Cap 2 Vibrações UFCG

Prévia do material em texto

Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 26 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE 
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
UNIDADE ACADÊMICA DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
DISCIPLINA: VIBRAÇÕES MECÂNICAS (CÓDIGO: 1105021) 
 
 
 
 
APOSTILA DE CURSO 
 
Capítulo 2 - Vibração Livre de Sistemas 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Antonio Almeida Silva 
 
 
 
 
 
 
 
Campina Grande – PB 
2014 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 27 
CAPÍTULO 2 – VIBRAÇÃO LIVRE DE SISTEMAS (1 GDL) 
 
Sumário: 
 
 Introdução; 
 Vibração livre de sistemas em translação não amortecido; 
 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido; 
 Vibração livre com amortecimento viscoso; 
 Lugar das raízes e condições de estabilidade; 
 Solução analítica das equações do movimento (Simulação Matlab); 
 Solução numérica pelo método de Runge-Kutta (Simulação Matlab). 
 
2.1 Introdução 
 
O estudo da vibração livre de sistemas de um grau de liberdade, não amortecidos e 
amortecidos, é fundamental para o entendimento de questões mais avançadas de vibrações. 
Diz-se que um sistema sofre vibração livre quando oscila somente sob uma perturbação 
inicial. As oscilações de um relógio de pêndulo simples, o movimento oscilatório vertical de 
um sistema massa-mola após um impacto ou choque, representam alguns exemplos de 
vibração livre. 
Quando considera-se que o sistema não possui elemento de dissipação de energia 
durante o movimento da massa, a amplitude do movimento permanece constante ao longo do 
tempo; é um sistema não amortecido. Na prática, exceto no vácuo, a amplitude de vibração 
livre diminui gradativamente com o tempo devido à resistência oferecida pelo meio. Tais 
vibrações são denominadas amortecidas. O estudo da vibração livre de sistemas de um grau 
de liberdade, amortecidos ou não amortecidos, é fundamental para o entendimento de 
questões mais avançadas de vibrações. 
 
 
2.2 Vibração Livre de Sistema em Translação Não Amortecido 
 
A Fig. (2.1a) mostra um sistema massa-mola que representa o sistema vibratório mais 
simples possível. Não há nenhuma força externa aplicada à massa; por consequência, o 
movimento resultante de uma perturbação inicial será vibração livre. 
 
2.2.1 Equação do movimento pela 2
a
 lei de Newton 
 
Considerando a configuração de equilíbrio estático do sistema massa-mola não 
amortecido (Fig. 2.1a), e assumindo que a massa m se encontra fixada a uma mola de rigidez 
k e está apoiada sobre roletes sem atrito de modo a ter movimento de translação apenas no 
sentido longitudinal. 
 
 Figura 2.1 – Sistema massa-mola em posição horizontal. 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 28 
 
Supondo que a massa é deslocada a uma distancia +x em relação à sua posição de 
equilíbrio estático na Fig. (2.1b), a força atuante na mola será 
xkfs 
, e o diagrama de 
corpo livre da massa pode ser representado na Fig. (2.1c). 
Aplicando a segunda lei de Newton à massa m resulta na equação de movimento: 
 
0)(  xkxmouxmxktF 
 (2.1) 
 
2.2.2 Equação do movimento por outros métodos 
 
a) Princípio de D’Alembert 
 
 Por esse princípio, os problemas de dinâmica podem ser considerados como de 
equilíbrio de forças (ou momentos). Assim, as equações de movimento podem ser reescritas: 
 
0)(0)(   JtMouxmtF (2.2) 
 
 Os termos 
xm 
 e 
J
 são tratados como uma força de inércia e um momento de 
inércia, respectivamente. A interpretação da Eq. (2.2) é a de que a soma das forças externas e 
da força de inércia que atuam no sistema é zero. A aplicação do princípio de D’Alembert, ao 
sistema da Fig. (2.1c) resulta na equação: 
 
00  xkxmouxmxk 
 (2.3) 
 
b) Princípio dos deslocamentos virtuais 
 
 Esse princípio afirma que “se um sistema em equilíbrio sob a ação de um conjunto de 
forças for submetido a um deslocamento virtual δ, então o trabalho virtual total realizado 
pelas forças será zero”. 
 Considere o sistema massa-mola em uma posição deslocada como mostrado na Fig. 
(2.6a). No diagrama de corpo livre da massa com as forças reativa e de inércia da Fig. (2.6b), 
quando a massa sofre o deslocamento virtual δx, o trabalho virtual realizado pode ser 
calculado da seguinte maneira: 
- Trabalho virtual realizado pela força da mola: 
xxkWs  )(
; 
- Trabalho virtual realizado pela força de inércia: 
xxmWi  )( 
; 
 
 
 
Figura 2.6 – Massa sob deslocamento virtual. 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 29 
 
 Portanto, quando o trabalho virtual total realizado por todas as forças iguala-se a zero, 
e considerando que o deslocamento virtual pode ter um valor arbitrário, 
0x 
, obtemos 
 
00  xkxmouxxkxxm   (2.4) 
 
c) Princípio da conservação da energia 
 
 Diz-se que um sistema é conservativo se nenhuma energia for perdida devido a atrito 
ou elementos que dissipam energia. Se nenhum trabalho for realizado sobre um sistema 
conservativo por forças externas (com exceção da força da gravidade ou outras forças 
potenciais), então a energia total do sistema permanece constante. Visto que a energia do 
sistema vibratório é parcialmente potencial U e parcialmente cinética T, a soma dessas duas 
energias permanece constante. (ver Exercício_06) 
 
 Assim, o princípio da conservação da energia pode ser expresso como: 
 
  0 UT
dt
d
oucteUT
 (2.5) 
 
 Como a energia cinética T e energia potencial U são dadas por 
 
2
2
1 xmT 
 e 
2
2
1 xkU 
 (2.6) 
 
 A substituição da Eq. (2.6) em (2.5) também nos dá: 
 
0 xkxm 
 (2.7) 
 
conforme já obtida anteriormente, pela segunda lei de Newton. 
 
