relatorio de Matematica Aplicada

Prévia do material em texto

INSTITUTO POLITECNICO CASTELO BRANCO 
 
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA 
 
DISCIPLINA DE MATEMATICA APLICADA 
Curso Engenharia Electrotécnica e Telecomunicações 
TRABALHO PRATICO 
 
Aluno: 
Leandro Tito Manjate 
Nildo Salomão Langa 
 
 
 
 
 
 
Professor: 
 Paulo Marques 
 
Castelo Branco 1 de Janeiro 2016 
2 
 
Índice 
Introdução ..................................................................................................................................................... 3 
1 SÉRIE DE FOURIER ................................................................................................................................. 4 
1.1 Variação de números harmónicos N ............................................................................................. 4 
1.2 Apresentação de espectro de amplitude e fase ........................................................................... 5 
2 TRANSFORMADA DE FOURIER (DOMÍNIO CONTÍNUO) ........................................................................ 7 
2.1 Represente o espectro de amplitude e fase do sistema ............................................................... 7 
2.2 Cálculo da Transformada de Fourier ............................................................................................. 8 
2.3 Represente o espectro de amplitude ........................................................................................... 8 
2.4 Representação de espectro de saída do sistema Y(ω),................................................................. 9 
Conclusão .................................................................................................................................................... 10 
 
 
3 
 
Introdução 
O processamento do sinal é um dos fundamentos das telecomunicações, portanto é devera 
importante para a matemática aplicada, a ferramenta matemática que melhor traduz o 
processamento de sinal é a serie de Fourier e a transformada de Fourier, por isso que esse 
trabalho é basicamente a aplicação da serie e da transformada de Fourier no processamento do 
sinal. 
O trabalho esta dividido em duas partes; a primeira trata da serie trigonométrica de Fourier que 
consiste em uma soma sucessiva de funções senos e cossenos que tendem a ser uma onda 
quadrática perfeita, nessa primeira parte o sinal é periódico, a segunda parte é sobre as 
transformadas de Fourier e espectro do sinal. O software usado para as simulações do trabalho é 
o Matlab. 
Os recursos para a elaboração do trabalho foram a sebenta da cadeira, a bibliografia 
recomendada e recursos da internet. 
 
4 
 
 
1 SÉRIE DE FOURIER 
Nessa secção será executado Serie de Fourier apresentado em baixo através do software matlab e 
observar o seu resultado que seram provocados pela mudança dos parâmetros de entrada. 
 f(t)=
𝐴
2
−
𝐴
𝜋
∑
sin⁡(𝑛𝜔0𝑡)
𝑛
∞
𝑛=1 
O código em matlab para executar a função em cima 
 
1.1 Variação de números harmónicos N 
Utilizando o programa em cima usamos a amplitude e o período fixo com os respectivos valores 
A=1 metros e T=2 segundos e variando o número harmónicos com os respectivos valores 
N=1,5,30,100. 
 
 Figure 1 O numero de harmónica é igual N=1 Figure 2 O numero de harmónica igual a N=5 
5 
 
 
 Figura 3 O numero de harmónica é igual N=30 Figura 4 O numero de harmónica é igual N=100 
Através dos sinais observado em cima concluímos que a função f(t) trata-se serie trigonométrica 
de Fourier que decompõem a soma de senos. 
Observado o primeiro e o segundo gráfico nota-se que a soma de sinusóides resultam num sinal 
rectangular com componente constante de amplitude 1. 
Os dois últimos gráficos verificou-se que a componente do sinal tem amplitude variável, 
dependente de número de harmónicos N. 
Podemos constatar a presença do fenómeno de Gibbs,que é o comportamento fortemente 
oscilatório das somas parcias á medida que se aproxima o ponto de descontinuidade resultando 
da sobrelevação do valor da função (overshoot) que por maior que seja o valor de N este 
fenómeno estará sempre presente. 
1.2 Apresentação de espectro de amplitude e fase 
Na Série Trigonométrica de Fourier as linhas espectrais são definidas apenas para as frequências 
positivas pelo que para a representação dos espectros de amplitude e fase utiliza-se Série 
Exponencial de Fourier uma vez que as linhas espectrais são definidas negativa e positiva. 
O período considerado é de 2 segundos ,é a área do sinal 1. 
Uma vez que é usada a Serie exponencial de Fourier calculou-se o C0. 
C0 = 
1
𝑇
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡⁡⁡
𝑇
2
−
𝑇
2
 = 
1
2
∫ 1(𝑡)𝑑𝑡
1
−1
⁡= ⁡⁡
1
2
= 0,5 
Em seguida executamos o código próximo 
6 
 
 
 Figure 5 Codigo em matlab que apresenta o espectro da amplitude e da fase 
Executado o código em cima obtivemos os subsequentes resultados
 
Figure 6 O numero de harmónica usada é igual N=1 Figure 7 O numero de harmónica usada é igual N=5 
 
Figure 8 O numero de harmónica usada é igual N=30 Figure 9 O numero de harmónica usada é igual N=100 
7 
 
