Fundamentos de calculo diferencial e integral

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aRte de Capa
Juliana Anjos
Daniela Jacinto
Beatriz Lima
Bruna Hasegawa dos Santos
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imagem de Capa
Fragmento de Marc Chagall (1887-1985)
Obra “Solitude”
diagRamação
Nome do(a) diagramador(a)
Copyright© Jorge Carvalho Brandão
8454/1 – 100 – 180 – 2017
O conteúdo desta obra é de responsabilidade do(s) 
Autor(es), proprietário(s) do Direito Autoral.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Índices para catálogo sistemático:
1. Estudantes com deficiência visual : Aprendizagem
de matemática : Matemática : Estudo e ensino
510.7
Brandão, Jorge
Fundamentos de cálculo diferencial e integral :
para quem não gosta, mas precisa / Jorge Brandão. --
São Paulo : Scortecci, 2017.
 ISBN: 978-85-366-4962-7
1. Cálculo diferencial 2. Cálculo integral
3. Estudantes com deficiência visual 4. Matemática -
Estudo e ensino I. Título.
17-00816 CDD-510.7
Rua Deputado Lacerda Franco, 107
São Paulo - SP - CEP 05418-000
Telefone: (11) 3032-1179
www.scortecci.com.br 
Livraria Asabeça
Telefone: (11) 3031-3956
www.asabeca.com.br
~ 5 ~
5 
 
  
 
 
 
 
Caríssimo leitor e prezada leitora, ler pode ser perigoso, 
com efeito, quando se lê um livro, uma revista, entre outros 
meios escritos, na verdade repetem-se os processos mentais de 
quem escreveu. Assim sendo, quando é que a leitura passa a ser 
algo construtivo para o(a) leitor(a)? 
Quando aquilo que se lê não é ponto de chegada e sim 
ponto de partida para o ato de pensar, haja vista a leitura dos 
pensamentos dos outros servir de base para o(a) leitor(a) conse-
guir ter os próprios pensamentos (COSTA, CASCINO e SA-
VIANI, 2000). A leitura feita com os olhos pode apreciar e as-
sociar gravuras ao texto, o que nem sempre ocorre com aqueles 
que leem com o tato. 
De que forma um professor de Matemática deve trabalhar 
este campo do saber em sala de aula quando existem discentes 
com deficiência visual ou que possuem dificuldades de aprendiza-
gem neste campo do saber? Ora, analisando a expressão “estu-
dante com deficiência visual”, excluindo-se “deficiência visual” 
fica “estudante” e, por conseguinte, têm direitos e deveres iguais 
aos demais. Logo, o docente pode trabalhar conforme planejou 
sua atividade. É claro, com adequações. 
Mesmo raciocínio vale para você, nobre leitor(a). Este ma-
terial foi pensado no método passo a passo onde você dedicando 
até 60 minutos para ler, compreender e se exercitar, você enten-
derá a “essência” do Cálculo Diferencial e Integral com uma 
variável. Ou seja, cada lição é composta de até sete passos, 
da 1ª à 5ª LIÇÃO1 visando entender a construção do saber. A 
 
1 Até a 5ª lição temos o Cálculo Diferencial. Da 6ª lição em diante temos o 
Cálculo Integral 
~ 6 ~
6 
 
partir da 6ª Lição, a qual esperamos que os procedimentos te-
nham sido bem assimilados até então, recomendamos dedicação 
de tempo de, no mínimo, 60 minutos. 
Exemplificando: A Matemática está associada aos núme-
ros... então só há matemática se ocorrer a existência de núme-
ros? Acompanhem, caríssimos leitores, o seguinte exemplo: 
Conjugar o verbo cantar. 
Primeira pergunta natural a ser feita é: em qual tempo 
verbal? Pois bem, caso seja no presente do indicativo temos: 
 
EU CANT O 
TU CANT AS 
... 
Caso seja no pretérito, fica: 
EU CANT EI 
TU CANT ASTE 
... 
Ora, o verbo cantar é um verbo de primeira conjugação 
porque termina em AR. Além disso, é um verbo regular. Verbos 
regulares são verbos que não possuem alteração no radical, no 
caso CANT. 
Percebam que há uma relação direta entre os sujeitos, que 
possuem suas características, e as desinências (terminações). A 
relação entre esses conjuntos, conjunto dos sujeitos e o conjun-
to das desinências, é dada pela existência do radical CANT. 
Como os sujeitos influenciam (DOMINAM) as desinên-
cias, podemos indicar tal conjunto como o DOMÍNIO da fun-
ção "conjugar o verbo cantar". As desinências refletem, reagem 
a este domínio, isto é, elas representam CONTRADOMÍNIO. 
Ao conjunto das desinências de um tempo verbal específico 
chamamos de IMAGEM... 
Eis um exemplo de adequação. 
Aprender matemática (e qualquer outra área do saber) 
consiste em aprender seus conceitos. Por exemplo: leite em pó é 
~ 7 ~
7 
 
leite, se uma criança conceitua leite como líquido de cor branca 
que saem das mamas dos mamíferos? 
 
Lev Semenovich Pontryagin (1908–1988) nasceu em 
Moscou em 1908 e ficou cego aos 14 anos em virtude de uma 
explosão. Foi auxiliado em seus estudos principalmente pelo 
apoio recebido de sua mãe, Tatyana Andreevna, que lia para 
Pontryagin. 
Muito embora fosse leiga na Matemática, Tatyana descre-
via com um linguajar próprio a partir das aparências dos símbo-
los matemáticos. Por exemplo: para indicar que um conjunto A 
está contido em um conjunto B, notação A  B, ela fazia refe-
rência do tipo A cauda B (EVES, 2002). 
A importância da citação de Pontryagin não é só sua capa-
cidade matemática. Seu esforço o tornou um brilhante professor 
nas áreas de Topologia e Equações Diferenciais. Destaca-se a 
participação de sua mãe como um apoio em seus estudos, 
“transcrevendo” textos. 
Na Economia, o estudo da inflação ou nas medidas e ins-
trumentos para medir a taxa de desemprego – fenômenos que 
sofrem variação só com o tempo, nas quais se usam as Equações 
Diferenciais Ordinárias, temos uma certa influência dele. 
Em relação ao Saunderson, Nicholas Saunderson (1682–
1739), com aproximadamente um ano de idade perdeu a visão 
através de varíola, todavia, este ocorrido não o impediu de ad-
quirir um conhecimento de latim e grego, bem como estudar 
matemática. Amigos liam para ele. 
Destaca-se a máquina que ele desenvolveu. A mesma má-
quina era útil tanto para realização dos cálculos algébricos quan-
to para a descrição de figuras retilíneas, podendo ser comparada 
a um “pré-geoplano”. 
~ 8 ~
8 
 
A máquina consistia em um quadrado, dividido em quatro 
partes iguais por meio de linhas perpendiculares aos lados, de 
modo que ele ofereça os nove pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O 
quadrado é perfurado por nove orifícios capazes de receber alfi-
netes de duas espécies todos do mesmo comprimento e da 
mesma grossura, mas uns com a cabeça um pouco mais grossa 
do que outros. 
Os alfinetes de cabeça grande situam-se sempre no centro 
do quadrado; os de cabeça pequena, sempre nos lados exceto 
em um único caso, o do zero. O zero é assinalado por um alfi-
nete de cabeça grande, colocado no centro do pequeno quadra-
do, sem que haja qualquer outro alfinete nos lados. O algarismo 
“1” é representado por um alfinete de cabeça pequena, colocado 
no centro do quadrado, sem que haja qualquer outro alfinete 
nos lados. 
 
 
Algarismo Representação Algarismo Representação 
0 



 5 





 
1 



 6 




 
2 





 7 




 
3 





 8 



 
~ 9 ~
9 
 
4 



 9 





 
 
Figura 1 – Adaptando números de Saunderson, conforme Diderot (2007) 
 
 
O  representa alfinete de cabeça pequena e  indica al-
finete de cabeça grande 
O algarismo “2” é indicado por um alfinete de cabeça 
grande, situado no centro do quadrado, e por um alfinete de 
cabeça pequena, situado em um dos lados do ponto “1”. O alga-
rismo “3” é representado por um alfinete de cabeça grande, situ-
ado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça peque-
na,situado num dos lados do ponto “2”. 
Indica-se o algarismo “4” por um alfinete de cabeça grande, 
situado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pe-
quena, situado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabe-
ça pequena, situado num dos lados do ponto “3”. 
O algarismo “5”, por um alfinete de cabeça grande, situa-
do no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, 
colocado em um dos lados do ponto “4”. O algarismo “6” é 
representado por um alfinete de cabeça grande, situado no cen-
tro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, situado 
num dos lados do ponto “5”. 
O algarismo “7”, por um alfinete de cabeça grande, colo-
cado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pe-
quena, colocado num dos lados do ponto “6”. O algarismo “8”, 
por um alfinete de cabeça grande, colocado no centro do qua-
drado, e por um alfinete de cabeça pequena, colocado num dos 
lados do ponto “7”. E o algarismo “9”, por um alfinete de cabe-
ça grande, colocado no centro do quadrado, e por um alfinete de 
cabeça pequena, colocado num dos lados do quadrado do ponto 
“8”. 
~ 10 ~
10 
 
O material apresentado por Saunderson pode ser conside-
rado um precursor das celas Braille. Não obstante, a forma co-
mo confeccionava figuras planas, utilizando seu material ele 
estava introduzindo, de modo inconsciente, o hoje utilizado 
geoplano. 
A gravura abaixo indica a representação de um trapézio 
segundo usos de Saunderson. 
 
 


























































 













00
00
00
00
00
000
000
000
00
00
000
000
00
00
 
 
Figura 02 – Representação de um trapézio 
 
 
Os pontos pretos representam alfinetes e os zeros são es-
paços vazios. Entre colchetes tem-se uma “cela” do esquema de 
Saunderson. Com o tato ele caracterizava as figuras. Quando as 
figuras eram grandes ou com maior riquezas de detalhes, ele 
colocava apenas nos extremos (vértices) alfinetes e estes eram 
unidos por barbantes. 
E um terceiro matemático cego é Bernard Morin. Ele 
nasceu em 1931 em Shangai, onde o seu pai trabalhava para um 
banco. Morin desenvolveu glaucoma bem cedo e foi levado para 
a França para tratamento médico. Ele voltou a Shangai, mas, por 
ocasião do rompimento das retinas ficou completamente cego 
aos seis anos de idade. 
Depois que ficou cego, Morin retornou para a França 
sendo educado em escolas para cegos até a idade de quinze 
~ 11 ~
11 
 
anos, quando entrou no ensino regular. Estudou no Centre Na-
tional de la Recherche Scientifique (França) como pesquisador 
em 1957. Concluiu a sua tese de Ph.D. na área da teoria da sin-
gularidade em 1972. 
A grande notoriedade de Morin está no fato de ser um 
dos (poucos) matemáticos que demonstrou a possibilidade da 
“eversão da esfera”, um problema na área de Topologia Mate-
mática. 
As citações desses matemáticos servem para indicar que a 
Matemática pode ser apreendida por pessoas com necessidades 
especiais, e que a participação ativa da família e de amigos (e dos 
professores especialistas) é de grande importância para uma 
aprendizagem significativa. 
 
 
Iniciando... 
 
Saber operações numéricas é base para desenvolver uma 
matemática bem estruturada. Por exemplo: 
 
i. Sabemos que -1 = (-1)³, pois (-1).(-1).(-1) = -1. 
ii. Podemos reescrever (-1)³ como (-1)6/2, haja vista 3 = 
6/2. 
iii. De ab/c ser interpretada como a raiz de ordem “c” 
de “a” elevado a “b”, segue-se que (-1)6/2 é a raiz 
quadrada de “menos um” elevado à sexta potência. 
iv. Como (-1)6 = 1, ficamos com a raiz quadrada de 
um. 
v. Ora, raiz quadrada de um é um, daí, -1 = 1??? 
 
 
Simplificando em símbolos: 
 ⏟
 
 ( ) ⏟
 
 ( ) ⏟
 
 √( ) ⏟
 
 √ ⏟
 
 
~ 12 ~
12 
 
 
Logo, como 1 ≠ -1, segue-se que há um erro. Onde? 
Desta feita, este material objetiva utilizar de forma coeren-
te operações envolvendo limites, derivadas e integrais. 
 
 
Resumindo... 
 
Como há um erro na “justificativa” de -1 = 1, segue-se 
que é necessário compreender as operações numéricas atreladas. 
Mesmo artifício vale para aplicações: como garantir que o cálcu-
lo está certo ou que erro cometido foi prejudicial ao todo do 
problema? 
Deste modo, apresentamos esse livro: contém aplicações 
seguidas das discussões de alguns dos principais erros observa-
dos nas resoluções de exercícios. Breve resumo é apresentado. 
TODAVIA, o foco é entender o que está sendo usado. 
Ou seja, dado que o “essencial é invisível aos olhos” (Antoine-de-
Saint-Exupery: O Pequeno Príncipe), segue-se que esta obra 
procura dialogar com leitor(a) a resolução e interpretação de 
situações, usando o mínimo de figuras/imagens. 
 Sumário 
1ª. LIÇÃO – Revisando principais tópicos do ensino médio ............. 15
2ª. LIÇÃO – Limites: da vivência prática à teoria................................. 52
3ª. LIÇÃO – Limites II: número de euler e aplicações ........................ 87
4ª. LIÇÃO – Derivadas: definição ........................................................... 95
5ª. LIÇÃO – Derivadas II: aplicações .................................................. 107
6ª. LIÇÃO – Antiderivação… ...............................................................126
7ª. LIÇÃO – Integrais indefinidas: vivenciando as regras .................136
8ª. LIÇÃO – Integrais definidas: áreas e volumes sólidos 
de revolução. Por quê? ............................................................................ 142
9ª. LIÇÃO – Interagindo com técnicas de integração ...................... 150
10ª. LIÇÃO – Novos desafios… novas técnicas de integração ........ 157
11ª. LIÇÃO – Integrais impróprias… para que servem? ...................163
12ª. LIÇÃO – Vivenciando diversas aplicações ...................................168
Referências ...........................................................................................179
~ 15 ~
15 
 
 
1º. Passo: Operações numéricas básicas... 
 
Retornando ao desafio inicial... onde está o erro no desen-
volvimento dos argumentos abaixo? 
 
i. Sabemos que -1 = (-1)³, pois (-1).(-1).(-1) = -1. 
ii. Podemos reescrever (-1)³ como (-1)6/2, haja vista 3 = 6/2. 
iii. De ab/c ser interpretada como a raiz de ordem “c” de “a” 
elevado a “b”, segue-se que (-1)6/2 é a raiz quadrada de 
“menos um” elevado à sexta potência. 
iv. Como (-1)6 = 1, ficamos com a raiz quadrada de um. 
v. Ora, raiz quadrada de um é um, daí, -1 = 1??? 
 
Resumindo em símbolos: 
 ⏟
 
 ( ) ⏟
 
 ( ) ⏟
 
 √( ) ⏟
 
 √ ⏟
 
 
 
Logo, como 1 ≠ -1, segue-se que há um erro. Onde? 
Para começar a argumentar, considere o jogo dos quatro-
quatro... 
Podemos escrever de 0 a 9 usando quatro números 4 e os 
sinais: 
 
~ 16 ~
16 
 
 Da adição: + 
 Da subtração: - 
 Da multiplicação: * 
 Da divisão: / e 
 Parênteses: ( ). 
 
Por exemplo, 
0 = 4 + 4 – 4 – 4 ou (4 – 4)/(4 + 4) ou também (4 – 
4)*4/4. Perceba que há mais de uma maneira de escrever um 
número inteiro dado (entre zero e nove, incluindo extremos). 
A importância deste jogo está no uso coerente dos parên-
teses e das operações. Por exemplo, 4 + 4/4 não é o mesmo que 
(4 + 4)/4. 
No primeiro caso, inicialmente calculamos a divisão de 4 por 
4 e o resultado é acrescentado de 4, perceba uso dos parênteses 
(4 + 4/4 = 4 + 1 = 5). 
No segundo caso, resolvemos primeiro os parênteses, 4 + 
4 = 8. O resultado é dividido por 4. Neste caso, aresposta é 
dois. Assim sendo, escrever, usando QUATRO quatros os nú-
meros de 0 a 9. 
 
Antes de olhar uma resposta dada, quebre um pouco 
a cabeça... 
 1 = (4 + 4)/(4 + 4) 
 2 = 4*4/(4 + 4) 
 3 = (4 + 4 + 4)/4 
 4 = 4 + (4 – 4)/4 
 5 = (4*4 + 4)/4 
 6 = (4 + 4)/4 + 4 
 7 = 4 + 4 – 4/4 
 8 = 4*4/4 + 4 
 9 = 4 + 4 + 4/4 
Caríssimo leitor e prezada leitora, vocês podem fornecer 
de outra maneira os valores indicados? 
(...) 
~ 17 ~
17 
 
Algumas propriedades básicas (que são mais utilizadas no 
Cálculo Diferencial e Integral e que apresentam maior índice de 
erros): 
i. No produto de dois números com sinais contrários, 
o resultado é um número negativo. Exemplo: (+3) x 
(-4) = -12. 
 
ii. (ac)b = ac.ab . Exemplo: (2.4)³ = 2³.4³ 
 
iii. 
 
 desde que a ≠ 0. Exemplo: 
 
 
 
iv. √ desde que... (argumentaremos um pouco 
mais adiante!) 
 
v. Sendo “a” e “b” reais, (a + b)² = a² + 2ab + b². 
Cuidado!!! (a + b)n ≠ an + bn. 
Idem: √ √ √ 
Na dúvida... faça testes numéricos. 
Por exemplo, √ √ √ √ 
 
i. Em se tratando de frações: 
 
 
 
 
 
, onde “a”, 
“b”, “c” e “d” são números reais e sendo b e d não nulos. 
Cuidado!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 . Há discentes que 
“cortam” o b... 
 
 Se isso fosse verdadeiro, então 
 
 
Mesma recomendação... NÃO PODEMOS TER 
 
 
 
 
 
ii. O módulo... | | 2 
 . 
Exemplos: |7| = 7 e |-3,4| = 3,4. 
~ 18 ~
18 
 
a. |u| < a significa todos os valores de “u” en-
tre “-a” e “a”. 
|u| > a significa todos os valores de “u” me-
nores que “-a” ou maiores que “a”. 
Exemplos: 
| u | < 3  - 3 < u < 3 
| u | > 4  u < -4 ou u > 4 
Na dúvida... teste valores numéricos. Imagine u = -5. 
Logo | u | = 5. Como – 5 < - 4, segue-se que u < -4. 
 
Exemplos: 
(1). Se x + 1/x = 3, qual o valor de x² + 1/x²? 
 
Solução: 
Temos a “tendência” de transformar x + 1/x = 3 em uma 
equação do segundo grau, resolvê-la e, por fim, substituir em x² 
+ 1/x². Não está errada tal linha de raciocínio! Tentem. 
 
Apresentamos a seguinte ideia: . 
 
/
 
 , é claro, sendo b 
não nulo. Motivação: 
 . / , com x ≠ 0. 
 
Para facilitar “visualização”, considere y = 1/x. Assim, x 
+ y = 3 e queremos x² + y². 
Se queremos o quadrado... algo nos impede de elevar am-
bos os membros da igualdade x + y = 3 ao quadrado? 
Vamos tentar: (x + y)² = (3)² 
Desenvolvendo, x² + 2xy + y² = 9. 
Como y = 1/x, segue-se que xy = 1 (por quê?). Desta fei-
ta, organizando: ( ) 
 . Ou seja, trocamos xy 
por 1 e y² por 1/x². 
Por fim, x² + 1/x² = 9 – 2 = 7. 
(2). Se x + 1/x = 3, qual o valor de x³ + 1/x³? 
~ 19 ~
19 
 
Solução: 
Como a ideia de elevar ao quadrado “deu certo”, vamos 
elevar ambos os membros da igualdade ao cubo. Para tanto, 
recordar: 
(a + b)³ = (a + b)².(a + b) – compare com 5³ = 5*5*5 = 5²*5. 
(a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a + b) – desenvolvendo (a + b)² 
(a + b)³ = (a² + 2ab + b²).a + (a² + 2ab + b²).b – usando a 
distributividade: p(r + s) = p.r + p.s. Neste caso, é como se p fosse a ex-
pressão a² + 2ab + b². 
(a + b)³ = a³ + 2a²b + b²a + a²b + 2ab² + b³ 
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 
Assim, (x + 1/x)³ = 3³ 
Desenvolvendo: ( ) ( ) ( 
 
* ( ) ( 
 
*
 ( 
 
*
 
 
Organizando, 
 
 
 
 
 
 
 
Equivalendo a 
 
 
 
 . Usamos o se-
guinte fato: 
 
 
 
 
. Ou seja, se p > q, deixamos 
expressão no numerador. No caso de p < q, a expressão fica no 
denominador. 
Assim, de x + 1/x = 3, temos 3(x + 1/x) = 3(3) = 9. Por 
quê? Porque apareceu 3x + 3/x no desenvolvimento de (x + 
1/x)³. 
Logo, x³ + 1/x³ = 27 – 9 = 18. 
Reflita, nobre estudante, sobre as “passagens” realizadas. 
 
Os próximos exemplos envolvem módulo. Motivo: há 
aplicações onde precisamos determinar um intervalo (para 
mais de uma variável, região plano ou espacial) para reali-
zação da aplicação (nas engenharias, chamamos de condi-
ção de contorno). 
~ 20 ~
20 
 
 (3). Quais valores de x tornam verdadeira a desigualdade | | ? 
 
Solução: 
Sabemos que | u | < 3  - 3 < u < 3. 
Assim, supor u = 2x – 1. Dai, - 3 < 2x – 1 < 3. 
Como queremos apenas o “x”, vamos isolar. Inicialmente, 
somar “1” a cada membro da desigualdade. Motivo: há o “-1”. E 
a – a = 0. 
Deste modo, -3 + 1 < 2x – 1 + 1 < 3 + 1. 
Que equivale a -2 < 2x < 4. Por fim, dividir ambos os 
membros da desigualdade por 2, o coeficiente do x. 
Consequentemente: -1 < x < 2. 
 
(4). Quais valores de x tornam verdadeira a desigualdade | | ? 
 
Solução: 
Sabemos que | u | < 3  - 3 < u < 3. 
Assim, supor u = 2 – 11x. Daí, - 3 < 2 – 11x < 3. 
Replicando raciocínio anterior, subtrairemos 2 de cada 
membro da desigualdade (percebam que realizamos a operação inver-
sa!). Portanto: 
– 3 – 2 < 2 – 11x – 2 < 3 – 2  – 5 < – 11x < 1. Por 
fim, dividir ambos os membros da desigualdade por “-11”. 
ATENÇÃO! Dividir por “–11” equivale a multiplicar por “–
1/11”. SEMPRE que multiplicamos uma desigualdade por um 
valor negativo, ela INVERTE o sinal. 
Em símbolos: { 
 
 De volta ao problema, 
 
 
 
. 
 
~ 21 ~
21 
 
Agora é sua vez... Estes exercícios serão resolvidos, direta ou in-
diretamente nos próximos passos ou serão comentados no final desta lição. 
Recomendamos que tentem, reflitam nas etapas que devem ser seguidas. 
 
1. Como se lê: (a + b)²? 
2. Como se lê: a + b²? 
3. Onde está o erro no desenvolvimento do 1 = -1, 
apresentado no início deste tópico? 
4. Assim como 
 
 
 
 √ 
 √ 
 , segue-se que qual-
quer número dividido por ele mesmo é igual a “1”. 
5. Uma criança argumentou que se tem uma laranja e 
não vai dividir com ninguém, então sobra a laranja. Idem se 
forem duas ou três laranjas... Escreveu, para ilustrar seus 
pensamentos, os seguintes símbolos: 
 
 
 
 E 
agora? Podemos argumentar que 1 dividido por 0 é igual a 1? 
 
 
2º. Passo: Função Polinomial do 1º Grau 
 
A função polinomial do primeiro grau é do tipo f(x) = ax 
+ b, onde a e b são reais, com a ≠ 0. A variável x é a variável 
real independente. Podemos indicar y = f(x) como a variável 
dependente. Qual seu domínio? 
Antes de abordar mais detalhes, apresento uma ilustração 
realizada com um grupo de crianças cegas, entre oito e onze 
anos de idade. 
 
 Formar fileira de quadrados com palitos... 
 
Fizemos um quadrado com um palito de lado. Em segui-
da, acrescentamos mais três palitos para formar um segundo 
quadrado. Solicitamos que um aluno fizesse o mesmo... 
 
~ 22 ~
22 
 
 
 
 
 
Figura 03 – fileira de quadrados 
 
Pedimos que ele dissesse quantos palitos foram utilizados 
para compor a fileira com três quadrados, depois com quatro e 
depois com cinco. Ele contou e respondeu, respectivamente, 10, 
13 e 16 palitos. 
Solicitamos que fornecesse a quantidade de palitos para 
formar seis, sete e dez quadrados. Para os dois primeiros não 
demorou em responder: 19 e 22. Mas, para dez quadrados enfi-
leirados, não soube responder. 
 
Nobre leitor(a), verifique as contas! Será que de fato 
são necessários 19 palitos para o sexto quadrado? Tente 
“por construção”, isto é, forme o sexto quadrado... depois o 
sétimo quadrado. 
 
Indagamos como havia encontrado os valores 19 e 22. Se-
gundo ele “basta somar três palitos, pois estou colocando três 
palitos”. 
Solicitamos que desconstruísse a figura e refizesse obser-
vando outra maneira de formar a figura. Desta vez ele conseguiu 
responder a quantidade de palitos para formar dez quadradosenfileirados, para tanto, foi fazendo contas com os dedos e dizen-
do em voz baixa com quantos quadrados ele estava: 
 Com cinco quadrados eu tenho 16 palitos; 
 Com seis quadrados, eu tenho 16 mais três que fornece 19; 
 Para sete quadrados... 19 mais três fornece 22; 
 Para ter oito quadrados... 22 mais três resulta 25; 
 25 mais três resulta 28, e eu fico com nove quadrados; 
 31 palitos é a resposta, pois é 28 mais três. 
~ 23 ~
23 
 
Fizemos uma intervenção... segurando nas mãos dele se-
paramos o primeiro quadrado como sendo um palito mais três 
palitos. Para o segundo quadrado, colocávamos mais três palitos, 
assim, para formar o segundo quadrado nós precisávamos de 
um palito mais dois grupos de três palitos. 
 
 
 
 
 
Figura 04 – construção da fileira de quadrados 
 
Para o terceiro quadrado, seriam necessários três grupos 
de três palitos e um palito que se encontrava no canto da mesa. 
Perguntamos se ele estava entendendo o que estávamos fazen-
do. Ele respondeu que sim. 
Por sua vez, quando solicitado para dizer como seria a 
construção para o próximo quadrado, ele ficou calado. 
Neste exemplo, a ideia prática é escrever o número de pa-
litos, y, como sendo a expressão y = 1 + 3x, onde x é a quanti-
dade de quadrados. 
Os exemplos a seguir podem ser encontrados, direta ou 
indiretamente, nos nossos livros de referência. 
“A poluição atmosférica em grandes cidades aumenta durante an-
damento de um dia. Em certa ocasião, a concentração de poluentes no ar, às 
08:00 h, era de 15 partículas, em cada milhão de partículas, e, às 12:00 h, 
era de 60 partículas, em cada milhão de partículas. Admitindo que a varia-
ção de poluentes no ar durante o dia é linear em relação ao tempo, qual o 
número de partículas poluentes no ar em cada milhão de partículas, às 
16:00 h?” 
 
~ 24 ~
24 
 
Solução: 
Quando a variação for LINEAR, significa dizer que fare-
mos uso da função y = ax + b. Nosso problema é, inicialmente, 
determinar “a” e “b”. 
Considere x o tempo (aqui em horas) e y a quantidade de 
partículas, em cada milhão de partículas, em determinada hora. 
Da informação obtida na segunda linha “(...) às 08:00 h, 
era de 15 partículas, em cada milhão de partículas ...”, temos: x 
= 8 e y = 15. 
Na terceira linha, “às 12:00 h, era de 60”, assim: x = 12 e y 
= 60. 
Substituindo em y = ax + b tais informações, temos: 
(1) 15 = 8a + b 
(2) 60 = 12a + b 
 
Há diversas formas de resolver, uma delas é isolar b em 
(1) e substituir em (2). 
Assim, b = 15 – 8a 
Daí, 60 = 12a + b = 12a + (15 – 8a) = 15 + 4a. 
Organizando, 60 = 15 + 4a  4a = 60 – 15 = 45  a = 
45/4 = 11,25. 
Por fim, b = 15 – 8a = 15 – 8(45/4) = 15 – 90 = -75. 
Logo, y = 11,25x – 75. 
Por fim, às 16:00 h, isto é, x = 16  y = 11,25.(16) – 75 = 
105. 
 
