t
R C C
L
R
L
t
t
R C i t



 =
− −
−













 +








[ ]y t R t
t
( ) . ( )( )=



0 2
1
2
χ
χ
3.10- FORMA PADRÃO DE REPRESENTAÇÃO DO MODELO DE VARIÁVEIS
DE
 
 
 ESTADO DE UM SISTEMA
A forma padrão para representação do modelo de variáveis de estado para um sistema
qualquer é mostrado abaixo.
� ( ) . ( ) . ( )
( ) . ( ) . ( )
X t A X t B U t
Y t C X t D U t
= + ⇒
= + ⇒

 
 
Onde:
 X(t) → Vetor de Estado;
 A
 
 
 
 → Matrix de Estado;
 B
 
 
 
→ Matrix de Entrada;
 C 
 
→ Matrix de Saída;
 D → Matrix de Transmissão direta;
Equação de Estado
Equação de Saída
 Y(t) → Vetor de Saída.
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 U(t) → Vetor de Entrada;
Geralme
nte, a Matrix de
Transmissão
Direta é nula, visto que quase sempre existe uma dinâmica em todas as ligações entrada e saída dos
sistemas.
A obtenção do modelo de variáveis de estado de um sistema, geralmente pode ocorrer
através de uma das formas apresentadas abaixo
- Equações Diferenciais do Sistema: Geralmente as variáveis de estado são variáveis físicas do
sistema.
- Função de Transferência: Geralmente não são variáveis físicas do sistema.
3.11- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Seja o seguinte sistema de equações, onde y1(t) e y2(t) são as saídas do sistema e µ1(t) e µ2(t)
as entradas do sistema.
�� ( ) � ( ) ( ) ( ) ( )
� ( ) ( ) � ( ) ( )
y t K y t K y t t K t
y t K y t K y t K t
1 1 1 2 1 1 3 2
2 4 2 5 1 6 1
+ + = +
+ + =

µ µ
µ
- Variáveis de Estado
Desta forma, substituindo as variáveis de estado no sistema de equações, resulta:
� ( ) ( )χ χ1 2t t=
� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )χ χ χ µ µ2 1 2 2 1 1 3 2t K t K t t K t= − − + +
� ( ) ( ) ( ) ( )χ χ χ µ3 5 2 4 3 6 1t K t K t K t= − − +
� ( )
� ( )
� ( )
.
( )
( )
( )
.
( )
( )
χ
χ
χ
χ
χ
χ
µ
µ
1
2
3
2 1
5 4
1
2
3
3
6
1
2
0 1 0
0
0
0 0
1
0
t
t
t
K K
K K
t
t
t
K
K
t
t






= − −
− −












+










χ
χ
χ
1 1
2 1
3 2
( ) ( )
( ) � ( )
( ) ( )
t y t
t y t
t y t
=
=
=



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III-14
y t
y t
t
t
t
1
2
1
2
3
1 0 0
0 0 1
( )
( ) .
( )
( )
( )



 =










χ
χ
χ
3.12- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DA
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Seja a seguinte Função de Transferência:
Y s
U s
G s b S b S b
S a S a S a
s
s
( )
( ) ( ) .
( )
( )= =
+ +
+ + +
 2
2
1 0
3
2
2
1 0
1
1
 
 
χ
χ
Y s b S s b S s b s
U s S s a S s a S s a s
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= + +
= + + +

2
2
1 1 1 0 1
3
1 22
1 1 1 0 1
χ χ χ
χ χ χ χ
Definindo-se:
S s sχ χ1 2( ) ( )= S s S s s2 1 2 3χ χ χ( ) ( ) ( )= =
Aplicando-se a transformação inversa de laplace no sistema de equações acima, resulta que :
Y t b t b t b t( ) ( ) ( ) ( )= + +2 3 1 2 0 1χ χ χ
e:
� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
� ( ) ( )
� ( ) ( )
χ χ χ χ µ
χ χ
χ χ
3 2 3 1 2 0 1
1 2
2 3
t a t a t a t t
t t
t t
= − − − +
=
=
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III-15
� ( )
� ( )
� ( )
.
( )
( )
( )
. ( )
χ
χ
χ
χ
χ
χ
µ
1
2
3 0 1 2
1
2
3
0 1 0
0 0 1
0
0
1
t
t
t a a a
t
t
t
t