2.2.3 Solução da equação do movimento 
 
A solução da Eq. (2.7) pode ser encontrada admitindo-se que 
 
tsts esCtxeeCtx 2)()(  
 (2.8) 
 
onde C e s são constantes não nulas a serem determinadas pelas condições iniciais. 
Substituindo a Eq. (2.8) em (2.7) resulta em, 
 
0)( 2  kmsC
 (2.9) 
 
Como C não pode ser zero, temos que 
0kms2 
 e, por consequência, as raízes 
dessa equação característica são 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 30 
m
k
s 21 ,
 (2.10) 
 
Assumindo 
1i 
, e definindo a frequência natural por 
 
mkn 
 (2.11) 
 
 Os dois valores de s dados pela Eq. (2.10) são também conhecidos como autovalores 
do problema. Assim, uma solução geral da Eq. (2.7) pode ser expressa como 
 
titi nn eCeCtx
  21)(
 (2.12) 
 
onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas a partir das condições iniciais. 
 
Usando a identidade de Euler: 
tsenite ti   cos
, a Eq. (2.12) pode ser reescrita, 
 
tensAtAtx nn  21 cos)( 
 (2.13) 
 
onde A1 e A2 são novas constantes. Duas condições são necessárias para avaliar essas 
constantes. Se os valores do deslocamento 
)(tx
 e da velocidade 
)(tx
, forem definidas como 
oo xex 
 no tempo t = 0, temos a partir da Eq. (2.13), 
 
on
o
xAtx
xAtx
 

2
1
)0(
)0(

 (2.14) 
 
Assim, a solução da Eq. (2.7) em função das condições iniciais dadas A1 e A2 pode 
assumir a forma geral, 
 
tens
x
txtx n
n
o
no 

 cos)(
 (2.15) 
 
Outras formas de representação da Eq. (2.13) são obtidas, utilizando-se as formas 
vetoriais:  senAAeAA  21 cos ou oooo AAesenAA  cos21  , que podem ser 
expressas como 
 
)(cos)(   tAtx n
 (2.16) 
ou 
 
)()( ono tensAtx  
 (2.17) 
 
onde, as amplitudes e respectivos ângulos de fase, podem ser obtidos por 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 31 
2
2







n
o
oo
x
xAA

 (2.18) 
e 
 












 
o
no
o
no
o
x
x
tge
x
x
tg

 
11
 (2.19) 
 
A natureza da oscilação harmônica pode ser representada em gráfico, como mostra a 
Fig. (2.8a). Uma representação típica da Eq. (2.16) é vista na Fig. (2.8b), onde nota-se o efeito 
das condições iniciais em termos de deslocamento e do ângulo de fase. (ver Exercício_07) 
 
 
Figura 2.8 – Representação gráfica do movimento de um oscilador harmônico. 
 
 Algumas observações adicionais devem ser feitas em relação ao sistema massa-mola: 
 
1) Se o sistema massa-mola estiver na posição vertical, a frequência natural pode ser expressa 
por: 
stn g  
, pois a rigidez da mola, 
stst gmWk  
; 
2) Pela Eq. (2.16), a velocidade 
)(tx
 e a aceleração
)(tx
 no tempo t podem ser obtidas como: 
)cos()cos()(
)
2
cos()()(
22 



tAtAtx
tAtenAstx
nnnn
nnnn

 (2.20) 
 
 A Eq. (2.20) mostra que a velocidade está adiantada em relação ao deslocamento por 
2
 e a aceleração está adiantada em relação ao deslocamento por 

. 
3) Se o deslocamento inicial 
ox
 for zero, a Eq. (2.13) torna-se 
 tsen
x
tx n
n
o 


)(
 (2.21) 
 
 Contudo, se a velocidade inicial 
ox
 for zero, a solução torna-se 
 
 txtx no cos)( 
 (2.22) 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 32 
 
2.3 Vibração Livre de um Sistema Torcional Não Amortecido 
 
Se um corpo rígido oscilar em relação a um eixo de referência (ex. sistemas 
engrenados), o movimento resultante será uma vibração por torção. No caso, o deslocamento 
do corpo é medido em termos de uma coordenada angular θ. 
 A Fig. (2.14a) mostra um disco com momento de inércia de massa polar Jo montado 
em uma extremidade de um eixo circular sólido cuja outra extremidade é fixa. Seja θ o ângulo 
de torção do eixo. 
 
 
Figura 2.14 – Vibração por torção de um disco. 
 
 Pela teoria da torção de eixos, temos as seguintes relações: 
 
l
IG
k ot 
 onde 
32
4d
Io


 (2.23) 
onde: 
G é o módulo de elasticidade transversal, 
l é o comprimento do eixo, 
d é o diâmetro do eixo, 
Io é o momento de inércia polar do eixo. 
 
Se o disco for deslocado de um ângulo θ em relação a sua posição de equilíbrio, o eixo 
age como uma mola torcional com uma constante de elasticidade dada por 
 
l
dG
l
IG
k ot
32
4

 (2.24) 
 
2.3.1 Equação de movimento do sistema torcional 
 
 A equação de movimento angular do disco em relação ao seu eixo pode ser obtida pela 
segunda lei de Newton. Pelo diagrama de corpo livre do disco (Fig. 2.14b), pode-se obter a 
equação, 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 33 
 
0  to kJ 
 (2.25) 
 
que podemos verificar ser idêntica à Eq. (2.7) se o momento de inércia polar do disco Jo, o 
deslocamento angular θ e a constante elástica torcional kt forem substituídos pela massa m, 
deslocamento x e constante linear k, respectivamente. 
 
Assim, a frequência natural do sistema torcional é 
 
otn Jk
 (2.26) 
 
 É importante observar os seguintes aspectos em relação ao sistema torcional: 
1) O momento de inércia de massa polar de um disco é dado por: 
g
DWDh
Jo
832
24

 , onde 
ρ é a densidade, h é a espessura, D é o diâmetro e W o peso do disco. 
 
2) O sistema de mola de torção-inércia mostrado na Fig. (2.14) é denominado pêndulo de 
torção. Uma das aplicações é em relógios mecânicos, nos quais um sistema catraca-
lingueta converte oscilação regular de um pequeno pêndulo nos movimentos dos ponteiros. 
 