EXEMPLO II: 
A tabela a seguir indica a variação da temperatura da água com a 
profundidade, em relação ao nível do mar. 
 
Profundidade (m) 0 100 200 500 1000 
Temperatura (oC) 30 26 20 12 4 
 
Admitindo LINEARIDADE entre duas medições consecutivas, 
qual a temperatura estimada aos 140 m de profundidade? 
~ 25 ~
25 
 
Solução: 
Interessante salientar é: “como é construída a tabela?” 
Uma maneira está associada a determinar intervalos, no caso de 
profundidade, com mesmo tamanho. Pode ser tamanho de 1 m 
em 1 m e analisa-se a temperatura, ou de 5 m em 5 m... é claro 
que, com uma maior quantidade de observações, melhor a apro-
ximação da realidade. 
Os dados da tabela e, com a informação da linearidade entre 
duas medições consecutivas, permite-nos (lembrar que “essencial seja 
invisível aos olhos”, logo não faremos figuras!!!): 
Seja x a profundidade (em metros) e considere y a tempe-
ratura (em oC) para determinada profundidade. Como queremos 
a temperatura para a profundidade de 140 m, interessa-nos o 
intervalo entre as medições que são anteriores e posteriores a tal 
valor. Ou seja, x = 140 está entre 100 e 500. 
Ora, quando x = 100, segue-se que y = 26. (*) 
Quando x = 500, temos y = 20. (**) 
Sendo linear, podemos admitir y = ax + b. 
De (*), 26 = 100a + b. 
De (**), 20 = 500a + b. 
Isolando “b” em (*), temos: b = 26 – 100a 
Substituindo em (**), temos: 20 = 500a + (26 – 100a) 
Por conseguinte, 400a + 26 
Organizando, 20 – 26 = 400a  a = –6/400 = –0,015 
Assim, voltando para (*), b = 26 – 100a = 26 – 100.(-
0,015) = 27,5 
Daí, y = –0,015x + 27,5, desde que x esteja entre 100 e 
500, isto é, 100 ≤ x ≤ 500 (e 20 ≤ y ≤ 26). Pois, para outros 
valores, há outras expressões. 
Enfim, para x = 140, y = –0,015.(140) + 27,5 = 25,4 
 
RESUMO... 
Percebemos nestes dois exemplos que, se a > 0 a função é 
crescente (os valores de y aumentam quando os valores de x 
~ 26 ~
26 
 
aumentam) e, caso a < 0, a função é decrescente, isto é, os valo-
res de y diminuem quando os de x aumentam. 
 
Agora é sua vez... 
Qual a temperatura quando a profundidade for de 
800 m? Lembre-se, 800 está entre 500 e 1000, logo, y deve 
estar entre 4 e 12. 
 
 
3º. Passo: Função Polinomial do 2º Grau 
 
Antes de gerar uma expressão para função polinomial do 
segundo grau, vamos resolver o “agora é sua vez” do 1º passo... 
conversemos um pouco: quais dificuldades você teve? Enuncia-
do da questão? Operações matemática? Se não teve dificuldades, 
vamos à solução: 
Linearidade  y = mx + n, com m ≠ 0 (e não y = ax + 
b? Tanto faz o uso das letras, o importante é ficar claro que há 
um valor atrelado à variável independente – isto é, um número 
não nulo que multiplica x – acrescido (ou subtraído) de um ter-
mo independente). 
Profundidade 500 m e temperatura 12 oC  x = 500 e y = 12. 
Daí, (i) 12 = 500m + n 
Profundidade 1000 m e temperatura 4 oC  x = 1000 e y = 4. 
Daí (ii) 4 = 1000m + n 
Mesma estratégia, “m” ocupando lugar do “b”. 
De (i), n = 12 – 500m. Em (ii), 4 = 1000m + (12 – 500m) = 
500m + 12. Organizando, 4 – 12 = 500m  m = –8/500 = – 
0,016. 
Voltando para (i), n = 12 – 500m = 12 – 500.( –0,016) = 12 + 
8 = 20. 
 
Expressão: 
y = –0,016x + 20, com 500 ≤ x ≤ 1000 (e 4 ≤ y ≤ 12). 
Por fim, y = –0,016.(800) + 20 = 7,2 
~ 27 ~
27 
 
Considere a seguinte situação para introdução da função do 
2º grau... durante uma crise atrelada à gripe das aves, alguns 
produtores foram aconselhados a construir seus aviários em 
grandes galpões refrigerados (...). Nos galpões, cada aviário 
de um produtor específico era construído no formato retan-
gular usando telas de arames com 20 m. Desconsiderando a 
altura das telas, quais devem ser as medidas do retângulo de 
modo que sua área seja a maior possível? 
Vamos “traduzir” para a matemática. 
A expressão “formato retangular usando telas de ara-
mes com 20 m” está associada ao perímetro. Com efeito, a tela 
está contornando o aviário (se fosse mais de uma vez, deveria 
ser informado no contexto do problema). Ou seja, indicando 
por x e z as medidas dos lados do retângulo, segue-se que 2x + 
2z = 20. Ou seja, (*) x + z = 10. 
A área de um retângulo é (**) Área = xz. Note que ela é 
uma função de duas variáveis. Como ainda não sabemos traba-
lhar (de maneira significativa) com funções com mais de uma 
variável, vamos tornar a área função de uma única variável. 
De (*), z = 10 – x. 
Em (**), Área = x(10 – x) = –x² + 10x. 
ATENÇÃO!!! 
Sendo área de um retângulo, x, medida de um dos lados, 
não pode ser negativo. Assim, x > 0. Pelo mesmo motivo z > 0. 
Como z = 10 – x, segue-se que 10 – x > 0  x < 10. 
Assim, área = f(x) = 10x – x² desde que 0 < x < 10. 
Paremos um pouco (já que o foco é MAIOR área). 
 
Uma função polinomial do segundo grau é do tipo f(x) = 
ax² + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0. Como o foco deste 
material são as aplicações, vamos direto ao quadro resumo: 
 
Se o valor de “a” for... O gráfico é dotipo... E no VÉRTICE... 
POSITIVO  Temos MENOR valor 
NEGATIVO  Temos MAIOR valor 
~ 28 ~
28 
 
Suas raízes, ou valores que anulam f(x), são 
 √ 
 
. Caso não recorde ou queira entender a demonstra-
ção, favor acessar site da editora. 
No vértice, o gráfico tem simetria... 
 
 
De volta ao problema da gripe das aves, f(x) = –x² + 10x. 
Ou seja, repare que a = –1, b = 10 e c = 0. Sendo a < 0, temos 
MAIOR valor. Entendendo, queremos o xv. Daí, 
 ( ) 
Logo, z = 10 – x = 10 – 5 = 5. 
Concluímos que o retângulo de maior área com perímetro 
constante (dado) é um quadrado. 
 
EXEMPLO II – Caso um dos lados do aviário fosse uma longa 
parede retilínea... quais as medidas do retângulo de maior área? 
Solução: 
Neste caso, seja x as medidas dos lados perpendiculares à 
parede e considere z a medida do lado paralelo à parede. Assim, 
z + 2x = 20 (pois não será usada tela na parede). 
Área = xz = x(20 – 2x) = –2x² + 20x, com 0 < x < 10 
(mesmo domínio?). 
Maior área... xv = –20/2(–2) = 5... e z = 20 – 2x = 20 – 
2.(5) = 10. 
 
Vamos dialogar... descreva o passo a passo deste exemplo, 
comparando com as etapas indicadas no Exemplo I. 
 
EXEMPLO III – O exemplo a seguir está atrelado às aplicações 
do Cálculo para Economia (Leithold é principal referencial usado, mas tal 
exemplo pode ser encontrado nos demais livros aqui indicados). 
 
~ 29 ~
29 
 
Função Demanda  É a função que a todo preço p associa 
a demanda ou procura de mercado ao preço p é denominada 
função demanda ou função procura de mercado da utilidade no 
período considerado. A representação gráfica desta função cons-
titui a curva de demanda ou de procura da utilidade. A quanti-
dade procurada (demanda) de uma mercadoria é função (em 
geral LINEAR) do preço: q = f(p). 
Se Linear, q = f(p) = ap + b. 
Função Custo Total  Considere q a quantidade produzida 
de um produto (em vez do x tradicional). O custo total depende 
de q e de custos fixos (como encargos). O Custo Total (dado por 
CT) é a soma desses custos, CT = CF + q.Cv onde CF é o custo 
fixo e Cv é o custo variável atrelado à quantidade produzida. 
 
Função Receita Total  Admitindo que sejam vendidas q 
unidades do produto, o ganho (ou receita) de vendas depende 
de q e a função que relaciona receita com quantidade é chamada 
função receita (denotada por R). Na maioria das vezes, o preço 
unitário (p) varia com a quantidade demandada. A receita total 
pode ser expressa através da função R = q.p 
 
Por fim, a função lucro total (L) é a diferença entre a fun-
ção receita e a função custo total, L = R - CT 
 
Aplicação: O dono de uma tapiocaria verificou que, quando o preço 
unitário de cada tapioca era de R$ 10,00 o número de tapiocas vendidas 
era 150 por semana. Verificou também que, quando preço passava para 
R$ 8,00, a quantidade vendida era de 200 unidades. Considere o custo de 
uma tapioca de R$ 6,00. Determine: 
A. A função demanda; 
B. A função Receita; 
C. A função Lucro; 
D. Qual é a quantidade vendida que maximiza o lucro semanal. 
E. Qual o lucro máximo da tapiocaria? 
F. Qual o preço que maximiza o lucro? 
~ 30 ~
30 
 
Solução: 
Função DEMANDA. 
Temos q = f(p) = ap + b, onde “a” e “b” são reais, e a ≠ 0. 
Da informação “preço R$ 10,00 com venda (demanda) de 
150”, temos: 150 = 10a + b (1). 
Idem para “preço passava para R$ 8,00, a quantidade ven-
dida era de 200” implica 200 = 8a + b (2). 
Assim, de (1) b = 150 – 10a 
Substituindo em (2), 200 = 8a + (150 – 10a) = –2a + 150. 
Organizando, 200 – 150 = –2a  –2a = 50  a = –25 
Assim, b = 150 – 10(–25) = 150 + 250 = 400. 
Por conseguinte, q = –25p + 400. 
Ou 25p = 400 – q  p = –0,04q + 16 
 
Função RECEITA (em função de q... mas pode ser em 
função de p...) 
R = pq = q(–0,04q + 16) = –0,04q² + 16q 
Função LUCRO 
L = R – CT = –0,04q² + 16q – 6q 
Obs.: 6q é o custo de R$ 6,00 de cada tapioca. 
Assim, L = –0,04q² + 10q 
 
Maximização do LUCRO 
Como L = aq² + bq + c (lembre-se, podemos usar q em 
vez de x...). 
Como a < 0, tem-se MAIOR. 
Observe que, neste caso, a = –0,04, b = 10 e c = 0. 
E o maior está no vértice: ( ) 
 
Lucro MÁXIMO 
Basta substituir na fórmula do lucro o “q” que maximiza. 
Ou seja, 
L = –0,04q² + 10q = –0,04(125)² + 10.(125) = –625 + 
1250 = 625. 
~ 31 ~
31 
 
Lembre-se... lucro por semana! 
 
Preço que maximiza lucro: 
p = –0,04q + 16 = –0,04(125) + 16 = –5 + 16 = 11 
O que podemos inferir? 
 
Agora é sua vez... 
 
Um laboratório testou a ação de uma droga em uma 
amostra de 720 frangos. Constatou-se que a lei de sobrevi-
vência do lote de frangos era dada pela relação V(x) = ax² + 
b, onde V(x) é o número de elementos vivos no tempo x 
(meses). Sabendo-se que o último frango morreu quando x 
= 12 meses após o início da experiência, qual a quantidade 
de frangos que ainda estavam vivos no 10 mês? 
 
 
4º. Passo: Função Exponencial 
 
Comecemos com o “agora é sua vez”... 
 
Para iniciar resolução, reflita: Qual sua idade, em anos, no ano 
que você nasceu? 
... 
A minha era zero... E a sua também! 
Assim, quando no enunciado fala-se que INICIALMEN-
TE havia 720 frangos, segue-se que V(0) = 720. 
Deste modo, V(0) = a(0)² + b = b .: b = 720. 
Se o último morreu no 12º mês... então V(12) = 0. 
Desta feita, V(12) = a(12)² + 720 = 0  a.144 = –720  
a = –5. 
Por conseguinte, V(x) = –5x² + 720. 
Por fim, V(10) = –5.(10)² + 720 = 220. 
~ 32 ~
32 
 
Para introduzir o assunto função exponencial, considere a 
seguinte atividade: 
 
Segredo das matrizes 
As tabelas, ou matrizes, que serão apresentadas, indicam um 
jogo (podem ser adaptadas para pessoas com deficiência visual...). 
Antes, vale ressaltar que todo e qualquer número natural pode ser 
decomposto como somas de potências do número 2. 
1. Lembremos que: 
 1 = 20; 
 2 = 21; 
 4 = 22; 
 8 = 23; 
 16 = 24. 
 
E, generalizando, 2n = 2 x 2 x ... x 2 (produto do 2 por ele 
mesmo n-vezes, sendo n um número natural). 
Assim, para escrever um número natural qualquer como 
soma de potências de base 2, basta inicialmente observar qual a 
potência mais próxima do número, sendo menor que este. 
Acompanhe os exemplos: 
a. Número 9. Como 9 > 8, vamos retirar este número. 
Daí, temos que 9 – 8 = 1. Sendo 1 = 20, segue-se que 9 = 
1 + 8 (20 + 23). 
b. Número 23. Temos que 25 = 32 > 23. Como 24 = 
16 < 23, fazemos a diferença entre 23 e 16. 23 – 16 = 7. 
Agora, temos o número 7. Percebemos que 7 < 8 (= 23), 
bem como 7 > 4 (= 22). Daí, fazendo a diferença, 7 – 4 = 
3. Notemos que 3 > 2 (= 21). Realizamos a diferença entre 
3 e 2, 3 – 2 = 1. Assim, “reconstruímos” 23 = 16 + 4 + 2 
+ 1 (soma dos números retirados). 
 
Exemplos gerais: 
a) 81  81 – 64 = 17  17 – 16 = 1  
81 = 64 + 16 + 1. 
~ 33 ~
33 
 
b) 62  62 – 32 = 30  30 – 16 = 14 
 14 – 8 = 6  6 – 4 = 2  
62 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 
. 
Como podemos “explorar” matematicamente o segredo das matrizes? 
 Potências de base dois. Você, caro leitor ou prezada lei-
tora, pode dar uma folha de papel para uma criança (ou pes-
soa) e pedir que dobre a folha ao meio. Vale lembrar que do-
brar é igual a multiplicar. Realizando três dobras, por exem-
plo, teremos 2 x 2 x 2 = 8 retângulos. 
 
Continue seguindo a “lei de formação”. Para a terceira 
dobra, deixe o papel dobrado no tamanho do menor retângulo e 
dobre-o ao meio. Abrir e contar para verificar que existem oito 
retângulos. Observe que a área de cada retângulo pequeno é 
igual a área do papel (retângulo grande) dividida por W = 2n, 
onde n é o número de dobras. 
 Outra utilidade matemática desta brincadeira: figuras seme-
lhantes. Perceba uma situação-problema: quantas cerâmicas de 
20cm por 30cm são necessárias para cobrir um piso de 8mpor 12m? 
 Neste exemplo, o piso é como se fosse o papel. As ce-
râmicas podem ser comparadas às dobras. Assim, quantas do-
bras são necessárias? 
 Da observação anterior, Área Papel (Área Piso) = Área re-
tângulo pequeno (cerâmica) x W(número de cerâmicas). Logo, 
 Número de cerâmicas =
 
 . 
 Lembre-se que 1 m = 100 cm... daí, 8m = 800cm e 12m 
= 1.200cm 
Agora, observe as seguintes tabelas: 
 
01 05 09 
15 Tabela A 07 
13 11 03 
~ 34 ~
34 
 
 
02 14 15 
07 Tabela B 03 
10 11 06 
 
05 04 06 
13 Tabela C 07 
14 12 15 
 
09 08 15 
10 Tabela D 11 
13 14 12 
 
Vamos adivinhar números pensados? Nas tabelas acima 
estão dispostos números de 01 a 15. Escolha um número de, 01 
a 15, e escreva em um pedaço de papel à parte (para garantir 
credibilidade!). Em quais tabelas se encontra o número? Obser-
ve atentamente... 
Caso você diga que o número está nas tabelas C e D, o 
número em questão é o número 12. Caso esteja apenas em B, o 
número é o 02. 
Qual o segredo? 
Você lembra que todo e qualquer número natural pode ser 
decomposto em uma soma de potências de base dois... pois 
bem, neste caso, o maior número é 15 e 15 = 1 + 2 + 4 + 8 
(quatro números e quatro tabelas). 
 
01 05 09 
15 Tabela A 07 
13 11 03 
 
02 14 15 
07 Tabela B 03 
10 11 06 
 
 
~ 35 ~
35 
 
04 05 06 
13 Tabela C 07 
14 12 15 
 
08 09 15 
10 Tabela D 11 
13 14 12 
 
Repare que estes números foram colocados no canto 
superior esquerdo de cada tabela. Mas você pode colocar em 
qualquer posição de sua preferência. Como é que as tabelas 
foram sendo completadas? Com raciocínio inverso às ativida-
des anteriores... 
 
 Número 1, fica na tabela A; 
 Número 2, fica na tabela B; 
 Número 3 = 1 + 2, fica nas tabelas A e B; 
 Número 4, fica na tabela C; 
 Número 5 = 1 + 4, fica nas tabelas A e C; 
 Número 6 = 2 + 4, fica nas tabelas B e C; 
 ... 
 Número 8, fica na tabela D; 
 Número 16, fica na tabela E; 
 Número 18 = 2 + 16, fica nas tabelas B e E; 
 Número 21 = 1 + 4 + 16, fica nas tabelas A, C e E. 
 
Está clara a ideia? Em quais tabelas devemos colocar o 
número 13? Como 13 é igual a 1 + 4 +8, deve ser colocado nas 
tabelas A, C e D. 
Caso queiramos números maiores, como devemos proce-
der? Bem, a próxima potência de base dois maior que 8 é 16, a 
próxima maior que 16 é 32, e assim sucessivamente. No caso de 
querermos seis tabelas, como 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63. 
Fazemos uma seis tabela e o número a ser escolhido deve estar 
entre 01 e 63. 
~ 36 ~
36 
 
Quantas linhas e colunas devemos ter? Bem, na tabela A 
devem ser colocados todos os números ímpares... 
 Entre 01 e 31, incluindo os extremos, há 16 núme-
ros. Daí optamos, por estética, em quatro linha e quatro 
colunas. Podiam ter sido duas linhas e oito colunas 
(compare com jogo dos pontinhos para saber número de 
linhas e de colunas). 
 Entre 01 e 63, incluindo os extremos, há quantos 
números? São eles, 01, 03, 05, ..., 59, 61 e 63. Logo, são 
32 os números. Podemos formar tabelas com quatro li-
nhas e oito colunas (ou uma escolha sua, tente...) 
 
Assim, formamos “aleatoriamente” 
Já não vamos construir tabelas para uma escolha entre 01 
e 123, incluindo os extremos. Todavia, ao fazer as sete tabelas, 
se uma pessoa disser que o número escolhido está nas tabelas A, 
C e G, garanto que o número em questão é 69. Com efeito... 
 A  1 = 20; 
 B  2 = 21; 
 C  4 = 22; 
 D  8 = 23; 
 E  16 = 24; 
 F  32 = 25; 
 G  64 = 26; 
“Basta” somar... A (1) + C (4) + G (64) = 69. 
 
No exemplo apresentado trabalhamos com 2x, sendo x um 
número natural. Outros exemplos estão relacionados diretamente 
com a função exponencial, como é o caso do Montante (M ou 
Cn) de uma capital inicial (C) aplicado durante n períodos a uma 
taxa i (correspondente ao período, isto é, se período mensal a taxa 
é mensal, etc), no sistema de juros compostos. 
Com efeito, supondo aplicação mensal, com taxa i (mensal). 
Após um período, C1 = C + iC. 
~ 37 ~
37 
 
Após dois períodos, C2 = C1 + iC1. 
Após três períodos, C3 = C2 + iC2 
... 
Após n períodos, Cn = Cn-1 + iCn-1 
Organizando a escrita em função de C, i e n, temos (por 
percepção): 
C1 = C + iC = C(1 + i) 
C2 = C1 + iC1 = C1(1 + i), substituindo C1 por C(1 + i), 
temos que C2 = C(1 + i)(1 + i). Se, para facilitar “visualização” x 
= 1 + i, então (1 + i)(1 + i) = x.x = x². Por conseguinte, C2 = 
C(1 + i)². 
Analogamente seguem demais construções, até: Cn = C(1 
+ i)n 
 
No caso da taxa conhecida, seja k = 1 + i, daí, temos 
kn... Por sua vez, podemos trabalhar com subunidades de 
períodos, entendendo, você pode fazer uma aplicação com 
taxa anual sendo a capitalização mensal... 
Definimos... tal que f(x) = kx, com k > 0 e k ≠ 1. 
 
Exemplos: 
1) Sejam f(x) = 2x e g(x) = (2/3)x. Complete a tabela: 
2) 
x = -10 -5 -1 0 1 5 10 
f(x) = 
g(x) = 
 
3) Generalizando... o que podemos concluir em relação à 
função f(x) = kx no caso de x ser muito grande, por exemplo 
100 ou 1000 para: 
(a) k > 1 e 
(b) 0 < k < 1? 
 
4) Qual deve ser valor de x tal que f(x) = 3x seja igual a 
0,037037... 
~ 38 ~
38 
 
Resolvendo... 
1) Basta substituir os valores de x. Para f(x) quando x 
for 5, f(5) = 25 = 32. Idem para g(-5) = . 
 
/
 
.
 
 
/
 
 
 
 
 
. Lembrando que a-1 = 1/a. 
 
2) Note que: 1 < k, ao serem multiplicados ambos os 
membros da desigualdade por k, temos: k < k². Repetindo raci-
ocínio, k² < k³. fazendo-o sucessivamente, a expressão aumenta. 
Logo, se x for muito grande (em breve apresentaremos um sím-
bolo e um conjunto de aplicações para tal situação), kx também é 
muito grande (k > 1). 
Agora, sendo 0 < k < 1  0 < k² < k  0 < k³ < k² (re-
petindo ideia de multiplicar, sucessivamente, ambos os membros 
da desigualdade por k). Logo, x muito grande implica kx cada 
vez mais próximo de zero. Faça o teste com calculadora... 
 
3) Temos uma dízima periódica 0,037037... 
Como é repetição a cada três termos, basta dividir por 999. 
Com efeito, se fosse 0,kkk... 
Supor y = 0,kkk... 
Daí, 10y = k,kkk... (lembre-se, são infinitos ks após vírgula). 
Assim, 10y – y = k,kkk... – 0,kkk...  9y = k .: y = k/9. 
Por exemplo, 0,222... = 2/9. 
Se fosse 0,ababab... 
Considere u = 0,ababab... 
Como são dois que se repetem, 100u = ab,abab... 
Fazendo a diferença: 100u – u = ab,abab... – 0,abab... 
Por conseguinte, 99u = ab  u = ab/99 
Exemplo, 0,313131... = 31/99 – use uma calculadora para ve-
rificar! 
Por fim, 
 
. Simplificando, 37/999 = 
1/27 = 1/3³ = 3-3 
~ 39 ~
39 
 
Logo, f(x) = 3x = 3-3  x = –3 
 
Agora é sua vez... 
Uma planta tem a seguinte característica: a cada dia 
que passa a área de superfície de um lago por ela ocupada 
dobra. Se em 53 dias toda a superfície do lago será ocupa-
da por esta planta, quantos dias são necessários para cobrir 
metade do lago? 
 
5º. Passo: Função Exponencial x Função Logarítmica 
 
Desta vez não iniciaremos resolvendo o desafio do último 
passo. Motivo: apresentaremos a inversa da função exponencial. 
Como questão norteadora, considere a seguinte situação: 
Estimava-se que a população da Terra cresceria exponencialmente, isto é, a 
taxa de crescimento populacional é proporcional à popula-
ção presente em dado instante, conforme a função P(x) = Bekx, 
onde B é a população inicialmente observada, k é chamada constante de 
proporcionalidade e x é o tempo (em anos). Qual seria a população da Ter-
ra em 2025, conforme tal modelo, se em 1975 havia cerca de 4 bilhões de 
habitantes, e, em 2000, essa era de 6 bilhões? 
Este problema será resolvido no assunto “derivação”. Es-
tá aqui apresentado porque “ser proporcionala” não significa 
ser sempre uma variação linear (como em regras de três). O nú-
mero “e” também será trabalhado, com maiores riquezas de 
detalhes, em tópicos futuros. 
O importante é, por enquanto, observar a existência de 
outras funções do tipo f(x) = kx, desde que k... 
Considere o problema: Aplicando um capital C a uma taxa 
de juros de 10% ao mês, após quantos meses esse capital dobrará? 
De Cn = C(1 + i)n queremos saber o valor de n tal que Cn = 
2C (dobrar valor do capital...). Ou seja, 2C = C(1 + 0,1)n. Lembrar 
i = 10% = 10/100 = 0,1. Assim, 2 = 1,1n. Como obter n? 
~ 40 ~
40 
 
Aí, torna-se necessária a inversa da função exponencial2... 
Onde: 
Ou seja, x, outrora aplicado, fica isolado e y, antes isolado, 
fica aplicado. A base k... permanece base. 
Quando k = 10, escrevemos simplesmente logy. 
Alguns exemplos: Se a = log100 e b = log1000, então 
quanto vale a soma: a + b? 
Se a = log100 é porque 10a = 100. Como 100 = 10², te-
mos 10a = 10² e, por conseguinte, a = 2. Por analogia (verifi-
quem!) b = 3. Logo, segue-se que a + b = 5. Como estamos 
trabalhando com potências... a + b = log105 = log10².10³... 
 
Propriedades principais: 
(1) No produto de potências de mesma base, repetimos a 
base e somamos os expoentes: . Como o 
logaritmo é a inversa, segue-se que logA + logB = logAB – 
isto é, ao somar dois logaritmos de mesma base, o resulta-
do é o logaritmo do produto de A por B. 
(2) De tem-se o equivalente logA – 
logB = logA/B 
(3) e log1 = 0 
 
Alguns exercícios: 
 
1ª. Questão 
Qual valor de x tal que 2 = 1,1x? 
Solução 
Aplicando “log” em ambos os membros da igualdade: log2 
= log(1,1)x. Usando a propriedade (3), log2 = x.log1,1. Assim, 
com base em calculadoras, temos: 
 
 
2 Deixaremos para você, nobre leitor(a), a investigação do domínio da função 
logarítmica... Usaremos linguagem informal para melhor compreensão, toda-
via, não “facilitaremos” no rigor matemático 
~ 41 ~
41 
 
 
2ª. Questão 
Em Química, o pH de uma solução é definido como o logaritmo de-
cimal do inverso da respectiva concentração de H3O+. Sabendo-se que o 
cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H3O+ é 4,8. 10 -8 
mol/l. Qual será o pH desse líquido? 
Solução 
Aplicação direta do conceito: . 
 / . 
 / 
 
3ª. Questão 
 A escala Ritcher foi inicialmente destinada a estudar apenas os 
sismos com origem numa área específica do sul da Califórnia cujos sismo-
gramas eram recolhidos por sismógrafos de torção do tipo Wood-Anderson. 
Utilizando valores facilmente medidos sobre o registo gráfico do sismógrafo o 
valor é calculado usando a seguinte equação: 
 4 5 
Onde: 
 A = amplitude das ondas sísmicas, em milímetros, medi-
da diretamente no sismograma. 
 x = tempo, em segundos, desde o início do trem de ondas P 
(primárias) até à chegada das ondas S (secundárias). 
 M = magnitude arbitrária, mas constante, aplicável a sismos 
que libertem a mesma quantidade de energia. 
 Qual a magnitude de um terremoto se A = 106 e x = 3 (de-
safio: procurar as magnitudes dos maiores terremotos registrados!) 
 
Solução: 
Aplicação direta: . 
 / . / 
 
 
~ 42 ~
42 
 
4ª. Questão 
Q = Q0.e-kt representa a taxa de decaimento de uma substância ra-
dioativa. Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desinte-
gra a uma taxa de 5% (k = 0,05) ao ano. (Meia-vida é o tempo que deve 
decorrer para que, em certo momento, metade dos átomos de uma substância 
radioativa se desintegre) 
Solução: 
Pela “meia-vida” Q = Qo/2. Assim, Qo/2 = Q0.e-.0,05t 
Observação: o logaritmo de base “e” é chamado logaritmo 
natural e é indicado por “ln”. 
 De volta ao problema: ½ = e-0,05t. 
Pela definição de logaritmo, –0,05t = ln(1/2) 
Daí, . /
 ( ) 
 
Agora é sua vez... 
Se P(x) = Bekx, com P(0) = 4 e P(25) = 6, qual o valor 
de P(50)? – este é o problema inicial deste tópico. 
 