=
− − −












+






[ ]y t b b b
t
t
t
( ) .
( )
( )
( )
=






0 1 2
1
2
3
χ
χ
χ
3.13- OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA, A
PARTIR DAS EQUAÇÕES DE ESTADO
Seja a representação de estado, mostrada abaixo:
Aplicando a transformação de laplace nestas equações e considerando nulas as condições
iniciais, resulta:
SX s AX s BU s( ) ( ) ( )= +
Y s CX s DU s( ) ( ) ( )= +
( ). ( ) ( ) ( ) ( ) . ( )SI A X s BU s X s SI A BU s− = → = − −1
Substituindo a expressão de X(s) na equação de Y(s), resulta:
{ }Y s C A B D U s( ) .(SI ) . . ( )= − +−1
Com isto, tem-se:
Y s
U s
G s C SI A B D( )( ) ( ) .( ) .= = − +
−1
X t A X t B t
Y t C X t D t
•
= +
= +



( ) . ( ) . ( )
( ) . ( ) . ( )
µ
µ
matrix identidade
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III-16
3.14- TRANSFORMAÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO E VARIÁVEIS DE
ESTADO
Seja a seguinte representação de estado:
 
Definindo-se um outro Vetor de Estado V(t) = Q.X(t), onde “Q” é uma matrix qualquer,
resulta.
X t Q V t( ) . ( )= −1
Onde:
Q P− =1 ; P → Matrix de Transformação;
X t P V t( ) . ( )=
� ( ) . � ( )X t P V t=
Substituindo-se as expressões de X(t) e � ( )X t na representação mostrada, tem-se:
P V t A P V t B U t
Y t C P V t D U t
.
� ( ) . . ( ) . ( )
( ) . . ( ) . ( )
= +
= +

� ( ) . . . ( ) . . ( )
( ) . . ( ) . ( )
V t P A P V t P B U t
Y t C P V t D U t
= +
= +

− −1 1
� ( ) . ( ) . ( )
( ) . ( ) . ( )
V t Av V t Bv U t
Y t Cv V t D U t
= +
= +
 ⇒ NOVA REPRESENTAÇÃO DE ESPAÇO DE ESTADO
Ex:
Dado G s
S S
( ) =
+ +
1
3 22
 obtenha:
- Uma representação por Espaço de Estado;
- Uma representação por Espaço de Estado para a seguinte transformação:
 
ϑ χ χ
ϑ χ χ
1 1 2
2 1 22
( ) ( ) ( )
( ) ( ) . ( )
t t t
t t t
= +
= +

Utilizando-se o procedimento mostrado no ítem 3.12, o modelo de estado para este sistema é
obtido como mostrado abaixo:
� ( )
� ( ) .
( )
( ) . ( )
X t
X t
X t
X t t
1
2
1
2
0 1
2 3
0
1



 = − −







 +



 µ
� ( ) . ( ) . ( )
( ) . ( ) . ( )
X t A X t B U t
Y t C X t D U t
= +
= +

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III-17
[ ]Y t XX( ) .=



1 0
1
2
O novo conjunto de variáveis de estado V(t), em função das variáveis de estado X(t), é dado
por:
V t
X t
X t( ) .
( )
( )=








1 1
1 2
1
2
 Onde: Q Q= 

 = +
1 1
1 2
1 e e Adj Q. = −
−




2 1
1 1
Sendo P-1=Q, resulta que:
P Q− = = 


1 1 1
1 2
 P Q Adj QQ= =
−1 .
 P =
−
−




2 1
1 1
Com isto, temos que:
P A P− =



 − −




−
−



 =
− −
− −




−
−



 =
−
− −




1
1 1
1 2
0 1
2 3
2 1
1 1
2 2
4 5
2 1
1 1
2 0
3 1. . . . .
e:
P B− =







 =




1 1 1
1 2
0
1
1
2. . [ ] [ ]C.P =
−
−



 = −1 0
2 1
1 1 2 1.
Finalizando, o novo modelo de variáveis de estado é dado por:
 
� ( )
� ( ) .
( )
( ) . ( )
V t
V t
V t
V t t
1
2
1
2
2 0
3 1
1
2



 =
−
− −







 +



 µ
 [ ]Y t V tV t( ) .
( )
( )= −



2 1
1
2