Resolução do Livro Um curso de Cálculo

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Resolução do Livro "Um curso de cálculo": Números 
Reais 
Exercícios 1.2 
 
1. Resolva a inequação. 
 Dica: Resolver inequações do 1° grau é simples : 
 1. Some os coeficientes de mesmo grau. 
 2. Isole a incógnita x em um dos membros da inequação. 
 
a) 3x+3 < x+6 
 
Solução: 
 
3x+3 < x+6 
3x -x < 6 -3 
2x<3 
x < 3/2 
 
 
 
b) x-3 > 3x +1 
 
Solução: 
 
x-3 < 3x+1 
x-3x < 1+3 
-2x<4 
2x > -4 * 
x < -4/2 
x < -2 
 
 
 
c) 2x - 1 ≥ 5x + 3 
 
Solução: 
 
2x-1 ≥ 5x + 3 
2x-5x ≥ 3+1 
-3x ≥ 4 
3x ≤ -4 * 
x ≤ - 4/3 
 
 
 
d) x+3 ≤ 6x-2 
 
Solução: 
x+3 ≤ 6x - 2 
x - 6x ≤ -2 -3 
-5x ≤ -5 
5x ≥ 5 * 
x ≥ 5/5 
x ≥ 1 
 
 
 
e) 1-3x > 0 
 
Solução: 
1-3x > 0 
-3x >-1 
3x < 1 * 
x < 1/3 
 
 
 
f) 2x +1 ≥ 3x 
 
Solução: 
2x +1 ≥ 3x 
2x - 3x ≥-1 
-x ≥ -1 
x ≤ 1 * 
 
 
 
2. Estude o sinal da expressão. 
 
 Dica: Estudar o sinal de uma equação é determinar para que valores de x , 
a equação é nula, positiva ou negativa. 
 
a) 3x-1 
 
Solução: 
Estudando o sinal de 3x - 1: 
3x-1 < 0 
3x < 1 
x < 1/3 
3x-1 = 0 
3x = 1 
x = 1/3 
3x-1 > 0 
3x > 1 
x > 1/3 
 
Graficamente: 
 
 
 
Portanto, 
 3x - 1<0, para x < 1/3 
 3x - 1=0, para x = 1/3 
 3x - 1>0, para x > 1/3 
 
b) 3-x 
 
Solução: 
Estudando o sinal de 3 - x: 
3-x < 0 
-x < -3 
x > 3 * 
3-x = 0 
-x = -3 
x = 3 
3-x > 0 
-x > -3 
x < 3 * 
 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Portanto, 
 3 - x < 0, para x > 3 
 3 - x = 0, para x = 3 
 3 - x > 0, para x < 3 
c) 2-3x 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de 2 - 3x: 
2 - 3x< 0 
-3x < -2 
3x > 2 * 
x > 2/3 
2 - 3x= 0 
-3x = -2 
3x = 2 
x = 2/3 
2 - 3x> 0 
-3x >-2 
3x < 2 * 
x < 2/3 
 
 
Graficamente: 
 
 
 
Portanto, 
 2 - 3x < 0, para x > 2/3 
 2 - 3x = 0, para x = 2/3 
 2 - 3x > 0, para x < 2/3 
d) 5x+1 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de 5x + 1: 
5x + 1< 0 
5x < -1 
x < -1/5 
5x + 1< 0 
5x < -1 
x < -1/5 
5x + 1< 0 
5x < -1 
x < -1/5 
 
 
Graficamente: 
 
 
 
Portanto, 
 5x + 1 < 0, para x < -1/5 
 5x + 1 = 0, para x = -1/5 
 5x + 1> 0, para x > -1/5 
 
e) 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de x-1: 
x - 1< 0 
x <1 
x - 1= 0 
x =1 
x - 1> 0 
x >1 
 
 
Estudando o sinal de x-2: 
x - 2< 0 
x <2 
x - 2= 0 
x =2 
x - 2> 0 
x >2 
 
 
Estudando o sinal de : 
 Se x-1 < 0 e x-2 < 0, logo >0 (- / - = +) 
 Se x-1 >0 e x-2 <0 , logo < <0 (+/- = -) 
 Se x-1 >0 e x-2 >0 , logo >0 (+ / + = +) 
 Se x - 1 =0 , logo = 0 
 Se x-2 = 0, logo não estará definido! ( 1° mandamento da 
Matemática) 
 
Graficamente: 
 
 
 
Portanto, 
 < 0, para 1 < x < 2 
 = 0, para x = 1 
 > 0, para x < 1 ou x > 2 
 nao está definido em x = 2 
f) (2x + 1)(x - 2) 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de 2x + 1: 
2x+1<0 
2x<-1 
x<-1/2 
2x+1=0 
2x=-1 
x=-1/2 
2x+1>0 
2x>-1 
x>-1/2 
 