 
6º. Passo: Funções trigonométricas 
 
Você lembra o que é um triângulo retângulo? 
 
Desenhe um triângulo retângulo de 
hipotenusa a e catetos b e c. Seja x 
ângulo oposto ao cateto de medida b 
Relações: 
 
Teor. Pitágoras: 
a² = b² + c² 
sen(x) = b/a e 
cos(x) = c/a 
Rel. fund. Trigonometria: 
sen²(x) + cos²(x) = 1 
Tg²(x) + 1 = sec²(x) (#) 
Ctg²(x) + 1 = csc²(x) (##) 
~ 43 ~
43 
 
Notas: 
 tangente de x, 
 
 , também usamos tagx 
 cotangente de x, 
 
, também indicada 
por ctgx 
 secante de x, 
 
 
 co-secante de x, 
 
 , também denotada 
por cossecx 
 (#) é obtida dividindo sen²(x) + cos²(x) = 1, mem-
bro a membro, por cos²(x). 
 (##) é obtida dividindo sen²(x) + cos²(x) = 1, 
membro a membro, por sen²(x). 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Obs.: No CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO o eixo dos 
“x” corresponde ao eixo dos cossenos e o eixo dos “y” ao eixo 
dos senos. Onde ficam a secante, a tangente? Considere figura, 
sendo Ѳ o ângulo (para evitar confusão com o x e o y usados 
anteriormente). 
Descrevendo a figura: imagine um prato plástico circular. 
Traçar dois diâmetros (segmentos de reta que passam pelo centro 
do prato) que sejam perpendiculares entre si. A partir do centro 
considere um segmento como eixo X e o outro como eixo Y. 
O ângulo, lembrando, é dado no sentido anti-horário. Faça 
uma marcação qualquer na borda do prato. Chamar P tal ponto. 
Sendo circunferência de raio unitário (por quê?), segue-se figura: 
 
~ 44 ~
44 
 
 
 
Obs2.: Daí, as demais...por qual motivo? Vamos investigar? 
 
Principais Ângulos: 
Interessante relembrar como são obtidos. Entendendo. Dada uma fo-
lha no formato de um quadrado, onde sabemos que todos os lados possuem 
a mesma medida e todos os ângulos internos também, e iguais a 90º, unin-
do-se dois vértices opostos, geramos um triângulo retângulo e isósceles, cujos 
ângulos agudos valem, cada um, 45º. Se L é a medida de cada lado, a 
hipotenusa, por Pitágoras, vale √ ... 30º e 60º estão atrelados ao juntar 
dois vértices de um triângulo equilátero... 
 
Ângulo 
(grau e radianos) Seno Cosseno Tangente 
0o = 0 0 1 0 
30º = π/6 √ √ 
45º = π/4 √ √ 1 
60º = π/3 √ √ 
90º = π/2 1 0 Não existe! 
 
Aplicações: 
Encontre, se possível: sen(120º); cos(75º); tg(3π/2). 
Obs.: Há várias maneiras! Apresentamos uma! É interessante re-
ver outras... 
 
~ 45 ~
45 
 
Solução: 
Para sen(120º) podemos pensar em 120º = 30º + 90º ou 
60º + 60º ou 150º - 30º (Ops! Não determinamos, ainda, o 
150º!!!). 
Consideremos: ( ) ( ) 
Desenvolvendo, 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Pela tabela, substituindo valores, ( ) √ 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
Para ( ) ( ) 
ra ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
Daí, ( ) √ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 √ √ 
 
 
 
Por fim, caso queira, como π = 180º, segue-se que 3π/2 = 
(3/2).(180º) = 270º. Ou seja, no círculo trigonométrico estamos 
sob o eixo dos “y”, que corresponde ao eixo dos seno, abaixo da 
origem. 
Assim, . 
 
/ . /
 .
 
 
/
 
 
 ( ) 
(...) 
A função seno associa a cada número real x o seu seno, 
f(x) = senx. Tem sinal positivo nos 1º e 2º quadrantes, e é nega-
tivo nos 3º e 4º quadrantes. 
Como, em módulo, o maior valor que assume é um, se-
gue-se que sua imagem é [-1, 1], ao passo que não há restrições 
em seu domínio. O gráfico da função seno é representado pelo 
intervalo denominado senóide 
Oportunamentefaremos esboço de gráficos. Assim sen-
do, focaremos aplicações no assunto “derivadas”, principalmen-
te as “equações de ondas”. 
~ 46 ~
46 
 
No tópico anterior abordamos a inversa da exponencial. 
Pois bem, quem é a inversa da função seno? 
Lembrando que uma função f, em determinado domínio, 
SÓ possui inversa se, e somente se, f for bijetora, por este moti-
vo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em 
seus domínios de definição. TODAVIA, podemos trabalhar 
com subconjuntos dos respectivos domínios para gerar novas 
função que possuam inversas. 
Restringiremos o domínio da função f(x) = sen(x), com 
domínio no intervalo [π/2,π/2] e imagem no intervalo [1,1]. 
Por qual motivo? Quando iniciarmos o tópico sobre esboço de gráficos 
melhor entenderemos. Desta feita, a função inversa de f, denominada 
arco cujo seno, denotada por f-1(x) = arcsen(x) é assim definida: 
por f-1:[ 1,1]  [π/2,π/2] 
Traduzindo... quem é o arcsen(1/2)? A ideia básica é 
saber qual o PRIMEIRO ângulo cujo seno vale ½. No caso 30º. 
 
Determine: (a) arctg(1); (b) arcsec(√ ) e (c) arccos(0). 
 
Solução: 
Para arccos(0). Qual o primeiro ângulo cujo cosseno vale 
zero? Resposta: 90º ou π/2. Logo, arccos(0) = 0. Em relação ao 
arctg(1), qual o primeiro ângulo cuja tangente vale 1? Resposta: 
45º ou π/4. Por fim, para arcsec(√ ), devemos saber qual primei-
ro ângulo cuja secante vale √ Isto é, √ 
 
 
√ 
√ 
 √ 
 
. Ou seja, o primeiro ângulo cujo cosse-
no é √ é 45º ou π/4 
 
Agora é sua vez.... 
Determine: (a) arctg(√ ); (b) arcsen(√ 
 
) e (c) 
arccos(1/2). 
 
~ 47 ~
47 
 
7º. Passo: Exercícios... 
 
Exercícios... Primeiro tente resolver, em seguida, degustar a solução, 
pois o saber tem que ter sabor. Isto é, compreender a “essência”. 
 
(1) Como se lê: (a + b)²? E, como se lê: a + b²? 
(2) Onde está o erro no desenvolvimento do 1 = 1, 
apresentado no início deste tópico? 
(3) Assim como 
 
 
 
 √ 
 √ 
 , segue-se que qual-
quer número dividido por ele mesmo é igual a “1”. 
(4) Uma criança argumentou que se tem uma laranja e 
não vai dividir com ninguém, então sobra a laranja. Idem se 
forem duas ou três laranjas... Escreveu, para ilustrar seus pen-
samentos, os seguintes símbolos: 
 
 
 
 E agora? Po-
demos argumentar que 1 dividido por 0 é igual a 1? 
(5) Qual o valor de x tal |3x – 5| > 7? 
(6) Determine o maior valor de f(x) = 4 – 9x². 
(7) Se f(x) = 2x, qual valor de f(-3)? Quem é x tal que 
f(x) = 128? 
(8) Seja f(x) com a seguinte lei de formação: f(a + b) = 
f(a).f(b), para quaisquer “a” e “b” reais. Sabendo que f(1) = 3, 
encontre f(10). 
(9) Se uma planta tem a seguinte característica: a cada dia 
que passa a área de superfície de um lago por ela ocupada dobra. 
Se em 53 dias toda a superfície do lago será ocupada por esta 
planta, quantos dias são necessários para cobrir metade do lago? 
(10) Se P(x) = Bekx, com P(0) = 4 e P(25) = 6, qual o va-
lor de P(50)? 
(11) Qual valor de arcsen(1)? 
(12) Qual o cos(105º)? 
(13) Escreva f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) em função de 
suas raízes x1 e x2. 
 
~ 48 ~
48 
 
Soluções... 
1ª. Questão: Chamando c de a + b, então a + b ao qua-
drado é igual a c ao quadrado, ou quadrado de lado c. Assim (a 
+ b)² é quadrado da soma de “a” com “b” e a + b² é lida como a 
soma de “a” com o quadrado de “b”. Pode parecer sem senti-
do esta questão, mas o foco está na interpretação geométrica. 
Entendendo: a = a x 1 pode ser comparada com um re-
tângulo de área “a” e lados com medidas iguais a “a” e “1”. 
 
2ª. Questão: Só faz sentido ⁄ √ se a > 0. Logo... 
 
3ª. Questão: Quanto vale 12 dividido por 4? Resposta 
“3”. Por quê? 
Porque 3 x 4 = 12. Ou seja, 
 
 . Se b ≠ 
0, tudo tranquilo! Todavia, se b = 0, segue-se que 0 x c = 0, 
qualquer que seja c. Desta feita, se a ≠ 0, segue-se que é IM-
POSSÍVEL 
 
. 
Enfim, respondendo ao problema, 
 
 se a ≠ 0. Em 
outras palavras, como não posso determinar o valor de “a” em a 
x 0 = 0, segue-se que há uma INDETERMINAÇÃO. Verifique! 
0 x 2 = 0; 0 x ½ = 0, 0 x 0 = 0... 
Finalmente, qualquer número dividido por ele mesmo é 
igual a “1” desde que o número seja DIFERENTE de ZERO! 
4ª. Questão: Vide a 3ª. 
 
5ª. Questão: Sabemos que | u | > a  u < a ou u > a. 
Assim, consideremos u = 3x – 5. Daí: 
3x – 5 < 7  3x < 5 – 7  x < 2/3 
3x – 5 > 7  3x > 7 + 5  3x > 12  x > 4. 
 
6ª. Questão: O maior valor está no vértice. 
~ 49 ~
49 
 
Lembre-se, comparando f(x) = ax² + bx + c, com a ex-
pressão f(x) = 4 – 9x², segue-se: a = 9, b = 0 e c = 4. Logo, 
 ( ) e o yv = f(xv) = f(0) = 4. 
 
7ª. Questão: Substituir x por 3: f(3) = 2-3 = ½³ = 1/8. 
Para saber o valor de x tal que f(x) = 128, vamos “fatorar” 
o 128, encontramos 128 = 27. Assim, 2x = 27  x = 7. 
 
8ª. Questão: O objetivo desta questão é instigar a “cons-
trução do problema”. Queremos f(10) e conhecemos f(1). Há a 
informação f(a + b) = f(a).f(b). 
Algo nos impede de supor a = 1 E b = 1? Por quê? Por-
que é a única informação que dispomos. Assim, f(1 + 1) = 
f(1).f(1)  f(2) = [f(1)]² = 3² = 9. 
Legal, temos f(2). Agora, vamos “construir” o f(3). 
Como 3 = 1 + 2, f(3) = f(1 + 2) = f(1).f(2) = 3.3² = 3³ = 27. 
Interessante, f(4) = f(3 + 1) = f(3).f(1) = 3³.3 = 34. 
... 
Ou seja, f(1) = 31, f(2) = 32, f(3) = 33... Podemos intuir 
(na verdade, o ideal é induzir matematicamente, mas este proce-
dimento, INDUÇÃO FINITA, será evitado nesta obra, pois o 
foco é a compreensão da essência... em outras palavras, Cálculo 
para quem não gosta, mas precisa) que f(10) = 310 
 
9ª. Questão: Vamos supor que inicialmente a área seja x. 
Assim, no segundo dia a área será 2.x. Terceiro dia = 2(2x) = 4x 
– dobra a nova área... compare com o material “segredo das matrizes” que 
usamos para motivação da função exponencial. Quarto dia = 2(4x)= 8x 
... interessante, “x” está fixa ao passo que há variação no coefici-
ente, que são múltiplos (no caso, potências do 2). 
 1º dia  Área ocupada = 1.x = 20x (lembre-se, 20 = 1) 
 2º dia  Área ocupada = 2.x = 21x 
 3º dia  Área ocupada = 4.x = 2²x 
 4º dia  Área ocupada = 8.x = 2³x 
~ 50 ~
50 
 
Podemos perceber que o expoente do “2” para um de-
terminado dia “n” é igual a “n – 1”. Confere?Assim, f(n) = 2n – 1x, 
onde f(n) representa a área ocupada no “n-ésimo” dia. 
Área toda ocupada em 53 dias... f(53) = 252x. 
Quantos dias tinha a metade, isto é, quem é n tal que f(n) 
= (252x)/2 = 251x? 
Assim, 2n – 1x = 251x  2n – 1 = 251  n – 1 = 51  n = 52 
 
Há outras maneiras de argumentar esta questão... 
 
10ª. Questão: P(50) = Be50k. Falta descobrir quem são B e k. 
De P(0) = 4  4 = Be0.k = Be0 = B.1 = B .: B = 4. 
De P(25) = 6  6 = 4e25k  6/4 = e25k  e25k = 1,5  
25k = ln(1,5)... 
Podemos desenvolver... mas queremos e50k = e2.(25k) = (e25k)². 
Assim, P(50) = 4.(1,5)² = 9. 
 
11ª. Questão: Queremos saber qual o primeiro ângulo cujo 
seno é 1. No caso, 90º ou π/2. Deste modo, arcsen(1) = π/2. 
 
12ª. Questão: Como 105º = 60º + 45º (usando ângulos 
conhecidos), temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Consultando tabela (o ideal, é ter tais valores cravados em 
sua mente) ( ) √ √ √ √ √ √ ( √ ) 
 
13ª Questão: Se x1 e x2 são as raízes, então podemos con-
siderar 
 √ √ 
~ 51 ~
51 
 
 
Reparemos que, manipulando-as: 
 √ √ 
 
 √ √ √ √ (√ ) 
 
Atenção ao uso dos sinais... ()x() = (+) e ()x(+) = 
()... como 
 ( ) 
 
Ou seja, ( ) . 
 
 
 
/ 
 ( ) 
 
Ainda não está muito simplificadaa escrita, embora já te-
nhamos resolvido o problema. Vamos simplificar mais... 
Provaremos que f(x) = ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2). 
Para tanto, basta desenvolver o lado direito da igualdade: 
 ( )( ) , ( ) ( )- , ( ) - 
 
Finalmente: 
 ( )( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 
~ 52 ~
52 
 
 
 
 
 
1º. Passo: Introdução ao assunto... 
 
Imagine que um trecho de uma montanha russa3 seja 
aproximado pela função f(t) = sen(t), onde t é o tempo e f(t) é a 
distância percorrida. A velocidade média, entre dois instantes 
consecutivos t2 e t1 é: 
 ( ) ( ) 
 . 
 
Se então ( ) ( ) ( ) ( ) Se 
 (isto é, supondo um intervalo de tempo muito pequeno) 
temos que o quociente se aproxima de 0 dividido por 0, isto é: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 . Melhorando a escrita, se t1 = 0, então f(t1) 
= sen(0) = 0 e temos: 
 
 
 
. 
 
Paremos momentaneamente com esta função. 
Complete as tabelas dadas em relação à função ( ) 
 
. Por qual motivo este quociente? Em breve veremos 
aplicações envolvendo vertedouros de açudes (foco na razão 
 
3 Não só montanha russa, há estradas brasileiras, entre subidas e descidas que 
também podem aproximar-se da referida situação. 
~ 53 ~
53 
 
entre o volume de água que passa em determinado tempo) ou 
fluxo sanguíneo na artéria ou intensidade de corrente elétrica em 
um instante... Não queremos pressionar... aliás, pressão é a relação 
entre uma determinada força e sua área de distribuição. 
Ok em relação à função do no numerador? Mas, por qual 
motivo o “1”. Está sendo usado como uma unidade. Entenden-
do, sua idade, em ano, no ano que você nasceu era zero. Toda-
via, você é alguém (deveras importante para sua família, vale ressaltar) 
é uma unidade! 
Deixando um pouco de lado o pensamento filosófico, no-
te que x não pode ser igual a um senão zera o denominador. 
Todavia, x = 1 também zera o numerador. E 0/0 é forma inde-
terminada. 
E o que são formas indeterminadas? São expressões que 
podem assumir quaisquer valores. Por exemplo, sabemos que 12 
/ 4 = 3 porque 12 = 4 x 3. Bem, se 0/0 = n, segue-se que o zero 
do numerador será o produto do zero do denominador pelo n. 
Assim, 0 = 0.n. Todavia, qualquer número multiplicado por zero 
dá... ZERO! 
Assim, vamos considerar valores próximos de um para as 
tabelas dadas. Entretanto, se x  1, segue-se que ou x < 1 ou 
que x > 1. Logo, vamos nos aproximar por ambos os lados. 
 
Valores próximos de “1”, sendo menores que este. 
X 0,5 0,9 0,95 0,99 
F(x) 
 
Para facilitar a expressão podemos reescrever o numera-
dor em função de suas raízes (pois “1” é raiz!). Para tanto, f(x) 
= ax² + bx + c fica na forma f(x) = a(x – x1)(x – x2). Vide 13ª 
questão da lição passada. 
2x² + 3x – 5 = 2(x – x1)(x – x2), sendo x1 = 1, segue-se 
que, do produto das raízes (poderia ser da soma!) x1.x2 = -5/2  x2 
= -5/2. 
~ 54 ~
54 
 
Assim, 2x² + 3x – 5 = 2(x – 1)(x + 5/2) = (x – 1)(2x + 5) 
– favor verificar! 
Reescrevendo o quociente: ( ) 
 
 2x + 5. 
Ou seja, basta multiplicar cada valor por 2 e, em seguida, acres-
centar 5. 
 
Valores próximos de “1”, sendo maiores que este. 
X 1,5 1,1 1,05 1,01 
F(x) 
 
Completando, primeiro vamos tentar antes de conferir... 
 
Valores próximos de “1”, sendo menores que este. 
X 0,5 0,9 0,95 0,99 
F(x) 6,00 6,80 6,90 6,98 
 
E 
Valores próximos de “1”, sendo maiores que este. 
X 1,5 1,1 1,05 1,01 
F(x) 8,00 7,20 7,10 7,02 
 
Podemos concluir que, quanto mais próximo de “1” 
estiver x, mais próximo de “7” está f(x). 
Também percebemos que: 
Se x = 0,5, então a diferença 1 – x será igual a “0,5”. 
Se x = 0,9, então a diferença 1 – x será igual a “0,1”. 
Se x = 0,95, então a diferença 1 – x será igual a “0,05”. 
Se x = 0,99, então a diferença 1 – x será igual a “0,01”. 
 
Também... 
Se x = 1,5, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,5”. 
Se x = 1,1, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,1”. 
Se x = 1,05, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,05”. 
Se x = 1,01, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,01”. 
~ 55 ~
55 
 
Vamos recordar a função módulo. A interpretação geomé-
trica dela é a distância da origem até x. Assim sendo, é conveni-
ente reescrever: 






0,
0,
)(
xx
xx
xf 
 
Traduzindo... a importância do módulo é deixar tudo po-
sitivo (o que se entende por este tudo? Reflita). 
Note que: 
 | 1 – x | = 0,5, se x = 1,5 ou se x = 0,5. 
 | 1 – x | = 0,1, se x = 1,1 ou se x = 0,9. 
 | 1 – x | = 0,05, se x = 1,05 ou se x = 0,95. 
 | 1 – x | = 0,01, se x = 1,01 ou se x = 0,99. 
 
Bem como: 
 | 7 – f(x) | = 1,0, se x = 1,5 ou se x = 0,5. 
 | 7 – f(x) | = 0,2, se x = 1,1 ou se x = 0,9. 
 | 7 – f(x) | = 0,1, se x = 1,05 ou se x = 0,95. 
 | 7 – f(x) | = 0,02, se x = 1,01 ou se x = 0,99. 
 
Ou seja, para esta função dada notamos que, para um 
dado intervalo de x, o módulo da diferença entre “7” e 
“f(x)” é o dobro do módulo da diferença entre “1” e “x”... 
 
Definição: Seja uma função f definida em um intervalo 
aberto que contém o ponto “a”, exceto possivelmente no pró-
prio ponto “a”, e seja “L” um número real. Então: 
 
 ( ) 
significa 
 | | ⇒ | ( ) | 
 
Interpretação: ao indicar |u| < v, isto significa que – v < u < v. 
~ 56 ~
56 
 
Ou seja, | x – a | < d implica – d < x – a < d. Somando “a” 
em cada membro da desigualdade, a – d < x < a + d. 
Isto é, temos uma variação no intervalo ]a – d, a + d[. 
Traduzindo: Dada a existência de um intervalo no eixo x, em torno 
de “a”, há um intervalo no eixo y em torno de “L”. 
 
Próximo passo aprofundaremos mais a interpretação desta 
definição... 
 
Agora é sua vez... 
Complete as tabelas sendo ( ) 
 
 
 
Valores próximos de “1”, sendo menores que este. 
X 0,5 0,9 0,95 0,99 
F(x) 
 
E 
Valores próximos de “1”, sendo maiores que este. 
X 1,5 1,1 1,05 1,01 
F(x) 
 
 
2º. Passo: Exercícios... 
 
Iniciaremos indicando que sendo ( ) 
 
 
 unção está cada vez mais próxima de “17” 
quando x se aproxima de “1” e notamos que, para um dado 
intervalo de x, o módulo da diferença entre “17” e “f(x)” é 
cinco vezes o módulo da diferença entre “1” e “x”... 
Tal conclusão é retirada das tabelas... mas sempre precisa-
remos de tabelas para tratar de tais aproximações? Não. Para 
tanto, temos resultados. 
Não é obrigatório “decorar” apenas entender o passo a 
passo das demonstrações. Com efeito, durante as argumentações 
~ 57 ~
57 
 
atreladas à justificativa (ou demonstração) de cada teorema, po-
demos estabelecer estratégias para a resolução de situações pro-
blemas. 
(1). Se f(x) tem um limite quando x tende para a, en-
tão o limite é único. 
Prova: 
Suponha que possam haver dois valores para o limite, L e 
M. Queremos chegar em uma contradição! 
Supor que L < M e vamos escolher 
 
. Não obs-
tante, considerar os intervalos abertos (L – , L + ) e (M – , M 
+ ). Como 
 
 estes dois intervalos não se interceptam. 
Pela definição de limite, existe um tal que, sempre que 
x está no intervalo aberto (a - , a + ) e x ≠ a, então f(x) está 
no intervalo aberto (L – , L + ). 
Analogamente, existe um tal que, sempre que x está no 
intervalo aberto (a - , a + ) e x ≠ a, então f(x) está no inter-
valo aberto (M – , M + ). 
Supondo ainda < , se escolhermos um x que esteja 
simultaneamente nos intervalos (a - , a + ) e (a - , a + ), 
então f(x) estará simultaneamente em (L – , L + ) e (M –, M 
+ ), contrariando o fato de que esses dois intervalos não se 
interceptam. 
Logo, a suposição inicial é falsa! 
(2). Se existem ambos os limites ( ) e 
 ( ), então: 
I. , ( ) ( )- ( ) ( ) 
II. , ( ) ( )- ( ) 
 ( ) 
~ 58 ~
58 
 
III. , ( ) ( )- ( ) ( ) desde que ( ) 
 
Prova: 
Suponhamos que ( ) ( ) 
 
Item (I): 
Pela definição de limite, devemos mostrar que, para todo 
 > 0, existe um > 0; 0 < | x – a | < então | [f(x) + g(x)] – 
(L + M) | < 
 
Uma estratégia recorrente na matemática é “partir” de onde quere-
mos “chegar” 
 
Comecemos por escrever 
| [f(x) + g(x)] – (L + M) | = | [f(x) – L] + [g(x) – M] | 
 
Utilizando a desigualdade triangular | b + c | < | b | + | 
c | segue-se que: 
| [f(x) – L] + [g(x) – M] | < | f(x) – L| + |g(x) – M|. 
 
Na definição de limite temos “qualquer”. A ideia é, quanto 
menor o tamanho do intervalo, melhor! 
Assim, ( ) fica se 0 < | x – a | < então 
| f(x) – L | < (*) 
E, ( ) fica se 0 < | x – a | < então | 
g(x) – M | < (**) 
 
Seja o menor dos números , então, 0 < | x – a 
| < implica que as duas desigualdades anteriores são verdadei-
ras (*) e (**). 
 Por conseguinte, | [f(x) – L] + [g(x) – M] | < 
+ = 
 
~ 59 ~
59 
 
Item (II): 
Inicialmente, suponha que se h(x) é uma função tal que 
 ( ) então, , ( ) ( )- 
 ( ) fica se 0 < | x – a | < então | f(x) – 
L | < 1 (supondo ) (***) 
 
De novo, saindo de onde queremos chegar... 
 
| f(x) | = | f(x) + L – L |, pois 0 + u = u e podemos 
pensar em 0 = L – L. 
| f(x) + L – L | < | f(x) + L | + | L |, pela desigualdade 
triangular. 
| f(x) + L | + | L | < 1 + |L|, pela suposição (***) 
 
Assim, se 0 < | x – a | < então | f(x).h(x) | < (1 + 
|L|).|h(x)|. 
 
Como ( ) , segue-se que para todo > 0, 
existe um > 0 tal que se 0 < | x – a | < então | h(x) – 0| 
< 
 | |. 
Se for o menor dos números , então, sempre 
que 0 < | x – a | < segue-se que | f(x).h(x) | < (1 + 
|L|). 
 | | = 
Agora, façamos a demonstração: 
Considere f(x).g(x) – LM = f(x).g(x) – M.f(x) + M.f(x) – LM 
Assim, f(x).g(x) – LM = f(x).[g(x) – M] + M.[f(x) – L]. 
Como ( ) equivale a , ( ) - 
segue-se resultado com h(x) = g(x) – M. 
 
Item (III): 
Basta mostrar que 
 
 ( ) 
 
~ 60 ~
60 
 
Note que | 
 ( ) | | ( ) ( ) | | | | ( )| | ( ) | 
 
Como ( ) segue-se que existe um > 0 
tal que se 
 0 < | x – a | < então | g(x) – M| < 
| |
 
. 
 
Motivação: 
|M| = |g(x) + [M – g(x)]| < |g(x)| + |M – g(x)| < 
|g(x)| + |M|/2 
Organizando, |M| < |g(x)| + |M|/2  |M|/2 < 
|g(x)| ou | ( )| | | 
Assim, | 
 ( ) | | | | ( )| | ( ) | | | | ( ) |... 
 
(3). “Teorema do Sanduíche” 
Seja f(x) < h(x) < g(x) para todo x em um intervalo 
aberto contendo a, exceto possivelmente para o próprio a. 
Se 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Prova: 
Para todo > 0, existe um > 0 tal que se 0 < | x – a | 
< então | f(x) – L| < bem como existe um > 0; se 0 < 
| x – a | < então | g(x) – L| < . Se for o menor dos 
números , então, sempre que 0 < | x – a | < ambas as 
desigualdades anteriores que envolvem são verdadeiras, isto é, 
- < f(x) – L < e, por conseguinte – < g(x) – L < 
 
Consequentemente, se 0 < | x – a | < , então L – < f(x) e 
g(x) < L + . Como f(x) < h(x) < g(x), se 0 < | x – a | < , 
então 
~ 61 ~
61 
 
L – < h(x) < L + que equivale a |h(x) – L| < 
 
Obs.: só existe o limite no ponto se existirem e forem 
iguais os limites laterais. Limites laterais? Sim, é o ato de apro-
ximar-se de x = a por valores pela direita (ou maiores que a) ou 
pela esquerda (ou menores que a). 
 
Em símbolos: 
Limite pela direita: )(lim xf
ax 
 
Limite pela esquerda: )(lim xf
ax  
 
Resultados: 
 ( ) 
 
Para todo > 0, existe um > 0 tal que se 0 < | x – a | 
< então |(bx + c) – (ab + c)| = |bx – ab| = |b|.|x – a|. 
Ou seja, basta considerar = |b|. 
 
Se a > 0 e n é um inteiro positivo, ou se a < 0 e n é 
um inteiro positivo ímpar, então √ 
 √ 
 
Sejam a > 0 e n um inteiro positivo. Mostraremos que,  
> 0, existe um > 0; se 0 < | x – a | < então | √ √ | . 
Ou equivalentemente, se – < x – a < e x ≠ a, então, 
segue-se que √ √ . 
Vamos “mexer” onde queremos chegar... 
 
