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IVO BARBI TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO d q EDIÇÃO DO AUTOR CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA 1.1 INTRODUÇÃO Este capítulo pode ser considerado introdutório. Nele são estabelecidos os princípios sobre os quais serão desenvolvidos os capítulos seguintes. Serão modelados alguns sistemas simples, nos quais ocorre transformação de energia elétrica em mecânica ou vice-versa. O estudo desses sistemas permitirão estabelecer os princípios básicos que explicam os fenômenos associados à conversão eletromecânica de energia. Os resultados obtidos serão genéricos e serão empregados no desenvolvimento dos demais capítulos, nos quais serão estabelecidos os modelos da máquina de indução. As máquinas cuja conversão eletromecânica de energia dependa da presença de campos elétricos serão excluídas deste texto, visto que não apresentam interesse para o estudo da máquina de indução. 1.2 CIRCUITO R - L Consideremos a Fig. 1.1. Nela está representado um sistema constituído por uma bobina enrolada sobre um bastão de material magnético. Na Fig. 1.2 está representado o circuito equivalente do sistema. Nela aparece a indutância da bobina e a resistência do fio. 2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com v Fig. 1.1 – Circuito magnético simples. L v R i + - vR + -vL Fig. 1.2 – Circuito elétrico equivalente. Empregando a teoria de circuitos elétricos, pode-se estabelecer as equações (1.1) e (1.2) que relacionam as tensões e a corrente do circuito. R Lv v v= + (1.1) div Ri L dt = + (1.2) Multiplicando-se todos os membros da equação (1.2) por i, obtém-se a equação (1.3) 2 div i Ri Li dt = + (1.3) mas 21d Li di 2Li dt dt = (1.4) Assim 2 2 1d Li 2vi Ri dt = + (1.5) Na expressão (1.5) tem-se as seguintes grandezas: Vi → potência instantânea fornecida pela fonte ao circuito; TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 3 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 2Ri → potência instantânea dissipada na resistência do circuito; 2Li 2 1 → energia instantânea armazenada no campo magnético; 21d Li 2 dt → velocidade instantânea de crescimento da energia no campo magnético. Esta grandeza tem a dimensão de potência. É preciso ter em mente que no sistema apresentado na Fig. 1.1, não existe conversão eletromecânica de energia. Toda energia fornecida pela fonte é transformada em calor e acumulada no campo magnético. Neste caso, somente a equação (1.5) representa o comportamento do sistema apresentado. 1.3 MÁQUINA ELEMENTAR A DESLOCAMENTO LINEAR Considerando-se a Fig. 1.3, semelhante a Fig. 1.1, mas com uma diferença fundamental: possibilidade de haver movimento relativo entre a bobina e o seu núcleo. Desta forma existe a possibilidade de variação do valor da indutância. A indutância da bobina é função de x, posição relativa entre ela e o seu núcleo. v x i L(x) Fig. 1.3 – Circuito magnético sujeito a uma força mecânica externa. L(x) v R i + - vR + -vL Fig. 1.4 – Circuito elétrico equivalente. 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com O circuito equivalente encontra-se representado na Fig. 1.4. Empregando-se a teoria de circuitos elétricos, obtém-se a expressão (1.6) R Lv v v= + (1.6) dv Ri dt φ= + (1.7) ( )ixL=φ (1.8) Assim: ( )( )d L x i v Ri dt = + (1.9) como L(x) e i são variáveis, obtém-se: ( ) ( )dL xdiv Ri L x i dt dt = + + (1.10) Multiplicando-se todos os membros da expressão (1.10) por i obtém-se a expressão (1.11) ( ) ( )2 2 dL xdivi = Ri + L x i + i dt dt (1.11) ( ) ( ) ( ) 2 2 1d L x i dL xdi 12 = L x i + i dt dt 2 dt (1.12) ( ) ( ) ( )2 2 1d L x i dL xdi 12L x i = - i dt dt 2 dt (1.13) Levando-se a expressão (1.13) na expressão (1.11) obtém-se a expressão (1.14): TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 5 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com ( ) ( ) ( )22 2 2 1d L x i dL x dL x12vi = Ri + - i + i dt 2 dt dt (1.14) Assim: ( ) ( ) 2 2 2 L x i d 2 dL x1vi = Ri + + i dt 2 dt (1.15) Observamos que a expressão (1.15) possui o termo ( ) dt xdLi 2 1 2 a mais em relação a expressão (1.5). Esse termo existe como conseqüência da variação da indutância do sistema e representa a diferença entre a potência fornecida pela fonte e as potências dissipadas na resistência do circuito e armazenada no campo magnético. Assim: ( ) ( ) 2 2 2 1d L x idL x1 2i = vi - Ri + 2 dt dt (1.16) Este termo corresponde à potência elétrica convertida em potência mecânica. Portanto: ( ) dt xdLi 2 1 dt dxFP 2cme == (1.17) ( ) ( )dL x dL x dx= dt dx dt (1.18) Assim: ( )2 dL x1F = i 2 dx (1.19) A expressão (1.19) é muito importante e estabelece o princípio básico da conversão eletromecânica de energia. Estabelece que uma força é produzida quando a 6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com indutância é variável com o deslocamento. Este princípio explica o funcionamento de todos os sistemas nos quais ocorre conversão eletromecânica de energia. O sistema representado na Fig. 1.1 possui uma só variável dependente, a corrente do circuito. Por isto o seu comportamento é representado apenas pela expressão (1.2). O sistema representado na Fig. 1.3 possui duas variáveis dependentes, a corrente e a posição relativa entre o núcleo e a bobina. Por esta razão a equação (1.10) não basta para representar o seu comportamento. Deve-se obter a equação mecânica do sistema para completar o modelo. Considerando-se a Fig. 1.5 v x i L(x)R F F F F i e a Fig. 1.5 – Circuito magnético simples com possibilidade de deslocamento do núcleo. dt dxDFa = ⇒ é a força de atrito. 2 2 i dt xdmF = ⇒ é a força de inércia. eF ⇒ é a força externa aplicada sobre o núcleo ( )2 dL x1F = i 2 dx ⇒ é a força elétrica. O equilíbrio mecânico estabelece que: aie FFFF ++= (1.20) Reunindo-se as equações elétrica e mecânica, obtém-se o modelo completo representado pelas equações (1.21) e (1.22): TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 7 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com ( ) 22 e2dL x1 dx d xi - D - m = F2 dx dt dt (1.21) ( ) ( ) V dt xdLi dt dixLRi =++ (1.22) Como entradas ou variáveis independentes temos a tensão e a força externa. Como saídas ou variáveis dependentes temos a posição relativa x e a corrente i. Como parâmetros do sistema temos o coeficiente de atrito D, a massa do núcleo m, a resistência da bobina R e a sua indutância L(x). Podemos representar o sistema de acordo com a Fig. 1.6. - Parâmetros - Modelo SISTEMAv(t) Fe(t) x(t) i(t) Fig. 1.6 – Representação por bloco do sistema de equações. O sistema estudado, com a sua aparente simplicidade é representado por um modelo relativamente complexo, na medida em que é não-linear e de difícil, senão impossível, tratamento analítico. 1.4 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM UM ROLAMENTO. TORQUE DE RELUTÂNCIA Consideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.7: 8 CAPÍTULO 1.INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com R L( ) Rotor 0 d q θ θ + - v Fig. 1.7 – Representação da máquina elétrica elementar de um enrolamento. O rotor desta máquina elementar pode girar em torno do eixo “O”. Quando o rotor se desloca em relação à bobina, a indutância da bobina L(θ) varia. Por analogia com o sistema apresentado na Fig. 1.5, podemos obter a equação elétrica do sistema, representado pela expressão (1.23): ( ) ( ) dt dLi dt diLRiV θ+θ+= (1.23) Do mesmo modo podemos estabelecer a expressão do torque elétrico produzido pelo sistema ( ) dt dLi 2 1 dt dTP 2mec θ=θ= (1.24) Assim: ( )2 dLd 1 dT = i dt 2 d dt θθ θ θ (1.25) Portanto: ( )2 dL1T = i 2 d θ θ (1.26) A expressão (1.26) estabelece uma relação entre o torque produzido sobre o rotor e a variação da indutância própria do enrolamento. É preciso enfatizar que para o TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 9 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com sistema apresentado, o torque depende da variação da indutância própria do enrolamento. A variação da indutância é decorrente da variação da relutância segundo