2.3.2 Solução da equação de movimento torcional 
 
 A solução geral da Eq. (2.25) pode ser obtida, como no caso da Eq. (2.7), na forma: 
 
tensAtAt nn  21 cos)( 
 (2.27) 
 
onde ωn é dada pela Eq. (2.26) e A1 e A2 podem ser determinadas pelas condições iniciais. Se 
ot   )0(
 e 
ot    )0(
 as constantes são: 
oA 1
 e 
noA 2
. 
Também podemos verificar que a Eq. (2.27) representa um movimento harmônico 
simples. (ver Exercício_08) 
 
 
2.4 Vibração Livre com Amortecimento Viscoso 
 
2.4.1 Equação do movimento pela segunda lei de Newton 
 
Um sistema massa-mola com um amortecedor viscoso é mostrado na Fig. (2.21a). Se x 
for medida em relação à posição de equilíbrio da massa m, e considerando que o elemento de 
amortecimento viscoso, dado pela constante c é proporcional à velocidade 
x
, a aplicação da 
segunda lei de Newton, conforme o diagrama da Fig. (2.21b), nos dá 
 
0 xkxcxmouxkxcxm 
 (2.28) 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 34 
 
Figura 2.21 – Sistema massa-mola com amortecedor viscoso. 
 
2.4.2 Solução geral da equação 
 
Para resolver a Eq. (2.28), admitimos uma solução na forma 
steCtx )(
, onde C e s 
são constantes. A inserção dessa função e suas derivadas resultam na equação característica, 
 
02  kscsm
 (2.29) 
 
cujas raízes são obtidas na forma já conhecida, 
 
m
k
m
c
m
c
m
mkcc
s 










22
2,1
222
4 (2.30) 
 
 Estas raízes resultam em duas soluções, 
ts
eCtx 111 )( 
 e 
ts
eCtx 222 )( 
. Assim, a 
solução geral é dada pela combinação das soluções: 
 
tsts
eCeCtx 21 21)( 
 (2.31) 
 
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais. 
 
Definições de amortecimento crítico e fator de amortecimento 
 
 O amortecimento crítico cc é definido como o valor da constante de amortecimento c 
para o qual o radical na Eq. (2.30) torna-se nula, ou seja: 
 
nc
c mmk
m
k
mcou
m
k
m
c 2220
2
2





 (2.32) 
 
 Para um sistema amortecido, define-se o fator de amortecimento como a razão entre a 
constante de amortecimento e o amortecimento crítico: 
ccc
. Substituindo
nmc )2(
, 
na Eq. (2.30), obtém-se outra forma de expressar as raízes, 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 35 
ns  )1( 22,1 
 (2.33) 
 
e, portanto, a solução geral dada pela Eq. (2.31), assume a forma 
 
tt nn
eCeCtx
 




 




 

1
2
1
1
22
)(
 (2.34) 
 
 A natureza das raízes 
21 ses
 e o comportamento da solução, dada pela Eq. (2.31), 
depende do fator de amortecimento. Pode-se perceber que para o caso de 
0
 resulta em 
vibrações não amortecidas discutidas na seção 2.2. Por consequência, admitindo que 
0
 
podemos considerar os três casos seguintes. 
 
Caso 1. Sistema subamortecido: 
ccc  ;10 
 
 
 Para essa condição,)1( 2 
 é negativo e as raízes são complexas. Fazendo 
1i
, 
as raízes da Eq. (2.33) podem ser expressas como 
 
nis  )1( 22,1 
 (2.35) 
 
Analogamente, a solução dada pela Eq. (2.34), pode ser descrita de outra forma, como 
 
titi nn eCeCtx
 )1(
2
)1(
1
22
)(


 (2.36) 
 
ou, após algumas manipulações algébricas, nas formas 
 
)(cos)(
)()(
od
t
o
d
t
teXtx
tseneXtx
n
n







 (2.37) 
 
onde
),( X
 e 
),( ooX 
 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais. 
Definindo a frequência amortecida por 
21   nd
, e assumindo as condições iniciais 
0)0( xtx 
 e 
0)0( xtx  
, podemos determinar
'
2
'
1 CeC
: 
 
d
ono
o
xx
CexC 


'
2
'
1
 (2.38) 
 
e, por consequência, a solução geral torna-se 
 





 
  t
xx
txetx d
d
ono
do
tn 
 sincos)(  (2.39) 
 
 As constantes 
),( X
 e 
),( ooX 
 podem ser expressas como 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 36 
 
   '1'21'2'11
2'
2
2'
1 )()(
CCtgeCCtg
CCXX
o
o
 


 (2.40) 
 
Obs: O movimento descrito por essas equações é um movimento harmônico amortecido de 
frequência angular
21   nd
; porém por causa do fator 
tne

, a amplitude 
diminui exponencialmente no tempo (Fig. 2.22). (ver Exercício_09) 
 
 
Figura 2.22 – Solução subamortecida. 
 
Caso 2. Sistema criticamente amortecido: 
ccc  ;1
 
 
 Nesse caso, as duas raízes da Eq. (2.33) são reais e iguais, e podem ser expressas como 
 
n
c
m
c
ss 
2
21
 (2.41) 
 
 Por causa das raízes repetidas, a solução geral da Eq. (2.34) é dada por, 
 
  tnetCCtx  21)(
 (2.42) 
 
A aplicação das condições iniciais: 
00 )0()0( xtxextx  
, nesse caso, temos 
 
onoo xxCexC  21
 (2.43) 
 
e a solução geral torna-se 
 
   tonoo netxxxtx
  )( (2.44) 
 
Obs: Pode-se ver que o movimento representado pela Eq. (2.44) é aperiódico (não periódico). 
Visto que 
0 tne 
 quando 
t
, o movimento eventualmente diminuirá até zero, 
como indica a Fig. (2.24). 
 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 37 
 
Figura 2.22 – Comparação de movimentos com diferentes tipos de amortecimento. 
 
Caso 3. Sistema superamortecido: 
ccc  ;1
 
 
 A Eq. (2.33) mostra que as raízes 
21 ses
 são reais e distintas, e são dadas por: 
 
ns  )1( 22,1 
 (2.45) 
 
com 
12 ss 
 e negativas. Nesse caso, a solução dada pela Eq. (2.36), pode ser: 
 
tt nn eCeCtx
 )1(
2
)1(
1
22
)(


 (2.46) 
 
 A Eq. (2.46) mostra que o movimento é aperiódico, independente das condições 
iniciais impostas ao sistema. Visto que as raízes 
21 ses
 são ambas negativas, o movimento 
diminui exponencialmente com o tempo, como pode ser visto na Fig. (2.22). 
A natureza das raízes com a variação dos fatores de amortecimento pode ser mostrada 
no plano complexo, conforme a Fig. (2.25). O semicírculo representa o lugar das raízes para 
diferentes valores de ζ na faixa de 
10 
. 
 