 √ √ 
√ 
 
 √ √ 
(√ 
 
 )
 (√ ) 
(√ 
 
 )
 
 (√ ) 
~ 62 ~
62 
 
 0 (√ 
 
 )
 
1 (√ ) 
 
se denota o menor dos dois últimos números positivos 
dados por (√ )
 
 e (√ ) , então, segue-se 
que sempre que – a desigualdade se verifica e o 
teorema está demonstrado para este caso. 
 
 
Traduzindo... estamos tão próximos do valor indica-
do que, se substituirmos a variável pelo valor indicado o 
erro entre o valor aproximado e o valor real praticamente é 
zero. Logo, basta substituir a variável pelo valor indicado. 
 
A título de curiosidade (não se assustem!) 
Usando a definição de limites, prove que: ( ) 
 
Devemos mostrar que 
 | | |( ) | 
A ideia prática é saber onde queremos chegar... (dada a tese, “me-
xer” para fazer aparecer a hipótese. 
Ou seja, 2x² + 4x – 30 = 2(x² + 2x – 15) = 2(x – 3)(x + 5). 
Assim, | | | | | | | | (*) 
 
Suponha que (Por qual motivo?) 
Deste modo, | | | | 
 
 
Isto é, 2 < x < 4 que equivale (para fazer aparecer módulo) a 
5 + 2 < 5 + x < 5 + 4... 7 < x + 5 < 9 
~ 63 ~
63 
 
Assim sendo, em virtude do intervalo que devemos obter (por quê?), 
em (*), | | | | | | | | 
 . 
 Por fim, seja 2 
 
3. 
Ufa! 
 
Exemplos: 
 
 
 ⏞ 
 
 
 ⏟
 
 
 
Repetindo, “basta substituir a variável pelo valor a qual ela 
tende”. Quando aparecer a indeterminação 0/0, devemos mexer 
com a expressão e, só então, aplicar o limite. 
 
 
 ( )( ) ( ) 
 
Calcule os limites laterais da função indicada: 
01. ;
1xse1
1xse0
)x(f





 
02. 








 ;
1
122
1
1
)(
2
xsex
xexse
x
x
xg 
03. ;
1x1sex1
1xou1xse1x)x(p
2
2




 
04. ;
2x1se1
1x0sex
0x2sex
)x(P
2







 
 
~ 64 ~
64 
 
Solução... 
01). No caso, a = 1. 
11lim)(lim
1
   xax xf Tender para „1‟ pela direita signi-
fica que a função está definida para valores maiores que „1‟. Ou seja, f(x) 
= 1. 
Analogamente... 00lim)(lim
1
   xax xf 
 
03). 
0)1(lim)(lim
0)1(lim)(lim
0)1(lim)(lim
0)1(lim)(lim
2
11
2
11
2
11
2
11












xxf
xxf
xxf
xxf
xx
xx
xx
xx
 
Nota: independentemente de ser pela direita ou pela esquerda, “bas-
ta” substituir a variável pelo valor a qual ela tende. 
 
Agora é sua vez... 
Encontre os limites: 
 ) 
 
√ ) 
 
 
 
 ) 
 
√ 
 
 ) 
 
 
 
 
 
3º. Passo: Limites infinitos e no infinito 
 
Iniciamos respondendo as questões do passo anterior... 
Basta substituir a variável pelovalor a qual tende. Caso encon-
tremos 0/0, usar simplificação ou produtos notáveis. Lembrar: 
ao trocar a variável pelo valor a qual tende, a expressão “lim” 
desaparece. 
 
~ 65 ~
65 
 
Item (a): √ √ ( ) 
Item (b): ( ) ( ) 
Item (c): √ . 
 
Vamos pensar da seguinte forma. Se a = √ e b = 2, pois 
não podemos pensar separadamente cada expressão (numerador 
ou denominador), segue-se, então que a² = x e b² = 4. 
De a²  b² = (a – b)(a + b)... 
 
√ 
 √ (√ )(√ ) √ 
Item (d): 
 
De a³  b³ = (a – b)(a² + ab + b²), temos, comparando 
“a” com “x” e “b” com “1”: x³  1 = (x – 1)(x² + x + 1). Por 
analogia, de a²  b² = (a – b)(a + b), segue-se que x²  1 = (x – 
1)(x + 1). 
 
Lembrando que se x  1 (isto é, se x se aproxima de “1‟, 
então x é diferente de “1”. Ou seja: x ≠ 1  x – 1 ≠ 0. 
Assim: ( )( )( )( ) 
 
Notamos a necessidade da divisão de polinômios (ou pro-
dutos notáveis) quando, no cálculo de limites, encontrarmos 
0/0. Mas o que acontece quando x se aproximar de um valor 
muito grande ou se o denominador se aproximar de 0 e o de-
nominador de outro número? 
~ 66 ~
66 
 
Considere a função y = 1/x. Com x diferente de zero. Ela 
tem grande importância porque qualquer polinômio pode ser 
reescrito em termos dela. 
Por exemplo: p(x) = x³ + 3x² + 2x. 
Vamos colocar em evidência o x³. Isto é, dividir o mem-
bro direito da igualdade por x³ (e multiplicar por ele mesmo, 
desde que x ≠ 0). 
Assim, 
])
1
(2
1
31[)
23
1()
23
()( 232
3
33
2
3
3
3
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
xxp 
. 
Algumas considerações sobre o “infinito”: 













n
n
n
n
n
n
n
0,0
0,
0,
0,
 
 
Por quê? Discuta com seus colegas... antes, compare com 
a seguinte ideia: se alguém não vive 130 anos, viverá 130 + 10? 
Ou o produto de 130 por 10? 13010? 
 
 
~ 67 ~
67 
 
Vamos completar as tabelas: 
 
Quando x decresce indefinidamente, isto é, x   
X 1010 10100 101.000 10100.000 
Y = 1/x 
 
Quando x cresce indefinidamente, isto é, x   
X 1010 10100 101.000 10100.000 
Y = 1/x 
 
Quando x se aproxima de zero por valores menores que 
zero, isto é, x  0- 
X 1010 10100 101.000 10100.000 
Y = 1/x 
 
Quando x se aproxima de zero por valores maiores que 
zero, isto é, x  0+ 
X 10-10 10-100 10-1.000 10-100.000 
Y = 1/x 
 
Percebemos que: 








x
x
xx
x
x
xx
1
lim
1
lim
1
lim0
1
lim
0
0
 
 
Resultado importante: 
(*) 0lim  nx x
k se a constante k for diferente de zero e 
n > 0. 
 
~ 68 ~
68 
 
Traduzindo... qual o inverso de algo muito grande? 
Algo muito pequeno (no caso, zero). E o inverso de algo 
muito pequeno? Algo muito grande positivamente (se a 
aproximação de 0 for por valores maiores que ele) OU algo 
muito grande negativamente (se a aproximação de 0 for por 
valores menores que ele). 
 
Exemplos: O que ocorre nos extremos do domínio da 
função f(x) = 
 e da função g(x) = A importância desta 
função g é seu gráfico. Muito parecido com o gráfico da curva normal (Esta-
tística). 
 
Iniciemos com a função g(x). Como x² + 1 > 0 para qual-
quer valor de x, pois x² > 0 e x² = 0 se, e somente se, x = 0. 
Desta feita, seu domínio são todos os reais ou, em termos de 
intervalos: ] - ∞, + ∞[ 
Assim, . Com efei-
to, algo muito grande (positiva ou negativamente) ao quadrado 
ainda é “muito grande”. Somado com “1”, continua muito 
grande. E, o inverso de algo muito grande é muito pequeno... ou 
zero. 
Já para o domínio de f(x), x²  1 ≠ 0  x ≠ 1 e x ≠ 1. 
Desta feita, o domínio é: ]∞, 1[  ] 1, 1[  ]1, + ∞[. Assim 
os limites são: ( ) 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Justificativa: 
(1) E (6) indica o inverso de algo “muito grande” 
(2) Formalmente: Se x se aproxima de “1” por meio 
de valores menores do que ele, então x < 1. Precisamos gerar 
~ 69 ~
69 
 
x²  1 (expressão do denominador). Uma ideia: elevar ambos os 
membros da desigualdade ao quadrado. ATENÇÃO! Pensando 
em números: sabemos que – 2 < 1, todavia, (2)² > (1)². Assim, x < 
1  x² > 1 e, por conseguinte, x²  1 > 0. Logo, denominador 
está próximo de zero por valores maiores que zero. Por fim, 
temos o inverso de algo muito pequeno (que é positivo), logo o 
resultado é algo muito grande positivamente. Ou seja + ∞ 
INFORMALMENTE, mas mantendo um pouco de 
rigor: Fornecer um número próximo (ideia de limite) de “1”, 
por sua vez, que seja menor que “1” (limite pela esquerda). Por 
exemplo: “2”. Substituir no denominar e analisar o sinal (se é + 
ou –). 
De x²  1, com x = 2, temos (2)²  1 = 3 > 0... 
 
A partir de agora, usaremos a estratégia informal. Ela 
é garantida em virtude da continuidade da função. 
(3) Fornecer um número próximo (ideia de limite) de 
“1”, por sua vez, que seja maior que “1” (limite pela direita). 
Por exemplo: “0”. Substituir no denominar e analisar o sinal (se é 
+ ou –). De x²  1, com x = 0, temos (0)²  1 = – 1 < 0 
(4) Fornecer um número próximo (ideia de limite) de 
“+1”, por sua vez, que seja menor que “+1” (limite pela esquer-
da). Por exemplo: “0”. Substituir no denominar e analisar o sinal 
(se é + ou –). De x²  1, com x = 0, temos (0)²  1 = – 1 < 0 
(5) Fornecer um número próximo (ideia de limite) de 
“+1”, por sua vez, que seja maior que “+1” (limite pela direita). 
Por exemplo: “2”. Substituir no denominar e analisar o sinal (se é 
+ ou –). De x²  1, com x = 2, temos (2)²  1 = 3 > 0 
 
Agora é sua vez... 
Encontre os limites: 
~ 70 ~
70 
 
 ) 
 
√ ) 
 
 
 
 ) 
 
√ 
 
 ) 
 
 
 
 
 
4º. Passo: Fixando raciocínio. 
 
Iniciaremos resolvendo limites anteriores. 
Item (a): √ . Com efeito, 4 – ( ) = 4  
=  
 
Item (b): 
 ( 
 
) ( 
 
) ( )( ) . 
Colocamos o x² do denominador em evidência. Por quê? 
Porque sabemos que 0lim  nx x
k . Simplificamos “x” do 
numerador com um dos “x²” do denominador. Por fim, reutili-
zamos o resultado da linha anterior, com k = 3. 
 
Item (c): √ √ . Com efeito, x  4- signi-
fica x < 4, por conseguinte, x – 4 < 0. 
 
Item (d): 
 
 
 . Fornecer um número próxi-
mo (ideia de limite) de “+1”, por sua vez, que seja maior que 
“+1” (limite pela direita). Por exemplo: “2”. Substituir no denomi-
~ 71 ~
71 
 
nar e analisar o sinal (se é + ou –).E, x²  1, com x = 2, fica (2)² 
 1 = 3 > 0 
 
(...) 
Já que estamos trabalhando com valores muito grandes 
para a variável independente (x), convém estabelecer alguns re-
sultados, no caso de quociente de funções polinomiais. 











mn
mn
b
a
mn
xq
xp
m
n
x
,0
,
,
)(
)(
lim 
com p(x) = anxn + ... + a0 e q(x) = bmxm + ... + b0. 
Observação: não é ao mesmo tempo que x   ou x  
+ . A escrita indica que tanto faz um ou outro limite. 
 Com efeito, 
 
 . /
 ( * 
 
Usando , segue-se que “sobra” 
 . 
 
Analisando caso a caso: 
 Se n > m  
 , depende do “sinal” do quociente entre os 
coeficientes. Se n = m  
 
0lim  nx x
k
~ 72 ~
72 
 
 Se n < m  
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desafio: Para que valores de a e b tem-se: 
1
3
12
lim 2 

 bxax
x
x ? 
 
Solução: 
Primeiramente, vamos supor a  0. Por quê? Para garantir que o 
grau do denominador seja „2‟. 
Assim sendo, vamos dividir numerador e denominador por x². 
 
0
0
3
12
lim
3
12
lim
3
12
lim
2
2
2
2
2
2 








 a
xx
b
a
xx
x
bxax
x
x
bxax
x
xxx
 
Como é dito no enunciado que o limite é igual a „1‟, segue-se que su-
por a  0 não é verdadeiro. Logo, a = 0. 
Mesmo raciocínio... supor b  0. 
21
22
3
1
2
lim
3
12
lim
3
12
lim 








 bbb
x
b
x
x
bx
x
x
bx
x
xxx
 
Resp.: a = 0 e b = 2. 
~ 73 ~
73 
 
ERRO4: Não considerar a hipótese. Ou seja: (1) a variável 
tende para “infinito” e a função é um quociente de polinômios. 
Logo, resposta é (2) zero se grau do denominador for maior que 
grau do numerador, (3) ± infinito se grau do denominador for 
menor que grau do numerador e (4) será uma constante não nula 
se forem iguais. (5) “1” é constante não nula, logo graus iguais... 
 
Desafio 2: √ . 
Cuidado! Não é quociente de polinômios! Primeiro, preci-
samos analisar “trabalhar” com a raiz quadrada. Assim, 
 
 
√ √ ( 
 
) √ 
 
 √ √ 
 
 
 
Usamos, após colocar o x² em evidência, o fato de que a 
raiz do produto (de „coisas‟ positivas) ser o produto das raízes. 
Em seguida, como x  , segue-se que √ = x. O “x” do 
numerador foi simplificado com o “x” do denominador e, por 
fim, usamos 1/x²  0 (pois x  ). 
 
Agora é sua vez... 
 
Calcule os limites: ( ) 
 ( ) √ ( ) 
 ( ) √ 
 
 
 
4 Aos poucos estaremos apresentando os principais erros realizados por 
discentes de diversas áreas (como engenharias e economia) que foram obser-
vados durante 20 anos de magistério. 
~ 74 ~
74 
 
5º. Passo: Limites de funções trigonométricas 
 
Iniciando pelo “agora é sua vez”... 
Itens (1) e (3) valem, respectivamente, 0 e 6/11, com base 
no grau... 
 
Item (2): Siga mesmas argumentações na solução do 
exemplo. 
 
 
√ √ ( 
 
) √ 
 
 √ 
 
 
√ 
 
 
 
Item (4): Cuidado! Definição de módulo... 
Vamos recordar a função módulo. A interpretação geomé-
trica dela é a distância da origem até x. Assim sendo, é conveni-
ente reescrever: 






0,
0,
||)(
xx
xx
xxf e, √ | |. Ou 
seja, x   significa que x < 0. 
 
 
√ √ ( 
 
) √ 
 
 √ 
 
 
√ 
 
 
Ou seja, neste caso, √ | | ... 
 
(...) 
~ 75 ~
75 
 
Observou-se que os limites que envolvem funções trigo-
nométricas passam, direta ou indiretamente, pelo: 
1lim 0  x
senx
x
 
 
Tal limite é considerado o limite fundamental da trigono-
metria. Pesquise o motivo deste resultado. 
Exemplos: 
1
1
1
1
cos
1
lim
1
cos
limcoslimlim)
)4(
0
)3(
0
)2(
0
)1(
0






xx
senx
xx
senx
x
x
senx
x
tgx
a
x
xxx
 
2
1
2
1
1
cos1
1
)(lim
)cos1(
lim
)cos1(
cos1
lim
cos1
cos1cos1
lim
cos1
lim)
2
)9(
2
0
)8(
2
2
0
)7(
2
2
0
)6(
20
)5(
20
















xx
senx
xx
xsen
xx
x
x
x
x
x
x
x
b
xx
xxx
 
 
Entendendo as “passagens”: 
(1) Já que dá 0/0, escrever a tg(x) como a razão entre 
sen(x) e cos(x). 
(2) Foi utilizada a divisão de frações. 
(3) Organizamos expressão para aparecer sen(x)/x. 
(4) Quando x  0 temos que cos(x)  1. 
(5) De sen²x + cos²x = 1, temos que sen²x = 1 – cos²x = 
(6) (1 – cosx)(1 + cosx), pois a² - b² = (a – b)(a + b). 
(7) Ideia anterior. 
(8) Substituição prevista em (5). 
(9) Fizemos aparecer sen(x)/x 
(10) Idem (4). 
 
Exercícios: 
~ 76 ~
76 
 
1). Usando as ideias dos exemplos, calcule: 
x
x
b
xtg
x
a
x
x
cos1
lim)
)(
lim)
0
0


 
 
Resp.: 
(a) “1”. Com efeito, tg(x) = sen(x)/cos(x) 
Daí, x/tg(x) = x/[sen(x)/cos(x)] 
Organizando pela divisão de frações… 
 
ERRO: limite é válido para x/sen(x). Infelizmente, há 
discentes que só seguem uma linha de raciocínio. 
 
(b) Já que temos um limite o qual dá 0/0 e envolve função trigo-
nométrica, segue-se que devemos fazer aparecer sen(x)/x – eis a principal 
causa de ERRO. Operar limite trigonométrico sem uso do limite funda-
mental... 
Da relação fundamental da trigonometria, sen²x + cos²x = 1, se-
gue-se que sen²x = 1 – cos²x. Pelos produtos notáveis, já que 1 = 1², 
temos: 
sen²x = (1 – cosx)(1 + cosx) 
 ( ) 
 
 
2). Calcule: 
a) )1(lim senxx  
b) )1(lim 0 senvv  
 
Solução: 
Basta trocar a variável pelo valor a qual tende. Logo, (a) 1 + sen 
= 1 + 0 = 1 e (b) 1, pois sen(0) = 0.. 
~ 77 ~
77 
 
Interessante... 
Assim como podemos ter pessoas com mesmo peso e alturas distintas, 
segue-se que podemos ter funções distintas com mesmo valor no cálculo de um 
limite. 
Foi o que ocorreu com as funções da questão anterior. Considere, da-
da a expressão do item (a), u = x – , a diferença entre a variável e o 
valor a qual ela tende. 
Por conseguinte, 1 + senx = 1 + sen(u + ) = 1 + (sen(u)cos() 
+ sen()cos(u)) = 1 – sen(u), que é a expressão do item (b), se trocarmos u 
por v. 
Isto ocorre com outras funções. Seja f(x) = 2x + 3. Se x  4, en-
tão f(x)  11. g(u) = 2u + 11 tende para 11 quando u  0. Com 
efeito, a função g(u) é obtida por meio da relação u = x – 4. Mais adiante 
faremos uso desta ideia. 
 
3). Fazendo a mudança u = x – a, onde „a‟ é o valor a qual 
tende o limite, resolva os itens (b) e (c) conforme o exemplo (a). 
Repare que em cada caso temos 0/0: 
)cos()()cos()()(
)
2
()(
22
1
lim)
2
absenbasenbasen
usenxsenuxxu
x
senx
a
x






 
Usando a fórmula do seno da soma: 
0
2
0
11
2
)cos(1
lim
1
lim
)cos()cos()
2
()
2
cos()()
2
(
0
2










 


u
u
x
senx
uusenusenusen
u
x
 
Agora é sua vez... 
~ 78 ~
78 
 
2)(
1cos
lim)
lim)









x
x
c
x
tgx
b
x
x
 
Apoio: 
)()()cos()cos()cos(
)()(1
)()(
)(
bsenasenbaba
btgatg
btgatg
batg





 
Resp.:(b) “1” e (c) “½”. 
 
Observação: 
0
0 é forma indeterminada. Assim sendo, se 
no cálculo de limites obter tal expressão, você deve retirar um 
ou ambos os zeros. Como? Bem... 
 Se função do tipo p(x)/q(x), SEM envolver trigonomé-
tricas, dividir numerador e denominador por x – a, onde “a” é o 
valor o qual a variável x está tendendo. 
 Se função do tipo p(x)/q(x), COM funções trigonomé-
tricas, usar o limite fundamental da trigonometria: 
1lim 0  u
senu
u . 
 
Alguns resultados úteis: 
 m² – n² = (m – n)(m + n) E m³ – n³ = (m – n)(m² + mn 
+ n²) 0
1cos
lim 0 

 u
u
u E 2
1cos1
lim 20 

 u
u
u . Obs.: Se a 
variável não tender para zero mude de variável... em vez de “x 
 a” faça “u  0” considerando “u = x – a”, que equivale a “x 
= u + a” 
 
 
~ 79 ~
79 
 
6º. Passo: Continuidade e exercícios 
 
Fixando conteúdos anteriores... 
2)(
1cos
lim




 x
x
x 
Seja u = x – π. Assim cos(x) = cos(u + π) = cos(u)cos(π) – 
sen(u)sen(π). Como cos(π) = 1 e sen(π) = 0, segue-se que 
cos(x) = cosu. 
Assim, o limite fica: 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
Da relação fundamental da trigonometria e organizando, 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 . / 
(...) 
 
Definição de continuidade (em um ponto)5: 
Uma função f(x) é contínua em um número c se satisfaz 
as seguintes condições: 
i. É definida f(c) 
ii. Existe ( ) 
iii. ( ) ( ) 
 
São contínuas todas as funções polinomiais. 
Exemplos: 
1). Encontre os valores das constantes a e/ou b, para que a função 
dada seja contínua em ( , ):  
 
5 Será contínua em um intervalo se for contínua em todos os pontos deste. 
~ 80 ~
80 
 
a). ;
1xse2x
1xsexa)x(f 2
2





 
b). ;
2xsexb
2x2sebax
2xseax
)x(h 2







 
Resposta: 
Façamos o item (b). 
Se x  2-, então o limite pela esquerda fica – 2 – a. Se x 
 2+, então o limite pela direita fica 4a + b. Assim, 4a + b = 
– a – 2. 5a + b = -2 (*) 
Se x  2-, então o limite pela esquerda fica 4a + b. Se x 
 2+, então o limite pela direita fica b  2. Assim, 4a + b = b – 
2. Ou seja, a = 1/2. 
Daí, em (*) b = 2 – 5a = 2 – 5(1/2) =  2 + 5/2 = 
1/2. 
 
2). A população (em milhares) de uma colônia de bactérias, t minu-
tos após a introdução de uma toxina é dada pela função: 






5,728
5,7
)(
2
tt
tt
tf 
Explique por que a população deve ser de 10000 bactérias em al-
gum momento entre t = 1 e t = 7. 
Resposta: 
Porque é contínua a função, basta fazer t  5- e depois t 
 5+ 
ERRO: Um dos principais erros observados nesta aplica-
ção é o fato de não considerar f(t) = 10. Com efeito, unidades 
de milhares. 
 
Nos exercícios abaixo, verifique se a função dada é contí-
nua no valor indicado: 
~ 81 ~
81 
 
3). ;0c,
0xse1
0xse1)x(h 





 
4). ;2c,
2xse3
2xse
2x
4x
)x(m
2









 
Respostas: 
Devemos verificar se )()(lim afxfax  . 
Na questão 3) 
Quando x  0- temos que f(x)  -1, pois é constante a função. 
Quando x  0+ temos que f(x)  1, pois é constante a função. 
Sendo diferentes os limites laterais, não existe o limite no ponto. Por 
conseguinte, a função não é contínua em x = 0. 
ERRO: Discentes confundem o “se” com o “que”. Isto 
é, tentam verificar o que não está coerente. 
 
Na questão 4) 
3)2(4)2(lim
2
)2)(2(
lim
2
4
lim
2
2
2
2









fx
x
xx
x
x
x
xx . 
Logo, não é contínua em x = 2. Caso fosse redefinida em x = 2, 
para f(x) = 4, então seria contínua neste valor. 
ERRO: Não lembrar dos produtos notáveis: a²  b² = (a 
– b)(a + b) 
 
Agora é sua vez... 
Um pouco diferente do habitual, pois apresentamos já 
os procedimentos... 
Nos exercícios a seguir, verifique se a função dada é con-
tínua no valor indicado: 
Lembre-se, verificar se )()(lim afxfax  , quando x  a. 
Para x < a ou x > a, limites laterais. 
01. ;1c,
1xse1
1xsex)x(j 





 
~ 82 ~
82 
 
Resp.: Sim 
02. ;2c,
2xse3
2xse
2x
4x
)x(m
2









 
Resp.: Não 
03. ;2c,
2xse
2
x3
2xse1x
)x(F
2







 
Resp.: Sim 
04. ;1c,
1xse1
1xse|1x|)x(G 





 
Resp.: Sim 
05. ;1ce0c
1xse1x
,1x0sex1
0xse1x
)x(N
2








 
Resp.: Não, em c = 0 e sim em c = 1. 
06. 2ce0c
2xse2x
2x0sex1
0xse1x3
)x(p 2 







 
Resp.: Sim em c = 0 e não em c = 2 
07. ;,
,1
,
cos1
)(
)(
2














 c
x
x
x
x
xP 
Resp.: Não. 
 
Desafio: A força gravitacional exercida pela Terra so-
bre uma unidade de massa a uma distância r do centro do 
planeta é: F(r) = {
 
 
 
 
 onde M é a massa da 
Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional. F é uma 
função contínua de r? 
~ 83 ~
83 
 
7º. Passo: Exercícios gerais de revisão das duas primeiras lições 
 
1ª. Questão: A conta de água de uma determinada região 
é assim composta: 
 Para consumos até 10 m³, paga-se uma taxa de R$ 
15,00. 
 Para consumos que excedam os 10 m³ e não sejam 
superiores a 20m³, paga-se R$ 5,00 por cada m³ que exce-
de os 10 m³ iniciais. 
 Para consumos superiores a 20 m³, paga-se R$ 10,00 
por cada m³ que excede os 20 m³. 
Seja x o consumo em m³ e y o valor a ser pago em reais. 
a) Expresse y em termos de x. 
b) Verifique se a função é contínua em seu domínio 
 
2ª. Questão: As curvas com equações y = | |
√ são 
chamadas, com c > 0, curvas ponta de bala. (a) Encontre o domí-
nio. (b) O que ocorre quando x se aproxima dos extremos do 
domínio? 
 
3ª. Questão: Após acionado o flash de uma câmera, a ba-
teria imediatamente começa a recarregar o capacitor do flash, 
que armazena uma carga elétrica dada por Q(t) = Q0(1 – e-t/a). 
(a) Quanto tempo leva para a carga chegar à metade (isto é, 
quem é t para Q(t) = Qo/2?). (b) O que acontece quando t for 
muito grande? 
 
4ª. Questão: Na teoria da relatividade, a massa de uma 
partícula com velocidade v é m = 
√ 
 onde mo é a massa da 
partícula no repouso e c é a velocidade da luz no vácuo. (a) En-
contre o domínio. (b) O que ocorre quando v se aproxima dos 
extremos do domínio? 
 
~ 84 ~
84 
 
5ª. Questão: Um importante resultado sobre limites é o 
teorema do confronto, ou do sanduíche. A ideia básica é que, 
em um intervalo, 
Se f(x) < g(x) < h(x) e )(lim)(lim xhLxf axax   
Então Lxgax  )(lim 
Mesmo que esta função g(x) não seja uma função usual ou 
conhecida. 
Use este resultado para calcular )(lim xgx  sabendo que 
para todo x > 1, 
(x – 1)² < (x² – 1)g(x) < (x + 1)². 
 
6ª Questão: Calcule 
n
nn
n


 ...321
1
lim
2
 
 
7ª Questão: A força gravitacional exercida pela Terra so-
bre uma unidade de massa a uma distância r do centro do plane-
ta é: F(r) = {
 
 
 
 
 onde M é a massa da Terra, R é 
seu raio e G é a constante gravitacional. F é uma função contí-
nua de r? 
 
SOLUÇÃO… primeiro vamos tentar resolver! Lem-
brar de rever passo a passo caso haja alguma dúvida. 
 
1ª Questão: Item (a): 
Y = 15 se 0  x  10 
Y = 15 + 5(x – 10) = 5x – 35 se 10 < x  20 
Y = 5x – 35 + 10(x – 20) = 15x – 235 se 20 < x 
Item (b): Sim. 
 
 
~ 85 ~
85 
 
2ª Questão: Domínio: c² – x² > 0. Por conseguinte – c < 
x < c. Todavia, c > 0 por hipótese. Logo, 0 < x < c. Assim, | |√ . E, | |√ 
 
3ª Questão: Q(t) = Q0(1 – e-t/a) = Qo/2  1 – e-t/a = 1/2 
 e-t/a = ½.  -t/a = ln(1/2). Ou seja, t = (-a)ln(1/2) = 
(ln2)a. Usando ln1/2 = ln1 – ln2 = – ln2. Lembrando que ln1 = 0. 
Para t muito grande... 
 
 ( * 
Com efeito, e > 1. Logo, et/a > 1. Assim, o inverso de algo 
muito grande é muito pequeno, ou seja, zero. 
 
4ª. Questão: Podemos perceberque é idêntica à 2ª Ques-
tão... 
 