o eixo da bobina, com o deslocamento angular do rotor. Por isto é denominado torque de relutância. Analisando-se a variação da indutância própria da bobina com a posição, constata-se que ela assume valores máximos quando θ é igual a 0o e 180o, assume valores mínimos quando θ é igual a 90o e 270o. Pode-se representar ( )θL de acordo com a Fig. 1.8: 90 135 1800 270 2 Lm L0 45 L( ) θ θ Lq Ld Fig. 1.8 – Variação da indutância própria da bobina em função do ângulo θ. Tal função pode geralmente ser representada com boa precisão pela expressão (1.27): ( ) 0m L2cosLL +θ=θ (1.27) Neste caso, em que a função L ( )θ é conhecida, a expressão do torque pode ser obtida numa forma mais adequada ao uso. Levando-se a expressão (1.27) em (1.26) obtém-se a expressão (1.28): ( )0m2 L2cosLdt di 2 1T +θ= (1.28) Assim, em módulo: θ= 2seniLT 2m (1.29) 10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com De acordo com a Fig. 1.8, as indutâncias de eixo direto e quadratura assumem os valores representados pelas expressões (1.30) e (1.31): m0d LLL += (1.30) m0q LLL +−=− (1.31) Assim: 2 LL L qdm −= (1.32) ( ) θ−= seni 2 LL T 2qd (1.33) A expressão (1.33) traduz o fato de que o torque só existe na medida em que as indutâncias de eixo direto e quadratura sejam diferentes. Pode-se ainda representar a expressão do torque em função da relutância de eixo direto e quadratura, Rd e Rq. Sabe-se que: d 2 d R nL = (1.34) q 2 q R nL = (1.35) onde n representa o número de espiras da bobina. Assim: θ⋅ −= 2seni R 1 R 1 2 nT 2 qd 2 (1.36) Deste modo: θ⋅ ⋅ −= 2seni RR RR 2 nT 2 qd dq 2 (1.37) Se o rotor for cilíndrico, tem-se que Rd = Rq e o torque produzido é nulo. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 11 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Resta-nos ainda representar o modelo completo da máquina elementar representada na Fig. 1.7. A equação mecânica é representada pela expressão (1.38): iea TTTT ++= (1.38) Assim, o modelo completo fica representado pelas equações (1.39) e (1.40). ( ) 22 e2dL1 d di - D - J = T2 d dt dt θ θ θ θ (1.39) ( ) ( )dLdiRi + L + i = v dt dt θθ (1.40) A representação do sistema em bloco aparece na Fig. 1.9. MÁQUINA v(t) Te(t) i(t) ELEMENTAR (t)θ Fig. 1.9 – Representação de máquina elementar de um enrolamento com as variáveis de entrada e saída. A tensão de alimentação e o torque externo de carga são variáveis independentes. A corrente e a posição angular são as variáveis dependentes. O princípio aqui exposto é de grande importância prática. Basta lembrar o elevado número de equipamentos que nele se baseiam: motores a relutância, instrumentos de medição do tipo ferro móvel, etc. 1.5 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS. TORQUE DE EXCITAÇÃO Considerando a máquina elementar representada na Fig. 1.10. Admitindo que os dois enrolamentos S e R estejam situados sobre peças cilíndricas de sorte que as 12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com suas indutâncias próprias sejam independentes da posição. Em tal estrutura, somente a indutância mútua entre os dois enrolamentos depende da posição. S R v + - S vR + - i S iR θ Fig. 1.10 – Representação física de máquina elementar relativa de dois enrolamentos. As equações elétricas deste sistema, estabelecidas por inspeção estão representadas a seguir: ( ) ( )( )SR RS SS S S d M id L iv = R i + +dt dt θ (1.41) ( ) ( )( )SR SR RR R R d M id L iv = R i + +dt dt θ (1.42) LS e LR são as indutâncias próprias. MSR é a indutância mútua existente entre os enrolamentos. Desenvolvendo-se as expressões (1.41) e (1.42), obtém-se as expressões (1.43) e (1.44). ( ) ( )SRS RS S S S R SRdMdi div = R i + L + i + Mdt dt dt θ θ (1.43) ( ) ( )SR SRR R R R S SRdM didiv = R i + L + i + Mdt dt dt θ θ (1.44) Multiplicando-se a expressão (1.43) por iS e (1.44) por iR, obtém-se as expressões (1.45) e (1.46). TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 13 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com ( ) ( )2 SRS RS S S S S S S R S SR SdMdi diP = v i = R i + L i + i i + M idt dt dt θ θ (1.45) ( ) ( )2 SR SRR R R R R R R S R SR RdM didiP = v i = R i + L i + i i + M idt dt dt θ θ (1.46) PS e PR representam as potências instantâneas fornecidas pelas fontes dos enrolamentos. A potência total será: SR PPP += (1.47) Assim: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 SRS R S S S S R S SR S 2 SR SR R R R R S R SR R dMdi diP = R i + L i + i i + M i + dt dt dt dM didi+R i + L i + i i + M i dt dt dt θ θ θ θ (1.48) Sabemos que: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 S S R R SR S R SRS SR R S S R R SR S SR R S R d 1 1L i + L i + M i i = dt 2 2 dMdi didi di= L i + L i + M i + M i + i i dt dt dt dt dt θ θθ θ (1.49) Portanto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SRS SR R S S R R SR S SR R S R 2 2 S S R R SR S R SR S R dMdi didi diL i + L i + M i + M i + 2i i = dt dt dt dt dt 1 1d L i + L i + M i i dM2 2= + i i dt dt θθ θ θ θ (1.50) Portanto a potência total passa a ser representada pela expressão (1.51): ( ) ( ) 2 2 S S R R SR S R 2 2 SR S S R R S R 1 1d L i + L i + M i idM 2 2P = R i + R i + i i + dt dt θ θ (1.51) 14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Seja: 2 2r S S R RP =R i +R i (1.52) ( )2 2S S R R SR S R L 1 1d L i + L i + M i i 2 2P = dt θ (1.53) rP representa a potência dissipada nos resistores. LP representa a potência acumulada no campo magnético. Assim: ( )SRmec S RdMP = i idt θ (1.54) mecP representa a quantidade de potência elétrica convertida em potência mecânica. Isto decorre do fato que a potência fornecida é igual à potência dissipada, mais a potência acumulada, mais a potência convertida. Por outro lado: dt dTPmec θ= (1.55) Assim: ( )SR S RdMd dT = i idt d dt θθ θ θ (1.56) Então a expressãodo torque será: ( )SRS R dMT = i i d θ θ (1.57) A expressão (1.57) traduz o fato de que há torque eletromagnético se a indutância mútua variar com o deslocamento angular. O torque originado pela variação de indutância mútua é denominado torque de excitação. É ele que explica o funcionamento da maior parte das máquinas elétricas, TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 15 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com como o motor de indução, o motor síncrono com excitação e o motor de corrente contínua. A indutância mútua entre os enrolamentos representados na Fig. 1.10, pode ser estabelecida de diversas maneiras. A simples inspeção indica que ela é máxima para θ = 0 , nula para θ = π/2 e θ = 3π/2 e mínima para θ = π. A sua variação pode então ser representada graficamente segundo Fig. 1.11. 3 2 M π 2 π π2 π 0 θ M ( )SR θ Fig. 1.11 – Variação da indutância mútua entre os enrolamentos em função de θ. É possível representá-la com boa precisão pela expressão (1.58). ( ) θ=θ cosMM 0SR (1.58) Portanto o torque, em módulo, fica representado pela expressão (1.59). θ= seniiMT RS0 (1.59) A representação gráfica é mostrada na Fig. 1.12: 2 M i i π 2 π π32 π 0 θ T R S Fig. 1.12 – Variação do torque em função do ângulo θ. 16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Com as informações até aqui conseguidas, podemos estabelecer o modelo completo do sistema em questão. Basta para isto agrupar as equações elétrica e mecânica. Seja: iae TTTT ++= (1.60) Assim o modelo completo é representado pelas expressões (1.61), (1.62) e (1.63): ( ) 2SRe S R 2dM d dT = i i - D - Jd dt dt θ θ θ θ (1.61) ( ) ( )SRS RS S S S R SRdMdi div = R i + L + i + Mdt dt dt θ θ (1.62) ( ) ( )SR SRR R R R S SRdM didiv = R i + L + i + Mdt dt dt θ θ (1.63) A máquina possui como variáveis independentes, vS, vR e Te. Como variáveis dependentes as correntes iS , iR e o deslocamento angular θ. A representação em bloco está mostrada na Fig. 1.13. MÁQUINA v (t) Te(t) v (t) S R i (t) (t)θ i (t) S R Fig. 1.13 – Representação da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos com as variáveis de entrada e saída. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 17 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 1.6 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS. ROTOR COM PÓLOS SALIENTES Consideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.14. A indutância própria do enrolamento estatórico e a mútua entre os dois enrolamentos dependem do ângulo θ . + - + - v S v R i S i R θ Fig. 1.14 – Representação física da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos de pólos salientes. Como já foi demonstrado, o torque de excitação é obtido pela expressão (1.64): ( )SRexc S R dMT = i i d θ θ (1.64) O torque de relutância é representado pela expressão (1.65): ( )2R S dL1T = i2 d θ θ (1.65) O torque total produzido pela máquina será a soma dos torques de relutância e de excitação. É representado pela expressão (1.66): ( ) ( )2 S SRS S RdL dM1T = i + i i2 d d θ θ θ θ (1.66) Considerando a variação de LS e MSR em função de θ representada pelas expressões (1.67) e (1.68): 18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com ( ) 2θ 0s ML θ =L cos +L (1.67) ( ) θ=θ cosMM 0SR (1.68) Obtém-se: θ+θ= seniiM2seniLT RS02Sm (1.69) A máquina síncrona de pólos salientes possui torque de relutância e excitação e é um bom exemplo de máquina cujo comportamento é traduzido por uma expressão com a forma da expressão (1.69). 1.7 MÁQUINA COM TRÊS ENROLAMENTOS Os resultados até aqui obtidos serão estendidos para uma máquina de três enrolamentos. Neste caso o modelo é representado pelas equações (1.70) à (1.73). ( ) ( ) ( )1 1 12 2 13 31 1 1 d L i d M i d M iv = R i + + +dt dt dt (1.70) ( ) ( ) ( )12 1 2 2 23 32 2 2 d M i d L i d M iv = R i + + +dt dt dt (1.71) ( ) ( ) ( )13 1 23 2 3 33 3 3 d M i d M i d L iv = R i + + +dt dt dt (1.72) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 12 13 23 1 2 3 1 2 1 3 2 3 dL dL dL dM dM dM1 1 1T = i i i i i i i i i 2 d 2 d 2 d d d d θ θ θ θ θ θ+ + + + +θ θ θ θ θ θ (1.73) Pode-se compactar as expressões precedentes, usando-se a notação matricial, As equações elétricas passam a ser representadas pela expressão (1.74). 1 1 1 1 12 13 1 2 2 2 12 2 23 2 3 3 3 13 23 3 3 v R 0 0 i L M M i dv = 0 R 0 i M L M i dt v 0 0 R i M M L i + (1.74) TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 19 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Vamos em seguida reescrever a equação do torque: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 12 13 1 1 1 2 3 1 12 2 23 2 2 2 2 3 1 13 23 3 3 3 3 2 3 i dL dM dM1T = i i i i 2 d d d i i dM dL dM1 i i i i 2 d d d i i dM dM dL1 i i i i 2 d d d i θ θ θ + + + θ θ θ θ θ θ + + + + θ θ θ θ θ θ + + + θ θ θ (1.75) A expressão (1.75) pode ainda ser representada segundo a expressão (1.76): [ ] 131 12 1 2312 2 1 2 3 2 3 13 23 3 dMdL dM d d d i dM1 dM dLT = i i i i 2 d d d idM dM dL d d d θ θ θ θ θ θ θ θ θ (1.76) Seja: 1 2 3 i = i i i (1.77) 1 2 3 R 0 0 0 R 0 0 0 R R = (1.78) [ ]t 1 2 3= i i ii (1.79) 20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com ( ) 131 12 2312 2 13 23 3 dMdL dM d d d d dMdM dL d d d d dM dM dL d d d θ θ θ = θ θ θ θ θ θ θ L θ (1.80) Assim, o torque passa a ser representado pela expressão (1.82). As tensões são representadas pela expressão (1.81): ( )d= + dt L v Ri i θ (1.81) ( )t d1T = 2 dθ L i i θ (1.82) As expressões (1.81) e (1.82) foram estabelecidas para uma máquina com três enrolamentos. Contudo podem ser empregadas para qualquer sistema onde exista conversão eletromecânica de energia. 1.8 CONCLUSÕES Pode-se sintetizar os resultados obtidos no desenvolvimento deste capítulo, do seguinte modo: (a) O deslocamento relativo das partes de um sistema implica em conversão eletromecânica de energia, quando há indutâncias próprias ou mútuas, desse sistema, que sofrem variação com o deslocamento. (b) A representação matricial dos sistemas nos quais ocorre conversão eletromecânica de energia leva a obtenção de modelos compactos de fácil interpretação física e de fácil manuseio. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 21 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 1.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS I = 2A P S = 5cm2 A = 40cm + -v Fig. 1.15 – Representação física do eletroimã do problema 1. 1) Um eletroímã de manutenção tem uma secção reta uniforme de 5cm2 e um comprimento total médio de 40cm (incluindo a armadura). O enrolamento é excitado por uma corrente de 2A; supõe- se que o núcleo e a armadura possuem a mesma permeabilidade. A permeabilidade relativa (µr) é igual a 2500. Calcular o número de espiras necessário para resistir a uma massa de 50kg. (Fig. 1.15) 2) O relé mostrado na Fig. 1.16 tem uma armadura móvel de secção quadrada,com lado d, guiado por dois suportes não magnéticos de espessura q e comprimento d/2. A carcaça é excitada por duas bobinas percorridas pela mesma corrente i. Cada bobina possui N espiras. Supõe-se que a carcaça e a armadura possuem permeabilidade infinita. (a) Calcular a indutância do relé em função de x. (b) Calcular a força eletromagnética que atua sobre a armadura, em função de i e x. (c) Calcular a força quando o relé está “colado”. (d) Fazer uma aplicação numérica para d = 4cm; g = 0,1cm, N = 1000 e i = 0,5A 22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com d +- v d x d/2 g g N N I Fig. 1.16 – Representação física do relé do problema 2. 3) Na Fig. 1.17 está representada uma peça de aço, de massa M, suspensa por uma mola de constante K (N/m) e submetida a influência de uma bobina cuja resistência é desprezível. Supõe-se que a indutância da bobina varia em função da posição x da massa, segundo a expressão L (x) = A + Bx, sendo A e B constantes. v(t) i(t) M x(t) + - Fig. 1.17 – Representação física do problema 3. (a) Escrever a equação elétrica do sistema, estabelecendo a tensão V(t) em função de i(t) e de x(t). (b) Calcular a força eletromagnética que atua sobre a massa M. (c) Obter a equação diferencial mecânica do sistema. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 23 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com θ v i i Fig. 1.18 – Instrumento do tipo bobina móvel. 4) Na Fig. 1.18, as duas bobinas são ligadas eletricamente em série; uma está alojada no estator fixo e a outra no rotor móvel. As indutâncias próprias e mútuas valem: L1 = 0,2mH, L2 = 0,1mH, L3 = 0,05cos θ mH As duas bobinas são percorridas por uma corrente senoidal de valor eficaz igual a 5A (i = 2 5 sen ωt). (a) Calcular o valor médio do torque eletromagnético exercido sobre a bobina móvel em função de θ. (b) Supor que a bobina móvel seja mantida no ângulo θ = 900, por ação de uma mola espiral que exerce um torque dado pela expressão T = K(θ - π/2) com K = 0,004J/rd2. Calcular o valor do ângulo “θ“ de equilíbrio em graus. 5) Considere a Fig. 1.19. O ferro-móvel pode sofrer deslocamento na direção x. Ao se deslocar sofre a ação da mola, cuja constante é Ks. A posição do ferro-móvel em relação ao ferro-fixo é D, quando não há corrente no enrolamento. A massa do ferro- móvel é M. O atrito é por hipótese nulo. Efeitos secundários, como dispersão de fluxo são ignorados. O enrolamento possui N espiras e resistência elétrica nula. O enrolamento é alimentado por uma fonte tal que a densidade de fluxo no entreferro é dada por B(t) = Bm sen ωt. (a) Encontrar a expressão da força eletromagnética exercida sobre o ferro-móvel em função de Bm, ω e t. (b) Escrever a equação da tensão de alimentação do enrolamento em função de Bm, ω e t. 24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com (c) Obter a equação diferencial mecânica do sistema em termos de Bm, ω e t. Mola v(t) x D A Fig. 1.19 – Instrumento do tipo ferro-móvel. 