 
Estudando o sinal de x-2: 
x - 2< 0 
x <2 
x - 2= 0 
x =2 
x - 2> 0 
x >2 
 
Estudando o sinal de (2x + 1)(x - 2): 
 Se 2x+1 < 0 e x-2 < 0, logo (2x + 1)(x - 2) > 0 (- x - = +) 
 Se 2x+1 >0 e x-2 <0 , logo (2x + 1)(x - 2) < 0 (+ x - = -) 
 Se 2x+1 >0 e x-2 >0 , logo (2x + 1)(x - 2) > 0 (+ x + = +) 
 Se 2x+1 =0 ou x - 2 =0, logo (2x + 1)(x - 2) = 0 
 
Graficamente: 
 
 
 
Portanto, 
 (2x+1)(x-2)< 0, para -1/2 < x < 2 
 (2x+1)(x-2) = 0, para x = -1/2 ou x = 2 
 (2x+1)(x-2)> 0, para x <-1/2 ou x > 2 
 
g) 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de 2 - 3x: 
2 - 3x< 0 
-3x < -2 
3x > 2 * 
x > 2/3 
2 - 3x= 0 
-3x = -2 
3x = 2 
x = 2/3 
2 - 3x> 0 
-3x >-2 
3x < 2 * 
x < 2/3 
 
 
Estudando o sinal de x+2: 
x + 2< 0 
x < -2 
x + 2= 0 
x =-2 
x + 2> 0 
x > -2 
 
 
Estudando o sinal de : 
 Se 2 - 3x > 0 e x+2 < 0, logo < 0 (+ / - = -) 
 Se 2 - 3x >0 e x+2 >0 , logo > 0 (+/+ = +) 
 Se 2 - 3x<0 e x+2 >0 , logo > 0 (- / + = -) 
 Se 2 - 3x =0 , logo = 0 
 Se x+2 = 0, logo não estará definido! ( 1° mandamento da 
Matemática) 
 
Graficamente: 
 
 
 
Portanto, 
 < 0, para x < -2 ou x > 2/3 
 = 0, para x = 2/3 
 > 0, para -2 < x < 2/3 
 nao está definido em x = -2 
 
h) 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de 2 - x: 
2 - x< 0 
-x < -2 
x > 2 * 
2 - x = 0 
-x = -2 
x = 2 
2 - x> 0 
-x > -2 
x < 2 * 
 
 
Estudando o sinal de 3-x: 
3 - x< 0 
-x < -3 
x >3* 
3 - x = 0 
-x = -3 
 
x = 3 
3 - x> 0 
-x > -3 
x < 3* 
 
 
Estudando o sinal de : 
 Se 2 -x > 0 e 3-x > 0, logo > 0 (+ /+ = +) 
 Se 2 - x < 0 e 3-x > 0 , logo < 0 (-/+ = -) 
 Se 2 - x<0 e 3-x <0 , logo > 0 (- / - = +) 
 Se 2 - x =0 , logo = 0 
 Se 3 -x = 0, logo não estará definido! ( 1° mandamento da 
Matemática) 
 
Graficamente: 
 
 
 
Portanto, 
 < 0, para x < -2 ou x > 2/3 
 = 0, para x = 2/3 
 > 0, para -2< x < 2/3 
 nao está definido em x= -2 
 
i) (2x - 1)(3 - 2x) 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de 2x - 1: 
2x-1<0 
2x<1 
x<1/2 
2x-1=0 
2x=1 
x=1/2 
2x-1>0 
2x>1 
x>1/2 
 
 
Estudando o sinal de x-2: 
3 - 2x< 0 
-2x < -3 
2x > 3 * 
x > 3/2 
3 - 2x= 0 
-2x = -3 
2x = 3 
x = 3/2 
3 - 2x> 0 
-2x > -3 
2x < 3 * 
x < 3/2 
 
 
Estudando o sinal de (2x - 1)(3 - 2x): 
 Se 2x - 1 < 0 e 3 - 2x > 0, logo (2x - 1)(3 - 2x) >0 (- x + = -) 
 Se 2x - 1 >0 e 3 - 2x >0 , logo (2x - 1)(3 - 2x)<0 (+ x + = +) 
 Se 2x - 1 >0 e 3 - 2x <0 , logo (2x - 1)(3 - 2x) >0 (+ x - = -) 
 Se 2x - 1 =0 ou 3 - 2x =0, logo (2x - 1)(3 - 2x) =0 
 
Graficamente: 
 
 
 
Portanto, 
 (2x - 1)(3 - 2x)< 0, para x < 1/2 ou x > 3/2 
 (2x - 1)(3 - 2x) = 0, para x = 1/2 ou x = 3/2 
 (2x - 1)(3 - 2x)> 0, para 1/2 < x < 3/2 
 
j) x(x - 3) 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de x - 3: 
x - 3<0 
x < 3 
x - 3=0 
x = 3 
x - 3>0 
x > 3 
 