Figura 2.25 – Lugar da raízes para diferentes fatores de amortecimento. 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 38 
 
2.4.3 Método do decremento logarítmico 
 
 O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração 
livre livremente amortecida. É definido como o logaritmo natural da razão entre duas 
amplitudes sucessivas. Pela Eq. (2.36), podemos expressar a razão entre duas amplitudes 
sucessivas 
21 xex
 como 
 
dn
dn
n
e
e
e
x
x
t
t






)(
2
1
1
1 (2.47) 
 
 O decremento logarítmico pode ser obtido pela Eq. (2.47): 
 
n
ndn
x
x


2
2
1
1
2
ln


 ou 
m
c
d 2
2
1
2
2 


 


 (2.48) 
 
ou ainda, para pequenos fatores de amortecimento, a Eq. (2.48) pode ser aproximado por: 
 
12   se
 (2.49) 
 
 A Fig. (2.27) mostra a variação do decremento logarítmico dado pelas Eqs. (2.48) e 
(2.49), onde se observa que, para valores até 
3,0
, é difícil distinguir uma curva da outra. 
 
 
Figura 2.25 – Variação do decremento logarítmico com amortecimento. 
 
O decremento logarítmico é adimensional e, na realidade, é outra forma do fator de 
amortecimento. Uma vez conhecido δ, ζ pode ser determinado resolvendo-se a Eq. (2.48): 
 
22)2( 




 (2.50) 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 39 
 
 Se usarmos a Eq. (2.49) em vez da Eq. (2.48), obtemos: 
 2
 (2.51) 
 
Se o amortecimento do sistema não for conhecido, podemos determiná-lo por meios 
experimentais medindo-se dois deslocamentos consecutivos
21 xex
. (ver Exercício_10) 
Na verdade, o fator de amortecimento também pode ser determinado medindo-se dois 
ciclos separados por qualquer número de ciclos m, cuja equação geral é dada por 
 







1
1ln
1
mx
x
m

 (2.52) 
 
que pode ser substituído na Eq. (2.50) ou Eq. (2.51) para obter o fator de amortecimento ζ. 
 
 
2.5 Condições de Estabilidade e Método da Energia 
 
 Considere uma barra rígida de massa uniformemente distribuída m articulada em uma 
das extremidades e conectada simetricamente a duas molas na outra extremidade, como 
mostra na Fig. (2.17a). Quando a barra for deslocada por um ângulo θ, a força resultante em 
cada mola será 
senlk
; e a força total de mola será 
senlk2
. 
A força da gravidade 
mgW 
 age no sentido vertical de cima para baixo, passando 
pelo centro de gravidade G. O momento de inércia em relação ao ponto de rotação O devido à 
aceleração angular é 
   32mlJo 
. 
 
 
Figura 2.17 – Estabilidade de uma barra rígida. 
 
 Assim, a equação de movimento da barra pode ser escrita como 
 
  0
2
cos2
3
2
  senlWlsenlkml 
 (2.53) 
 
 Para pequenas oscilações, onde 
 sen
 e 
1cos 
, a Eq. (2.53) reduz-se a 
 
0
2
312
0
2
2
3 2
2
2
2





 
 
ml
Wllk
ou
l
Wlk
ml 
 (2.54) 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 40 
 
A solução da Eq. (2.54) depende do sinal de 
  22 2312 mllWlk 
. 
 
Caso 1. Quando 
  02312 22  mllWlk
, a solução da Eq. (2.54) representa oscilações estáveis 
e pode ser expressa como 
 
tensAtAt nn  21 cos)( 
 (2.55) 
 
onde A1 e A2 são constantes e 21
2
2
2
312





 

ml
lWlk
n
. 
 
Caso 2. Quando 
  02312 22  mllWlk
, a Eq. (2.54) reduz-se para 
0
, e a solução pode 
ser obtida diretamente integrando-se duas vezes 
 
21)( CtCt 
 (2.56) 
 
Para as condições iniciais 
oo tet    )0()0(
, a solução torna-se 
 
00)(   tt 
 (2.57) 
 
A Eq. (2.57) mostra que o deslocamento angular aumenta linearmente com velocidade 
constante 
0

. Entretanto, se 
00 
,o pêndulo permanece na posição de equilíbrio 
0 
. 
 
Caso 3. Quando 
  02312 22  mllWlk
, definimos 21
2
2
2
123





 

ml
lklW

 e expressamos a 
solução da Eq. (2.54) como 
 
tt eBeBt   21)(
 (2.58) 
 
onde B1 e B2 são constantes. Para as condições iniciais 
0
 e 
0

, a Eq. (2.58) torna-se 
 
    tt eet  
 0000
2
1
)( 
 (2.59) 
 
 A Eq. (2.59) mostra que 
)(t
 aumenta exponencialmente com o tempo e, por 
consequência, o movimento é instável ou divergente. A razão física é que o momento 
restaurador devido à mola 
)2( 2lk
, que tenta trazer o sistema para a posição de equilíbrio, é 
menor do que o momento não restaurador devido à gravidade 
))2(( lW
, que tenta afastar a 
massa da posição de equilíbrio. Esse típico comportamento também é conhecido como uma 
instabilidade divergente. (ver Exercício_11) 
 
 
 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 41 
 
2.6 Vibração Livre com Amortecimento de Coulomb 
 
 Em muitos sistemas mecânicos são usados amortecedores de Coulomb ou de atrito 
seco devido a simplicidade e conveniência. A lei de Coulomb de atrito seco afirma que, 
quando dois corpos estão em contato, a força requerida para deslizamento é proporcional à 
força normal que age no plano de contato. Assim, a força de atrito F é dada por 
 
gmWNF   (2.60) 
 
onde N é a força normal, W=mg e µ é o coeficiente de atrito. O valor do coeficiente de atrito 
depende dos materiais em contato e das condições das superfícies. Por exemplo, µ=0,1 para 
metal sobre metal (com lubrificação), µ=0,3 para metal sobre metal (sem lubrificação) e 
aproximadamente µ=1 para borracha sobre metal. 
 
2.6.1 Equação do movimento 
 
 Considere um sistema massa-mola com atrito seco como mostrado na Fig. (2.33a). 
Uma vez que a força de atrito varia com a direção da velocidade, precisamos considerar dois 
casos, como indicado nas Figs. (2.33b) e (2.33c). 
 
 
 
Figura 2.33 – Sistema massa-mola com amortecimento de Coulomb. 
 