6) Seja a estrutura representada a seguir: R L( ) Rotor 0 d q θ θ + - v Fig. 1.20 – Máquina elétrica elementar com um enrolamento. (a) Obter a expressão geral do torque. (b) Explicar fisicamente a origem do torque. (c) Seja L (θ) = Lmcos 2θ + L0. Obter a expressão final do torque. (d) Estabelecer o modelo completo para o estudo do comportamento dinâmico da estrutura. CAPÍTULO 2 ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA 2.1 INTRODUÇÃO A máquina de indução trifásica com rotor bobinado é simétrica. Apresenta estruturas magnéticas cilíndricas tanto no rotor quanto no estator. Os enrolamentos, tanto do rotor quanto do estator são iguais entre si e igualmente defasados. A máquina de indução com rotor em gaiola também é simétrica, pelas mesmas razões expostas. Porém o número de fases do rotor é superior a três. De fato, cada barra da gaiola constitui uma fase. Neste capítulo será modelada apenas a máquina trifásica, porém sem perda de generalidade. O método pode ser empregado para qualquer número de fases e conseqüentemente para o rotor em gaiola. Um desenho ilustrativo da máquina simétrica trifásica está representado na Fig. 2.1. vS3 vS2 vS1 i S3 i S1 i S2 + - + - + - + + + - - - i R3i R1 i R2 vR1 vR2 vR3 Fig. 2.1 – Representação da máquina simétrica trifásica. 26 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 2.2 HIPÓTESES DE ESTUDO E CONVENÇÕES Para que se possa representar matematicamente a máquina em estudo, serão feitas algumas hipóteses simplificativas, sem as quais a formulação, se não se tornasse impossível, tornar-se-ia extremamente complexa. A) Hipóteses de estudo e conseqüências: (a) Os três enrolamentos estatóricos são iguais entre si. (b) Os três enrolamentos rotóricos são iguais entre si. (c) Os ângulos elétricos entre os enrolamentos são iguais, tanto no estator quanto no rotor. (d) O entreferro é considerado constante. (e) O circuito magnético é considerado ideal. A saturação não existe. (f) A distribuição da densidade de fluxo magnético no entreferro é radial e senoidal. (g) A máquina será considerada bipolar. (h) Não serão consideradas as perdas magnéticas. Como conseqüência das hipóteses de estudo adotadas, podemos estabelecer que: (a) Os fluxos podem ser superpostos. Assim: totalφ = ∑ = φ 3 1i R i +∑ = φ 3 1i Si (2.1) sendo iR φ o fluxo produzido pelo enrolamento “i” do rotor e iS φ o fluxo produzido pelo enrolamento “i” do estator. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 27 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com (b) os enrolamentos do estator e do rotor possuem indutâncias próprias constantes. Assim: 1S L , 2S L , 3S L , 1R L , 2R L e 3R L são constantes. (c) como conseqüência da igualdade dos enrolamentos tem-se: SSSS LLLL 321 === RRRR LLLL 321 === SSSS RRRR 321 === RRRR RRRR 321 === (d) como conseqüência do defasamento igual entre os enrolamentos tem-se: SSSS MMMM 132312 === RRRR MMMM 132312 === onde: SM = indutância mútua entre dois enrolamentos do estator RM = indutância mútua entre dois enrolamentos do rotor (e) as indutâncias mútuas entre os enrolamentos estatóricos e rotóricos são funções senoidais do deslocamento angular θ. Os enrolamentos do estator e do rotor estão representados simbolicamente na Fig. 2.2: 28 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com S1 S2 S3 R1 R2 R3 θ θ Fig. 2.2 – Representação simbólica dos enrolamentos do estator e do rotor. ( ) ( )3/4cosMM 3/2cosMM cosMM SRRS SRRS SRRS 31 21 11 π+θ= π+θ= θ= (2.2) ( ) ( )3/2cosMM cosMM 3/4cosMM SRRS SRRS SRRS 32 22 12 π+θ= θ= π+θ= (2.3) ( ) ( ) θ= π+θ= π+θ= cosMM 3/4cosMM 3/2cosMM SRRS SRRS SRRS 33 23 13 (2.4) B) Convenções: A máquina será tratada como um receptor e as equações das tensões terão a forma representada pela expressão (2.5) aa a a dv R i dt φ= + (2.5) onde φ representa o fluxo totalque envolve o enrolamento “a”. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 29 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 2.3 EQUAÇÕES DOS FLUXOS Adotando a superposição, os fluxos estatóricos serão descritos pelas expressões (2.6), (2.7) e (2.8). 3312211113211 RRSRRSRRSSSSSSSS iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.6) 3322221123122 RRSRRSRRSSSSSSSS iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.7) 3332231132133 RRSRRSRRSSSSSSSS iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.8) Representando-se as equações (2.6), (2.7) e (2.8) matricialmente, obtém-se a equação (2.9): + = φ φ φ 3 2 1 332313 322212 312111 3 2 1 3 2 1 R R R RSRSRS RSRSRS RSRSRS S S S SSS SSS SSS S S S i i i MMM MMM MMM i i i LMM MLM MML (2.9) Generalizando-se para os enrolamentos rotóricos e compactando-se a representação obtém-se as expressões (2.10): ( ) ( ) = + = + S SS S SR R R RS S RR R L i L i L i L i φ θ φ θ (2.10) onde: S S S S S S S S S L M M M L M M M L = SSL (2.11) R R R R R R R R R L M M M L M M M L = RRL (2.12) 30 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SR cos cos 2 / 3 cos 4 / 3 M cos 4 / 3 cos cos 2 / 3 cos 2 / 3 cos 4 / 3 cos θ θ + π θ + π = θ + π θ θ + π θ + π θ + π θ SRL θ (2.13) ( ) ( )t=RS SRL Lθ θ (2.14) As matrizes (2.11) e (2.12) são chamadas de matrizes circulantes simétricas. 2.4 EQUAÇÕES DAS TENSÕES Na medida que for possível será mantida a representação matricial no desenvolvimento deste capítulo. Das leis da física, podemos escrever as expressões das tensões como estão representadas nas expressões (2.15) e (2.16): d dt = + SS S Sv R i φ (2.15) d dt = + RR R Rv R i φ (2.16) onde: = S S S R00 0R0 00R SR (2.17) = R R R R00 0R0 00R RR (2.18) A seguir serão desenvolvidas as expressões dos fluxos: ( )( )dd dt dt + θ= SS S SR RS L i L iφ (2.19) TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 31 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com ( ) ( )( )dd d dt dt dt θ= + SR RS SS S L iL iφ (2.20) ( ) ( )d dd d dt dt dt dt θ= + θ +S SRS RSS SR RLi iL L i φ (2.21) mas ( ) ( )d d dt dt θ ∂ θ θ= ∂θ SR SRL L (2.22) Assim, a derivada do fluxo do estator é representada pela expressão (2.23). ( ) ( )d d d d dt dt dt dt ∂ θ θ= + θ + ∂θ S SRS R SS SR R Li iL L i φ (2.23) A derivada do fluxo do rotor, obtida de maneira análoga, é representada pela expressão (2.24): ( ) ( )d dd d dt dt dt dt ∂ θ θ= + θ + ∂θ R RSSR RR RS S LiiL L i φ (2.24) Levando-se as expressões das derivadas dos fluxos (2.23) e (2.24) nas expressões (2.15) e (2.16), obtém-se as expressões das tensões, (2.25) e (2.26): ( ) ( )d d d dt dt dt ∂ θ θ= + + θ + ∂θ SRS R S S S SS SR R Li iv R i L L i (2.25) ( ) ( )dd d dt dt dt ∂ θ θ= + + θ + ∂θ RSSR R R R RR RS S Liiv R i L L i (2.26) 2.5 EQUAÇÃO DO TORQUE Como foi estabelecido no capítulo 1, o torque de excitação, quando se trata de dois enrolamentos, é determinado pela expressão (2.27): 32 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com ( )dT dt = SRS R Mi i θ (2.27) Na máquina simétrica trifásica há três enrolamentos no estator e três no rotor. Adicionando os torques produzidos pelos seis enrolamentos, obtém-se a expressão (2.28): 3 11 1 2 1 1 1 2 3 3 21 2 2 2 2 1 2 3 1 3 2 3 3 3 3 1 2 3 S RS R S R R S S S S RS R S R R S S S S R S R S R R S S S MM M T = i i + i + i + MM M +i i + i + i + M M M +i i + i + i ∂∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂θ ∂∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂θ (2.28) Representando-se na forma matricial, obtém-se a expressão (2.29): [ ] θ∂ ∂= 3 2 1 332313 322212 312111 321 R R R RSRSRS RSRSRS RSRSRS SSS i i i MMM MMM MMM iiiT (2.29) Seja: ( ) 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 S R S R S R S R S R S R S R S R S R M M M M M M M M M = SRL θ (2.30) 1 2 3 R R R i i i = Ri (2.31) 1 2 3 S S S i i i = Si (2.32) A expressão do torque será então representada pela expressão (2.33). TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 33 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com ( )( )tT ∂= ∂θSRS R L i i θ (2.33) Transpondo-se a expressão (2.33), obtém-se a expressão (2.34): ( )( )tT ∂= ∂θRSR S L i i θ (2.34) Adicionando-se as expressões (2.33) e (2.34) e dividindo-se por dois obtém-se a expressão (2.35). ( )( ) ( )( )t t1T 2 ∂ ∂= + ∂θ ∂θ SR RS S R R S L L i i i i θ θ (2.35) A expressão (2.35) pode ser reescrita segundo a expressão (2.36). ( ) ( )( )t t 01T 02 ∂ = ∂θ SSR S R RRS iL i i iL θ θ (2.36) As matrizes LSS e LRR são formadas por termos independentes da posição angular θ. Por isto: 0∂ ∂= =∂θ ∂θ SS RRL L (2.37) Pode-se consequentemente estabelecer que: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ∂ ∂= ∂θ ∂θ SR SS SR RS RS RR L L L L L L θ θ θ θ (2.38) Seja: ( )ttt RS iii = (2.39) = R S i i i (2.40) 34 