 
Estudando o sinal de x(x - 3): 
 Se x < 0 e x - 3< 0, logo x(x - 3) >0 (- x - = +) 
 Se x >0 e x - 3 <0 , logo x(x - 3)<0 (+ x - = -) 
 Se x >0 e x - 3 >0 , logo x(x - 3) >0 (+ x + = +) 
 Se x =0 ou x - 3 =0, logo x(x - 3) =0 
Graficamente: 
 
 
 
Portanto, 
 x(x - 3)< 0, para 0 < x < 3 
 x(x - 3) = 0, para x = 0 ou x = 3 
 x(x - 3)> 0, para x < 0 ou x > 3 
 
l) x(x - 1)(2x + 3) 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de x-1: 
x - 1< 0 
x <1 
x - 1= 0 
x =1 
x - 1> 0 
x >1 
 
 
Estudando o sinal de 2x + 3: 
2x + 3< 0 
2x < -3 
x <- 3/2 
2x + 3= 0 
2x = -3 
x =- 3/2 
2x + 3> 0 
2x > -3 
x >- 3/2 
 
 
Estudando o sinal de x(x - 1)(2x + 3) : 
 Se x <0 , x - 1<0 e 2x + 3 <0, logo x(x - 1)(2x + 3) 
< 0 (- x -x -= -) 
 Se x<0 , x-1<0 e 2x+3 >0, logo (2x - 1)(3 - 2x)>0 (- x - x + = +) 
 Se x >0 ,x - 1<0 e 2x + 3>0, logo (2x - 1)(3 - 2x) >0 (+ x - x += -) 
 Se x >0 ,x - 1>0 e 2x + 3>0, logo (2x - 1)(3 - 2x) >0 (+ x + x += +) 
 Se x =0 ,x - 1=0 e 2x + 3=0, logo (2x - 1)(3 - 2x) =0 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Portanto, 
 x(x - 1)(2x + 3)< 0, para x < -3/2 ou 0 < x < 1 
 x(x - 1)(2x + 3) = 0, para x = -3/2 , x = 0 ou x = 1 
 x(x - 1)(2x + 3)> 0, para -3/2 < x < 0 ou x > 1 
 
m) (x - 1)(1 + x)(2 - 3x) 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de x-1: 
x - 1< 0 
x <1 
x - 1= 0 
x =1 
x - 1> 0 
x >1 
 
 
Estudando o sinal de 1 + x: 
1+x< 0 
x < -1 
1+x= 0 
x = -1 
1+x> 0 
x > -1 
 
 
Estudando o sinal de 2 - 3x:2 - 3x< 0 
-3x < -2 
3x > 2 * 
x > 2/3 
2 - 3x= 0 
-3x = -2 
3x = 2 
x = 2/3 
2 - 3x> 0 
-3x >-2 
3x < 2 * 
x < 2/3 
 
 
Estudando o sinal de (x - 1)(1 + x)(2 - 3x) : 
 Se x -1<0 , 1 + x<0 e 2 - 3x >0, logo(x - 1)(1 + x)(2 - 3x) 
> 0 (- x -x + = +) 
 Se x - 1<0 , 1 + x>0 e 2 - 3x >0, logo (x - 1)(1 + x)(2 - 3x)<0 (- x + x + = -
) 
 Se x -1 <0 ,1 + x>0 e 2 - 3x<0, logo (x - 1)(1 + x)(2 - 3x) >0 (- x + x -= +) 
 Se x -1 >0 ,1 + x>0 e 2 - 3x<0, logo (x - 1)(1 + x)(2 - 3x) <0 (+ x + x -= -) 
 Se x -1 =0 ,1 + x=0 e 2 - 3x=0, logo (x - 1)(1 + x)(2 - 3x) =0 
 
Graficamente: 
 
 
 
Portanto, 
 (x - 1)(1 + x)(2 - 3x)< 0, para -1 < x <2/3 ou x > 1 
 (x - 1)(1 + x)(2 - 3x) = 0, para x = -1 , x = 2/3 ou x = 1 
 (x - 1)(1 + x)(2 - 3x)> 0, para x < -1 ou 2/3 < x <1 
 
n) x(x² + 3) 
 
Solução: 
 
Considerando que x² + 3 será sempre positivo, independente do valor de x, 
esse termo não influencia no estudo do sinal . Assim x determinará portanto o 
sinal da equação. 
 