5ª Questão: Como x > 1  x² > 1  x² – 1 > 0. Assim, 
vamos dividir ambos os membros da desigualdade por x² – 1. 
Assim, 
1
1
)(
1
1
)1)(1(
)1)(1(
)(
)1)(1(
)1)(1(
1
)1(
)(
1
)1(
2
2
2
2
















x
x
xg
x
x
xx
xx
xg
xx
xx
x
x
xg
x
x
 
 
Seja f(x) a função à esquerda e h(x) a função à direita de g(x). 
Note que 1)(lim)(lim   xhxf xx . Chegamos neste re-
sultado dividindo tanto o numerador quanto o denominador de cada uma 
das funções por x e utilizando o resultado (*). Logo, o limite procurado é 1. 
ERRO: Má compreensão do enunciado! 
 
6ª Questão: Notemos que o denominador é a soma dos n 
primeiros termos de uma Progressão Aritmética de primeiro 
~ 86 ~
86 
 
termo “1” e razão “1”. Assim, dado que a referida soma é ( )
 
 
 ( ) ⁄ 
 
7ª Questão: Basta verificar se os limites laterais são iguais 
quando r  R- (a variável r se aproxima de R por valores meno-
res que ele) e r  R+ (a variável r se aproxima de R por valores 
maiores que ele). 
 
 
 
~ 87 ~
87 
 
 
 
 
1º. Passo: Conceituando “e”. 
 
O número de EULER: é definido como e = 
n
n n
)
1
1(lim  ≈ 2,7 sendo n um número natural. Este resul-
tado pode ser estendido para qualquer número real x (indo para 
“∞” ou “+ ∞”). Isto é, e = xx x
)
1
1(lim  
Há forte relação com a Matemática Financeira. 
Isto é, M = C(1 + i)n representa o montante M após n pe-
ríodos que um capital C, investido a uma taxa i, relativa a este 
período n (se o período é mensal, a taxa é mensal, se o período é 
diário, a taxa é diária, etc.). 
Quando a capitalização é contínua, temos M = C.ein. Para 
chegar neste valor, procede-se da seguinte maneira, sendo n 
anual e i taxa anual. 
 Se n for mensal, o novo período é multiplicado por 
12 e a taxa correspondente é dividida por 12. 
 Passando a considerar n diário, o novo n será n x 12 
x 30, e a taxa, que está dividida por 12, i/12, fica dividida por 30, 
ou seja, i/(12 x 30). 
~ 88 ~
88 
 
 Passando a considerar valores a cada minuto, a cada 
segundo, etc. temos M = nk
k
i
C )1(  . 
Calcule o limite quando k tende para o infinito da função 
M e verifique que M = C.ein 
Sugestão: 
Uma forma “genérica” do número „e‟ é obtida mudando de variável. 
Seja y = 1/x. Assim, x  implica que y  0. Por conseguinte, 
y
y
x
x yx
1
0 )1(lim)
1
1(lim   . 
Logo, em nk
k
i
C )1(  sendo que k , seja y = i/k. 
Daí, 
in
in
y
y
y
i
n
y
nk
k
nk
k
eCyC
yC
k
i
C
k
i
C
.)1(lim.
)1(lim.)1(lim.)1(lim
1
0
0














 
Para fixar... kxx ex
k
 )1(lim . 
Com efeito, sendo u = k/x, temos x = k/u e x  impli-
ca em u  0. 
kku
u
u
k
u
x
x euux
k
  ])1[(lim)1(lim)1(lim
1
00 
Fixando: 
a) uu u
1
0 )1(lim  resp.: e 
b) xx x
)
3
1(lim  resp.: e
3 
~ 89 ~
89 
 
c) xx x
x
)
1
1
(lim


 resp.: e
2 
Sugestão: em (x + 1)/(x – 1), divida numerador e denominador 
por x... 
 
Lembrar, que 1 – 3/x, por exemplo, pode ser reescrito 
como 1 + (3)/x – que é ERRO frequente! 
Item (c): 4 
 
5
 4 
 
 
 
5
 . / 
 . 
 
 
/
 
 
 
 
 
 
Aplicação: Durante uma epidemia de dengue, o número 
de pessoas que adoeceram, num certo bairro, após t dias é dado 
por L(t) = 
te 8,0900.191
000.100

 
 
Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos 
pela doença ao longo do tempo. 
Resp.: 100.000 
Com efeito, “ao longo do tempo” pode ser interpretado como t  ∞. 
Por conseguinte, e-0,8t = 1/e0,8t pode ser entendida como o inverso de 
algo muito grande... 
Limites importantes: 






 
)ln(lim
)ln(lim
0
x
x
x
x 
Para percebê-los, complete as tabelas, lembrando que ln(x) 
= logxe (logaritmo de x na base e), bem como ln(ek) = k 
 
Primeiro para x   
X e1 e25 e2.500 e25.000.000 
Ln(x) Ln(e1) = 1 
 
Agora, faça para x  0+ 
X e-1 e-50 e-5.000 e-5.000.000 
Ln(x) 
~ 90 ~
90 
 
Um resultado importante: 11lim 0 

 h
eh
h , com efeito, 
se u = eh – 1, temos eh = u + 1, de onde h = ln(u + 1). Note 
que h  0 implica u  0 também (por quê?). Daí, 
 
1
ln
1
)1(limln
1
)1ln(
1
lim
)1ln(
1
1
lim
)1ln(
1
lim
)1ln(
lim
1
lim
1
0
)(
10
)(
0
)(
0
)(
0
)(
0















euu
u
uu
uu
u
h
e
u
u
v
u
u
iv
u
iii
u
ii
u
ih
h
 
Agora é sua vez...
 
1. Explique as etapas do cálculo do limite anterior. 
2. Encontre 
 
 
 sendo a > 0. 
 
 
2º. Passo: Aplicações diversas envolvendo limites 
 
Iniciamos resolvendo o “agora é sua vez” do tópico ante-
rior. A importância do limite apresentado está em aplicações que 
envolvem derivadas (próxima lição). As argumentações das eta-
pas serão indicadas na resolução do limite. 
Repare que sendo a > 0, em particular e (número de 
Euler) > 0. Replicar a ideia. Ou seja, considere y = ax – 1. Por 
quê? Porque continuamos com variável tendendo para 0. Isto é, 
x  0 implica y  0 (verificar!). 
Pela definição de logaritmo, ou seja, ax = 1 + y  
 ( ) 
Todavia, nosso modus operandi é usar o “ln”. Assim, traba-
lharemos com a seguinte propriedade dos logaritmos: 
 
 
 
 
 – propriedade da mudança de base. 
 
Desta feita, ( ) ( ) ( ). 
~ 91 ~
91 
 
Manter o foco... gerar “e”... 
y
y
x
x yx
1
0 )1(lim)
1
1(lim   . Assim sendo, 
 
 ( ). Usaremos b.lnc = lncb, 
motivada pelo expoente “1/y” da forma genérica do “e”. Como 
k = 1/(1/k), é claro, se k não nulo, podemos dividir numerador 
e denominador da expressão por y... que é equivalente a indicar 
y = 1/(1/y). Assim, 
 
 ( ) fica: 
 
 
 ( ) 
 ( ) ( ) ⁄ 
Lembrando de quem é “e”: 
 
 
 ( ) ⁄ 
 
 
 
 
 
 (...) 
APLICAÇÕES (MAIS USUAIS) 
1). A equação de uma reta que passa pelos pontos A(xa, ya) 
e B(xb, yb) é dada por y – ya = m(x – xa), onde m é a declividade 
(ou inclinação da reta ou coeficiente angular) e é dada por 
 
 . Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de 
A, a reta passa a ser tangente. Isto é, m = . En-
contre a equação da reta tangente à curva (a) y = x² + x, no pon-
to em que x = 1. (b) y = sen(2x), no ponto em que x = 0. 
 
2). Definimos a velocidade instantânea em t = a da equa-
ção de espaço x(t) como: vinst. = ( ) ( ) . Encontre a 
velocidade de uma partícula que se move de acordo com x(t) = 
3cos(2t). 
~ 92 ~
92 
 
3). Definimos a aceleração instantânea em t = a da equa-
ção de velocidade instantânea v(t) como: ainst. = ( ) ( ) . Encontre-a se v(t) = 
 
Na próxima lição apresentaremos um procedimento mais rápido, por 
hora... 
Tentem resolver com base no que já foi “saboreado”, apreendido. 
 
Soluções: 
(1). Repare que é dado xa. Para encontrar ya basta calcular f(xa). 
Item (a): 
Como xa = 1, segue-que ya = f(xa) = f(1) = 1² + 1 = 2. 
 
 
 
 
 
 ⏟ 
 
 
 
 
( )( )
 
 
( )Obs.: ou dividir polinômios ou, no caso, escrever em função das raízes. 
Assim, equação da reta é y – 2 = 3(x – 1)... 
 
Item (b): 
Como xa = 0, segue-que ya = f(xa) = f(0) = sen(2.0) = 0. 
 
 ( ) ⏞ 
 
(*) Usamos o seguinte resultado: 
 ( )
 
 . 
Com efeito, basta fazer t = kx e observar que x  0 implica t  0. 
 
~ 93 ~
93 
 
Ou seja, ( ) ( ) ( ) 
 
(2). Aplicação direta da fórmula: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Simplificar a escrita. Inicialmente colocar o “3” em evi-
dência, em seguida, fazer a mudança de variável u = t – a. Por 
quê? Porque há limite trigonométrico e precisamos usar resulta-
dos, a saber: 
1lim 0  u
senu
u
 e 01coslim 0 

 u
u
u
 
 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
 
 
Reorganizando, 
 
6
 ( ) ( ) ( )
 
 
 ( ) ( )
 
7 
 
Que equivale a 
 
6
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 ( )7 , ( ) ( )- 
 
Usamos resultados... Logo: -6cos(2a) 
 
3). Substituindo: ( ) ( ) 
 
~ 94 ~
94 
 
Desenvolvendo a diferença de frações no numerador: ( ) ( )( )( ) 
 
Pela divisão de frações: 
 ( )( )( ) 
 
Reorganizando numerador: 
 ( ) ( )( )( )( ) 
 
Usando soma de frações, evidenciando “t – a” no nume-
rador de cada uma: 
 [ ( )( )( )( ) ( )( )( )( )] 
Simplificando: 
 [ ( )( ) ( )( )] ( ) 
~ 95 ~
95 
 
 
 
 
 
1º. Passo: Conceituação e regras 
 
Definição: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Deste modo, a inclinação de uma reta tangente a uma cur-
va dada, a velocidade instantânea, a aceleração instantânea são 
exemplos de derivadas. Mais adiante outras aplicações serão 
apresentadas. 
 
Regras de derivação: 
1). Se f(x) = cxn, então f ‟(x) = cnxn – 1, sendo c uma 
constante. 
Ex.: f(x) = 2x³  f „(x) = 23x 3 – 1 = 6x² 
 
2). Se f(x) = g(h(x)), então f‟(x) = g‟(h(x))h(x). 
Ex.: f(x) = (ax + b)n, neste caso, a função de “dentro” ou 
h(x) é ax + b e a de “fora” ou g(x) é un (a de fora é obtida „pon-
do a mão‟ sobre o que está dentro dos parênteses). 
Assim, g(u) = un  g‟(u) = nun – 1 e g‟(h(x)) = n[h(x)]n – 1 = 
n(ax + b)n – 1. E quem é h‟(x)? Bem, vamos lembrar a definição 
de derivada... 
~ 96 ~
96 
 
aa
t
at
t
baxbatax
t
baxbtxa
t
xhtxh
xh
ttt
tt









000
00
limlimlim
][])([
lim
)()(
lim)('
 
Por fim, g‟(h(x)) = an(ax + b)n - 1 
Ex. numérico: [(8x + 11)9]‟ = 8.9.( 8x + 11)9 – 1 = 72(8x + 9)8 
 
3). Se f(x) = senx, então f ‟(x) = cosx 
4). Se f(x) = cosx, então f ‟(x) = senx 
5). Se f(x) = tgx, então f ‟(x) = sec²x 
6). Se f(x) = cotgx, então f ‟(x) = cosec²x 
7). Se f(x) = secx, então f ‟(x) = secxtgx 
8). Se f(x) = cosecx, então f ‟(x) = cosecxcotgx 
9). Se f(x) = lnx, então f ‟(x) =1/x 
10). Se f(x) = g(x)  h(x), então f ‟(x) = g‟(x)  h‟(x) 
11). Se f(x) = g(x)h(x), então f ‟(x) = g‟(x)h(x) + 
g(x)h‟(x) 
12). Se f(x) = g(x)/h(x), então f ‟(x) = [g‟(x)h(x) - 
g(x)h‟(x)]/[h(x)]² 
 
Deduzindo algumas das regras de derivação6: 
 
***Derivada do produto: f(x) = g(x).h(x) 
 
6 Direta ou indiretamente já foram deduzidas a partir das atividades feitas em 
lições passadas. Para melhor fixação, justificar cada passagem. 
~ 97 ~
97 
 
)(').()().('
)](
)()(
)(
)()(
[lim
]
)()()()()()()()(
[lim
)()()]()()()([)()(
lim
)()()()(
lim
)()(
lim
)5(
0
)4(
0
)3(
0
)2(
0
)1(
0
xhxgxhxg
xg
u
xguxh
uxh
u
xguxg
u
xhxguxhxg
u
uxhxguxhuxg
u
xhxguxhxguxhxguxhuxg
u
xhxguxhuxg
u
xfuxf
u
u
u
u
u




















 
 
***Derivada de f(x) = sen(x) 
 
)cos(1).cos(0).(
]
)(
)cos(
1)cos(
)([lim
)()cos()()cos()(
lim
)()(
lim
)()(
lim
)3(
0
)2(
0
)1(
00
xxxsen
h
hsen
x
h
h
xsen
h
xsenxhsenhxsen
h
xsenhxsen
h
xfhxf
h
h
hh












 
 
***Derivada de f(x) = ex 
 
x
h
x
h
xhx
hh eh
e
e
h
ee
h
xfhxf









1
limlim
)()(
lim 0
)2(
0
)1(
0 
 
***Derivada de f(x) = ln(x) 
 
~ 98 ~
98 
 
xehx
h
xh
x
hx
h
h
xhx
h
xfhxf
xh
hh
h
hh
1ln)
1
1ln(lim)
1
1ln(
1
lim
)ln(
1
lim
)ln()ln(
lim
)()(
lim
1)4(1
0
)3(
0
)2(
0
)1(
00










 
 
Agora é sua vez... 
Deduzir as derivadas da tgx; secx e regra do quociente. 
 
 
2º. Passo: Exercitando... 
 
EXERCÍCIOS (com respostas mais adiante...) 
 
01). Derive, após obter as funções: 
A) Considere um círculo de raio igual a x cm, se um qua-
drado está inscrito neste círculo, determine a área A do quadra-
do em função de x. 
B) Dado um pedaço de papelão quadrado com 12 cm de 
lado, tira-se de cada canto do papelão, quadrados com x cm de 
lados e os bordos são dobrados de modo que forme uma caixa 
sem tampa. Determine o volume V da caixa em função de x, 
indicando o domínio. 
 
02). A temperatura T, em graus centígrados, do forno de 
uma padaria varia, a partir do momento em que é ligado, de 
acordo com a equação: 
1m
26m180
T


 . 
a) A que temperatura está o forno quando é ligado? 
b) Como evolui a temperatura com o tempo? 
c) Para que valor vai tender a estabilizar a temperatura? 
d) Qual é a taxa de aquecimento do forno no momento 
em que é ligado? E aos 10 minutos? E ao fim de uma hora? 
~ 99 ~
99 
 
Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas primeira e se-
gunda da função dada, usando fórmulas de derivação: 
03). a x x( ) ;  3 
04). c x x x( ) ;  5 32 1 
05). ;x
x
1
x
1)x(e
3
 
06).  f x x( ) ; 2
5
1 
07). ;
2x
x)x(s

 
08). w(x) = sen²(x) 
09). R(x) = tg(x) – cotg(x) 
10). ;
2
tsen)t(H 2 
11). U(x) = ln(x² + 1) 
 
Respostas: 
(entender e refazer organizando ideias formalmente) 
 
1ª. Questão 
A). Ao inscrever um quadrado em uma circunferência, a 
diagonal do quadrado será o diâmetro da circunferência. Assim, 
se k indicar o lado do quadrado, sua diagonal será k2. E o diâ-
metro é 2x. Como queremos a área, A = k². Ora, k2 = 2x  
2k² = 4x²  k² = 2x²  A = 2x²  A‟ = 4x. 
ERRO: Confundir “inscrição” com “circunscrição” de fi-
guras. 
 
B). Em relação ao volume, 0 < x < 6, pois não faz sentido 
medida negativa (para esta aplicação!). Daí, como o volume de 
uma caixa é o produto das medidas (largura x altura x compri-
mento), temos V = x.(12 – 2x).(12 – 2x) = 144x – 48x² + 4x³. 
Portanto, V‟ será igual a 144 – 96x + 12x². 
 
~ 100 ~
100 
 
ERRO: Não determinar o domínio de maneira satisfatória. 
 
2ª. Questão 
(a). Qual a sua idade no ano que você nasceu? Seguindo 
esta ideia, quando é ligado, o tempo é zero. ERRO consiste em 
não fazer tal consideração. 
Logo T(0) = 26oC. 
(b). Perceba que T(m) é do tipo quociente de funções po-
linomiais. Não perceber isto é caracterizar é ERRO. 
(c). Estabiliza-se com m muito grande, isto é, m  . 
ERRO consiste em não associar “muito grande” ou “extrema-
mente grande” com infinito. Logo, lembrando que o grau do 
numerador é igual ao grau do denominador, o resultadodo limi-
te é 180/1 = 180. 
(d). É só calcular a derivada em cada um dos valores. 
ERRO é não associar a derivação. 
 
ERRO frequente nas questões a seguir foi a não obser-
vância das regras de derivação. Por exemplo, 1/x derivar como 
1/(x)‟... 
 
3ª. Questão  A‟(x) = 3x² e A‟‟(x) = 6x 
 
4ª. Questão  C‟(x) = 5x4 – 6x² e C”(x) = 20x³  12x. 
 
5ª. Questão  e(x) = x – 3 – x – 1 + x  e‟(x) = 3x – 4 + x- 
2 + 1 e 
e”(x) = 12x-5 – 2x-3 
 
6ª. Questão: Perceba que f(x) = g(h(x)), onde g(u) = u5 e 
h(x) = x²  1. 
Sendo f ‟(x) = g‟(h(x)).h‟(x), então f ‟(x) = 5(x²  1)4.2x = 
10x.(x²  1)4. 
~ 101 ~
101 
 
Já para o cálculo da derivada segunda, usaremos regra do 
produto e regra da cadeia. f”(x) = [10x]‟.(x²  1)4 + 10x.[(x²  
1)4]‟. 
Daí, f”(x) = 10.(x²  1)4 + 10x.4.(x²  1)3.2x 
Por conseguinte, temos: 10(x²  1)4 + 80x².(x²  1)³ 
(pode desenvolver, se quiser!) 
 
7ª. Questão: 
332
222
)2(4)2).(2).(2()(")2.(2)('
)2(
2
)2(
1.)2.(1
)2(
)'2.()2)'.((
)('
 









xxxsxxs
xx
xx
x
xxxx
xs 
 
8ª. Questão: W(x) = (senx)²  w‟(x) = 2.(senx).cosx (re-
gra da cadeia). 
Pode ser visto como sen(2x). Daí, w”(x) = cos(2x).2 (no-
vamente regra da cadeia) 
 
9ª. Questão: R‟(x) = sec²x – (csc²x) = sec²x + csc²x 
Regra da cadeia será usada para o cálculo da derivada se-
gunda. 
R”(x) = 2.secx.(secx.tgx) + 2cscx.( cscx.ctgx) = 
2sec²x.tgx – 2csc²x.ctgx 
 
10ª. Questão: Atenção: sen²(t/2) = [sen(t/2)]². 
Assim, H‟(t) = 2.sen(t/2).cos(t/2).1/2. 
De sen(2u) = 2sen(u)cos(u), podemos perceber que H‟(t) 
= sen(t)/2. 
Logo, H”(t) = cos(t)/2. 
 
11ª. Questão: U‟(x) = 2x/(x² + 1). 
Não esquecer que (lnu)‟ = (1/u).u‟ = u‟/u. 
U”(x) = [(2x)‟.(x² + 1) – 2x.(x² + 1)‟]/(x² + 1)² 
U‟‟(x) = [2.(x² + 1) – 2x.(2x)]/(x² + 1)² 
Por conseguinte, u” = (1  2x²)/(x² + 1)² 
~ 102 ~
102 
 
Agora é sua vez... 
 
12). Uma das aplicações das derivadas é a obtenção 
da equação de retas tangentes a determinadas curvas em 
um ponto. Obter a equação da reta tangente a cada uma 
das curvas abaixo no ponto P indicado: 
a) y = x² + 2x + 1, P(1, 4) 
b) y = x/(x² + 1), P(0, 0) 
c) y² + x² = 1, P(1, 0) 
d) x² - y² = 1, P(-1, 0) 
e) y = tg(1 – x²), em x = 1 
f) y = ln(x² + 1), em x = 1 
obs.: y – yp = g‟(xp).(x – xp) é a equação da reta tangente à 
curva y = g(x) no ponto (xp, yp) 
 
 
3º. Passo: Mais Exercícios... 
Se f(x) = [g(x)]n  f’(x) = n[g(x)]n – 1.g’(x) 
Assim, se y = f(x), então (y³)’ = 3y².y’. 
Traduzindo... Derivar normalmente cada expressão e 
usar x’ se for função de x, z’ se for função de z, etc... 
Você usará esta ideia nos itens (c) e (d). Do agora é sua vez: 
 
12). Uma das aplicações das derivadas é a obtenção da 
equação de retas tangentes a determinadas curvas em um ponto. 
Obter a equação da reta tangente a cada uma das curvas abaixo 
no ponto P indicado: 
a) y = x² + 2x + 1, P(1, 4) 
b) y = x/(x² + 1), P(0, 0) 
c) y² + x² = 1, P(1, 0) 
d) x²  y² = 1, P(1, 0) 
~ 103 ~
103 
 
e) y = tg(1 – x²), em x = 1 
f) y = ln(x² + 1), em x = 1 
obs.: y – yp = g‟(xp).(x – xp) é a equação da reta tangente à 
curva y = g(x) no ponto (xp, yp) 
 
Solução: 
A equação da reta tangente em (xp, yp) é dada por 
y – yp = f ’(xp).(x – xp). 
 
(a). y‟ = 2x + 2. Daí, f ‟(1) = 4  y – 4 = 4(x – 1)  y = 4x. 
 
(b). y‟ = [(x)‟.(x² + 1) – x.(x² + 1)‟]/(x² + 1)² = [1.(x² + 1) 
– x.(2x)]/(x² + 1)² por conseguinte, y‟ = (1  x²)/(x² + 1)². 
Daí, f ‟(0) = 1  y – 0 = 1(x – 0)  y = x. 
 
(c). (x² + y²)‟ = (1)‟  2x + 2y.y‟ = 0  y‟ = x/y. Note 
que não existe y‟ quando y for 0. 
A interpretação geométrica é uma reta perpendicular ao 
eixo x. No caso, x = 1. 
 
(d). (x²  y²)‟ = (1)‟  2x  2y.y‟ = 0  y‟ = x/y. Note 
que não existe y‟ quando y for 0. 
A interpretação geométrica é uma reta perpendicular ao 
eixo x. No caso, x = 1. 
 
(e). y‟ = sec²(1 – x²).(2x), lembrar da regra da cadeia. Em 
x = 1, temos que o valor da derivada será f ‟(1) = sec²(1 – 
1²).(2.1) = sec²(0).( 2) = 2. Pois, como sec(0) = 1/cos(0), 
temos que sec(0) = 1/1 = 1. E quem é o yp? 
Ora, sendo x = 1, f(1) = tg(1 – 1²) = tg(0) = 0. 
Por conseguinte, y – 0 = 2(x – 1)  y = 2x – 2. 
 
(f). y‟ = 2x/(x² + 1). Não esquecer que (lnu)‟ = (1/u).u‟ = 
u‟/u. 
~ 104 ~
104 
 
f ‟(1) = 1. Para o cálculo do yp, f(1) = ln(1 + 1²) = ln2. 
Assim, y – ln2 = 1(x – 1)  y = x – 1 + ln2. 
 
APLICAÇÕES DIVERSAS 
 
13ª Questão 
Em Economia, a função custo marginal é a derivada da função custo 
total associada à produção de um bem, e na qual x representa a quantidade 
produzida. Determinar a função custo marginal em relação às seguintes 
funções custo total (CT): 
a) CT = 2x + 100 
b) CT = (4x + 24)1/2 + 30 
Solução 
(a). (CT)‟ = 2 
(b). (CT)‟ = [(4x + 24)1/2]‟ + (30)‟ = (1/2).(4x + 24)- ½.(4) 
 = 2.(4x + 24)- ½ 
 
14ª Questão 
(a). Seja uma função real g derivável e f(x) = g[5 + ln(x² + 1)]. 
Determine o valor de f ‟(1) sabendo que g‟(5 + ln2) = 2. 
(b). Seja f uma função derivável e g(x) = f(e2x). 
Calcule g´(0) sendo f ‟(1) = 2 
Solução 
Item (a): 
Objetivo deste tipo de questão é analisar a interpretação 
do discente. 
F‟(x) = g‟(5 + ln(x² + 1)).[5 + ln(x² + 1)]‟, estamos usando 
a regra da cadeia. 
F‟(x) = g‟(5 + ln(x² + 1)).[2x/(x² + 1)], lembrando que 
(lnu)‟ = u‟/u. 
F”(1) = g‟(5 + ln(1² + 1)).[2.1/(1² + 1)] = g‟(5 + ln2).1 = 2. 
Item (b): 
g‟(x) = f ‟(e2x).(e2x)‟ = f ‟(e2x).(e2x).2  g‟(0) = f ‟(e2.0).(e2.0).2 
= f ‟(1).1.2 = 4 
 
~ 105 ~
105 
 
15ª Questão 
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equa-
ção de movimento, s = 5 – 4cos²t, onde s metros é a distância orientada da 
partícula desde a origem em t segundos. Se v (m/s) e a (m/s²) são, respecti-
vamente, a velocidade e a aceleração da partícula, encontre v e a. Lembre-se: 
v = ds/dt e a = dv/dt. 
Solução: 
A velocidade é: s‟ = (5 – 4cos²t)‟ = 4.2.(cost).sent = 
4sen(2t), sendo usado o fato que sen(2t) = 2.sent.cost. 
E a aceleração é v‟ = (4).cos(2t).2 = 8cos(2t). 
Atenção: 
(cos²x)‟ = (cosx.cosx)‟ = (cosx)‟.(cosx) + (cosx).(cosx)‟ 
= 2.(cosx)‟.cosx = 2senx.cosx = sen(2x) 
Ou, considere f(x) = cos²x = (cosx)² 
Perceba que f(x) = g(h(x)), 
Onde g( ) = ( )² (ou g(u) = u², sendo “u” variável de 
apoio). 
E h(x) = cosx. 
Como f‟(x) = g‟(h(x)).h‟(x) 
Segue-se que g‟(u) = 2u  g‟(h(x)) = 2h(x) = 2cosx. 
Sendo h‟(x) = senx, segue-se que (cos²x)‟ = 2cosx.senx 
 
16ª. Questão 
Se a função de demanda de um bem é dada por p = (a – bx)1/2, 
onde p é o preço, x a quantidade demandada e a e b são constantes positi-
vas, demonstrar que a elasticidade de demanda, Ex, dada por: 
dp
dx
x
p
 , 
decresce com o aumento de x e que Ex = 1 quando o valor de x for igual 
a 2a/b. 
Solução: 
Atenção! 
~ 106 ~
106 
 
Não esquecer que 
dp
dxdx
dp 1
 . Assim, p‟ (ou dp/dx) é (1/2).(a 
– bx)-1/2.( b). 
Desta feita, 
bx
p
bxa
bx
p
bxabx
p
dx
dpx
p
Ex
2
2
1
2
1
2
)(
2
2
))((
11





 
Por hipótese, Ex = 1. Daí, 2p² = bx  2(a – bx) = bx 
 2a = bx  x = 2a/b. 
ERRO: Não usar a regra da cadeia de maneira coerente. 
 