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com ( ) ( )( ) = SS SR RS RR L L L L L θθ θ (2.41) Assim o torque será representado pela expressão (2.42): ( )t1T 2 ∂= ∂θ L i i θ (2.42) 2.6 EQUAÇÕES FINAIS DA MÁQUINA Reunindo-se as expressões das tensões e do torque, (2.25) e (2.26) e (2.42) respectivamente, obtém-se o modelo completo da máquina, representado pelas expressões (2.43), (2.44) e (2.45). ( ) ( )d d d dt dt dt ∂ θ θ= + + θ + ∂θ SRS R S S S SS SR R Li iv R i L L i (2.43) ( ) ( )dd d dt dt dt ∂ θ θ= + + θ + ∂θ RSSR R R R RR RS S Liiv R i L L i (2.44) ( )t1T 2 ∂= ∂θ L i i θ (2.45) As equações elétricas podem ser reescritas segundo a expressão (2.46): ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 d 0 0 dt 0 0d d 0 0dt dt = + + ∂ θ+ + ∂θ S S S SS S R S R RR R S SSR SR R RRS RS v R i L i v R i L i i iL L i iL L θ θ θ θ (2.46) As expressões (2.46) podem ser reescritas de uma forma mais compacta, segundo a expressão (2.47): ( ) ( )d d dt dt ∂ θ= + + ∂θ Liv Ri L i θθ (2.47) TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 35 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Pois: = R S R R R 0 0 (2.48) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 + = SS SR SS SR RR RS RS RR L L L L L L L L θ θ θ θ (2.49) Reunindo-se as expressões (2.47) e (2.42) obtém-se o modelo da máquina simétrica na sua forma mais compacta, representada pelas expressões (2.50): ( ) ( ) ( )t p1T 2 •∂= + + θ∂θ ∂= ∂θ L v Ri L i i L i i θθ θ (2.50) 2.7 OUTRA TÉCNICA PARA OBTENÇÃO DA EXPRESSÃO DO TORQUE Consideremos a expressão das tensões (2.51): ( ) ( )p •∂= + + θ∂θ L v Ri L i i θθ (2.51) Pré-multiplicando-se todos os termos da equação pelo vetor corrente transposto obtém-se a equação (2.52): ( ) ( )t t t tp •∂= + + θ∂θ L i v i Ri i L i i i θθ (2.52) Por outro lado: ( ) ( ) ( ) ( )t t t1 1 d 1 1 dp 2 2 dt 2 2 dt •∂ = + θ+ ∂θ tLi ii L i i L + i i L i θθ θ θ (2.53) mas: 36 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com ( ) ( )tt1 d 1 d 2 dt 2 dt i ii L = L iθ θ (2.54) Assim: ( ) ( ) ( )t t td 1 1p dt 2 2 ∂ = − θ+ ∂θ Lii L i i i L i iθθ θ (2.55) Substituindo-se a expressão (2.55) em (2.52), obtém-se a expressão (2.56): ( ) ( )t t t t1 1p 2 2 •∂ = + + θ ∂θ L i v i Ri i L i i i θθ (2.56) O último termo da expressão (2.56) representa a parcela de potência elétrica absorvida pela máquina e convertida em potência mecânica. Assim: ( )tm 1P 2 •∂= θ∂θ L i i θ (2.57) portanto: ( )t1T 2 ∂= ∂θ L i i θ (2.58) Fica assim estabelecida a equação do torque, com o emprego de um método diferente daquele empregado no item 2.5. Os diversos termos das expressões (2.47) podem ser interpretados fisicamente. Assim: (a) iR → Representa as quedas de tensão nas resistências dos enrolamentos da máquina. (b) ( )pL iθ → Representa as tensões geradas nos enrolamentos, causadas pela variação das correntes. São tensões variacionais. (c) ( ) •∂ θ∂θ L i θ → São as tensões geradas nos enrolamentos, quando há deslocamento relativo entre eles. São denominadas tensões rotacionais. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 37 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Quando •θ = 0 , ou seja, quando o rotor estiver em repouso, o modelo passa a ser representado pela expressão (2.59): ( )p= +v Ri L iθ (2.59) que representa um transformador. 2.8 CONCLUSÕES As equações (2.50) são não lineares e de difícil solução. Em geral, não são empregadas no estudo do comportamento da máquina. Por isto, foram desenvolvidas técnicas baseadas em transformações lineares, com o objetivo de estabelecer modelos mais simples a partir do modelo original estabelecido neste capítulo. Tais técnicas serão estudadas nos capítulos seguintes. Em alguns trabalhos, destinados a determinar o comportamento da máquina de indução associada a certos tipos de conversores estáticos, o modelo representado pelas equações (2.50) foram empregados. Tal tipo de estudo porém é muito particular e só pode ser realizado com o emprego de computadores. 38 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 2.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Seja uma máquina simétrica trifásica, alimentada em corrente no estator e no rotor. As correntes estatóricas e rotóricas são dadas pelas expressões seguintes: ( ) 1S S S S i I cos t= ω + θ ( ) 2S S S S i I cos t 2 / 3= ω + θ − π ( ) 3S S S S i I cos t 4 / 3= ω + θ − π ( ) 1R R R R i I cos t= ω + θ ( ) 2R R R R i I cos t 2 / 3= ω + θ − π ( ) 3R R R R i I cos t 4 / 3= ω + θ − π O rotor gira com velocidade mω em relação ao estator. Será considerada uma máquina de indução de dois pólos. Assim: mRS ω+ω=ω Pede-se a expressão final do torque desenvolvido pela máquina. CAPÍTULO 3 ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 3.1 INTRODUÇÃO O primeiro passo a ser dado na obtenção de modelos mais adequados para a análise da máquina de indução é o estudo da transformação 0αβ . Consiste numa transformação linear que diagonaliza as matrizes circulantes simétricas, que aparecem na formulação dos modelos da máquina trifásica simétrica. Fisicamente a transformação 0αβ transforma a máquina simétrica trifásica numa máquina simétrica bifásica, com mesma potência mecânica, torque, velocidade e número de pólos. Por isto é também conhecida com o nome de transformação trifásica- bifásica. Esta transformação é muito útil também no estudo de transitórios de transformadores simétricos e reatores trifásicos. A alimentação pode ser não-simétrica e não-senoidal, desde que a máquina seja simétrica. 3.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Seja duas estruturas, uma trifásica e uma bifásica, representadas Fig. 3.1 e Fig. 3.2: Os enrolamentos que compõem a estrutura trifásica possuem n3 espiras e os que compõem a estrutura bifásica possuem n2 espiras. Cada enrolamento, ao ser percorrido por uma corrente produz uma força magnetomotriz F. 40 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com S1 S2 S3 F2 F1 F3 n3 n3 n3 iS2 iS1 iS3 Fig. 3.1 – Circuito trifásico simétrico. S S F n2 iS F n2 iS α α α β β β Fig. 3.2 – Circuito bifásico simétrico. Será estabelecida uma transformação que permita encontrar Fα e Fβ em função de F1, F2 e F3, de sorte que a estrutura bifásica produza uma força magnetomotriz resultante com efeito semelhante à resultante da estrutura trifásica. Decompondo-se vetorialmente F1, F2 e F3 segundo os eixos Sα e Sβ encontra- se as expressões (3.1) e (3.2). ( ) ( ) 1 2 3S S S F F + F cos 2 / 3 F cosSα = π + 4π/3 (3.1) ( ) ( ) 2 3S S S F = 0 + F sen 2 /3 + F sen 4 /3β π π (3.2) Assim: 1 2 3 S S S S S FF 1 1 2 1 2 FF 0 3 2 3 2 F α β − − = − (3.3) mas: S S2 S S F i nF i α α β β = (3.4) e 1 1 2 2 3 3 S S S 3 S S S F i F n i F i = (3.5) TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 41 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Substituindo-se as expressões (3.4) e (3.5) na expressão (3.3) encontramos a expressão (3.6): 1 2 3 S S 3 S S 2 S ii 1 -1 2 -1 2n ii n 0 3 2 - 3 2 i α β = (3.6) Para que a matriz definida pela expressão (3.6) possa ser invertida, vamos definir a corrente i0 segundo a expressão (3.7): ( )0 1 2 33S S S S 2 ni a i i i n = + + (3.7) Levando-se (3.7) em (3.6) obtém-se (3.8): 0 1 2 3 S S 3 S S 2 S S i a a a i ni 1 1 2 1 2 i n i i0 3 2 3 2 α β = − − − (3.8) Seja a matriz definida pela expressão (3.9): 3 2 a a a n 1 1 2 1 2 n 0 3 2 3 2 − = − − − 1A (3.9) Para que a potência seja invariante (apêndice), deve-se satisfazer a seguinte relação: ( ) 1t11 AA −=−− (3.10) ou t1 AA =− (3.11) ou − − =t1 1A A I (3.12) 42 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com sendo I a matriz identidade, ou: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = I (3.13) Portanto: 2 3 2 a 1 0a a a 1 0 0 n 1 1 2 1 2 a 1 2 3 2 0 1 0 n 0 0 10 3 2 3 2 a 1 2 3 2 − − − = − − − (3.14) Assim: 2 23 2 n3 a 1 n = (3.15) ( ) 141411 n n 2 2 3 =++ (3.16) Portanto: 3 2 n n 2 3 = (3.17) e 2 1a = (3.18) Assim a matriz torna-se: − −−=− 23230 21211 212121 3 21A (3.19) Seja:TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 43 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com = β ααβ S S S i i i 0 0S i (3.20) e = 3 2 1 321 S S S i i i Si (3.21) 3210 S 1 S iAi −= αβ (3.22) αβ = 0321 SS iAi (3.23) A matriz 1A − define a transformação 0αβ ou trifásica-bifásica. 