Graficamente: 
 
Portanto, 
 x(x² + 3)< 0, para x < 0 
 x(x² + 3) = 0, para x = 0 
 x(x² + 3)> 0, para x >0 
o) (2x - 1)(x² + 1) 
 
Solução: 
 
Considerando que x² + 1 será sempre positivo, independente do valor de x, 
esse termo não influencia no estudo do sinal . Assim estudaremos somente o 
sinal de 2x-1, que determinará portanto o sinal da equação. 
 
Estudando o sinal de 2x - 1: 
2x-1<0 
2x<1 
x<1/2 
2x-1=0 
2x=1 
x=1/2 
2x-1>0 
2x>1 
x>1/2 
 
 
Graficamente: 
 
 
 
Portanto, 
 (2x - 1)(x² + 1)< 0, para x < 1/2 
 (2x - 1)(x² + 1) = 0, para x = 1/2 
 (2x - 1)(x² + 1)> 0, para x >1/2 
p) ax + b, onde a e b são reais dados, com a > 0. 
 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de ax + b, com a > 0: 
ax + b < 0 
ax < -b 
x < -b/a 
ax + b = 0 
ax = -b 
x = -b/a 
ax + b > 0 
ax > -b 
x > -b/a 
 
 
Graficamente: 
 
 
 
Portanto, 
 ax+b<0, para x <-b/a 
 ax+b=0, para x = -b/a 
 ax+b>0, para x >-b/a 
q) ax + b, onde a < 0 e b são dois reais dados. 
 
Solução: 
 
Vimos no exercicio anterior que a raiz da equação ax + b é -b/a, isto é, 
quando x = -b/a , ax + b = 0. Logo , no grafico a reta cruza o eixo x em -b/a. 
Considerandando que a < 0 , a função é decrescente. Veja o gráfico: 
 
 
 
 
Portanto, 
 ax+b<0, para x >-b/a 
 ax+b=0, para x = -b/a 
 ax+b>0, para x <-b/a 
obs. Sendo f (x)=ax + b, sendo a e b dois reais dados , temos que o estudo do 
sinal de forma generica será: 
 
 
 
3. Resolva a inequação. 
 
Dica: Ao fazer o estudo do sinal podemos encontrar a solução da inequação 
facilmente. Observe que todas as funções que compõem as inequações são da 
forma ax + b, logo para fazer o estudo do sinal basta usar a fórmula genérica . 
 
 
 
a) <0 
 
Solução: 
Estudando o sinal de : 
1. Encontrando a raiz de 2x - 1: 
 
2x-1 = 0 
2x = 1 
x=1/2 
 
A raiz de 2x - 1 é 1/2. 
 
2. Encontrando a raiz de x + 1: 
 
x + 1 = 0 
x = -1 
 
A raiz de x + 1 é -1. 
 
Graficamente: 
 
 
 
Logo, <0 para -1 < x < 1/2. 
 
 
b) ≥ 0 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de : 
1. Encontrando a raiz de 1 - x: 
 
1 - x= 0 
-x = -1 
x=1 
 
A raiz de 1 -x é 1. 
 
2. Encontrando a raiz de 3 - x: 
 
3 - x= 0 
-x = -3 
x=3 
 
A raiz de 3 - x é 3. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Logo, ≥ 0 para x ≤ 1 ou x > 3. 
 
c) >0 
Solução: 
Estudando o sinal de : 
 
1. Encontrando a raiz de x - 2: 
 
x - 2= 0 
x = 2 
 
A raiz de x - 2 é 2. 
 
2. Encontrando a raiz de 3x + 1: 
 
3x + 1= 0 
3x = -1 
x=-1/3 
 
A raiz de 3x+1 é -1/3. 
 
Graficamente: 
 
 
Logo, > 0 para x < -1/3 ou x > 2 
 
 
d) (2x -1)(x+ 3)<0 
Solução: 
Estudando o sinal de (2x -1)(x+ 3): 
 
1. Encontrando a raiz de 2x-1: 
 
2x - 1= 0 
2x = 1 
x = 1/2 
 
A raiz de 2x-1 é 1/2. 
 
2. Encontrando a raiz de x + 3: 
 
x + 3= 0 
x = -3 
 
A raiz de x + 3 é -3. 
 
Graficamente: 
 
 
 
Logo,(2x -1)(x+ 3)<0 para -3 < x < 1/2 
 
 
e) ≤0 
Solução: 
 
 
Estudando o sinal de : 
 
1. Encontrando a raiz de 3x - 2: 
 
3x - 2= 0 
3x = 2 
x=2/3 
 
A raiz de 3x - 2 é 2/3. 
 
2. Encontrando a raiz de 2-x: 
 
2-x = 0 
-x = -2 
x = 2 
 
A raiz de 2-x é 2. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Logo, ≤ 0 para x ≤ 2/3 ou x > 2 
 
 
f) x(2x - 1) ≥ 0 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de x(2x - 1): 
 
1.A raiz de x é 0. 
 