Caso 1. Quando x é positivo e 
x
 é positiva ou quando x é negativo e 
x
 é positiva (isto é, 
para o meio-ciclo durante o qual a massa se movimenta da esquerda para a direita), a equação 
do movimento pode ser obtida pela 2ª lei de Newton (Fig. 2.33b), 
 
NxkxmouNxkxm    (2.61) 
 
 Esta é uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem. A solução pode ser 
verificada substituindo a Eq. (2.62) na Eq. (2.61) 
 
k
N
tensAtAtx nn
  21 cos)(
 (2.62) 
 
onde A1 e A2 são constantes cujos valores dependem das condições iniciais desse meio ciclo. 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 42 
Caso 2. Quando x é positivo e 
x
 é negativa ou quando x é negativo e 
x
 é negativa (isto é, 
para o meio-ciclo durante o qual a massa se movimenta da direita para a esquerda), a equação 
do movimento pode ser derivada pela Fig. (2.33c), como 
 
NxkxmouNxkxm    (2.63) 
 
 A solução da Eq. (2.63) é dada por 
 
k
N
tensAtAtx nn
  43 cos)(
 (2.64) 
 
onde A3 e A4 são constantes cujos valores dependem das condições iniciais desse meio ciclo. 
 
 As Eqs. (2.62) e (2.64) indicam que em cada meio ciclo o movimento é harmônico, e a 
posição de equilíbrio muda de 
kN
 para
kN
, como mostrado na Fig. (2.34). 
 
 
Figura 2.34 – Movimento da massa com amortecimento de Coulomb. 
 
2.6.2 Solução da equação do movimento 
 
 As Eqs. (2.61) e (2.63) podem ser expressas como uma única equação (usando N=mg): 
 
0)sgn(  xkxgmxm   (2.65) 
 
onde a função sgn(y) é definida como sendo: 1 para y>0 e -1 para y<0. Podemos ver que a 
Eq. (2.65) é uma função diferencial não linear para a qual não existe uma solução analítica 
simples. Nesse caso, deve-se optar por métodos numéricos. (ver Exercício_12) 
 
 
2.7 Solução Numérica das Equações do Movimento 
 
 Embora os problemas examinados até aqui tenham sido tratados como equações 
diferenciais lineares que podem ser resolvidas analiticamente, existem muito problemas que 
não podem ser resolvidos dessa forma. A equação do pêndulo simples é um exemplo. Para 
resolver a equação analiticamente, fez-se uso da aproximação angular 
 sen
, resultando 
numa solução analítica aproximada, onde as condições iniciais são válidas apenas para 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 43 
pequenos ângulos 
)( 10
. Para os casos de condições iniciais com ângulos maiores, uma 
rotina de integração numérica deve ser utilizada para calcular e plotar uma solução exata da 
equação de movimento (ver Exercício_08). 
 O Matlab possui diversas sub-rotinas baseadas na utilização de métodos numéricos, 
que podem ser usadas para a solução de sistemas de equações diferenciais ordinárias de 
primeira ordem. Em sistemas de equações diferenciais de ordens mais elevadas ou não 
homogêneas, especialmente aqueles onde as forças atuantes são transientes ou não periódicas, 
uma equação diferencial de ordem n pode ser convertida em um sistema de n equações 
diferenciais ordinárias de primeira ordem antes de usar funções Matlab. 
 
2.7.1 Resposta no tempo pelo método de Runge-Kutta 
 
Em geral, a aplicação das leis físicas pertinentes aos vários tipos de problemas 
dinâmicos (mecânica dos sólidos, mecânica dos fluidos, etc.) recaem na formulação de 
modelos através de equações diferenciais parciais. Nesses casos, são chamados de “modelos 
contínuos”, que consideram um número infinito de pequenas massas distribuídas ao longo da 
estrutura, o que permite obter um comportamento que reproduz quase exatamente o sistema 
físico em questão. Infelizmente estes modelos só podem ser resolvidos para um pequeno 
número de casos e situações especiais, o que limita bastante as necessidades dos engenheiros, 
levando-os a trabalhar com modelos menos exatos. 
Quando se considera o meio material discreto, os modelos são denominados “modelos 
de parâmetros concentrados”, cujas variáveis dependentes do sistema são consideradas 
uniformes sobre regiões finitas do espaço. Neste caso, se trabalha com sistemas de equações 
diferenciais ordinárias, cujas soluções são mais simples e de fácil compreensão do fenômeno. 
 
Método de Runge-kutta aplicado na resposta de vibração livre 
 
 O Matlab tem diversas funções ou solvers baseados na utilização de métodos 
numéricos, que podem ser usados para a solução de um sistema de equações diferenciais 
ordinárias de primeira ordem. Um procedimento numérico produz uma lista de valores 
discretos 
)( ii txx 
 que aproxima uma solução tal qual a função contínua 
)(tx
, que é a 
solução exata. Para dadas condições iniciais de vibração livre amortecida na forma, 
 
oo v0xex0x0xkxcxm  )()(; 
 (2.66) 
 
os valores iniciais 
oo vex
, formam os dois primeiros pontos da solução numérica. Seja o 
intervalo de duração 
),( fT0
 cuja solução é de interesse, e o intervalo de discretização no 
tempo tal que 
nTt f
. Assim a Eq. (2.66) é calculada nos valores de 
).,...,.,, fn21o Ttntt2ttt0t 
 para produzir uma representação aproximada, ou 
simulação da solução. 
 
 Uma formulação útil para resolver problemas de primeira ordem, baseada nas 
derivadas de Runge-kutta, estabelece que 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva(UFCG/CCT/UAEM) 
 44 
 
),();,(
);,();,(
:,
ttktxfk
2
t
tk
2
t
xfk
2
t
tk
2
t
xfktxfk
ondekk2k2k
6
t
xx
n3nn4nn2nn3n
n1nn2nnn1n
4n3n2n1nn1n












 (2.67) 
 
 A soma entre parênteses na primeira das Eqs. (2.67) representa a média de 6 números, 
cada um resultante das inclinações médias obtidas para os diferentes tempos no intervalo
t
. 
 