3.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Consideremos um enrolamento trifásico simétrico (estator de um motor de indução com enrolamento rotórico aberto). Sejam nulas as resistências desse enrolamento. Consideremos a expressão dos fluxos, representada por (3.24): = φ φ φ 3 2 1 3 2 1 i i i LMM MLM MML (3.24) ou 1 2 3 1 2 3= L iφ (3.25) Seja: 3210 φφ 1A−αβ = (3.26) 44 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 0 1 2 3αβ −= 1i A i (3.27) Assim: 321321 iLAA 11 −− =φ (3.28) αβ − αβ = 00 iALA 1φ (3.29) Seja: ALAL 1N −= (3.30) Assim: αβαβ = 00 iLNφ (3.31) Calculemos a matriz NL : − − − −−= 232121 232121 0121 LMM MLM MML 23230 21211 212121 3 2 3 2 NL (3.32) − − + = ML00 0ML0 00M2L NL (3.33) Seja: 0 L 2M= +L (3.34) S L M= −L (3.35) Assim: 0 0 0 S S 0 0 i 0 0 i 0 0 i α α β β φ φ = φ L L L (3.36) TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 45 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com As novas indutâncias são definidas do seguinte modo: 0L - indutância cíclica homopolar SL - indutância cíclica Comparando-se as expressões (3.24) e (3.36), verifica-se que a matriz indutância foi diagonalizada. A matriz indutância L original é do tipo circulante simétrica, que aparece na formulação dos modelos das máquinas elétricas. Daí a importância prática da transformação 0αβ . 3.4 ESTUDO DO REATOR TRIFÁSICO SIMÉTRICO Será empregada, a título de exemplo, a transformação 0αβ na análise de um reator trifásico simétrico, representado na Fig. 3.3: v1 v2 v3 i1 i2 i3 R L M 2 2 2 R3 R1 L3 L1 3 M13 M12 Fig. 3.3 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico. São conhecidos os parâmetros R, L e M e as tensões v1(t), v2 (t) e v3 (t). Deseja-se determinar as correntes i1 (t), i2 (t) e i3 (t). A equação das tensões é representada pela expressão (3.37). 46 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 123 123 123p= +v Ri Li (3.37) Pré-multiplicando-se os termos de (3.37) por A-1 obtém-se a expressão (3.38): 321321321 p iLAiRAVA 111 −−− += (3.38) Assim: 0 0 0pαβ αβ αβ − −= +1 1v A RAi A LAi (3.39) Seja: −1NR = A RA (3.40) −1NL = A LA (3.41) Assim: 0 N 0 N 0pαβ αβ αβ= +V R i L i (3.42) mas, = R00 0R0 00R NR (3.43) 0 S S 0 0 0 0 0 0 = NL L L L (3.44) O modelo do reator trifásico simétrico será então descrito pela expressão (3.45) 0 0 0 S S v R p 0 0 i v 0 R p 0 i v 0 0 R p i α α β β + = + + L L L (3.45) TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 47 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Constata-se que a matriz impedância fica diagonalizada. O reator é então representado por três equações diferenciais de 1ª ordem, representadas pelas expressões (3.46). ( ) ( ) ( ) 0 0 0 S S v R p i v R p i v R p i α α β β = + = + = + L L L (3.46) Fisicamente o reator trifásico é convertido em três reatores monofásicos independentes, representados na Fig. 3.4. v0 i0 R L0 vα iα R Lα vβ iβ R Lβ Fig. 3.4 – Modelo elétrico equivalente para o reator trifásico usando a transformada αβ0. Na solução de um problema particular do reator conhecendo-se v1, v2 e v3 determina-se v0, vα e vβ. Com o emprego das equações (3.46) determina-se i0, iα e iβ Aplicando-se a transformação inversa, determina-se i1, i2 e i3. 48 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 3.5 EMPREGO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 NO ESTUDO DO TRANSFORMADOR Seja um transformador trifásico simétrico, cuja estrutura está representada na Fig. 3.5. MSR S1 S2 S3 R1 R3 R2 Fig. 3.5 – Estrutura do transformador trifásico simétrico. O circuito correspondente está representado na Fig. 3.6. vS1 vS2 vS3 iS1 iS2 iS3 RS1 RS2 RS3 L S1 L S2 L S3 iR3 iR2 iR1 L R3 L R2 L R1 RR3 RR2 RR1 Fig. 3.6 – Circuito elétrico equivalente do transformador trifásico simétrico. O transformador é representado pelas equações (3.47). TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 49 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com d d dt dt dd dt dt = + + = + + S R S S S SS SR SR R R R RR RS i iv R i L L iiv R i L L (3.47) onde: = S S S R00 0R0 00R SR (3.48) = R R R R00 0R0 00R RR (3.49) = SSS SSS SSS LMM MLM MML SSL (3.50) = RRR RRR RRR LMM MLM MML RRL (3.51) −− −− −− == SRSRSR SRSRSR SRSRSR M2M2M 2MM2M 2M2MM RSSR LL (3.52) Aplicando-se a transformação 0αβ nas equações (3.47), obtém-se as equações (3.53) e (3.54): 0 0 0 0 d d dt dt αβ αβ αβ αβ − − −= + +S R1 1 1S S S SS SR i i v A R Ai A L A A L A (3.53) 0 0 0 0 dd dt dt αβ αβ αβ αβ − − −= + + SR1 1 1R R R RR SR ii v A R A i A L A A L A (3.54) 50 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com As expressões (3.53) e (3.54) podem ser reescritas segundo as expressões (3.55) e (3.56). 0 0 N N N0 0 d d dt dt αβ αβ αβ αβ = + +S RS S S SS SR i i v R i L L (3.55) 0 0 N N N0 0 d d dt dt αβ αβ αβ αβ = + +R RR R R RR RS i i v R i L L (3.56) As matrizes parâmetros transformados estão representadas pelas expressões (3.57), (3.58), (3.59), (3.60) e (3.61): S S S R 0 0 0 R 0 0 0 R = NS R (3.57) = R R R R00 0R0 00R NR R (3.58) S S S 0 0 0 0 0 0 = SSL L L L (3.59) R R R 0 0 0 0 0 0 = RRL L L L (3.60) == SR SR m00 0m0 000 RSSR LL (3.61) onde: S0 S SL 2M= +L ⇒ indutância cíclica homopolar do primário. R0 R RL 2M= +L ⇒ indutância cíclica homopolar do secundário. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 51 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com S S SL M= −L ⇒ indutância cíclica do primário. R R RL M= −L ⇒ indutância cíclica do secundário. SR SR 3m = M 2 ⇒ indutância mútua cíclica. O modelo completo do transformador é representado pelas expressões (3.62). 0 0 0 00 0S S SS S S S SRS S S S SRS RRR R SR RRR R SRRR R v i p 0 0 0 0 0R 0 0 0 0 0 v i 0 p 0 0 pm 00 R 0 0 0 0 v i 0 0 p 0 0 pm0 0 R 0 0 0 0 0 0 pL 0 00 0 0 R 0 0v i 0 pm 0 0 pL 00 0 0 0 R 0v i 0 0 pm 0 0 p0 0 0 0 0 Rv i α α β β α α β β = + L L L 0 0 S S S R R R R i i i i i L i α β α β (3.62) Como as matrizes parâmetros são diagonalizadas, o modelo (3.62) pode ser reescrito segundo as equações (3.63), (3.64) e (3.65). 0 0 0 0 0 0 0 0 S S S SS RR R R R v i 0 iR 0 p 0 Rv i 0 i = + L L (3.63) 0 0 S S S SS RR R R R v i 0 iR 0 p 0 Rv i 0 i α α α α α α = + L L (3.64) 0 0 S S SSS RR R R R v i i0R 0 p 0 Rv i 0 i β β β β β β = + L L (3.65) As equações (3.63), (3.64) e (3.65) representam três transformadores monofásicos independentes, representados pela Fig. 3.7, Fig. 3.8 e Fig. 3.9. iS0 iR0vS0 vR0 + - Fig. 3.7 – Seqüência 0. 52 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com iSα iRαvSα vRα + - Fig. 3.8 – Seqüência α. iSβ iRβvSβ vRβ + - Fig. 3.9 – Seqüência β. Desse modo, a transformação 0αβ apresenta a importante propriedade de converter um transformador trifásico simétrico em três transformadores monofásicos independentes, tornando a análise muito simples. 