2. Encontrando a raiz de 2x - 1: 
 
2x - 1= 0 
2x = 1 
x = 1/2 
 
A raiz de 2x - 1 é 1/2. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Logo, x(2x - 1) ≥ 0 para x ≤ 0 ou x ≥ 1/ 2 
 
g) (x - 2)(x + 2) > 0 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de (x - 2)(x + 2): 
 
1. Encontrando a raiz de x-2: 
 
x-2= 0 
x = 2 
 
A raiz de x-2 é 2. 
 
2. Encontrando a raiz de x + 2: 
 
x + 2= 0 
x = -2 
 
A raiz de x + 2 é -2. 
 
Graficamente: 
 
 
 
Logo,(x - 2)(x + 2) > 0 para x < -2 ou x > 2 
 
 
h) > 5 
 
Solução: 
 
Antes é necessário deixar a desigualdade em relação a 0. 
 
 
 
Estudando o sinal de : 
 
1. Encontrando a raiz de -3x+14: 
 
-3x+14= 0 
-3x= -14 
3x= 14 
x = 14/3 
 
A raiz de -3x+14 é 14/3. 
 
2. Encontrando a raiz de x - 3: 
 
x -3= 0 
x = 3 
 
A raiz de x - 3 é 3. 
 
Graficamente: 
 
 
 
Logo, >0 ⇔ > 5 para 3 < x < 14/3. 
 
i) ≤ 3 
 
Solução: 
 
Antes é necessário deixar a desigualdade em relação a 0. 
 
 
 
Estudando o sinal de : 
 
1. Encontrando a raiz de -5x+9: 
 
-5x+9= 0 
-5x= -9 
5x= 9 
x = 9/5 
 
A raiz de -5x+9 é 9/5. 
 
2. Encontrando a raiz de 2x - 3: 
 
2x -3= 0 
2x= 3 
x = 3/2 
 
A raiz de 2x - 3 é 3/2. 
 
Graficamente: 
 
 
 
Logo, ≤ 0 ⇔ ≤ 3 para x < 3/2 ou x ≥ 9/5 
 
 
j) < 1 
 
Solução: 
 
Antes é necessário deixar a desigualdade em relação a 0. 
 
 
 
Estudando o sinal de : 
 
1. Encontrando a raiz de 2x-3: 
 
2x-3= 0 
2x= 3 
x= 3/2 
 
A raiz de 2x-3 é 3/2. 
 
2. Encontrando a raiz de 2-x: 
 
2-x= 0 
-x=-2 
x = 2 
 
A raiz de 2-x é 2. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Logo, < 0 ⇔ < 1 para x < 3/2 ou x > 2 
 
 
l) x(2x - 1)(x + 1) > 0 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de x(2x - 1)(x + 1): 
 
1. Encontrando a raiz de 2x - 1: 
 
2x - 1= 0 
2x = 1 
x = 1/2 
 
A raiz de 2x - 1 é 1/2. 
 
2. Encontrando a raiz de x+1: 
 
x+1 = 0 
x = -1 
 
A raiz de x+1 é -1. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Logo, x(2x - 1)(x + 1) > 0 para -1 < x < 0 ou x > 1/2. 
 
 
m) (2x - 1)(x - 3) > 0 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de (2x -1)(x- 3): 
 
1. Encontrando a raiz de 2x-1: 
 
2x - 1= 0 
2x = 1 
x = 1/2 
 
A raiz de 2x-1 é 1/2. 
 
2. Encontrando a raiz de x - 3: 
 
x - 3= 0 
x = 3 
 
A raiz de x - 3 é 3. 
 
Graficamente: 
 
 
Logo,(2x - 1)(x - 3)> 0 para x < 1/2 ou x > 3 
 
n) (2x - 3)(x² + 1) < 0 
 
Solução: 
 
Considerando que x² + 1 será sempre positivo, independente do valor de x, 
esse termo não influencia no estudo do sinal . Assim estudaremos somente o 
sinal de 2x-3, que determinará portanto o sinal da equação. 
 
1. Encontrando a raiz de 2x - 3: 
 
2x - 3= 0 
2x = 3 
x = 3/2 
 
A raiz de 2x - 3 é 3/2. 
 
Graficamente: 
 
 
 
Logo,(2x - 3)(x² + 1) < 0 para x < 3/2. 
 
 
o) < 0 
 
Solução: 
 
Considerando que x² + 1 será sempre positivo, independente do valor de x, 
esse termo não influencia no estudo do sinal . Assim estudaremos somente o 
sinal de x-3, que determinará portanto o sinal da equação. 
 
1. Encontrando a raiz de x - 3: 
 
x - 3= 0 
x = 3 
 
A raiz de x - 3 é 3. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Logo, < 0 para x < 3. 
 