 Retornando ao problema da Eq. (2.66), dividimos ambos os termos da equação pela 
massa m e definimos duas novas variáveis
)(txx1 
 e 
)(txx2 
, e substituímos x e sua 
derivada em termos de x1 e x2 na forma 
 
)()()(
)()(
tx
m
k
tx
m
c
tx
txtx
122
21




 (2.68) 
 
sujeitas às condições iniciais 
o1 x0x )(
 e 
o2 x0x )(
. Essas duas equações acopladas, podem 
ser expressas na forma matricial 
 
























)(
)(
)(;
)(
)(
)(;
0x
0x
0x
tx
tx
tx
m
c
m
k
10
A
2
1
2
1
 (2.69) 
 
onde a matriz A é chamada de matriz de estado, e o vetor x é o vetor de estado. A posição x1 e 
velocidade x2 são chamadas de variáveis de estado. Usando essas definições, a Eq. (2.68) 
pode ser escrita na forma compacta 
 
)()( txAtx 
 (2.70) 
 
sujeita a condição inicial x(0). Utilizando uma rotina Runge-kutta a escolha dos intervalos de 
tempo pode ser feita de forma automática usando a função ode23, cujo seguinte comando 
deve ser usado 
 
>> [t, x]=ode23('dfunc', tspan, x0) 
 
onde dfunc é o nome da função m-file cuja entrada deve ser t e x e cuja saída deve ser um 
vetor coluna que representa 
dtdx /
, isto é, 
),( xtf
. O número de linhas no vetor coluna deve 
ser igual ao número de equações de primeira ordem. O vetor tspan deve conter os valores 
inicial e final da variável independente tempo t e, opcionalmente, quaisquer valores 
intermediários de t nos quais se queira a solução. O vetor x0 deve conter os valores iniciais de 
x(t). Um procedimento semelhante é usando a função ode45. (ver Exercícios 09 e 12) 
 
 
 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 45 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
Capítulo 2 - Vibrações Livres de Sistemas 
 
Exercício_06 (Vibração livre de Pêndulo composto – Ex. 2.66, Rao) 
 
 Determine a frequência natural do pêndulo mostrado na Fig. 2.83, quando a massa da 
barra conectora não é desprezível em comparação com a massa do peso do pêndulo. Esboce a 
equação geral linearizada, usando o método da energia. 
 
 
 
Solução: Considerando o sistema não amortecido, temos a equação da Energia cinética, 
devido a massa da haste m e do peso M: 
 
  )1.(
2
1
32
1 22 ElMl
m
TTT ph  






 
 
 Analogamente, temos a equação da Energia potencial dada por: 
 
)2.()cos1()cos1(
2
ElMg
l
mgUUU ph   
 
 Derivando a soma das Eqs. (E.1) e (E.2), 
  0UT
dt
d
, obtemos a relação: 
 
)3.(0sin
23
2 Elg
m
Ml
m
M 











  
 
 Assumindo pequenos deslocamentos, obtemos a equação linearizada: 
 
)4.(0
3
2
E
l
g
mM
mM








 
 
 
 onde, obtemos a frequência natural, dada por:  
 lmM
gmM
n
3
2



. 
 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 46 
Exercício_07 (Vibração livre não amortecida – Ex. 2.18, Rao) 
 
Um sistema massa-mola não amortecido com m=20 kg e rigidez k=500 N/m é sujeito a 
um deslocamento inicial de 
mxo 075,0
 e uma velocidade inicial de 
smxo /10,0
. 
Determinar as equações e plotar curvas de deslocamento, velocidade e aceleração no Matlab. 
 
Solução: Considerando o sistema não amortecido, na equação compacta dada por, 
 
 
 ono tensAtx  )(
 (E.1) 
 
A frequência natural é obtida por: 
srad
m
k
n /0,5
20
500

; (E.2) 
 
A amplitude máxima Ao e o ângulo de fase Φo são: 
 
m
x
xA
n
o
oo 077,0
5
1,0
)075,0(
2
2
2
2 











 
 (E.3) 
radtg
x
x
tg
o
no
o 31,175
1,0
)5)(075,0(11 











  

 (E.4) 
 
 Assim, as respectivas equações de movimento, sob as condições adotadas acima, são: 
 
 
 
 
 31,1594,1)(
31,15cos388,0)(
31,15077,0)(



tenstx
ttx
tenstx


 (E.5) 
 
 Uma visualização das curvas de deslocamento, velocidade e aceleração são plotadas 
no Matlab, onde nota-se as diferenças de amplitude e ângulo de fase de cada uma delas. 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.1
0
0.1
Resposta de Deslocamento, x(t)
A
m
pl
itu
de
 (m
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.5
0
0.5
Resposta de Velocidade, v(t)
A
m
pl
itu
de
 (m
/s
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-2
0
2
Resposta de Aceleração, a(t)
Tempo, (s)
A
m
pl
itu
de
 (m
/s
2 )
 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 47 
Exercício_08 (Equações e solução de pêndulos simples – P.2.62, Rao) 
 
 Uma massa m é ligada à extremidade de uma barra de massa desprezível e entra em 
vibração em três configurações (Fig. 2.79). (i) Derive as expressões para a frequência natural 
dos pêndulos e determine qual a configuração que correspondente à mais alta frequência 
natural. (ii) Analise as respostas em termos de deslocamentos relativos em condições onde a 
solução linearizada não é válida. 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
(a) Vibração livre: considerando um deslocamento angular θ da massa m e aplicando a 2ª lei 
de Newton, teremos a equação não linear, 
 
0gmml   sin
 (E.1) 
 
 Considerando pequenos deslocamentos, 
 sin
, a Eq. (E.1) linearizada fica, 
 
0gmml   (E.2) 
 
onde, encontra-se a frequência natural, 
 
lgn 
 (E.3) 
 
Assim, a solução geral em termos de posição angular do pêndulo simples será, 
 
ttt n
n
o
no 
 sincos)( 
 (E.4) 
 
(b) Para a segunda configuração incluindo uma mola de rigidez k numa dada posição a, e 
aplicando a 2ª lei de Newton, obtém-se 
 
0sinsin22   lgmakml  (E.5) 
 
 Considerando pequenos deslocamentos, 
 sin
, a Eq. (E.5) fica 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 48 
0)( 22   glmakml  (E.6) 
 
onde, da Eq. (E.6) encontra-se a frequência natural, 
 
2
2
lm
lmgak
n


 (E.7) 
 
(c) Para a configuração do pêndulo invertido, aplicando a 2ª lei de Newton, obtém-se 
 
0sinsin22   lgmakml  (E.8) 
 
 Considerando pequenos deslocamentos, 
 sin
, a Eq. (E.8) fica 
 
0)( 22   glmakml  (E.9) 
 
onde, da Eq. (E.9) encontra-se a frequência natural, 
 
2
2
lm
lmgak
n


 (E.10) 
 
Obs: Após análise dos resultados observa-se que a configuração (b) será a que apresenta a 
maior frequência natural, devido ao numerador possuir os termos se somando. 
 