3.6 APLICAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO TRIFÁSICA-BIFÁSICA NAS EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA No capítulo 2 foram estabelecidas as equações da máquina simétrica trifásica, representadas neste capítulo pelas expressões (3.66), (3.67) e (3.68). ( ) ( )d d d dt dt dt ∂ θ θ= + + θ + ∂θ SRS R S S S SS SR R Li iv R i L L i (3.66) ( ) ( )dd d dt dt dt ∂ θ θ= + + θ + ∂θ RSSR R R R RR RS S Liiv R i L L i (3.67) ( )t1T 2 ∂= ∂θ L i i θ (3.68) TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 53 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Aplicando-se a transformação A-1 na expressão (3.66) obtém-se a expressão (3.69): ( ) ( )0 0 00 d d ddt dt dtαβ αβ− − − − − αβαβ ∂ θ= + + ∂θ S R1 1 1 1 1 S S S SS SR SR R i i A v A R Ai + A L A A L A A L Aiθ θ (3.69) Definindo-se: N −= 1S SR A R A (3.70) N −= 1R RR A R A (3.71) N −= 1SS SSL A L A (3.72) N −= 1RR RRL A L A (3.73) ( ) ( )N −= 1SR SRL A L Aθ θ (3.74) ( ) ( )N −= 1SR SRL A L Aθ θ (3.75) Substituindo as últimas expressões em (3.69) e generalizando os resultados para a expressão da tensão rotórica obtém-se as expressões (3.76) e (3.77), que são as equações elétricas da máquina nas variáveis 0αβ . ( ) ( )0 0 N N 00 0 N N d d d dt dt dt αβ αβ αβαβ αβ ∂ θ= + + + ∂θ S R SR S S S SS SR R i i L v R i L L i θθ (3.76) ( ) ( )0 0 N N0 0 0N dd d dt dt dt αβ αβ αβ αβ αβ ∂ θ= + + + ∂θ SR RS N R R R RR RS S ii L v R i L L i θθ (3.77) Para se obter a expressão do torque, adota-se o prossedimento a seguir: ( )tT ∂= ∂θSRS R L i i θ (3.78) 0αβ = SS iAi (3.79) 54 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com tSS Aii tt 0αβ = (3.80) ( ) 00 tT αβαβ ∂= ∂θ SRt S R L i A Ai θ (3.81) ( )( ) 00 tT αβαβ ∂= ∂θ t SR S R A L A i i θ (3.82) Assim: ( ) 00 t NT αβαβ ∂= ∂θ SR S R L i i θ (3.83) As matrizes NS R , NR R , NSS L e NRR L são as mesmas obtidas no estudo do transformador. No procedimento que segue, é estabelecida a matriz ( )NRSL θ . Substituindo-se as matrizes -1A , A e ( )SRL θ na expressão (3.75), obtém-se a expressão (3.84). ( ) SRN 1 1 1 12 4 1 0cos cos cos 2 2 2 23 3 2 1 1 4 2 1 1 3M 1 cos cos cos 3 2 2 3 3 2 22 2 43 3 1 1 3cos cos cos0 3 32 2 2 22 π π θ θ+ θ+ π π = − − θ+ θ θ+ − π π θ + θ+ θ− − − SRL θ (3.84) Realizando-se os produtos matriciais obtém-se as matrizes (3.85) e (3.86): ( ) SR SRN SR SR 0 0 0 0 m cos m sen 0 m sen m cos = θ − θ θ θ SRL θ (3.85) ( ) SR SRN SR SR 0 0 0 0 m cos m sen 0 m sen m cos = θ θ − θ θ RSL θ (3.86) TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 55 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Pois ( ) ( ) N N t=RS SRL Lθ θ (3.87) Com: ( ) ( ) ( )0 N N 0 0N dd d dt dt dt αβ αβ αβ ∂ θ+ =∂θ SR SRR SR R R L Li L i i θ θθ (3.88) pode-se escrever o modelo final sob a forma de variáveis 0αβ da máquina simétrica trifásica, segundo as expressões (3.89): ( ) ( ) ( ) 0 N N N 00 0 0 N N N0 0 0 N 00 t dd dt dt dd dt dt T αβ αβαβ αβ αβ αβ αβ αβ αβαβ = + + = + + ∂= ∂θ SRS S S S SS R SRR R R R RR S SR S R Li v R i L i Li v R i L i L i i θ θ θ (3.89) O modelo desenvolvido, obtido a partir das expressões (3.89) é representado pelas expressões (3.90). Nelas verifica-se a presença do ângulo θ nas matrizes indutâncias mútuas. Por isto o modelo é não linear e de difícil solução analítica. 0 0 0 0 0 0 S S S S S S S SS RR R R R R R R R S S SR SR S SR SR R SR SR R p v i R 0 0v i 0 R 0 0 v i0 0 R R 0 0v i 0 0 R 0v i0 0 R v i 0 0 0 0 0 0 0 0 m cos m sen 0 0 0 m sen m cos 0 0 0 0 0 0 m cos m sen 0 0 α α β β α α β β = + + θ − θ θ θ θ θ L L L L L 0 0 S S S R R SR SR R R i i i i i 0 m sen m cos 0 0 i α β α β − θ θ L 56 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 0 0 R SR S S S R R i0 0 0 T m i i i 0 sen cos i 0 cos sen i α β α β = − θ − θ θ − θ (3.90) No capítulo seguinte será introduzida a transformação de PARK, destinada a simplificar mais o modelo da máquina simétrica trifásica. O efeito da transformação 0αβ aplicado á máquina simétrica trifásica pode ser melhor evidenciado com o auxílio da Fig. 3.10 e Fig. 3.11: S1 S2 S3 R1 R2 R3 θ θ S1 i S2 i S3 i R1 i R2 i R3 i Fig. 3.10 – Motor trifásico. Sβ Sα Rβ Rα θ Rβi Sβi Rαi Sαi Fig. 3.11 – Motor bifásico equivalente. Portanto, a máquina trifásica real é transformada numa máquina bifásica imaginária. A ausência dos enrolamentos de seqüência zero ou homopolar será explicada no item 3.7. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 57 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 3.7 INTERPRETAÇÃO DA INDUTÂNCIA CÍCLICA HOMOPOLAR Seja a máquina simétrica com enrolamentos rotóricos abertos e enrolamentos estatóricos submetidos a uma mesma tensão, de acordo com o que está representado na Fig. 3.12. iS i i S S iS vS 1 2 3 S1 S2 S3 R1 R2R3 Fig. 3.12 – Máquina simétrica trifásica com enrolamentos rotóricos abertos sendo os estatóricos alimentados com a mesma tensão. 1 2 3S S S S v v v v= = = (3.91) Levando-se as tensões 1S v , 2S v e 3S v da expressão (3.91) na expressão (3.92), obtém-se os resultados a seguir: 0 1 2 3αβ −= 1S Sv A v (3.92) Sv 0α = (3.93) Sv 0β = (3.94) 0S S v 3 v= (3.95) Considerando a máquina em regime permanente, tem-se: 0 0 S S 0 v i 2 f = π L (3.96) 58 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com ( )0 1 2 3S S S S1i i i i3= + + (3.97) Então 3 ii SS0 = (3.98) Levando (3.98) e (3.95) em (3.96), obtém-se: S S 0 i 3 v 2 f3 = π L (3.99) Assim: SS 0 3vi X = (3.100) onde: 0 0X 2 f= π L (3.101) Pode-se imediatamente concluir que a corrente que circula na fonte fica limitada apenas pela reatância cíclica homopolar. Para facilitar a interpretação física, será considerada a Fig. 3.11: ROTOR FS1 FS3 FS2 iS1 iS3 iS2 Fig. 3.13 – Estrutura de uma máquina simétrica trifásica. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 59 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Como as correntes 1S i , 2S i e 3S i , são iguais, as três forças magnetomotrizes, 1S F , 2S F e 3S F são iguais em módulo e em fase no tempo. Assim os fluxos são nulos, com exceção dos fluxos de dispersão, que se fecham pelo ar e que estão representados na Fig. 3.13. Pode-se então concluir que a indutância de seqüência zero ou cíclica homopolar é uma imagem da indutância da dispersão. Consideramos as equações completas de seqüência zero, obtidas a partir das equações (3.90). 0 0 0 0 0 0 0 0 S S S SS RR R R R v i p 0 iR 0 0 Rv i 0 p i = + L L (3.102) Segundo as expressões (3.102) não há indutância mútua entre as componentes de seqüência homopolar do estator e do rotor. Quando não há fio neutro na alimentação da máquina simétrica trifásica as tensões e correntes homopolares não existem. Quando há neutro e a alimentação for balanceada, existem componentes homopolares. Contudo elas não produzem torque, como pode ser constatado a partir das expressões (3.90). 60 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 3.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS v R i i i 1 2 3 L S L S R R L S Fig. 3.14 – Rotor trifásico com uma fase em aberto. 1) Seja a estrutura representada na Fig. 3.14, com os seguintes parâmetros: R = 1Ω SL = 0,280H (indutância cíclica) f = 60Hz V = 380V (valor eficaz) O circuito é considerado em regime permanente. Determinar as expressões e os valores das correntes nas fases da estrutura. 2) Repetir os cálculos para a Fig. 3.15, representada a seguir: i v 1 1 LSLS LS RR R v i 2v3v + + + - - -+ - 3 2i Fig. 3.15 – Rotor trifásico com duas fases em paralelo e em série com a terceira sendo alimentadas por uma fonte de tensão única. 3) Seja a estrutura representada na Fig. 3.16: TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 61 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com i 1v1 + - i 2v2 + - i 3v3 + - Fig. 3.16 – Estrutura de um reator trifásico. onde: 50RRRR 321 ,==== Ω , 60LLLL 321 ==== mH (próprias) =M -30mH (mútuas) No instante t = 0 aplicam-se as seguintes tensões nos enrolamentos: 1v 50V= ; 2v 30V= ; 3v 100V= Empregando a transformação 0αβ , determinar as correntes nos enrolamentos em função do tempo. 4) Seja um reator trifásico, representado esquematicamente pela Fig. 3.17: v v v S S S i i i 1 2 3 1 2 3 R LSM Fig. 3.17 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico. Os parâmetros são os mesmos do exercício 3. Os interruptores 1S , 2S e 3S são fechados simultaneamente. 62 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 1 2 3 v Vcos t 2v Vcos t 3 4v Vcos t - 3 = ω π = ω − π = ω onde 377=ω rad/s v 2 220= volts Determinar as correntes ( )ti1 , ( )ti 2 e ( )ti3 . 5) Seja o transformador trifásico, representado na Fig. 3.18. S1 S2 S3 R3R2R1 iS1 iS2 iS3 iR1 iR2 iR3 v1 v2 v3 Fig. 3.18 – Transformador trifásico com um curto-circuito na saída de duas fases. É estabelecido um curto circuito entre as fases 2 e 3 do secundário. Determinar a expressão da corrente de curto circuito, empregando a transformação 0αβ , sabendo que: TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 63 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 1 2 3 v Vcos t 2v Vcos t 3 4v Vcos t - 3 = ω π = ω − π = ω CAPÍTULO 4 A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA 4.1 INTRODUÇÃO A transformação de PARK tem uma importância muito grande no estudo das máquinas elétricas. Consiste de uma transformação linear que simplifica as equações das máquinas, introduzindo um conjunto de variáveis hipotéticas. Fisicamente, transforma a máquina bifásica com enrolamentos estatóricos fixos e enrolamentos rotóricos girantes, em enrolamentos estatóricos fixos e rotóricos pseudo-estacionários. 