 
4. Divida x³ - a³ por x-a e conclua que x³ - a³ = (x -a)(x² + ax + a²) 
 
Dica: A divisão de um polinomio F(x) por um polinomio G(x): 
1. Se o grau de F(x) < G(x). 
 o quociente Q(x) será 0 e o resto R(x) será igual a F(x). 
2. Se o grau de F(x) ≤ G(x). 
 dividir o termo de maior grau de F(x) pelo de maior grau de G(x), 
obtendo assim o primeiro termo do quociente Q(x). Exemplo: 4x² / 2x = 
(4/2)(x²/x)=2x. 
 multiplique esse termo do quociente pelo primeiro termo de G(x), e 
subtraia de F(x) e copie os demais termos de F(x). 
 Repita esses passos até que o grau de F(x) seja menor que G(x), 
obtendo o resto R(x). 
Assim como na divisão aritmética temos que : dividendo = (divisor x 
quociente) + resto, portanto na divisão do polinômio F(x) = G(x)Q(x) + R(x). Se 
R(x) = 0, a divisão é considerada exata. Para saber mais sobre divisões de 
polinômios, veja em: Divisão de Polinômios. 
 
Solução: 
 
 
 
Sendo F(x) = G(x)Q(x)+R(x), substituindo temos que: x³ - a³ = (x - a)(x² + ax + 
a²) Verificando: x³ - a³ = (x - a)(x² + ax + a²) x³ - a³ = x³+ax²+a²x-ax²-a²x-a³ 
x³-a³=x³-a³ 
 
5. Verifique as identidades. 
 
a) x² - a² = (x - a)(x + a) 
 
Solução: 
 
 
Sendo F(x) = G(x)Q(x)+R(x), substituindo temos que: x² - a² = (x - a)(x + a) 
 
 
b) x³ - a³ = (x - a)(x² +ax+ a²) 
 
Solução: 
 
 
 
Sendo F(x) = G(x)Q(x)+R(x), substituindo temos que: x³ - a³ = (x - a)(x² +ax+ 
a²) 
 
 
c) x4 - a4 = (x - a)(x³ + ax² +a²x + a³) 
 
Solução: 
 
 
Sendo F(x) = G(x)Q(x)+R(x), substituindo temos que: x4 - a4 = (x - a)(x³ + ax² 
+a²x + a³) 
 
d) x5 - a5 = (x - a)(x4 + ax³ +a²x² + a³x + a4) 
 
Solução: 
 
 
 
Sendo F(x) = G(x)Q(x)+R(x), substituindo temos que: x5 - a5 = (x - a)(x4 + ax³ 
+a²x² + a³x + a4) 
 
 
e) xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , onde n ≠ 0 é um 
natural. 
 
Solução: 
 
 
Sendo F(x) = G(x)Q(x)+R(x), considerando que a raiz da equação, temos que 
R(x)=0, logo: xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) 
 
6. Simplifique. 
 
 
a) 
 
Solução: 
 
 Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , 
temos que: x² - 1 = x² - 1² =(x - 1)(x + 1) Substituindo : 
 
 
 
 
b) 
 
Solução: 
 
Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , 
temos que: x³ - 8 = x³ - 2³ =(x - 2)(x² + 2x + 4) x² - 4 = x² - 2² =(x - 2)(x + 2) 
Substituindo : 
 
 
 
 
 
c) 
 
Solução: 
 
Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , 
temos que: 4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x - 3)(2x + 3) Substituindo : 
 
 
 
 
d) 
Solução: 
 
 
 
obs: 1 - x = - ( x - 1 ) 
 
e) 
 
Solução: 
 
 
 
 
Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , 
temos que: x² - 1 = x² - 1² = (x - 1)(x + 1) Substituindo : 
 
 
 
 
obs: 1 - x² = - ( x² - 1 ) 
 
 
f) 
 
Solução: 
 
 
 
 
Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , 
temos que: x² - 9 = x² - 3² = (x - 3)(x + 3) Substituindo : 
 
 
 
 
obs: 9 - x² = - ( x² - 9 ) 
 
 
g) 
 
Solução: 
 
 
 
obs: 5 - x = - ( x - 5 ) 
 
h) 
 
Solução: 
 
 
 
obs: p - x = - ( x - p ) 
 
i) 
 
Solução: 
 
 
 
Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , 
temos que: x² - p² = (x - p)(x + p) Substituindo : 
 
 
 
 
j) 
 
Solução: 
 
Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , 
temos que: x4 - p4 =(x - p)(x³ + px² + p²x + p³) Substituindo : 
 
 
 
 
l) 
 
Dica: Veja as identidades dos produtos notáveis. 
 