Por outro lado, analisando as respostas em deslocamento angular, dadas pelas Eqs. 
(E.1) e (E.2), atravésdas soluções analítica e numérica (Runge-kutta), para condições de 
deslocamentos angulares maiores, onde 
 sin
, nota-se um aumento significativo do 
período de vibração resultante em relação à solução obtida pela equação linearizada. 
 
0 2 4 6 8 10 12 14
-1
-0.5
0
0.5
1
Vibração livre - linearizada
Tempo [s]
D
es
lo
c.
 a
ng
ul
ar
 [r
ad
]
0 2 4 6 8 10 12 14
-1
-0.5
0
0.5
1
Vibração livre não linear
Tempo [s]
D
es
lo
c.
 a
ng
ul
ar
 [r
ad
]
 
 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 49 
Exercício_09 (Resposta de vibração livre amortecida, P 2.109, Rao) 
 
Um sistema massa-mola subamortecido com m=10 kg e rigidez k=1000 N/m é sujeito 
a um deslocamento inicial de 
mxo 10,0
 e uma velocidade inicial de 
sm10xo /
. Determinar 
a equação de deslocamento e plotar o gráfico de resposta para c=50 N.s/m usando o Matlab. 
Compare as respostas analítica e numérica por uma rotina Runge-Kutta. 
 
Solução: 
 Considerando a resposta em deslocamento de um sistema subamortecido 
 10 
, 
obtém-se uma forma analítica da solução dada pela Eq. (2.43): 
 
 
)()(    tseneXtx dtn
, onde obtém-se os parâmetros: 
 
msN200m2csrad10
10
1000
m
k
ncn /...;/   ; 
 
srad2501101250
c
c 22
nd
c
/9,68),(;,   
 
m061
689
101025010
10
xx
xX
2
2
2
d
ono2
o ,
,
),)((,
),( 




 





 
 
 
 
rad
101025010
10
tg
xx
x
tg 1
ono
do1 0,094
),)((,
)9,68)(,(














  


 
 
Logo, temos a solução analítica: 
)0,0949,68(,)( ,   tsene061tx t52
 
 
Obs: Nos gráficos de respostas analítica e numérica, observa-se uma boa concordância entre 
as curvas, inclusive na região onde ocorre o maior pico de amplitude relativa. 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Problema 2.109
Tempo, s
D
es
lo
ca
m
en
to
, m
 
 
Numerica
Analitica - zeta=0,25
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 50 
 
Exercício_10 (Projeto de amortecedor de motocicleta – Ex. 2.11, Rao) 
 
 O projeto de um absorvedor de choque para uma motocicleta de m=200 kg, é 
idealizado na figura abaixo com as especificações da resposta no tempo. 
 
(a) Determine as constantes de rigidez e amortecimento para um período de vibração de 2 s e 
quando a amplitude x1 tiver de ser reduzida a um quarto em meio ciclo; 
(b) Determinar a velocidade inicial mínima que resulta num deslocamento máximo 250 mm. 
 
Solução: 
 
Visto que 
164;4 15,1215,1 xxxxx 
. 
 
 
 
Por consequência, o decremento é 
 
2
2
1
1
2
773,2)16ln(ln










x
x
 
 
onde, obtém-se ζ =0,4037. Usando a relação do período τd=2 s, obtém-se 
 
sradn
nd
d /43,3
)4037,0(12
2
1
22
2
22









 
 
(a) A constante de amortecimento crítico cc pode ser obtida por 
 
msNmc nc /.54,373.1)43,3)(200(22   
 
Assim a constante de amortecimento c é dada por 
 
msNcc c /.49,554)54,373.1)(4037,0(  
 
E a rigidez: 
mNmk n /26,358.2)434,3)(200(
22   
 
(b) O deslocamento da massa atingirá seu valor máximo no tempo t1, dado por: (ver P.2.86) 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 51 
sttsentsen d 368,0915,0)4037,0(11 1
22
11   
 
O envelope que passa pelos pontos máximos, é dado por 
 
mXeXeXx
tn 455,0)4037,0(125,01 )368,0)(434,3)(4037,0(22   
 
 A velocidade da massa pode ser obtida, diferenciando o deslocamento 
 
 ttseneXtxtseneXtx dddn
t
d
t nn   cos)()(    
 
Quando t=0, a equação acima fica 
 
smXXxtx ndo /43,1)4037,0(1)434,3)(455,0(1)0(
22   
 
 
Exercício_11 (Análise de pêndulo invertido – Condição de Estabilidade) 
 
 Seja o pêndulo invertido conectado a duas molas de mesma rigidez e amortecimento 
desprezível. (a) Derive a equação do movimento e sua frequência natural, para pequenos 
ângulos θ; (b) Sendo a massa M=0,5 kg, rigidez da mola k=50 N/m, comprimento l=0,5 m e 
massa da haste m=0,25 kg, analise a condição de estabilidade do sistema. 
 
Solução: 
 
(a) Considerando o centroide da barra na posição (l/2) e o peso da barra, e aplicando a 
equação do momento em relação ao pivô o, temos: 
 
)1.(
3
22 ElMl
m
JondeJM eqeqo 





  
 
)2.(
322
)2( 2
2
El
m
Msen
l
mgsenlMgsen
l
k  












 
 
l 
l/2 
mg 
G k k 
o 
Mg 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 52 
 
 Assumindo pequenos ângulos, 
 sin , obtemos a equação linearizada, 
 
)3.(0
223
2
2 E
l
mgMgl
lk
l
m
M 











  
 
 Simplificando, obtém-se a equação geral na forma, 
 
)4.(
)3(
22
,0
)3(
22
E
lmM
mgMglk
onde
lmM
mgMglk
n










  
 
(b) Substituindo os valores dados, observa-se que o sistema será estável pois, 
 
13,65,1281,9.
2
25,0
5,0
2
)5,0(50
22












 g
m
M
lk
 
 
e que o valor da rigidez crítica, para ocorrer a instabilidade seria 
 
mNg
l
mM
kg
m
M
lk
c
c /5,24
2
22





 







 
 
Exercício_12 (Resposta livre com amortecimento Coulomb – Prob. 2.121, Rao) 
 
 A massa de um sistema massa-mola vibra sobre uma superfície seca com uma 
inclinação de 30°, em relação à horizontal, como mostra a Fig. 2.99. (a) Derive a equação de 
movimento; (b) Determine a resposta do sistema para os dados: m=20 kg; k=1000 N/m; 
µ=0,1; 
mxo 10,0
 e 
smxo /5
. 
 
