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A´lgebra Linear
Se´tima Lista de Exercı´cios
01. Aplique o processo de Gram-Schmidt a` seguinte base de R3:
{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 2, 3)}.
02. Seja U o subespac¸o do R3 definido por
U = {(x, y, z) ∈ R3;x + y + z = 0}.
(a) Encontre uma base ortonormal para U .
(b) Encontre o ponto de U que esta´ mais pro´ximo do ponto (1, 8,−5).
03. Encontre uma base ortonormal para o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, 1,−1, 0),
v2 = (0, 2, 0, 1) e v3 = (−1, 0, 0, 1).
04. Seja W o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, 0,−2, 1) e v2 = (0, 1, 3,−2).
Encontre uma base para
W⊥ = {v ∈ R4; 〈v, w〉 = 0, ∀w ∈W}.
05. Considere o espac¸o vetorial Pn, cujos elementos sa˜o os polinoˆmios reais de grau menor
que n, mudido do produto interno
〈p(x), q(x)〉 =
∫ 1
0
p(x)q(x)dx.
Note que P2 e´ um subespac¸o vetorial de P3.
(a) Encontre uma base ortonormal para P2.
(b) Encontre o polinoˆmio r(x) ∈ P2 que minimiza
||x2 − r(x)||.