Solução: 
 
Sabemos que : 
( x + h )² = x² + 2hx + h² (produtos notáveis) 
Substituindo: 
 
 
 
m) 
 
Solução: 
 
 
 
 
n) 
 
Dica: Veja as identidades dos produtos notáveis. 
 
Solução: 
 
Sabemos que : 
( x + h )³ = x³ + 3hx² + 3h²x + h³ (produtos notáveis) 
Substituindo: 
 
 
 
o) 
 
Dica: Veja as identidades dos produtos notáveis. 
 
Solução: 
 
Sabemos que : 
( x + h )² = x² + 2hx + h² (produtos notáveis) 
( x - h )² = x² - 2hx + h² (produtos notáveis) 
Substituindo: 
 
 
 
 
7. Resolva a inequação. 
 
Dica: 
1. Estudo do sinal de expressões na forma ax² - c: 
 
a) Encontrar as raízes x1 e x2 da equação: 
 
ax² - c = 0 
ax² = c 
x² = c/a 
x = ± √c/a 
 
 
Portanto a equação terá duas raízes inteiras de mesmo módulo e sinais 
diferentes. Assim, x1= √c/a e x2= - √c/a. 
 
b) Graficamente: 
 Se a > 0 : 
 
( Supondo x1 < x2 ) 
 Se a < 0: 
 
( Supondo x1 < x2 ) 
 
2. Estudo do de expressões na forma ax + b: 
 
 
 
 
a) x² - 4 > 0 
 
Solução: 
 
 
1. Estudo do sinal de x² - 4: 
- Encontrar as raízes x1 e x2 da equação: 
x² - 4 = 0 
x² = 4 
x = ± √4 
x = ± 2 
 
Assim, x1= -2 e x2= 2. 
 
- Graficamente ( a > 0 ): 
 
 
 
 
Logo, x² - 4 > 0 para x < -2 ou x > 2. 
 
b) x² - 1 ≤ 0 
 
Solução: 
 
1. Estudo do sinal de x² - 1: 
- Encontrar as raízes x1 e x2 da equação: 
 
x² - 1 = 0 
x² = 1 
x = ± √1 
x = ± 1 
 
Assim, x1= -1 e x2= 1. 
 
- Graficamente ( a > 0 ): 
 
 
 
 
Logo, x² - 1 ≤ 0 para -1 ≤ x ≤ 1. 
 
 
c) x² > 4 
 
Solução: 
 
Sabemos que x² > 4 ⇔ x² - 4 > 0, portanto a resolução é igual ao exercício a). 
 
Logo, x² > 4 ⇔ x² - 4 > 0 para x < -2 ou x > 2. 
 
d) x² > 1 
 
Solução: 
 
Sabemos que x² > 1 ⇔ x² - 1 > 0, portanto a resolução é igual ao exercício b). 
 
Logo, x² >1⇔ x² - 1 > 0 para x < -1 ou x > 1. 
 
e) < 0 
 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de : 
 
1. Estudo do sinal de x² - 9: 
- Encontrar as raízes x1 e x2 da equação: 
 
x² - 9 = 0 
x² = 9 
x = ± √9 
x = ± 3 
 
Assim, x1= -3 e x2= 3. 
 
- Graficamente ( a > 0 ): 
 
 
 
2. Estudo do sinal de x+1: 
- Encontrar as raíz da equação: 
 
x + 1= 0 
x = -1 
 
A raiz de x + 1 é -1. 
 
- Graficamente : 
 
 
 
 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Logo, < 0 para x < -3 ou -1 < x < 3. 
 
f) >0 
 
Solução: 
 
Considerando que x² + 4 será sempre positivo, independente do valor de x, 
esse termo não influencia no estudo do sinal . Assim estudaremos somente o 
sinal de x²-4, que determinará portanto o sinal da equação. 
 
Veja o estudo do sinal de x²-4 em a). 
 
Graficamente ( a > 0 ): 
 
 
 
 
Logo, >0 para x < -2 ou x > 2. 
 
 
g) ( 2x - 1 )(x²- 4) ≤0 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de ( 2x - 1 )(x²- 4): 
 
1. Estudo do sinal de 2x-1: 
-Encontrar as raíz da equação: 
 
2x-1= 0 
2x= 1 
x= 1/2 
 
A raiz de 2x-1 é 1/2. 
 
- Graficamente : 
 
 
 
 
 
2. Veja o estudo do sinal de x²-4 em a): 
 
 
 
 
Graficamente: 
 
 
 
Logo,( 2x - 1 )(x²- 4) ≤ 0 para x ≤ -2 ou 1/2≤ x ≤2. 
 
 
h) 3x² ≥ 48 
 
Solução: 
 
Sabemos que 3x² ≥ 48 ⇔ 3x² - 48 ≥ 0, portanto estudaremos o sinal de 3x²-48. 
1. 
 