 
 
Solução: 
 
(a) Considerando o D.C.L. do sistema, onde: 
cosmgN 
, obtém-se as formas de solução 
dadas pelas Eqs. (2.61) e (2.63): 
 
Caso 1: 
 sengmgmxkxmousengmNxkxm  cos22  (E.1) 
Caso 2: 
  sengmgmxkxmousengmNxkxm  cos22  (E.2) 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 53 
 
 As Eqs. (E.1) e (E.2) podem ser compactadas na forma geral 
 
02)sgn(cos   sengmxkxgmxm  (E.3) 
 
(b) Para as condições iniciais dadas e considerando-se: 
30 , ;/0,10202000 sradn  
 
Aplicando-se a Eq. (E.3) pelo método de Runge-kutta, obtém-se uma resposta na forma: 
 
;/)1(2))2(sgn(cos)2(
);2()1(
 sengmxkxgf
xf

 (E.4) 
 
0 2 4 6 8 10 12
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Resposta numérica - Runge/Kutta
t (s)
x(
t)
 
 
Exercício_13 (Efeito da massa de viga sobre a frequência natural – Ex. 2.9, Rao) 
 
 Determine a frequência natural de vibração transversal de uma viga engastada-livre 
sob o efeito de uma carga concentrada P na extremidade (Fig. 2.20), sem considerar e 
incluindo a massa da viga. 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
(a) Numa primeira análise, sem considerarmos o efeito da massa da viga, a frequência natural 
seria dadapor: 
Mkn  
onde k é a rigidez e M representa a massa principal. 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 54 
(b) Considerando a massa da viga m, determinamos a massa equivalente na extremidade livre 
usando a equivalência de energia cinética num modelo com 1 GDL. A deflexão estática da 
viga em balanço sob uma carga concentrada P na extremidade, é dada por: 
 
   32
3
2
3
2
3
6
)( xlx
l
y
xl
EI
xP
xy máx 
 (E.1) 
 
 A máxima energia cinética da viga em si (Tmáx) é dada por 
 
  dxxyT
l
l
m
máx
2
0
2
1 )(
 (E.2) 
 
 Usando a Eq. (E.2) para expressar a variação de velocidade 
)(xy
, como 
 
 32
3
3
2
)( xlx
l
y
xy máx 


 (E.3) 
 
e, por consequência, a Eq. (E.2) torna-se 
 
máx
máx
l
máx
máx
yml
l
y
l
m
dxxlx
l
y
l
m
T
27
6
2
0
232
2
3
140
33
2
1
35
33
42
1
)3(
22






















 
 (E.4) 
 
 Se meq denotar a massa equivalente da viga em balanço na extremidade livre, sua 
energia cinética máxima pode ser expressa como 
 
máxeqmáx ymT
2
2
1 
 (E.5) 
 
Igualando as Eqs. (E.4) e (E.5), obtemos 
mmmeq 236,014033 
. Assim, a massa 
efetiva total que age na extremidade livre da viga em balanço é dada por 
 
 
eqeff mMM 
 (E.6) 
 
onde M é a massa principal devido à carga na extremidade da viga. 
 
Portanto, a frequência natural de vibração transversal da viga é dada por 
 
 
mM
k
mM
k
M
k
eff
n
236,0
140
33 



 (E.7) 
 
Obs: Nota-se uma redução na frequência natural devido ao acréscimo no denominador da 
massa efetiva. Para comprovar esse estudo, foi desenvolvido um trabalho experimental 
no LVI-UFCG (Silvano e Rocha, 2009). 
 
Notas de Aulas Período 2014.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 55 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS (Cap. 2 - Vibração Livre de Sistemas) 
 
Responder as questões de revisão e resolver os problemas listados na Tabela abaixo. 
 
Questões: 
 
01) Como saber se um sistema sofre vibração livre ou forçada? Qual a diferença entre sistemas 
conservativos e não conservativos? 
02) Como podemos determinar a equação de movimento de um sistema vibratório? Descreva os 
passos necessários para a sua solução. 
03) Para um sistema torcional, quais são os parâmetros equivalentes ao sistema em translação m, c e k? 
Ilustre com um exemplo. 
04) Quais as premissas adotadas para determinar a frequência natural pelo método da energia. 
Exemplifique. 
05) Descreva pelo menos um procedimento usado para a determinação do amortecimento. 
06) De que forma podem ser classificados os sistemas estáveis e instáveis? Comente as respostas 
usando o mapa do lugar das raízes. 
07) Quando aparece nos sistemas o amortecimento de Coulomb, e como é identificado graficamente? 
08) Quantas constantes arbitrárias deve ter uma solução geral para uma equação diferencial de 
segunda ordem? Como elas são determinadas? Justifique. 
09) Cite duas aplicações práticas do conceito de centro de percussão. Exemplifique. 
10) Qual a diferença entre sistemas com amortecimento Coulomb e viscoso? Exemplifique-os. 
11) A equação de movimento será a mesma quer a massa movimente-se num plano horizontal ou 
inclinado? Justifique. 
12) Quando a massa vibra em sentido vertical, seu peso sempre pode ser ignorado na derivação da 
equação de movimento? Justifique. 
13) O fator de perda pode ser usado para comparar a capacidade de amortecimento de diferentes 
materiais de engenharia? Liste alguns exemplos (ex. Tabela). 
14) No caso de vibrações em pêndulo simples, como deve ser realizada a análise vibratória quando o 
deslocamento angular não é pequeno? Justifique com sugestão de um método. 
15) No caso de vibrações em pêndulo invertido, discuta sobre a análise vibratória quando o sistema é 
passível de instabilidade? Justifique um método de solução. 
 
Problemas (Livro Rao): 
 
2.2 – Sistemas de translação não amortecidos P 2.9, 2.12, 2.44, 2.53, 2.56 
2.3 – Sistemas torcionais não amortecidos P 2.67, 2.69, 2.71, 2.73 
2.4 - Sistemas com amortecimento viscoso P 2.87, 2.89, 2.91, 2.97, 2.108 
2.5 - Condições de estabilidade e método energia P 2.74, 2.75, 2.82, 2.83 
2.6 - Sistemas com amortecimento de Coulomb P 2.112, 2.114, 2.119, 2.121 
2.7 – Rotinas numéricas em Matlab (*) P 2.128, 2.130 a 2.133