17ª. Questão 
O processo usado para se aumentar um capital é denominado forma-
ção de capital. Se este processo é considerado como sendo contínuo ao longo 
do tempo, o capital pode ser expresso como uma função do tempo k(t), e a 
taxa de formação de capital é, então, dada por k‟(t). A taxa de formação 
de capital no instante t é igual à taxa de fluxo de investimento líquido no 
instante t, denotada por I(t). Determine I(t) se K(t) = 5t² + 7 
Solução: 
I(t) = K‟(t) = 10t. 
ERRO: Muitos não acreditam que a resposta étão dire-
ta... possivelmente falta de leitura e compreensão do enunciado 
 
~ 107 ~
107 
 
 
 
 
 
1º. Passo: Problemas de Otimização (maximizar ou minimizar) 
Quando queremos um valor de máximo estamos interes-
sados no valor x = c tal que f‟(c) = 0 e f‟‟(c) < 0. Será de mínimo 
quando f‟(c) = 0 e f‟‟(c) > 0. 
Observação: Podemos ter pontos críticos tais que não 
exista f‟(x). Tais casos não serão aqui abordados, pois o intuito é 
a aplicação. 
A função da derivada primeira é estar associada ao cresci-
mento (intervalos onde f‟(x) > 0) ou decrescimento (intervalos 
onde f‟(x) < 0) de uma função. A derivada segunda está relacio-
nada com a concavidade: para cima “⋃” (f‟‟(x) > 0) ou para bai-
xo “⋂” (f‟‟(x) < 0). 
 
Atividades7: 
1). Com uma folha de papelão quadrada de lado 15 cm, cortando-se 
partes quadradas nos cantos e dobrando-as, deseja-se construir uma caixa 
aberta, do tipo de uma caixa de sapatos. O volume máximo que pode ter 
uma caixa assim construída é um valor... 
 
7 O teste para saber se é máximo ou mínimo fica por conta do(a) leitor(a). É 
uma forma de fixação do conteúdo. 
~ 108 ~
108 
 
Solução: 
O volume, de domínio 0 < x < 7,5, pois não faz sentido 
medida negativa (para esta aplicação!). Daí, como o volume de 
uma caixa é o produto das medidas (largura x altura x compri-
mento), temos V = x.(15 – 2x).(15 – 2x) = 225x – 60x² + 4x³. 
Portanto, V‟ será igual a 225 – 120x + 12x². 
Queremos x tal que v‟ = 0. Daí 
 










5,2
5,7
24
60120
)12(2
)225)(12(4)120()120(
2
4 22
a
acbb
x
 
 
Logo, x = 2,5 (pois 7,5 não pertence ao domínio da função) 
ERRO: Trabalhar com valor fora do domínio. 
 
2). Um refrigerante é vendido em latas cilíndricas de volume 400ml. 
Calcular o raio da base de modo que o material gasto na embalagem seja o 
mínimo possível. 
Solução: 
V = R²H = 400. A área total é 2Abase + Alateral. Daí, A = 
2R² + 2RH. Como queremos o raio, isolar H na expressão do 
volume. Assim, H = 400/R². 
Organizando, a área será 2R² + 2R(400/R²) = 2R² + 
800.R-1. 
Daí, queremos R tal que A‟ = 0. 
Assim, A‟ = 4R - 800.R-2 = 0  R = 42003 

 
ERRO: Fórmulas de área e volume. 
 
3). Seja p = 2 + 100/(x + 5) a curva de demanda de determinado 
bem (p = preço, x = quantidade demandada). Verificar se no seu domínio a 
curva é estritamente decrescente e tem concavidade voltada para baixo. 
~ 109 ~
109 
 
Solução: 
Será decrescente para valores tais que p‟ < 0. A concavi-
dade será voltada para baixo (CPB) nos valores em que p” < 0. 
Perceba que p = 2 + 100(x + 5)-1. 
Daí p‟ = 100(x + 5)-2, que é sempre negativa. 
Já p” = 200(x + 5)-3 será sempre positiva. 
ERRO: Não usar todas as hipóteses. 
 
4). Verificar em quais intervalos do domínio de cada uma das funções 
abaixo a função é crescente, e em quais tem concavidade voltada para cima: 
a) p = 0,5ln(20/x) 
b) p = (a – bx)², com a > 0 e b > 0. 
Solução: 
 (a). p‟ = 
x
x
x
x
x 5,0
20
20
5,0
/20
)'/20(
5,0
2 


 . 
Como x > 0  p‟ < 0. 
Para facilitar derivação, perceba que p‟ = -0,5x-1  p” = 
0,5x-2 > 0. 
(b). p‟ = 2(a – bx)(b)  p‟ > 0 se 2b(a – bx) > 0  a – 
bx < 0 (dividindo tudo por 2b) daí, a < bx  x > a/b. 
Por analogia, p‟ < 0  x < a/b. 
Em relação ao p”, note que p‟ vale 2ab + 2b²x. Logo, p” 
= 2b² > 0. 
 
5). Determine a altura do cone de maior volume que pode ser gerado 
pela rotação de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 2 cm em torno 
de um dos catetos. 
Solução: 
Sejam x e y os catetos, sendo x o raio e y a altura quando 
obtemos o cone via rotação em torno do cateto de lado y. Logo, 
x² + y² = 4. O volume do cone será x²y/3. 
~ 110 ~
110 
 
Organizando, V = (4 – y²)y/3 = (/3)(4y – y³) 
 V‟ = (/3).(4 – 3y²). Queremos y tal que V‟ = 0. 
De onde concluímos que y = 
3
32 . 
 
6). Se a velocidade de uma onda de comprimento L, em águas pro-
fundas, é dada por: 
L
B
B
L
Mv  
Onde M e B são constantes positivas, qual é o comprimento de onda 
que minimiza a velocidade? 
Solução: 
BLBL
B
v
BLL
B
BL
B
M
BL
B
BLL
B
MvBLL
B
Mv










0
1
0'
)
1
(2
)
1
(
)
1
()
1
(
2
1
')
1
(
2
2
1
1
2
22
1
12
1
1 
 
7). A taxa aeróbica de uma pessoa com x anos de idade é dada por: 
x
x
xA
)2(ln110
)(

 
Sendo x  11. Em que idade a pessoa tem capacidade aeróbica 
máxima? 
Solução: 
213ln0ln30)('
ln3
110
1)2(ln)
1
(
110
)'()2(ln)'2(ln
110)('
3
22
2








exxxxA
x
x
x
xx
x
x
xxxx
xA
 
Obs.: Não confundir lnx – 2 com ln(x – 2). 
 
~ 111 ~
111 
 
8). Para se fazer uma circunferência e um quadrado cortou-se um fio de 
arame, com 100cm de comprimento, em dois bocados. De que maneira deve ser 
cortado o fio de modo que a área total (círculo + quadrado) seja mínima? 
Solução: 
Atotal = R² + x². Pelo comprimento, 100 = 2R + 4x. 
Vamos isolar x. Assim sendo, x = 25  R/2. 
Daí, Atotal = R² + x² = R² + (25 - R/2)². Queremos R 
tal que A‟ = 0. Desta feita, derivando temos 
A‟ = 2R + 2(25  R/2).( /2) = 2R   (25  
R/2) = 0 
Portanto, R = 50/(4 + ) que vale aproximadamente 7 
(sete). E x fica em torne de 11,5. 
 
 
2º. Passo: Aplicações Diversas; Taxas Relacionadas e Regras de L´Hopital (I) 
 
1). A função y = A sen(kx), com A > 0, e sua derivada segunda 
y‟‟ satisfazem identicamente a igualdade y‟‟ + 4y = 0. O valor da derivada 
primeira y‟, para x igual a 0, é 12. Calcular as constantes A e k. 
Solução 
Temos que y‟ = A.cos(kx).k = Ak.cos(kx). 
De y‟(0) = 12, segue-se que 12 = Ak.cos(0). De onde Ak = 12. 
Como A > 0, segue-se que k > 0. E quem é k? Usar a ou-
tra hipótese. 
Dado que y” + 4y = 0  -Ak²sen(kx) + 4Asen(kx) = 0 
 Asen(kx)(4 – k²) = 0. Como k > 0, k² = 4, de onde k = 
2. Daí, A = 6. 
ERRO: Não usar todas as hipóteses. 
 
2). Uma caixa d´água tem o formato de um cone circular reto inverti-
do com 120 cm de diâmetro e 150 cm de altura. Uma torneira enche essa 
caixa à razão de 1000π mm³/seg. Determinando a taxa de variação da 
altura no instante em que a água está a 90 cm de altura, obtemos um valor... 
 
~ 112 ~
112 
 
Solução 
Uma relação que será utilizada nesta e em outras questões 
é: 
dado
dado
H
R
H
R
 . 
Procurem fazer uma figura para ilustrar tal situação. 
Como Rdado = 60 e Hdado = 150, segue-se que R = 2H/5. 
O volume do cone é: 
3
2HR . 
Para este caso, 
75
4
3
)
5
2
(
3
3
2
2 HH
H
HR
V



 
 
Derivar ambas as variáveis em relação ao tempo. 
segcmHHHHV
H
V /
1296
1
'')90(
25
4
'3
75
4
'.1)'
75
4
()'( 22
3



 
 
ERRO: Derivação implícita, sendo ambas as variáveis 
funções do tempo (taxa relacionada). A “essência” é derivar 
ambos os membros da igualdade normalmente, acrescentando a 
respectiva derivada. 
 
3). A altura de um cone circular reto é 15 cm e aumenta na razão 
de 0,2 cm/min. O raio da base é 10 cm. Qual a taxa de variação do vo-
lume quando a altura for de 20 cm? 
Solução 
Dado H‟ = 0,2 cm/min. Como Rdado = 10 e Hdado = 15, 
segue-se que R = 2H/3. Queremos V‟. Derivar ambas as variá-
veis em relação ao tempo. 
min/
9
160
')2,0()20(
9
4
''3
27
4
'.1)'
27
4
()'( 322
3
cmVVHHV
H
V


 
ERRO: Mesmo da anterior. 
 
 
~ 113 ~
113 
 
REGRAS DE L’HOPITAL (1º Caso) 
 
Se no cálculo delimites aparecer 0/0 ou /, “basta” de-
rivar numerador e denominador simultaneamente: 
)('
)('
)(
)(
lim
ag
af
xg
xf
ax 
 
Caso particular... 0 x . Neste caso, lembrar que 4 x 5 = 
20. Também temos que 4  (1/5) = 20. Ou seja, 1/(1/5) = 5. 
Isto é, ab = a/(1/b). 
 
1). Usando L‟Hopital, calcule: 
a) 
34
1
lim 2
2
1 

 xx
x
x
 
b) xx e
x
3
ln
lim

 
c) senx
x
x
0
lim 
d) xx
x
ex
1
0
)(lim 

 
 
2). Um circuito elétrico tem resistência de R ohms, uma indutância 
de L henrys e uma força eletromotriz de E volts. Considere E, R e L posi-
tivos. Se I amperes é a corrente no circuito t segundos após este ter sido liga-
do, então 
)1( / LRte
R
E
I  
calculando o limite de I quando R tende para ZERO pela 
direita, obtemos... 
3). Calcule 
n
nn
n


 ...321
1
lim
2
 
 
1ª. Questão 
ERRO: Confundir regra com a regra do quociente. 
~ 114 ~
114 
 
Item (a) 
1
42
2
lim
34
1
lim
12
2
1





 x
x
xx
x
xx
 
Item (b) 
0
3
1
lim
3
1
lim
ln
lim 333   xxxxxx xee
x
e
x 
Item (c) 
1lim0)limln(0
)1(
0
1
)cos(
lim
)cos(
1
lim
cos
1
lim)(lnlim
1
ln
lim
ln.lim)(lnlimln.lnlim
0
000
2
0
2
0
'"
00
000
















eyy
x
senx
x
senx
x
xsen
x
xsen
x
xy
senx
x
xsenxyxsenxyxyx
xxx
xx
HopitalL
xx
xx
senxsenx
x
 
Item (d) 
2
00
00
'
00
111
0
lim2)limln(
)(lnlim2
1
1
lim)ln(
1
lim)(lnlim
)ln(
1
)ln(ln)()(lim
eyy
yex
e
ex
x
y
ex
x
exyexyex
xx
x
x
x
x
HopitalL
x
xx
xxxxxxx
x








 
2ª. Questão 
ERRO: Exceto R, demais letras à direita são constantes. 
 
LEt
LteE
e
R
E
I
LRt
R
HopitalL
LRt
RR
/
1
)/()(
lim
)1(limlim
/
0
'
/
00









 
 
 
~ 115 ~
115 
 
3ª. Questão 
Note que temos a soma dos termos de uma Progressão 
Aritmética: 
1 + 2 + ... + n = (1 + n).n/2 = (n² + n)/2 
2
1
2
lim
2
1
12
lim
22
1
lim
...321
1
lim
"
"
2
22











n
HopitalL
n
HopitalL
nn
n
n
nn
nn
n
nn
 
 
3º. Passo: Funções Hiperbólicas 
 
 
Motivação: 
Se um campo eletrostático E agir em um dielétrico polar 
líquido ou gasoso, o momento de dipolo resultante P por unida-
de de volume é: ( ) 
 O que acontece quando 
E se aproxima de zero (positivamente)? 
 
Definição: 
1. Seno Hiperbólico: ( ) 
 
 
2. Cosseno Hiperbólico: ( ) 
 
 
Pela “motivação”, temos a razão entre o cosh(x) e o 
senh(x) – basta dividir numerador e denominador por 2. Pode-
mos definir como “cotangente hiperbólica” – idem às definições 
das trigonométricas. 
~ 116 ~
116 
 
APLIACAÇÕES: 
1ª. Questão: Após determinar domínio de cada função, encontre as 
derivadas de: 
a) arccosx b) arccotgx 
c) argcoshx (ou cosh-1x) d) argsechx 
 
SOL.: 
Item A 
Se y = arccosx, então cosy = x e seu domínio é 0 ≤ x ≤ π 
Derivando implicitamente em relação à variável x, temos: 
seny.y‟ = 1 
Por conseguinte, 
 
 
Todavia, a relação entre y e x é cosy = x. 
Ora, da relação fundamental da trigonometria, sen²y + 
cos²y = 1, temos que 
 √ √ 
Lembrar que a raiz negativa não estamos usando por oca-
sião do domínio. 
Assim sendo, 
 
 
√ 
 
Item B 
Para y = arccotgx. Segue-se que cotgy = x. Com 0 < x < π 
Derivando implicitamente em relação à variável x, temos: 
cosec²y.y‟ = 1 
Da relação fundamental da trigonometria, sen²y + cos²y = 
1, temos que, ao dividir ambos os membros da igualdade por 
sen²y, a relação: 1 + cotg²y = cosec²y. Assim, 
 
 
 
 
Item C 
~ 117 ~
117 
 
Sendo y = argcoshx segue-se que coshy = x. Seu domínio 
é x > 1 
Derivando implicitamente em relação à variável x, temos: 
senhy.y‟ = 1 
Ora, a relação que há entre senhy e coshy é: cosh²y – 
senh²y = 1 (basta elevar ao quadrado cada função e fazer a dife-
rença!) 
Desta feita, 
 
 
√ √ 
 
Item D 
Dado que y = argsechx, segue-se que sechy = x. 
Domínio: 0 < x < 1. 
Derivando implicitamente em relação à variável x, temos: 
sechy.tghy.y‟ = 1 
De cosh²x – senh²x = 1, temos, ao dividir ambos os 
membros da igualdade por cosh²x: 1 – tgh²x = sech²x 
 
 √ √ 
 
ERRO: Inobservância das definições. Ressalta-se também 
dificuldades nas operações... com feito, há necessidade de um 
“ciclo” no uso das relações trigonométricas (que são atreladas a 
um circulo trigonométrico. Ciclo = fechado!) 
 
2ª. Questão: Se uma onda de comprimento L se move à velocidade 
v em um corpo de água com profundidade d, então 
 √ ( * 
em que g é a aceleração da gravidade. Por qual motivo em águas pro-
fundas temos a aproximação: √ 
 
 
 
~ 118 ~
118 
 
SOL.: 
Águas profundas... interpretar como d  ∞ (ERRO fre-
quente é esquecer esse detalhe!). Vamos, por conseguinte, calcular: 
 
 ( ) 
 
Onde “a” é uma constante positiva. 
Ora, tal limite equivale a: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Nas “manipulações” de tghx, trocamos „x‟ por „ad‟ 
Reorganizando, usando o fato de a-b = 1/ab, temos: 
 
 
 
 
 
 
Realizando a soma de frações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, como temos uma indeterminação (infini-
to/infinito), usaremos L‟Hopital 
 
 
 
 ⏞ 
~ 119 ~
119 
 
Logo, segue-se resultado. 
 
3ª. Questão: Calcule 
 
SOL.: 
Inicialmente, organizar a expressão 
 
 
Reorganizando, usando o fato de a-b = 1/ab, bem como 
realizando diferença de frações temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela divisão de frações: 
 
 
 
 
 
 
Agora, como temos uma indeterminação (infini-
to/infinito), usaremos L‟Hopital 
 ⏞ 
 
 
4º. Passo: Esboço de gráficos 
 
Só agora estamos apresentando esboço de gráficos em vir-
tude das regras de L‟Hopital e os tipos de função envolvidas. 
Antes, porém, faremos um resumão das principais regras de 
derivação: 
~ 120 ~
120 
 
Principais derivadas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
(1) Se f(x) = g(x) ± h(x)  f ‟(x) = g‟(x) ± h‟(x) 
 
(2) Se f(x) = g(x).h(x)  f ‟(x) = g‟(x).h(x) + g(x).h‟(x) 
 
(3) Se ( ) ( )
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
(4) Se f(x) = g[h(x)]  f ‟(x) = g‟[h(x)].h‟(x) 
 
(5) Se f(x) = axn f ‟(x) = n.a.xn – 1 
 
(6) Se f(x) = sen(kx)  f ‟(x) = k.cos(kx) e 
f(x) = cos(kx)  f ‟(x) = - k.sen(kx) 
 
(7) Se p(x) = tg(kx)  p‟(x) = k.sec²(kx) e 
p(x) = cotg(kx)  p‟(x) = - k.cosec²(kx) 
 
 
(8) Se p(x) = sec(kx)  p‟(x) = k.sec(kx).tg(kx) e 
p(x) = cosec(kx)  p‟(x) = - k.cosec(kx).cotg(kx) 
 
(9) Se p(x) = arctg(kx), então ( ) 
 
 
(10) Se p(x) = arcsen(kx), então ( ) 
√ 
 
(11) Se p(x) = arcsec(kx), então( ) 
 √ 
 
(12) Se p(x) = ekx, então p‟(x) = k.ekx e 
p(x) = ln(x)  p‟(x) = 1/x 
 
 
Fazer um esboço do gráfico de: (a) f(x) = e-x²; (b) g(x) 
= 
 e (c) h(x) = 
Os quatro passos básicos para esboço de gráficos: 
i. Obter domínio da função. 
~ 121 ~
121 
 
ii. Analisar o que ocorre com a função nos extremos de 
seu domínio. 
iii. Identificar intervalos onde cresce ou decresce a função. 
iv. Identificar tipo de concavidade em intervalos. 
 
Item (a) 
 Podemos reescrever ( ) 
 . Como não há restrições 
no domínio, segue-se que Domínio = - ,. Detalhe: f(x) 
> 0 para qualquer x no domínio. Por quê? 
O que ocorre nos extremos com a função? Ora, basta fa-
zer x  + bem como x  - Assim, 
Para intervalos de crescimento ou decrescimento, analisar 
a derivada primeira (função crescente em intervalos onde f‟(x) > 
0 e função decrescente em intervalos tais que f‟(x) < 0). 
 
Assim, 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Por comodidade (por qual motivo?) fazemos inicialmente 
f‟(x) = 0. 
Daí, x = 0 (favor verificar as contas!). 
Se x < 0  Note que f‟(x) > 0, pois -2x > 0 (e ). 
Logo: crescente! 
Se x > 0  Note que f‟(x) < 0, pois -2x < 0 (e ). 
Logo: decrescente! 
Para o tipo de concavidade... (em dado intervalo): para 
cima se f‟‟(x) > 0 e para baixo se f‟‟(x) < 0. 
Assim, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
~ 122 ~
122 
 
Desenvolvendo, 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 
Daí, f‟‟(x) = 0  
 
 √ 
 
 
Por conseguinte: 
Se √ 
 
  (-2).(1 – 2x²) > 0  Concavidade para 
cima8. Supor x = -3. 
Se √ 
 
 √ 
 
 (-2).(1 – 2x²) < 0  Concavidade pa-
ra baixo. Supor x = 0 
Se √ 
 
 (-2).(1 – 2x²) > 0  Concavidade para cima. 
Supor x = 3. 
 
Assim, CONCLUAM... (o essencial é invisível aos olhos...). Dica: 
Vide curva normal da Estatística... 
 
Ou seja... não apresentamos o gráfico, só a essência 
dos mesmos! 
Item (b) 
Como não há restrições no domínio, segue-se que Domí-
nio = - ,. Com efeito, nos reais, x² + 1 > 0. Assim, 
g(x) > 0 para qualquer x no domínio. 
O que ocorre nos extremos com a função? Ora, basta fa-
zer x  + bem como x  - Assim, 
 Crescimento x Decrescimento 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
8 Lembram da estratégia de atribuir valores em dado intervalo... aqui ela se 
aplica!!! 
~ 123 ~
123 
 
Por comodidade (por qual motivo?) fazemos inicialmente 
g‟(x) = 0. 
Daí, x = 0 (favor verificar as contas!). 
Se x < 0  Note que g‟(x) > 0, pois -2x > 0. Logo: cres-
cente! 
Se x > 0  Note que g‟(x) < 0, pois -2x < 0 Logo: de-
crescente! 
 
CONCAVIDADE... 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) - ,( ) - 
 
Atenção à regra da cadeia (derivada da função composta) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Colocando (1 + x²) em evidência e, em seguida, simplifi-
cando-o com um dos quatro (1 + x²) do denominador, temos: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Daí, g‟‟(x) = 0  
 
 √ 
 
 
Por conseguinte: 
Se √ 
 
  6x² - 2 > 0  Concavidade para cima. Su-
por o valor x = -3. 
Se √ 
 
 √ 
 
  6x² - 2 < 0  Concavidade para 
baixo. Supor x = 0 
Se √ 
 
  6x² - 2 > 0  Concavidade para cima. Supor 
x = 3. 
 Concluir... 
~ 124 ~
124 
 
Item (c) 
Como há restrições no domínio, pois caso o denominador 
zere, isto é, 1 – x² = 0  x = 1 ou x = -1. Segue-se que Domí-
nio da função é igual a: - , - , - ,. Reveja 
assunto limites infinitos e no infinito. Há um exemplo muito parecido... 
Mas, se de fato aprendeu, não precisa! 
O que ocorre nos extremos com a função? 
 
 
 
 
 
Crescimento x Decrescimento 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 
 
Notamos que h‟(x) = 0 desde que x = 0. Notar, também, 
que o denominador é sempre positivo no domínio. 
Se x < 0  Note que h‟(x) <0, pois 2x < 0. Logo: decres-
cente! 
Se x > 0  Note que h‟(x) > 0, pois 2x > 0 Logo: cres-
cente! 
 
CONCAVIDADE... 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) - ,( ) - 
 
Atenção à regra da cadeia (derivada da função composta) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 
 
~ 125 ~
125 
 
Colocando (1 – x²) em evidência e, em seguida, simplifi-
cando-o com um dos quatro (1 – x²) do denominador, temos: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Daí, h‟‟(x) = 0  
 
 √ 
 
 
 
Por conseguinte, com o cuidado das restrições do domí-
nio, com efeito, (1 – x²)³ pode assumir valores negativos. 
 
Intervalo Supor Numerador é Denominador é Logo h’’(x) 
Se x < -1 x = -2 Positivo Negativo () e C/P/B 
Se √ 
 
 x= -0,5 Positivo Positivo (+) e C/P/C 
Se 
√ 
 
 √ 
 
 x = 0 Negativo Positivo () e C/P/B 
Se 
√ 
 
 x = 0,5 Positivo Positivo (+) e C/P/C 
Se 1 < x x = 2 Positivo Negativo () e C/P/B 
 
() significa sinal negativo de h‟‟(x) e (+) significa sinal positivo de h‟‟(x) 
C/P/B = Concavidade para baixo e C/P/C = Concavidade para cima 
 
Concluir... Neste caso, apresentamos gráfico (verifiquem9) 
 
 
 
9 Podem ser usados softwares ou sites, tais como www.somatematica.com.br; 
www.wolpranalpha.com, etc. 
~ 126 ~
126 
 
 
 
 
 
Relembrar regras de derivação... considerando inte-
gral como antiderivada 
Principais integrais: Não obstante usar resultados ante-
riores... (considere k inteiro e positivo e “a” e “b”...) 
 
(1) ∫( ) { ( ) 
 
 
 | | 
 
(2) ∫ 
 
 
 
(3) ∫ 
 
 
 
 
∫ 
 
(4) ∫ ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 
(5) ∫ ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
e como fica para cos(ax)cos(bx)? 
 
(6) ∫ 
 
 
 
∫ 
 
(7) ∫ 
 
 ∫ 
~ 127 ~
127 
 
(8) ∫ 
 
 
 
∫ 
 
(9) ∫ 
 
( ) 
e como fica para eaxcosbx? 
 
(10) ∫ 
 . / | | e
 ∫ 
 . / 
 
Oportunamente as fórmulas desconhecidas serão deduzidas. 
Por enquanto, justificaremos algumas. 
Já sabemos que (senx)‟ = cosx. Por sua vez, a derivada de 
senx + π ou de senx + π/2 também é cosx. Desta feita, a antide-
rivada do cosx é a família de funções do tipo senx + C (acresci-
das de uma constante). 
Ou seja, ∫ 
Por analogia, ∫ . 
Agora, seja a ∫ ∫ 
 
 . Como (cosx)‟ = 
senx, considere a seguinte mudança de variável para facilitar 
visualização de regras u = cosx. Derivando ambos os membros 
da igualdade em relação à variável x (lembrar da derivação implí-
cita): 
 
 
 
 ∫ 
 
 ∫ 
 
 
 
Voltando para a variável x, ∫ | | | | 
Para ∫( ) com n ≠ 1. E, é claro, a ≠ 0. 
~ 128 ~
128 
 
Afirmo que ∫ 
 
 , com n ≠ 1. Com efei-
to, basta derivar o lado direito da igualdade... Integral, por enquan-
to, é antiderivação... 
Desta feita, na ∫( ) podemos considerar u = 
ax + b (função de dentro da composição). Assim, u‟ = du/dx 
= a  du = adx. 
∫( ) ∫ 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
No tocanteàs aplicações. 
 
 ∫ ( ) Pois a integral de dx é x + C* (já que (x + C*)‟ 
= 1). Isto é, podemos integrar AMBOS os membros de uma 
igualdade. 
 
Alguns exercícios resolvidos para fixação de conhecimentos. 
 
1 ª. QUESTÃO 
Se a função de consumo é dada por y = f(x), onde y é o 
consumo nacional total e x é a renda nacional total, então a ten-
dência marginal ao consumo é igual a derivada do consumo com 
relação a x. Supondo x = y + s, onde s é a poupança, a tendência 
marginal à poupança é 
dx
dy
dx
ds
 1 (por quê?). 
a) Se a tendência marginal ao consumo (em bilhões de 
dólares) é 
xdx
dy 2,0
7,0  . Quando a renda é igual a zero, o 
consumo é de 8 bilhões de dólares. Ache a função de consumo. 
b) A tendência marginal a poupança é 1/3. Quando a 
renda é igual a zero, o consumo é de 11 bilhões de dólares. Ache 
a função de consumo. 
~ 129 ~
129 
 
SOLUÇÃO: 
Vamos justificar a fórmula... 
Sendo x = y + s, derivando em relação à variável x... 
(x)‟ = (y + s)‟ = (y)‟ + (s)‟ 
Daí, 1 = y‟ + s‟. Ou, s‟ = 1 – y‟. 
Item a) 
CCxxy
dxxdx
x
dy
xdx
dy



84,07,0
)2,07,0()
2,0
7,0(
2,0
7,0
2
1
2
1
 
 
2ª. QUESTÃO 
A velocidade de uma partícula em M.H.S. é dada por v(t) = 
4.cos(t + /6). Qual é a equação horária, s(t), dado que s(0) = 2? 
SOLUÇÃO: 
V = ds/dt .: ds = v.dt .: s =  4.cos(t + /6)dt = 
4.cos(t + /6)dt = 
4. (1/).sen(t + /6) + C = 4sen(t + /6) + C.: s(0) 
= 2 .: 2 = 4sen(/6) + C .: C = 0. 
 