4.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK Foi demonstrado no capítulo 3, que sob a transformação 0αβ , os fluxos e as correntes ficam relacionados pelas equações (4.1). 0 0 0 00 0 S S S S SS SR SR S SS SR SR RR R SR SR RR R SR SR R R R i0 0 0 0 0 i0 0 0 m cos m sen i0 0 0 m sen m cos 0 0 0 0 0 i 0 m cos m sen 0 0 i 0 m sen m cos 0 0 i α α β β α α β β φ φ θ − θ φ θ θ = φ θ θ φ − θ θ φ L L L L L L (4.1) Os fluxos estatóricos podem ser reescritos segundo a expressão (4.2). 0 0 00 S S RS S S S SR SR R S SR SRS S R i i0 0 0 0 0 0 0 i 0 m cos m sen i 0 0 0 m sen m cosi i α α α β β β φ φ = + θ − θ θ θφ L L L (4.2) TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 65 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Vamos definir um novo conjunto de correntes rotóricas, segundo a expressão (4.3): φ φ φ θθ θ−θ= φ φ φ β α R R R R R R 0 q d 0 cossen0 sencos0 001 (4.3) Assim: 00dq αβ −= R1R iBi (4.4) onde: θθ θ−θ=− cossen0 sencos0 001 1B (4.5) A matriz B-1 define a transformação de PARK. 4.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK Vamos representar a expressão (4.1) na forma compacta, segundo as expressões (4.6) e (4.7), ignorando as componentes homopolares, que não serão alteradas pela transformação de PARK. S SRmαβ αβ αβ −= + 1S S Ri B iL Iφ (4.6) R SRmαβ αβ αβ= +R R Si B iL Iφ (4.7) onde: θθ− θθ= cossen sencos B (4.8) e 66 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 1 0 0 1 = I (4.9) Aplicando-se a transformação B-1 na equação (4.7), obtém-se: dqSR R m αβ αβ − − −= +1 1 1R S RB B B i B B iφ L (4.10)Assim: dq dqSR R m αβ= +R S Ri iI L Iφ (4.11) A partir da expressão (4.6) obtém-se: dqSR S mαβ αβ= +S R Si iI L Iφ (4.12) Reunindo-se as equações (4.11) e (4.12) e representando-se na forma matricial, encontra-se a expressão (4.13). 0 0 0 00 0 d d q q S S S S S S SR S SS SR RR R SR RR R SR R R R i 0 0 0 0 0 i0 0 0 m 0 i0 0 0 0 m 0 0 0 0 0 i 0 m 0 0 0 i 0 0 m 0 0 i α α β β φ φ φ = φ φ φ L L L L L L (4.13) A expressão (4.13) mostra que as submatrizes indutâncias são diagonalizadas pela transformação de PARK. Convém chamar atenção para o fato de que as variáveis estatóricas não foram transformadas; somente as variáveis rotóricas sofreram a ação da transformação de PARK. Fazendo-se o produto BB 1− obtém-se: = θθ− θθ θθ θ−θ 10 01 cossen sencos cossen sencos (4.14) TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 67 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Portanto a transformação de PARK, como foi definida é ortogonal. Por isto, sob esta transformação, a potência é invariante. 4.4 INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK Para interpretarmos fisicamente a transformação de PARK, vamos considerar os sistemas de eixos representados na Fig. 4.1. •θ R q R d Rβ Rα θ Rβi Rq i Rαi Rd i Fig. 4.1 – Sistemas de eixo representando a transformada de Park. Os eixos βαRR giram no sentido anti-horário com velocidade •θ . Os eixos qdRR estão em repouso. Tem-se assim dois enrolamentos girando, com correntes αRi e βRi e dois estacionários com correntes Rdi e qRi . Todos os enrolamentos são considerados idênticos. Decompondo-se as forças magnetomotrizes dos enrolamentos girantes segundo os eixos fixos e dividindo-se pelo número de espiras, encontra-se as relações (4.15) e (4.16). θ−θ= βα senicosii RRR d (4.15) θ+θ= βα cosisenii RRR q (4.16) Na forma matricial obtém-se a expressão (4.17), que é a própria transformação de PARK: θθ θ−θ= β α R R R R i i cossen sencos i i q d (4.17) 68 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Pode-se estabelecer assim que a transformação de PARK permite converter um conjunto de enrolamentos girantes num conjunto de enrolamentos fixos, produzindo os mesmos efeitos. As correntes dos enrolamentos fixos terão freqüência diferente das correntes dos enrolamentos girantes. A transformação de enrolamentos fixos em girantes coloca em evidência a seguinte questão: os enrolamentos do rotor são fixos, mas o rotor encontra-se em movimento. Isto só é possível numa máquina a comutador. Assim, a transformação de PARK transforma enrolamentos comuns, alimentado através de anéis, em enrolamentos alimentados através de escovas e comutador, que são também conhecidos com o nome de enrolamentos pseudo-estacionários. Desse modo a transformação de PARK pode ser realizada fisicamente. Na Fig. 4.2 está representada a transformação física. R Rα β VRβ VRα Rq Rd VR d VR q Fig. 4.2 – Representação física da transformada de Park. Simbolicamente, a máquina antes e depois da transformação está representada na Fig. 4.3 e Fig. 4.4. Sβ Sα Rβ Rα θ Fig. 4.3 – Máquina original. q d R R S = S q d q β S = Sd α Fig. 4.4 – Máquina transformada. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 69 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 4.5 TENSÕES DA MÁQUINA SOB A FORMA DE VARIÁVEIS DE PARK O modelo elétrico em variáveis αβ é representado pelas equações (4.18) e (4.19). d dtαβ αβ αβ = +S S S Sv R i φ (4.18) d dtαβ αβ αβ = +R R R Rv R i φ (4.19) Aplicando-se a matriz B-1 na expressão (4.19) obtém-se a expressão (4.20). ( ) dq dq d dtαβ − − −= + R1 1 1R R R B B v B R B i B φ (4.20) dq dq dq dq d d dt dt − − ∂ θ= + + ∂θ R1 1 R R R R Bv R i B B B φ φ (4.21) cos sen sen cos sen cos cos sen − θ − θ − θ θ ∂ = θ θ − θ − θ∂θ 1 BB (4.22) Assim: 0 1 1 0θ − − ∂ = ∂ 1 BB (4.23) dq dq dq dq d 0 1d 1 0dt dt − θ= + + R R R R Rv R i φ φ (4.24) dq dq dq d dt = + SS S Sv R i φ (4.25) As expressões (4.25) e (4.24) podem ser reescritas segundo as expressões (4.26) e (4.27) respectivamente. 70 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com d d d d q q q q S S S RS S SR S S SRS S S R v i i iR 0 p 0 pm 0 0 R 0 p 0 pmv i i i = + + L L (4.26) d d d d q q q q d d q q S S R R S SSR R SR RR SR R SR RRR R R R R R i i v i i im 0 0 m 0 0R 0 0 1 p 0 m 0 0 m 00 Rv i i 1 0 i i i • − = + + θ L L L L (4.27) Resumindo-se as expressões (4.26) e (4.27), encontra-se as equações (4.28). d d q q d d q q S S SRS S S SS S SR R R SR SR R R R R R SR SR R R R R p 0 pm 0v i v i0 R p 0 pm v ipm m R p v i m pm R p • • • • + + = θ + θ − θ − θ + L L L L L L (4.28) As expressões (4.28) representam as equações elétricas da máquina simétrica trifásica (ou polifásica), com o referencial colocado no estator. Está sendo considerada uma máquina de dois pólos. A generalização para um número genérico de pares de pólos será apresentada mais adiante. As componentes homopolares quando existirem, poderão ser adicionadas nas equações (4.28). Estas equações são muito importantes e são capazes de representar a máquina sob não importa qual condição de operação. 4.6 EXPRESSÃO DO TORQUE Foi estabelecida a expressão do torque, com a seguinte forma: ( ) T t αβαβ ∂ θ= ∂θ SR S R L i i (4.29) mas, ( ) 1SR BθL −= SRm (4.30) TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 71 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com Portanto: SRT = m t αβαβ −∂ ∂θ 1 S R Bi i (4.31) SRT = m dqdq t θ −∂ ∂ 1 S R Bi Bi (4.32) sen cos cos sen − − θ − θ ∂ = θ − θ∂θ 1B (4.33) sen cos cos sen cos sen sen cos − − θ − θ θ θ ∂ = θ − θ − θ θ∂θ 1B B (4.34) 0 1 1 0 − − ∂ = ∂θ 1B B (4.35) Assim: dqdq 01 10 mT tSR RS ii −= (4.36) d d q q R SR S S R i0 1 T m i i 1 0 i − = (4.37) ( )q d d qSR S R S RT m i i i i= − (4.38) 4.7 EQUAÇÕES COMPLETAS DA MÁQUINA O modelo completo para a máquina de indução, com n pares de pólos é representado pelas equações (4.39) e (4.40). Será considerada uma máquina em que d qR R v v 0= = (rotor em curto-circuito). 72 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com d d q q d q S S SRS S S SS S SR R SR SR R R R R SR SR R R R R p 0 pm 0v i v i0 R p 0 pm 0 ipm n m R p n 0 i n m pm n R p • • • • + + = θ + θ − θ − θ + L L L L L L
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