Presenciado os gráficos apresentados precedentemente conclui-se que tanto no gráfico de 
amplitude como no de fase somente algumas amostras são visíveis isto devido ao facto de n 
apenas assumir valores inteiros, assim os gráficos são representados na forma de riscas espectrais. 
Estes graficos são representação da função periódica no domínio da frequência, através dos 
coeficientes 𝐶𝑛 em função da variável 𝑛𝑤0. 
2 TRANSFORMADA DE FOURIER (DOMÍNIO CONTÍNUO) 
Nesta secção vamos definir o sistema LIT que tem a função de transferência. 
𝐻(𝑤) =
−𝑤2
−𝑤2 + 2.7 × 10−4 + 𝑗(33.3𝑤)
 
Portando inserimos no matlab a função em cima e variamos sua frequência angular entre 0 e 
100rad/s, com passo de 0.1rad/s. 
 
2.1 Represente o espectro de amplitude e fase do sistema 
Em seguida foi executado o codigo em cima e obtivemos os respectivos grafico. 
 
Figura 10 Espectro da amplitude e da fase 
Através do gráfico da amplitude conclui-se que se trata de um filtro passa alto porque quanto 
menor for a frequência mais a amplitude se aproxima de 0 e quanto maior for a frequência a 
amplitude tende para o seu máximo. 
8 
 
2.2 Cálculo da Transformada de Fourier 
Para determinar a Transformada de Fourier 𝑋(𝜔) de x(t)=rect(10t) recorre-se a tabela de 
Transformadas de Fourier: 
𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛𝑐 (
𝜔
2𝜋
) 
𝑟𝑒𝑐𝑡(10𝑡) ⁡=
1
10
× 𝑠𝑖𝑛𝑐 (
𝜔
2𝜋
) 
𝑋(𝜔) =
1
10
× 𝑠𝑖𝑛𝑐 (
𝜔
2𝜋
) 
2.3 Represente o espectro de amplitude 
Usando o resultado obtido anteriormente inserimos no código de matlab e variamos a frequência 
angular com intervalo de -50rad/s a 50rad/s com passos de 0.1rad/s. 
 
Em seguida executamos o código acima tivemos como resultado o gráfico seguinte. 
 
Figure 11 Espectro de Amplitude 
Observando o gráfico conclui-se que as componentes espectrais predominantes são as de baixa 
frequência nomeadamente entre 0 e 20Hz pelo que a partir de 20Hz o modulo 𝑋(𝜔) aproxima-se 
de 0. 
9 
 
2.4 Representação de espectro de saída do sistema Y(ω), 
Para calcular o espectro de saída usamos a fórmula em baixo. 
Y(w) = X(w). H(w)⁡⁡ 
Então com base da fórmula mencionadaem cima e variando a frequência angular (w) de 0rad/s 
até 100rad/s foi escrito o código abaixo para obter a representação gráfica do espectro do sinal de 
saída. 
 
Depois executamos o código em cima e obtivemos o espectro de amplitude e de fase de saída. 
 
Figure 12 Espectro de saída 
Observando o sinal que se encontra há entrada 𝑋(𝜔) =
1
10
× 𝑠𝑖𝑛𝑐 (
𝜔
2𝜋
) é um sinal em que as 
componente espectrais com maior predominância são as de baixa frequência e como o sistema 
LIT tem uma função de transferência 𝐻(𝑤) =
−𝑤2
−𝑤2+2.7×10−4+𝑗(33.3𝑤)
 que indica que se 
comporta-se como um filtro passa alto conclui-se que era de esperar que as componentes de 
baixa frequência fossem cortadas e passando assim as componentes de alta frequências. 
Tal como se pode observar no gráfico anterior em que as componentes de baixa frequência ao 
aproximado de 0 e para altas frequências é igual a 𝑋(𝜔) =
1
10
× 𝑠𝑖𝑛𝑐 (
𝜔
2𝜋
) uma vez que o filtro 
passa alto não altera as frequências altas. 
10 
 
Conclusão 
Serie de Fourier é uma representação de uma função periódica com uma serie de funções 
periódicas. Essa função resultante tende a ser uma função quadrática depois de infinitas somas, 
as funções não periódicas são representadas pela transformada de Fourier (espectro do sinal). 
Normalmente a transformada de Fourier é representada através do espectro de amplitude e fase, a 
transformada é importante porque uma função ℝ→ℝnão é periódica, por isso que é impossível 
escreve-la como combinação linear de uma família de senos e cossenos harmonicamente 
relacionadas, contudo, é possível escreve-la como combinação linear de todos os senos e 
cossenos que existem, utilizando todas as frequências 𝜔 ∈ ℝ disponíveis. 
As transformadas são aplicadas em análise e processamento do sinal e voz, na obtenção do 
espectro a partir da forma de onda, nos filtros (passa-baixo, passa-alto e passa-banda). 
O sinal periódico tem uma transformada de Fourier constituída por impulsos de Dirac 
localizados em frequências k*w0com área igual a 2*pi vezes o coeficiente de Fourier ak.