3ª. QUESTÃO 
Calcule as integrais: 



gxdxb
e
dxe
a
x
x
cot)
31
)
 
SOLUÇÃO: 
(a). Seja u = 1 + 3ex. Daí, du/dx = 3ex  du = 3ex.dx. As-
sim, 
  





cecuc
u
duu
u
du
e
dxe x
x
x
31
3
2
3
2
1
2
13
1
3
13
31
2
112
1
2
1 
~ 130 ~
130 
 
 (b).∫ ∫ 
 
 supor u = senx. Por conse-
guinte, u‟ = du/dx = cosx. Assim, ∫ 
 
 ∫ 
 
 | | 
 | | 
 
4ª. QUESTÃO 
Se dy/dx = xy, qual a função y = f(x)? 
SOLUÇÃO: 
Separando as variáveis, 
 
 integrando ambos os 
membros da igualdade: lny = x²/2 + C  , 
onde B = eC 
 
5ª. QUESTÃO 
Calcule: 
a) ∫( 
√ 
) 
b)∫ . 
√ 
 √ 
 
/ 
c) ∫ 
 
d)∫ . 
 
 
 √ 
 
/ 
SOLUÇÃO: 
a)  
 

 CttC
tt
dttt 2/13
2/13
2/32 23
)2/1(3
9)9( 
 
b)  

CxxC
xx
dx
x
x 2
5
2
12
5
2
1
2
3
2
1
15
2
2
2
53
1
2
1
)
3
( 
c) 
CxC
x
C
u
C
u
duu
u
du
x
senxdx
senxdxduxuxx








  
sec
cos
11
)1(
)(
cos
cos)(coscos
1
2
22
22
 
~ 131 ~
131 
 
d) 
 
 Ct
t
eCt
t
edttte ttt ln
3
2
2
1
ln
2
32
1
)
2
1
(
2/32/3
12
1 
 
Mais exercícios resolvidos 
Entretanto, recomendamos refazer exercícios até aqui vistos para um 
melhor entendimento. 
PRINCIPAIS ERROS – REGRAS DE INTEGRAÇÃO 
01.  23x 2x 1 dx;  
SOLUÇÃO: 
Usaremos o fato da integral da soma (e/ou diferença) ser 
a soma (e/ou diferença) das integrais. 
Assim, 3x²dx – 2xdx – dx 
Agora, usaremos o seguinte resultado: c.f(x)dx = c. 
f(x)dx, onde c é constante. 
Por conseguinte, 3x²dx – 2xdx – dx. 
Dado que xndx = xn + 1/(n + 1) + C, se n  –1, 
Temos: 3.x³/3 – 2.x²/2 – x + C (todas as constantes jun-
tas ainda formam constante...) 
Resp.: x³ – x² – x + C 
 
02. ;1
3 





 dx
x
x
 
SOLUÇÃO:
 Notemos que 1/x3 = x-3. 
De [f(x)  g(x)]dx = f(x)dx  g(x)dx bem como 
 xndx = xn + 1/(n + 1) + C, se n  1, 
Segue-se: xdx  x-3dx = x²/2 + 1/2x² + C 
 
03.   ;13 22  dxxx SOLUÇÃO: 
~ 132 ~
132 
 
Fazendo uso das argumentações até aqui apresentadas, 
temos, não esquecendo que xn.xp = xn + p: 
  CxxCxxdxxdxxx 




3/11
13/8
3/83/22
11
3
13
8
)1(1.
 
04. ( ) ;2 3 19x dx 
SOLUÇÃO: 
Já que [(ax + b)p]‟ = p(ax + b)p – 1.a = ap(ax + b)p – 1 são 
números reais e “a” diferente de zero. 
Com efeito, se u = ax + b. derivando ambos os membros 
da igualdade em relação à variável x, temos: du = adx, daí, 
up(du/a) = (1/a). updu ... (integração conhecida! Retornar, após 
integrar, para variável x). 
Assim, Cxdxx  20
)32(
2
1
)32(
20
19 
 
05. 1 2 x dx; 
SOLUÇÃO: 
 
C
x
dxx 

 2/3
)12(
2
1
)12(
2/3
2/1
... 
 
06. x x dx1 2 2 ; 
SOLUÇÃO: 
A ideia é imaginar a função “de dentro” da composição 
como nova variável. 
Seja v = 1 – 2x² .: dv = 4xdx, ou, de maneira equivalente, 
xdx = dv/4 
~ 133 ~
133 
 
C
v
dvvxdxxdxxx   2/34
1
)4/(²)21(21
2/3
2/12/12
 
Como a variável de partida é x... retornar para ela: 
Assim: – (1 – 2x²)3/2/6 + C
 
 
07. xdx
x3 12 
 ; 
SOLUÇÃO: 
Novamente a ideia é imaginar a função “de dentro” da 
composição como nova variável. 
Seja k = 3x² - 1 .: dk = 6xdx, ou, de maneira equivalente, 
xdx = dk/6 
Cx
C
k
dkkxdxx
x
xdx





2/1
2/1
2/12/1
2
)1²3(
3
1
2/16
1
)6/()1²3(
13 
 
08. dx
x x2 4 4 
;
 
SOLUÇÃO: 
Notemos que x² – 4x + 4 = (x – 2)². 
Daí, (x – 2)-2dx = C + 1/(2 – x) 
 
09. ;13  dxxxx 
SOLUÇÃO: 
Reorganizando a integral: 
  dxxxdxxxxdxxxx
2/13/12/33 2/12/13 )1(1.1
 
Agora, faremos mudança de variável: v = x3/2 – 1 .: dv = 
3/2x1/2dx. 
~ 134 ~
134 
 
Assim, a integral fica: v1/3(2/3)dv = ... = ½.(x3/2 – 1)4/3 + C 
 
10. ( ) ;x x dx  1 1 
SOLUÇÃO: 
Inicialmente, desenvolver a soma: 
  dxxdxxx 11 
A integral à direita do “+” não oferece resistência, com 
efeito, é só escrever 
(x – 1)1/2 Para a da esquerda... Seja u = x – 1 a expressão 
“de dentro” da composição. 
Derivando, du = dx e x = u + 1. 
Assim, x(x – 1)1/2dx = (u + 1)u1/2du = u3/2du + u1/2du... 
 
11. x dx
x
5
33 1
 ; 
SOLUÇÃO: 
Seja u = 1 + x³. Daí, derivando em relação à variável x, 
temos: du = 3x²dx. Assim, 
 
∫
 ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) (∫ ∫ ) 
 
Resolvendo as integrais e retornando para a variável x, 
temos: ( ) ( ) 
 
 
~ 135 ~
135 
 
12. x x dxcos ;2 
SOLUÇÃO:
 
Seja u = x². Daí, du = 2xdx e a integral fica: ∫cos(x²)xdx = 
∫cos(u).du/2 = ´.sen(u) + C
 Voltando para a variável x... sen(x²)/2 + C 
 
13. dx
x1 2 cos
; 
SOLUÇÃO: 
Notemos que a integral equivale a ∫dx/sen²x = ∫cosec²xdx 
= cotgx + C 
 
14. sen
sen
;
x
x
dx
1 2 
SOLUÇÃO: 
Reescrevendo, temos: ∫senxdx/cos²x 
Opções: 
Seja v = cosx. Daí, dv = senxdx. 
Por conseguinte, ∫dv/v² = ∫v-2dv = v-1 + C = secx + C 
 
Reescrever: ∫ 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 15. sen ;x
x
dx 
SOLUÇÃO: 
Não esquecer! Visualizar a composição e tentar considerar 
uma variável de apoio (mudança de variável). 
Assim sendo, seja m = √ = x1/2. Por conseguinte, dm = 
½.x-1/2dx. Ou, de maneira equivalente, 2dm = dx/x1/2. 
Desta feita, a integral fica: ∫sen(m).2dm = 2.( cosm) + C 
= 2cos(x1/2) + C 
~ 136 ~
136 
 
 
 
 
 
Nesta lição, apresentamos algumas aplicações envolvendo 
Equações Diferenciais Separáveis, isto é, devemos isolar em 
cada uma das equações em cada membro da igualdade uma vari-
ável com diferencial correspondente. 
 
1ª. QUESTÃO 
A Lei de Newton para o resfriamento de um objeto diz 
que a taxa de aqual um corpo perde calor é proporcional à dife-
rença entre a temperatura (T) e a temperatura do meio ambiente 
(Tm). Isto é, 
 
 
 ( ) 
 
Sendo k constante de proporcionalidade. 
Quando um bolo é removido de um forno, sua tempera-
tura é medida como 3000C. Após 3 minutos, é 2000C. Se a tem-
peratura ambiente é de 300C, após quanto tempo a temperatura 
do bolo será de 400C? 
Solução: 
Resolvendo a equação temos: 
 ∫ ∫ 
Entendendo: 
~ 137 ~
137 
 
* Inicialmente, isolamos as variáveis. 
* Em seguida, integramos ambos os membros da igualdade. 
Assim: ln| T – Tm | = kt + C ou, equivalentemente, 
Isto é, usamos a definição: lna = b  a = eb 
Podemos desenvolver um pouco mais: ekt + C = ekt.eC 
Agora, é só substituir valores: 
Tm = 30 
Para t = 0, T = 300 (lembrar: qual sua idade no ano de seu nas-
cimento?) 
Para t = 3, T = 200 
E, t = 40  T = ? 
 
2ª. QUESTÃO 
Suponha que a gramas de um elemento químico A sejam 
combinadas com b grama de um elemento químico B. se existi-
rem M partes de A e N partes de B formadas no composto, e 
X(t) é o número de gramas do elemento químico C formado, 
então... 
 
 
 ( )( ) 
Onde  = a(M + N)/M e  = b(M + N)/N e k é cons-
tante. 
Um composto C é formado quando dois elementos quí-
micos A e B são combinados. Para cada grama de A, 4 gramas 
de B são utilizados. Em 10 minutos, 30 gramas de C são forma-
dos. Se inicialmente há 50 gramas de A e 32 gramas de B, de-
termine a quantidade de C em um tempo t. 
Solução: 
Temos: ( )( ) . Supondo α ≠ β, pois se forem 
iguais, já sabemos resolver. 
A integral da direita da igualdade não oferece resistência. 
Surge uma pergunta: é possível separar o produto como uma soma, 
porque, isoladamente, cada integral é conhecida? 
~ 138 ~
138 
 
Sim, com efeito, podemos usar: ( )( ) 
 
Onde p e q são constantes. Por quê? Pois, se fossem polinômios com 
grau maior ou igual a um, poderíamos dividir e, ao usar a identidade de 
polinômios, seus coeficientes seriam identicamente nulos. 
Ah! De (a – b) = -(b – a), reescrevemos: 
(a – x)(b – x) = [-(x – a)][-(x – b)] = (x – a)(x – b)... só para 
facilitar uso de sinais. 
 
Pela soma de frações: ( )( ) ( ) ( )( )( ) 
 
Denominadores são idênticos, logo, numeradores também devem ser: ( ) ( ) 
Lembrar que 0X + 1 = 1. 
Assim, 
Coeficientes de “x”: 0 = p + q 
(eq1) 
Coeficientes de “x0” (ou termos independentes): 1 = pβ – qα 
(eq2) 
De (eq1): p = q 
Substituindo em (eq2): 1 =  (q)β – qα  1 = q(β – α) 
Por fim, 
 
 
Assim, ∫ ( )( ) ∫4 5 
 
Passando para fora da integral a constante e usando resultados dos 
logaritmos, a saber: lnA – lnB = lnA/B, temos: 
∫
 ( )( ) | | 
 
Agora é só igualar e resolver o problema. 
~ 139 ~
139 
 
3ª. QUESTÃO 
Se v(t) = (1 + cosht)1/2, encontre uma expressão para a: 
a) aceleração e 
b) equação horária. 
Solução: 
Como a(t) = v‟(t), segue-se, pela regra da cadeia, que: 
a(t) = ½.(1 + cosht)1/2 – 1.(1 + cosht)‟ = senht/2(1 + cosht)1/2 
Já, para deslocamento, como v(t) = s‟(t), segue-se que s(t) = ∫v(t)dt. 
Reparem que não é interessante considerar u = 1 + cosht (função de “den-
tro” da composição). Com efeito, du = senht.dt. 
Assim, vamos pensar no “simples”. 
Pela definição de cosht: ( ) ∫√ 
 
dt 
 
Usando o fato de que e-t = 1/et bem como soma de frações, segue-se: 
 ( ) ∫√ ∫√ ( ) 
 ∫√ ( ) 
 
Agora, como numerador e denominador são ambos positivos, usare-
mos o fato de que a raiz do quociente é o quociente das raízes. Além deste 
fato, notar que o numerador é um produto notável, a saber (et + 1)². Deste 
modo: 
 ( ) ∫ 
√ ⁄ √ ∫( ) 
 
Não esquecendo que ab/ac = ab – c . Pelo fato da integral da soma ser 
a soma das integrais e sendo ∫ 
 
 , temos: 
√ ( * 
Interessante... quem são expressões para cosh(x/2) e senh(x/2)... 
~ 140 ~
140 
 
 4ª. QUESTÃO 
Experimentos mostraram que a taxa à qual um elemento 
radioativo decai (medindo o número de núcleos que se trans-
formaram por unidade de tempo) é proporcional ao número y(t) 
de núcleos radioativos presentes no instante t. A constante de 
proporcionalidade é chamada de constante de decaimento. 
A. Escreva e resolva uma equação diferencial que des-
creva o decaimento radioativo, considerando a condição inicial 
y(0) = y0. 
B. Meia vida de um elemento radioativo é o tempo ne-
cessário para que metade dos núcleos radioativos inicialmente 
presentes em uma amostra tenha decaído. As pessoas que fazem 
datação por carbono 14 usam um valor de 5.700 anos para sua 
meia vida Determine a idade de uma amostra em que 10% dos 
núcleos radioativos originais presentes já decaíram. 
Solução: 
Pelo enunciado: 
 
 
 
 
 sendo k constante de proporcionalidade 
(no caso, é negativa porque está diminuindo a quantidade...). 
Isolando variáveis e resolvendo, chegamos em (compare com primeira 
aplicação): ln|y| = kt + C  y = ekt.eC. 
Para t = 0... y(0) = e0.eC .: y0 = eC. 
 
Para item (b): 
Meia-vida: y = ½.y0 .: y = y0 . ekt  ½.y0 = y0 . e5700.k 
Daí, é com vocês... (com efeito: 5700k = ln1/2 = ln2...) 
 
5ª. QUESTÃO 
Uma célula esférica tem volume v e área de superfície s. 
Um modelo simples de crescimento celular antes da mitose ad-
mite que a taxa de crescimento (dv/dt) é proporcional à área da 
superfície da célula. Encontre um modelo matemático para 
equação diferencial e o resolva. 
Solução: 
~ 141 ~
141 
 
Pelo enunciado, 
 
 
Organizando, 
 
 , sendo “a” constante de proporcionalidade 
(a > 0, pois “crescimento”) 
Ora, sabemos que 
 
 e s = 4πx², onde x = x(t) é o raio 
(variável). 
Como no problema não há indicação (explícita) do uso do raio, va-
mos relacionar v e s. 
Assim, √ 
 
 - quem é a constante positiva b? 
Daí, 
 
 - quem é a 
constante positiva k? 
Por fim, 
 
 
 
Organizando, 
∫ ∫ 
 ( ) ( ) 
Finalmente, 
 ( ) ( * 
 
Vários outros modelos seguem essa estratégia: sepa-
rar variáveis. 
Não separar variáveis é Cálculo II. 
 
~ 142 ~
142 
 
 
 
 
 
O sangue que atravessa uma artéria, ou água que escoa em 
uma tubulação de esgoto ou o ferro usado em colunas de cons-
truções... são cilindros. Cilindros (esferas e cones) são sólidos de 
revolução, isto é, obtidos pela rotação em torno de um eixo. 
Neste tópico trabalharemos com integrais definidas. Para 
resolver, basta usar o Teorema Fundamental do Cálculo: 
∫ ( ) 
 
 ( ) ( ) onde g‟(x) = f(x). Sob quais condições? 
 
∫ ( ) 
 
 ( ) ( ) , ( )- 
 
Uma interpretação para ∫ ( ) 
 
 pode ser área, su-
pondo f(x) ≥ 0, da região compreendida entre as retas vert i-
cais x = a e x = b, acima do eixo dos x e abaixo da função 
(contínua) y = f(x). 
 
~ 143 ~
143 
 
Fazendo-se uma região plana girar em torno de uma reta 
do plano, o sólido resultante é chamado sólido de revolução. A 
reta em torno da qual se processa a revolução é chamado eixo 
de revolução. 
Seja f contínua em [a, b]. O volume V do sólido de revo-
lução gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de 
f, de x = a, x = b e do eixo x é dado por: ∫ , ( )- 
 
 . 
Caso a rotação seja dada em torno do eixo y, temos: 
 ∫ ( ) 
 
 
 
Aplicações: Deduzir, via integração: (a) volume de um cone 
circular reto de altura H e raio da base R e (b)volume de uma esfe-
ra. Antes, porém, observar as questões resolvidas abaixo: 
 
1ª. QUESTÃO 
Um barril com altura h e raio máximo R é construído pela rotação 
ao redor do eixo x da parábola y = R – cx², 
 
 
 
 , onde c é 
uma constante positiva Encontre seu volume aproximado. 
Solução: 
Rotação em torno do eixo x: 
∫ 
 ∫ ( ) 
Desenvolvendo o integrando: 
 
∫ ( ) 
 ∫ ( ) 
 
Usando o fato que a integral da soma é a soma das inte-
grais, bem como que a integral de uma constante ao multiplicar 
~ 144 ~
144 
 
uma função fica o produto da constante pela integral da função, 
temos: 
 
 ∫ 
 ∫ ∫ 
 
Como temos a integral de xn, para „n‟ diferente de „-1‟, 
temos: 
4 5
 
 
 
Agora, é só concluir... 
 
2ª. QUESTÃO 
Deduzir volume de um tronco de cone via integração. 
Solução: 
Procure imaginar a região. Usaremos rotação em torno do 
eixo x. Experimente rotacionar em torno do eixo y. 
Sejam A e B os raios das bases menor e maior, respecti-
vamente. Considere H a altura. 
A reta em questão (que está inclinada em relação ao eixo 
x), que é da nossa função f(x) = ax + b, passa pelos pontos (0, 
A) e (H, B) – Dúvidas? 
Passando em (0, A)  A = a.0 + b  b = A 
Passando em (H, B)  B = a.H + A  a = (B – A)/H 
Logo, 
 ( ) 
 
 
Como, 
 ∫ , ( )- 
 
 
Segue-se, 
~ 145 ~
145 
 
 ∫, - 
 
 , ( ) ( )- 
De onde, 
 ( ) ∫6( ) 
 7 
 
Desconsiderando a constante... 
 ( ) ( ) 
 
 
Como g(0) = 0, segue-se que 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Organizando, e multiplicando por “pi”... 
 ( ) 
 
3ª. QUESTÃO 
Uma empresa possui um número muito grande de automóveis para 
serem usados pelos funcionários. Os registros do tempo em que cada carro se 
encontra fora de serviço para reparos são tomados como elemento básico para 
decidir quando um carro deve ser vendido. A função de frequência para o 
número total de dias em que um carro se encontra fora de serviço, antes que 
seu conserto se torne dispendioso e em condições de ser vendido é: 
f(x) = 0,2e – 0,2x, x > 0. Ache a probabilidade para que um carro 
esteja fora de serviço por mais de 30 dias. Isto é, ∫ ( ) 
 
 
Solução: 
Basta usar expressão: 
~ 146 ~
146 
 
 ∫ ( ) 
 
 ∫ 
 
 , ( ) ( )- 
 
Onde, ( ) ∫ 
 . 
 
Lembrar: ∫ 
 
 
Assim, , ( ) ( )- ( ) 
 
 
 
Onde foi parar C? Em integrais definidas, elas são 
simplificadas. 
 
4ª. QUESTÃO 
Sob certas condições econômicas, o ganho total do consumidor é repre-
sentado pela área debaixo da curva de demanda e acima da reta y = y0. 
Esta área é designada por Marshall como excedente do consumidor e é 
calculada por (sendo y = f(x) função de demanda): 
Excedente do consumidor =  
0
0 00
)(
x
yxdxxf . 
Se a função de demanda é y = 32 – 4x – x², ache o excedente do 
consumidor se x0 = 3. 
Solução: 
Sendo x0 = 3, segue-se que y0 = 32 – 4(3) – (3)² = 11. 
Assim, 
 ∫ ( ) 0 
 
 
 
 
1
 
 
 
 ( ) 
 
5ª. QUESTÃO 
Sob certas condições, o ganho total do produtor é representado pela 
área acima da curva de oferta e abaixo da reta y = y0 (preço de mercado). 
Tal ganho é conhecido como excedente do produtor. Esta área é calculada 
pela expressão: 
~ 147 ~
147 
 
Excedente do produtor = x0.y0 - 
0
0
)(
x
dxxf . 
Onde x0 é a oferta de mercado correspondente ao preço y0. 
 Se a função de oferta é y = (x + 2)2 e o preço y0 = 25, ache 
o excedente do produtor. 
Solução: 
De yo = 25, segue-se 25 = (x + 2)²  x = 3. 
Assim, ∫ ( ) 
 
 6( ) 7
 
 [ ] 
 
6ª. QUESTÃO 
Calcule a área entre as funções y = x² e y = |x|. Esboçe a situa-
ção. 
Solução: 
O esboço da situação não será apresentado. Fica como 
exercício extra... Que podemos até usar ideia de simetria! 
Problemas que envolvem áreas entre curvas consistem 
em obter os pontos de interseções entre elas. Dados dois pontos 
consecutivos, analisar qual função está acima e qual função está 
abaixo. 
Assim, ∫ ( ) 
 
 ∫ ( ) 
 
 ∫ , ( ) ( )- 
 
 
 
Como queremos área entre curvas, precisamos encontrar 
as interseções dessas. 
Se x < 0, então g(x) = |x| = x. Daí, x² = x  x = 1 
ou x = 0. Notar que, no intervalo de “1” a “0”, g(x) assume 
valores maiores que f(x). 
 ∫ ( ) 6 7
 
 [ ( *] 
Se x > 0, então g(x) = x. Por conseguinte, x² = x  x = 0 
ou x = 1. Notar que, também no intervalo de “0” a “1”, g(x) 
assume valores maiores que f(x). 
~ 148 ~
148 
 
 ∫ ( ) 6 7
 
 [( *] 
Logo, basta somar as áreas. 
 
7ª. QUESTÃO 
Encontre o volume do sólido de revolução, gerado quando a região 
limitada pela curva ayx  e os eixos coordenados, gira em torno 
do eixo Y. 
Solução: 
Ser limitada pelos eixos coordenados... Quando x = 0  y 
= a. E, quando y = 0  x = a. √ √ √ implica 
√ √ √ √ . Por que elevamos 
ambos os membros ao quadrado? Porque, pela expressão do 
volume em torno do eixo y, precisamos de f(x). 
 ∫ ( ) 
 
 ∫ ( √ * 
 
 
Desenvolvendo expressão de dentro da integral e inte-
grando, 
 ∫ ( √ * 
 
 [ 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
]
 
 
 
 
 
Agora, finalmente, deduzir volume de uma esfera de 
raio R. 
Uma esfera é obtida pela rotação de uma semicircunferên-
cia em torno de um de seus diâmetros. Algo nos impede de su-
por um diâmetro sobre o eixo x? Não. Podemos também supor 
que o centro desta semicircunferência esteja na origem do siste-
ma de coordenadas cartesianas. 
Sabemos que a equação de uma circunferência de centro 
(xc, yc) e raio R é dada por: (x – xc)² + (y – yc)² = R². Estando 
na origem, ficamos com x² + y² = R². Podemos, também, usar 
~ 149 ~
149 
 
simetria. Isto é, considerar só a região do primeiro quadrante e, 
em seguida, multiplicar por “2”. 
Como esta atividade é de fixação, usaremos as duas fór-
mulas para volume, lembrando que 0 < x < R. Lembrando que 
devemos obter, sem a simetria 2πR²/3. De x² + y² = R²  y² = 
R² – x² ou √ ( ) 
 
Rotação eixo x: 
 
 ∫ , ( )- 
 
 ∫ ( ) 
 
 6 
 
7
 
 
 
 
 
Rotação eixo y: ∫ ( ) 
 
 ∫ ( ) 
 
 
Como há composição, seja u = R . Daí, 
 
 
 
 
 . Logo, na integral, 
∫ ( ) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
 
 
 
 . 
 
Aplicando limites de integração e fazendo a diferença, 
chegamos no resultado. Verificar! 
~ 150 ~
150 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: São apresentadas uma maneira de solução pa-
ra cada questão (que serve de motivação). Estratégias diferentes podem (e 
devem) ser utilizadas. 
 
1ª. QUESTÃO 
Considere v(x) a velocidade de uma partícula. Encontre a(x) e s(x) 
nos seguintes casos: 
a) V(x) = eaxsen(bx) 
b) V(x) = eaxcos(bx) 
c) V(x) = arctg(kx) 
Solução: 
Lembrando: a(x) = v‟(x). 
Assim, respectivamente temos: Para v(x) = eaxsen(bx). 
Note que v(x) = p(x).q(x), sendo p(x) = eax e q(x) = 
sen(bx). 
Por conseguinte, v‟(x) = p‟(x).q(x) + p(x).q‟(x). 
Todavia, tanto p(x) quanto q(x) são funções compostas. 
Ou seja, p(x) = eax = f(g(x)) onde f(u) = eu e g(x) = ax. 
Dado que p‟(x) = f‟(g(x)).g‟(x), segue-se que p‟(x) = aeax. 
E, q(x) = i(j(x)), sendo i(z) = senz e j(x) = bx. Daí, q‟(x) =bcos(bx). 
Logo, [eaxsen(bx)]‟ = aeaxsen(bx) + beaxcos(bx) 
 
~ 151 ~
151 
 
Por analogia, [eaxcos(bx)]‟ = aeaxcos(bx) – beaxsen(bx) 
 
E, no caso de v(x) = arctg(kx), segue-se que v‟(x) = 
 
 ( ) 
 
Relembrando... [f + g]‟ = f‟ + g‟ 
Assim, considere: 
[eaxsen(bx)]‟ = aeaxsen(bx) + beaxcos(bx) 
[eaxcos(bx)]‟ = aeaxcos(bx) – beaxsen(bx) 
Para “eliminar”, por exemplo, eaxsen(bx), fazemos o se-
guinte procedimento: 
Imagine, caso não visualize, y = eaxsen(bx) e z = 
eaxcos(bx). 
Daí, tem-se: 
(y)‟ = ay + bz 
(z)‟ = by + az 
Que equivale (pelo método da adição – lembram?) 
b(y)‟ = aby + b²z 
a(z)‟ = aby + a²z 
Somando, (a² + b)²z = a(z)‟ + b(y)‟ 
Por analogia, 
a(y)‟ = a²y + abz 
b(z)‟ = b²y  abz 
Somando, (a² + b)²y = a(y)‟ – b(z)‟ 
Integrando ambos os membros da igualdade, usando o fa-
to que a integral da soma é a soma das integrais e organizando, 
temos: 
∫ ( ) 
 , ( ) ( )- 
Repetindo raciocínio (é claro, subtraindo...) 
∫ ( ) 
 , ( ) ( )- 
 
~ 152 ~
152 
 
Por fim, no caso da 
∫ ( ) 
 
Usaremos integração por partes... ∫udv = uv - ∫vdu 
Considere u = arctg(kx) e dv = dx. 
Daí, du = 
 ( ) e v = x (desconsideramos cons-
tante porque...) 
Assim, 
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) 
 
Para segunda integral, seja w = 1 + k²x² .: dw = 2.kx.dx 
∫
 ( ) ∫ | | | | 
Organizando, 
∫ ( ) ( ) | | 
 
2ª. QUESTÃO 
Resolva, sendo n e m números inteiros e positivos, nos seguintes ca-
sos: 
(a) m = n e (b) m ≠ n: 
a) ∫ . 
 
 / .
 
 
 /
 
 
dx 
b) ∫ . 
 
 / .
 
 
 /
 
 
dx 
Solução: 
Vamos deduzir as integrais de: 
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) 
Sabemos que: 
i. ( ) 
ii. ( ) 
~ 153 ~
153 
 
iii. ( ) 
iv. ( ) 
Daí, 
Somando (I) com (II), temos: 
 , ( ) ( )- 
Somando (III) com (IV), temos: 
 , ( ) ( )- 
Fazendo (IV) – (III), segue-se: 
 , ( ) ( )- 
Ou seja, preparamos as integrais, considerando u = ax e v 
= bx 
∫ ( ) ( ) ∫ , ( ) ( ) - 
Sabemos que ∫ 
 
 
 
Assim, ∫ ( ) ( ) 
 
0
 ( ) 
 
 ( ) 
 
1 
 
E, ∫ ( ) ( ) ∫ 
 
, ( ) ( ) - 
 
Sabemos que ∫ 
 
 
Assim, ∫ ( ) ( ) 
 
0
 ( ) 
 
 ( ) 
 
1 
 
No caso do problema, considere a = 2πm/k e b = 2πn/k, 
por conseguinte: 
 Soma: a + b = 2(m + n)π/k 
 Diferença: a – b = 2(m - n)π/k 
Para os casos de m = n 
 ∫ ( ) - usamos a relação fundamental da trigo-
nometria: sen²u + cos²u = 1 em conjunto com cos2u = cos²u – 
~ 154 ~
154 
 
sen²u. Motivo: relacionar sen²u (ou cos²u) – expressão desco-
nhecida, com cos2u, a qual é conhecida a integral. 
Daí, cos2u = 1 – 2sen²u. Ou seja, sen²u = (1 – cos2u)/2 
Deste modo, ∫ ∫ 
 
( ) 
 
 
. 
 
 
/ 
Por conseguinte, em ∫ ( ) seja u = ax. Assim, 
du = a.dx 
∫ ( ) 
 
∫ ( * 
Seja 
 ( ) 
G(0) = C 
G(k) = 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 +C 
Logo g(k) – g(0) = k/2 
Nota: sen(2πm) está no eixo dos cossenos… por isso vale 0. 
 
Para item “b” no caso de m = n, segue-se: 
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) 
Pelos argumentos anteriores, quando x = k... cos(2ax) = 1, 
em particular, x = 0, segue-se mesmo resultado! 
Logo, g(k) – g(0) = 0 
 
Agora, m ≠ n 
∫ .
 
 
 / .
 
 
 /
 
 
 – pois ficamos no 
eixo dos cossenos... 
 
~ 155 ~
155 
 
∫ .
 
 
 / .
 
 
 /
 
 
 pois ficamos no 
eixo dos cossenos e... 
 
3ª. QUESTÃO 
Calcular o volume V da região obtida pela rotação em torno do eixo 
y da função f(x) = e-x, desde x = 0 até x = ln2. 
Solução: 
Esta questão visa fixação das técnicas de integração. ∫ ( ) 
 
 
No caso, ∫ 
 
 
Da derivada do produto temos a integração por partes: 
∫ ∫ 
Vamos deduzir ∫ . Seja u = x e considere dv = 
ekxdx. Caso não faças tal escolha, a segunda integral ficará mais 
trabalhosa (verifiquem!). 
Assim: 
De u = x, segue-se que du = dx. 
De dv = ekxdx, segue-se que v = (1/k) ekx (a constante é des-
considerada...) 
Substituindo, 
∫ ⏞ 
 
 
⏞ 
 
 ∫
 
 
 
⏞ 
 
 ⏞
 
 
 
 
 
 
Organizando, ∫ 
 
 ( 
 
) 
Assim, ∫ 
 
 , ( )- 
Concluir as operações, lembrando que ( ) . 
 
 
 
~ 156 ~
156 
 
4ª. QUESTÃO 
Seja f uma função suave (f e sua derivada f‟ são contínuas) em [a,b]. 
O comprimento de arco do gráfico de f de A(a,f(a)) à B(b,f(b)) é dado por: 
 ∫ √ , ( )- 
 
 
Encontre o comprimento do arco da curva 8y = x4 + 2x -2 do ponto 
onde x = 1 ao ponto x = 2. 
Solução: 
O objetivo desta questão é mostrar que a escrita, quanto 
mais simplificada for, mais detalhes comunica/informa. 
Conforme expressão, devemos realizar os seguintes pro-
cedimentos: 
i. Obter a derivada 
ii. Elevar ao quadrado 
iii. Somar “1” 
iv. Extrair raiz quadrada 
v. Integrar. 
(i). 
 
 
 
 
 
 
 
 
. ERRO comum, é de-
senvolver esta soma. Não precisa, com efeito, é mais acessível 
mexer com soma do que com produto. 
(ii). ( ) . 
 
 
 
 
/
 
 
 . 
 
/ .
 
 
/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(iii). ( ) 
 
 
 
 
 
 . 
 
 
 
/
 
, “bas-
ta” comparar. 
(iv) e (v): ∫ √ , ( )- 
 
 ∫ . 
 
 
 
/ 
 
 
 
0
 
 
 
 
 
1
 
 
 
Concluir! 
Viva a cada dia como se fosse o último... uma dia você acerta! 
Até lá, viva com intensidade, respeitando os limites e valorizando as 
potencialidades de cada um... só assim, 1 + 1 > 2. 
~ 157 ~
157 
 
 
 
 
 
Este tópico trás a integração por substituição trigonométrica. 
Apresenta outras técnicas a partir do tipo de função. 
 
Considere: 

;
3xx
dx
2
 
 
Solução.: 
Ou recordamos as derivadas das funções trigonométricas 
inversas para esta integral ou vamos recordar a técnica de inte-
gração conhecida como substituição trigonométrica: 
 
Integrando Faça Pois Não esquecendo que 
√ .au = b.tgx .(au)² = b².tg²x .a²u² + b² = 
b².sec²x 
.du = (b/a).sec²x.dx 
√ .au = b.secx .(au)² = b².sec²x .a²u² – b² = 
b².tg²x 
.du = 
(b/a).secx.tgx.dx 
√ .au = b.senx .(au)² = b².sen²x .b² – a²u² = 
b².cos²x 
.du = (b/a).sec²x.dx 
~ 158 ~
158 
 
Assim, seja x = √ de onde dz = √ 
Por conseguinte, √ √ 
Fazendo as devidas substituições na integral, temos: 
∫
√ 
√ √ √ √ ( √ * 
 
Mais questões para fixação de ideias 
2). ;
1e
dx
x2  
Solução: 
Notemos que e2x = (ex)². Assim, seja u = ex, por conse-
guinte, du = exdx 
Desta feita, e2x – 1 = u²  1. 
Logo, ∫ 
√ 
 ∫ 
 √ ∫ √ ( ) 
 
Lembremos que k = k.1 = k.(u/u), desde que u não seja 
igual a zero. Assim, multiplicamos tanto o numerador quanto o 
denominador por ex. 
 
3). ;
xnx
dx
  
Solução: 
Dado que (lnx)‟ = 1/x, fazendo u = lnx, com du = dx/x, 
temos: 
∫du/u = ln|u| + C = ln|lnx| + C 
 
4). 

;1e
dxe
x
x
 
Solução: 
Façamos v = ex + 1, daí, dv = exdx. Por conseguinte, ∫v-
1/2dv = 
2(ex + 1)1/2 + C 
~ 159 ~
159 
 
5). x
e
dx
x2 ; 
Solução: 
Consideremos v = x². Assim, dv = 2xdx e temos ∫e-vdv = 
e-v + C 
= e-x² + C 
 
6). cosh ;e
e
dx
x
x

 
Solução: 
Conforme observamos, há composição. Assim, seja v = e-x 
Por conseguinte, dv = e-xdx = dx/ex. 
Logo, ficamos com: ∫coshv(dv) = senh(v) + C = 
senh(e-x) + C 
 
7). dx
x nxsenh
;
2 
 
Solução: 
Consideremos v = lnx (pois está “dentro” da composição). 
Daí, dv = dx/x. 
Assim, ∫dv/senh²v = ∫cosech²vdv = cotgh(v) + C = 
cotgh(lnx) + C... 
Neste caso, podemos até desenvolver um pouco mais! 
 
8). ∫ 
 
 
Solução: 
Inicialmente, consideremos x ≠ 1 (por quê?) 
Como o numerador tem grau maior que o denominador, 
vamos dividir polinômios. 
Obs.: Caso precisemos, podemos usar a soma de integrais. 
Neste caso em particular, lembrar produtos notáveis: x³ + 
1 = x³ + 1³. 
~ 160 ~
160 
 
Como a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²), segue-se que x³ + 1 
= (x + 1)(x²  x + 1). 
Por conseguinte, (x³ + 1)/(x + 1) = x²  x + 1. 
Logo a integral fica: ∫( x²  x + 1)dx = x³/3 – x²/2 + x + C 
 
9).  
22 n x
dx;
x(1 nx)

 
Solução: 
Aparecendo lnx no integrando e x no denominador... fa-
zemos z = lnx e dz = dx/x. 
Assim a integral fica: ∫ 
 . 
Estratégias: 
i. Dividir polinômios. 
ii. Mexer com a expressão: notemos que 2 – z² = 1 + 
(1 – z²) = 
1 + (1 – z)(1 + z). 
Daí, 2 – z² ao ser dividido por 1 + z equivale a: ( )( ) 
Comparemos o resultado obtido em cada uma das estraté-
gias... é o mesmo! 
Assim, a integral resulta em ln|1 + z| + z – z²/2 + C 
= ln|1 + lnx| + lnx – (lnx)²/2 + C 
 
10). ;dx
2x2x
1x
2 

 
Solução: 
Notemos que x²  2x + 2 = x²  2x + 1 + 1 = (x – 1)² + 1. 
Fazendo z = x – 1, temos que dz = dx. 
Daí, ∫ 
 ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ 
 
 
~ 161 ~
161 
 
Obs.: Acrescentaremos “C” só no final... 
A integral da direita do “+” é 2.arctgz = 2.arctg(x – 1). 
Já a da esquerda, se u = z² + 1, então du = 2zdz e ficamos 
com ∫du/2u = ´.ln|u| 
Voltando para z: ½.ln|z² + 1| - o módulo pode ser reti-
rado... por qual motivo? 
Voltando para x: ½.ln|(x – 1)² + 1| = ½.ln|x²  2x + 2| 
Por fim, ½.ln|x²  2x + 2| + 2.arctg(x – 1) + C 
 
11). dx
e x2 12 
 ;
 
 
Solução: 
Vamos desenvolver... 
∫
 
√ 
 
 ∫ √ ( ) ( ) ∫
 
√ ( ) 
 
 ∫ 
√ ( ) 
 
Diante da composição mais interna, seja u = ex, por con-
seguinte, du = exdx. 
Assim, ∫ 
√ 
 
Faremos agora substituição trigonométrica: u = √ . 
Com efeito, 2 – u² = 2 – 2sen²v = 2cos²v. 
Além disso, du = √ 
Por conseguinte, 
 ∫ √ 
√ ∫ . √ / 
 .
 
√ 
/ 
~ 162 ~
162 
 
12). dx
x x56 
 ;
 
 
Solução: 
Como há raiz quadrada e raiz sexta e o m.m.c. entre “2” e 
“6” é “6”, seja x = z6. 
Por conseguinte, dx = 6z5dz. 
Daí, 
 ∫ 
 
√( ) √ ∫ ∫ ∫ . 
 
 / ( ) 
 
Lembrando que fizemos divisão de polinômios, ou, de ma-
neira equivalente, reescrevemos o numerador como z² + 1 – 1. 
Voltando para a variável x... ( √ √ ) . 
 
~ 163 ~
163 
 
 
 
 
 
Integrais impróprias são integrais sendo que um dos limi-
tes de integração é ∞ ou +∞ ou quando há valores de descon-
tinuidade da função dentro do limite de integração. Várias são 
suas aplicações, conforme apresentadas em breve. 
Como estratégia: fazer mudança para tornar a integral definida! 
Exemplos: ∫ 
 
 ∫ ou como 
no caso abaixo: 
 
Motivação: 
Astrônomos usam uma técnica chamada estereografia estelar 
para determinar a densidade de estrelas em um aglomerado estelar 
a partir da densidade (bidimensional) observada, que pode ser ana-
lisada a partir de fotografia. Suponha que em um aglomerado esfé-
rico de raio R a densidade de estrelas dependa somente da distância 
x do centro do aglomerado. Se a densidade estelar aparente for 
dada por y(a), onde “a” é a distância planar observada do centro do 
aglomerado e f(x) é a densidade real, então pode ser mostrado que: 
 ( ) ∫ 
√ 
 
 
 ( ) 
 
Ache a densidade aparente se a densidade real for 
f(x) = (R – x)²/2. 
~ 164 ~
164 
 
Solução: 
ERRO: NÃO CONSIDERAR INTEGRAL IMPRÓ-
RIA, porque x > a. 
Queremos: ∫ 
√ 
 
 
 
( ) 
 
 . Notem que é uma integral 
imprópria. Com efeito, o domínio tem que satisfazer: x²  a² > 0. Ou seja, 
x < a (desconsiderado!!!) ou x > a 
Desta feita, “excluímos” o valor de “a” substituindo-o por “b”. As-
sim, a integral fica própria. O resultado final será em função de b. Por fim, 
basta fazer b  a por valores maiores que “a”: 
 ( ) 
 ∫ ( ) √ 
Inicialmente, resolver a integral indefinida. 
Estratégias: ou desenvolver o produto notável e, em seguida, usar o 
fato de que a integral da soma é a soma das integrais, ou substituição trigo-
nométrica. Lembrando que, por ser integral definida, as constantes em cada 
caso serão desconsideradas (Por quê?) 
Neste segundo caso, seja x = a.sect. 
Daí, x²  a² = a²sec²t – a² = a²(sec²t – 1) = a².tg²t. 
E, dx = a.sect.tgt.dt 
Por conseguinte, 
 
∫
 ( ) 
√ ∫ ( ) 
 
Simplificando e desenvolvendo, temos: 
 ∫ ( ) 
Usando o fato de que a integral da soma é a soma das integrais, e, 
para melhor compreensão , isolando cada integral a ser calculada, temos: 
Caso I: ∫ 
Caso II: ∫ 
 
 ( | |) 
~ 165 ~
165 
 
Caso III: ∫ ∫( ) 
 
 
Neste caso, usamos o fato de uma das sec²t ser 1 + tg²t, pelo motivo 
de conhecermos a derivada de tgt. 
Daí, (∫ ∫( ) ) 
. 
 
/ 
Fizemos a seguinte substituição “mental” u = tgt .: du = sec²tdt, fi-
cando com a integral de u²... 
Agora, retornar para variável x: 
Como x = a.sect, temos sect. = x/a e, de sec²t = 1 + tg²t, temos, 
considerando a raiz positiva (por quê?): 
 √ √ 
 √ 
Logo, cada caso fica: 
Caso I: √ 
 
 √ 
 
Caso II: ( √ 
 | √ |* 
 
Caso III √ 
 
 ( 4√ 5 
 
, √ . 
 / 
 
Optamos por não desenvolver mais, antes de aplicar limites de inte-
gração, por crermos que fica mais fácil a visualização de alguns “cortes”! 
 
De ∫ ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ), bem 
como, fazendo b aproximar-se de a por valores maiores que a, isto é “b  
a+” temos que b²  a²  0. Não esquecendo que ln1 = 0. Por conseguinte, 
√ 4 5 | √ | 
~ 166 ~
166 
 
Ou seja, reorganizando: 
√ 4 5 | √ | 
 
2ª. Questão 
Encontre o comprimento de arco de (a) x2/3 + y2/3 = 1 de (0, 1) a (1, 0). 
Solução: 
Como ∫ √ , ( )- 
 
 , segue-se: 
i. x2/3 + y2/3 = 1. Derivando ambos os membros da 
igualdade em relação à variável x, 
 
 
 
 
 
 , é claro, desde que y seja diferente 
de zero! 
ii. ( ) 4 
 
 
 
 
5
 
 , usando propriedades das 
potências. 
iii. ( ) 
 , desde que 
x ≠ 0. 
iv. √ ( ) √ 
 
v. ∫ √ , ( )- 
 
 ∫ 
 
 ∫ 
vi. 0 1 0 1 – inte-
gral imprópria. 
 
 
3ª. Questão: 
Calcule ∫. 
Solução: 
~ 167 ~
167 
 
∫ 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
, - 
 
, - 
 
4ª. Questão: 
Quando queremos calcular a área da superfície de um sólido de revo-
lução em um intervalo [a, b], com f(x) ≥ 0, usamos: 
 ∫ ( ) √ , ( )- 
 
 . 
Deduza a área de: (A) um cone circular reto. (B) uma esfera 
Solução: 
Faremos item (b). 
Usaremos simetria considerando x² + y² = R², com x ≥ 0 
e y ≥ 0. O resultado final será multiplicado por dois. Vide a dedu-
ção do volume da esfera. 
 
 ∫ ( ) √ , ( )- 
 
 ⏞ ∫ √ ( ) 
 
 
 
Onde (*) tem os seguintes procedimentos: 
i. Derivação implícita: (x² + y²)‟ = (R²)‟ 
 2x + 2y.y‟ = 0  y‟ = x/y. 
ii. (y‟)² = x²/y² 
iii. , ( )- 
 
desde que y ≠ 0. 
iv. √ , ( )- √ 
 
v. ( ) √ , ( )- 
√ , ( )- desde que y ≠ 0. 
 
Ora, y ≠ 0 se, e somente se, x ≠ R. 
 
 
∫ 
 
, - 
 
 
, - 
~ 168 ~
168 
 
 
 
 
 
Nesta última etapa, faremos uma revisão geral daquilo que 
aprendemos. Alguma novidade será inserida. 
 
1ª. Questão: 
Fazer um esboço do gráfico de ( ) . 
Solução: 
Apresentaremos o segundo caso das Regras L‟Hopital. 
Só podemos usar diretamente se tivermos 
 
 
 
. 
Lembrando que para esboçar o gráfico de uma função 
precisamos realizar os seguintes procedimentos: (1) Encontrar 
seu domínio; (2) Analisar o que ocorre com a função nos extre-
mos de seu domínio; (3) Determinar intervalos de crescimento 
ou decrescimento e (4) Intervalos com concavidade para cima 
ou para baixo. 
(1) Domínio: - ,. 
(2) Extremos: (pois algo muito gran-
de, positivamente, elevado a outro valor também muito grande, 
só pode resultar em algo muitíssimo grande). 
 
Já, que é indeterminação! Com efeito, 
se k > 0, segue-se que 0k = 0 e k0 = 1. É indeterminação porque 
não é possível determinar a priori qual valor da expressão. 
~ 169 ~
169 
 
E agora? Diretamente não podemos usar L‟Hopital. Te-
mos uma potência! Por sua vez, há uma função que transforma 
potência em produto (e do produto já sabemos gerar quocien-
te)... 
Seja z = xx. Assim, aplicando “ln” em ambos os membros 
da igualdade, temos: lnz = lnxx = x.lnx. Ou, de maneira equiva-
lente, . 
Assim, 
 
 ( *. 
Por conseguinte, basta calcular 
 
 
 
 
 
 
 ⏞ 
 
 
 
 
 
 . Usamos inicialmente 
divisão de frações (1/x) por (-1/x²), simplificamos e chegamos 
ao resultado. Favor verificar contas! 
 
Deste modo, . 
Cuidado! Tivemos um exemplo tal que 00 = 1. Em breve faremos 
outros exercícios que resultarão em valores distintos do “1”. 
 
(3) Intervalos onde função cresce ou decresce. 
Precisamos analisar a derivada primeira. Usaremos 
 ( ) . 
Lembrar que (eu)‟ = eu.u‟ se u = u(x). 
Assim, ( ) ( ) ,( ) ( ) - 
Daí, ( ) 0 
 
1 ( ). 
Fazendo f‟(x) = 0, segue-se que 1 + lnx = 0  lnx = –1 
 x = e-1. 
Se 0 < x < e-1  supor x = e-2, daí, 1 + lnx = 1 + lne-2 = 1 – 
2 = –1. Logo, a função é decrescente neste intervalo. Obs.: eu > 0 qual-
quer u... 
Se x > e-1  supor x = 1, daí, 1 + lnx = 1 + ln1 = 1 + 0 = 
1. Logo, a função é crescente neste intervalo. 
~ 170 ~
170 
 
(4) Concavidade está associada a derivada segunda. 
Como ( ) ( ) 
Segue-se que ( ) ( ) ( ) ( ) 
Desenvolvendo, ( ) ( ) ( ) 
 
 
Organizando, ( ) 0( ) 
 
1. 
Notar que f‟‟(x) > 0 para x > 0. Ou seja, concavidade 
sempre para cima. 
Por fim, favor construir o gráfico... dica: para parte de uma pará-
bola. 
 
2ª. Questão 
Calcule 
 
 
 
 ( ) . 
Solução: 
Repare que, ao substituirmos a variável pelo valor a qual 
ela tende, obtemos 0∞. 
Também é indeterminação. Por quê? 
Reescrevendo o limite, 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 | | 
 
Ou seja, calcular 
 
 
 
 | | que será o ex-
poente de “e”. 
Assim, 
 
 
 
 | | 
 
 
 
 
 | |
 
 
 
Lembrando: tgx = 1/(1/tgx) = 1/cotgx. 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 | |
 
 ⏞ 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 ⏞ ( ) 
~ 171 ~
171 
 
Usando mais uma vez a regra de L‟Hopital: 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 
Daí, 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )
 
 
 
 . 
 
Finalmente, no limite, temos: e∞  0. 
 
3ª. Questão: 
Calcule as integrais: 
a) ∫
√ 
 
 
 
 
b) ∫√ 
c) ∫√ 
d) ∫ 
 
e) ∫ 
 
f) ∫ 
√ 
Solução: 
UMA Solução: 
Item (a): ∫
√ 
 
 
 
 
 
Note que podemos reescrever a integral explicitando 
composição: 
∫
. 
 
 /
 
 
Seja q = 1 – 1/x = 1 – x-1.: dq = x-2dx 
∫
. 
 
 /
 
 ∫( * ∫ 
 
~ 172 ~
172 
 
Organizando e voltando... ( * 
 
Para as integrais dos itens (b) e (c), vamos mexer na “es-
sência”: 
9x² + 6x = (3x)² + 2.(3x).1 
9x² + 6x = (3x)² + 2.(3x).1 + 1²  1² 
9x² + 6x = (3x + 1)²  1. 
Assim, 
∫√ ∫√( ) 
 
Ou faz mudança inicial para visualizar substituição ou vai 
“direto”: secy = 3x + 1. 
Com efeito, (3x + 1)²  1 = sec²y – 1 = tg²y. 
Não obstante, derivando x em relação y, dx = 
(1/3)secy.tgy.dy 
Assim, 
∫√( ) ∫ 
 
 
 
∫ 
 
Organizando, secy.tg²y = secy.(sec²y – 1) = sec³y – secy. 
Já sabemos, 
∫ | | 
∫ ( | |) 
Agora, é só organizar. 
∫√ ∫√,( ) - ∫√( ) 
 
~ 173 ~
173 
 
Ou faz mudança inicial para visualizar substituição ou vai 
“direto”: 3x + 1 = tgy 
Com efeito, (3x + 1)² + 1 = tg²y + 1 = sec²y. 
Não obstante, derivando x em relação y, dx = 
(1/3)sec²y.dy 
Assim, 
∫√( ) ∫ 
 
 
 
∫ 
... 
Para as integrais dos itens (d) e (e), vamos mexer na “es-
sência”: 
25x² + 20x = (5x)² + 2.(5x).2 = (5x)² + 2.(5x).2 + 2²  2² 
= (5x + 2)²  4. 
Assim, 
25x² + 20x + 5 = (5x + 2)²  4 + 5 = (5x + 2)² +1 
25x² + 20x + 3 = (5x + 2)²  4 + 3 = (5x + 2)²  1. 
Fazendo z = 5x + 2... dz = 5dx 
Daí, (1/5)arctgz + C e (1/5)argtghz + C (é só organizar!) 
 
∫
 
√ ∫ √ ∫ √ 
 
Para a primeira faça u = 1 – x². Para a segunda, considere 
z = arcsenx... 
∫
 
√ ∫( ) √ 
 
∫
 
√ ∫ 
 
Outra ideia, considere x = senb – motivada a mudança pe-
la raiz quadrada do denominador. 
1 – x² = 1 – sen²b = cos²b. 
E, dx = cosb.db 
~ 174 ~
174 
 
Não obstante, b = arcsenx 
∫
 
√ ∫ ∫( ) 
Voltando... segue resultado! 
 
4ª. Questão 
Obter área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x de 
 
 com y > 0 e 0 < a < b. 
Solução: 
Sabemos que a área de superfície de revolução é dada por: ∫ ( ) √ , ( )- 
 
 
 
Podemos optar por derivar explícita ou implicitamente. 
Note que b²x² + a²y² = a²b² é expressão equivalente 
(mais fácil de ser manipulada) 
Derivando em relação à variável x, 2b²x + 2a²y.y‟ = 0 .: 
 
 
 
 
 
 
Assim, 1 + (y‟)² = . 
 /Deste modo, √ ( ) √ 
 √ 
 
Vamos mexer com a4y² + b4x². 
De b²x² + a²y² = a²b² , segue-se que a²y² = a²b² - b²x². 
Assim, a4y² = a²(a²y²) = a²(a²b²  b²x²) = b²(a4  a²x²). 
Por conseguinte, a4y² + b4x² = b²(a4  a²x²) + b4x² = b²[a4 
+ (b²  a²)x²] 
Logo, 
~ 175 ~
175 
 
√ 
 √( ) ( ) 
 
Considerando c² = b²  a². 
Organizamos para visualizar constante mais (+) variável 
ao quadrado... ∫ ( ) √ , ( )- 
 
 , ( ) ( )- 
 
Onde, 
 ( ) ∫ √ ( ) ∫ √( ) ( ) 
 
 
Organizando, 
 ( ) 
 ∫√( ) ( ) 
 
Há uma raiz quadrada... como dispomos de tabelas, subs-
tituição trigonométrica. 
Seja cx = a²tgq. 
Com efeito, a4 + (cx)² = a4 +a4tg²q = a4sec²q 
E, 
√( ) ( ) √ 
 
Não obstante, 
 
 
 
 
 
Assim, 
 ( ) 
 ∫√( ) ( ) 
Fica, 
~ 176 ~
176 
 
 
 ∫ ∫ 
 
Ou seja, 
 
 
[
 ( | |)] 
Desconsiderando constante... (alguém recorda o motivo?) 
Retornando para variável x, sabendo que: 
1. √( ) , - 
 
2. 
 
 
Ou seja, 
 ( ) (√( ) ( ) |√( ) ( ) |+ 
 
Percebam que g(0) = 0 (verifiquem! Não esquecendo que ln1 = 0...) 
Finalmente, , ( ) ( )- 
√ [√( ) ( ) |√( ) ( ) 
 |] 
Isto é, 
 
√ [√ ( ) √ |√ ( ) √ |] 
 
Lembrar que c² = b²  a², logo, b² = a² + c² 
 
√ [ √ | √ |] 
 
 
~ 177 ~
177 
 
5ª. Questão 
Muitos problemas nas engenharias estão atrelados às equações dife-
renciais. Uma estratégia para resolução é usar a Transformada de Laplace, 
a qual é definida como a integral (quando converge): 
 * ( )+ ∫ ( ) 
 
 
Com t ≥ 0 e “s” é parâmetro a ser determinado. 
Encontre: (a) L{1}; (b) L{t} e (c) L{sent}. 
Solução: 
Item (a) 
 * + ∫ ( ) 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
[ 
 
 
 ]
 
 
 
Note que se s < 0, então bs  ∞ e o limite diverge. As-
sim, seja s > 0. E, bs  0. Por conseguinte: 
 
0 
 
 
 1
 
 
 
0 
 
 
 
 
1
 
 
 
 
 
Item (b), com s > 0 pelos mesmos argumentos do item 
anterior. 
 * + ∫ ( ) 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
[ 
 
 
 ( 
 
*]
 
 
 
 
Com efeito, ∫ 
 
 . 
 
 
/ com k = s. 
Organizando o limite, recordando que , ( )- ( ) ( ) 
 
[ 
 
 
 ( 
 
*]
 
 
 
[ 
 
 
 ( 
 
* 
 ] [ 
 ] 
Entendendo: reorganizamos o produto, transformando-o 
em um quociente para fazer uso de L‟Hopital. 
 
~ 178 ~
178 
 
Item (c) 
 * + ∫ ( ) 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
, ( ) ( )- 
Como esta integral é um pouco mais cheia de detalhes, 
dado que 
∫ 
 ( ) 
 
No caso, a = s. 
Assim, desconsiderando constante em virtude da integral 
definida. 
 ( ) 
 ,( ) - 
Daí, g(0) = 
 pois sen0 = 0 e cos0 = 1. 
E, 
 
 ( ) 
 
 
 ,( ) - 
Usando o seguinte resultado: Se h(x) é limitada (no caso, 
funções trigonométricas seno e cosseno são limitadas) e p(x)  0 (no 
caso, tende para zero, com s > 0), então h(x).p(x)  0 
Logo, L{sent} = 1/(1 + s²) 
 
 
 
 
~ 179 ~
179 
 
 
 
 
 
 
ANTON, H. et al. Cálculo 1. 8ª Ed. Porto Alegre: Bookman, 
2007. 
 
BARBOSA, C. Cálculo diferencial e integral I. Fortaleza: 
Realce, 2007. 
 
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica 1. 3ª Ed. 
Rio de Janeiro: Harbra, 2003. 
 
LIMA, E. L. Curso de análise 1. 13ª Ed. Rio de Janeiro: IMPA, 
2011. 
 
MALTA, I; PESCO, S; LOPES, H. Cálculo a uma variável: 
derivada e integral. V.2. 1ª. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015. 
 
STEWART, J. Cálculo 1. 6ª Ed. São Paulo: Cengage, 2010. 
 
 
 
 
 
 
 
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