Estudo do sinal de 3x²-48: 
- Encontrar as raízes x1 e x2 da equação: 
3x² - 48 = 0 
3x² = 48 
x² = 48/3 
x² = 16 
x = ± √16 
x = ± 4 
 
Assim, x1= -4 e x2= 4. 
 
- Graficamente ( a > 0 ): 
 
 
 
 
Logo, 3x² ≥ 48 ⇔ 3x² - 48 ≥ 0 para x ≤ -4 ou x ≥ 4 . 
 
 
i) x² < r² , onde r > 0 é um real dado. 
 
Solução: 
 
Sabemos que x² < r² ⇔ x² - r² < 0, portanto estudaremos o sinal de x² - r². 
 
1. Estudo do sinal de x² - r²: 
- Encontrar as raízes x1 e x2 da equação: 
 
x² - r² = 0 
x² = r² 
x = ± √r² 
x = ± r 
 
Assim, x1= -r e x2= r. 
 
- Graficamente ( a > 0 ): 
 
 
 
 
Logo, x² < r² ⇔ x² - r² < 0 para -r < x < r. 
 
j) x² r² , onde r > 0 é um real dado. 
 
Solução: 
 
Sabemos que x² ≥ r² ⇔ x² - r² ≥ 0, portanto estudaremos o sinal de x² - r². 
 
Veja o estudodo sinal de x² - r² em i). 
 
Logo,x² ≥ r² ⇔ x² - r² ≥ 0 para x ≤ -r ou x ≥ 0 . 
 
 
8. Considere o polinômio do 2° grau ax² + bx + c, onde a ≠ 0, b e c são reais 
dados. 
 
a) Verifique que 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
b) Conclua de (a) que , se Δ ≥ 0, as raízes de ax² + bx + c são dadas pela 
fórmula 
 
Solução: 
 
Dada a equivalência de a), temos: 
 
 
 
c) Sejam e (Δ ≥ 0) as raízes de ax² + bx + c. 
Verifique que e . 
 
Solução: 
 
-Substituindo x1 e x2 em x1 + x2, temos: 
 
 
 
 
-Substituindo x1 e x2 em x1 x2, temos: 
 
 
 
 
9. Considere o polinômio do 2° grau ax² + bx + c e sejam x1 e x2 como no item 
(c) do Exercicio. Verifique que 
ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2) 
 
Solução: 
 
ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2) 
ax² + bx + c = a(x² -x2x -x1x + x1x2) 
ax² + bx + c = a( x² -x( x2 + x1 )+ x1x2 ) 
 
Como vimos no item (c) do exercício anterior e 
Substituindo: 
 
 
 
 
10. Utilizando o Exercício 9, fatore o polinômio do 2° grau dado. 
 
Dica: 
1. Fatorando polinômios do tipo: ax² + bx + c: 
 Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
 e , onde Δ = b² - 4ac. portanto, ax² + bx + c = 
a(x-x1)(x-x2) - Trinômio Soma e Produto . 
2. Fatorando polinômios do tipo: ax² + bx : 
 Para fatorar polinômios desse tipo, basta colocar x em evidência. Assim, 
ax² + bx = x (ax + b) - Fator comum em evidência . 
3. Fatorando polinômios do tipo : ax² - c: 
 Aplicando a regra dos produtos notáveis: 
 ax² - c = (√ax² + √c )(√ax² - √c) - Diferença entre dois quadrados 
 
Para um estudo mais detalhado acesse : Fatoração de Polinômios. 
 
a) x² - 3x +2 
 
Solução: 
 
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
Δ = (-3)² - 4.1.2 
Δ = 9 - 8 
Δ = 1 
 
 
Portanto , x² - 3x +2 = ( x - 2)(x - 1). 
 
b) x² - x - 2 
 
Solução: 
 
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
Δ = (-1)² - 4.1.(-2) 
Δ = 1 + 8 
Δ = 9 
 
 
Portanto , x² - x - 2 = ( x - 2)(x + 1). 
 
c) x² - 2x + 1 
 
 Solução: 
 
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
Δ = (-2)² - 4.1.(1) 
Δ = 4-4 
Δ = 0 Se Δ = 0 , temos x1 = x2 = , logo: 
 
 
Portanto , x² - 2x + 1 = ( x - 1)². 
 
d) x² - 6x + 9 
 
Solução: 
 
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
Δ = (-6)² - 4.1.9 
Δ = 36-36 
Δ = 0 
Se Δ = 0 , temos x1 = x2 = , logo: 
 
Portanto , x² - 6x + 9 = ( x - 3)². 
 
e) 2x² - 3x 
 
Solução: 
 
Colocando x em evidência, temos 2x² - 3x = x (2x -3) 
 
f) 2x² - 3x + 1 
 
Solução: 
 
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
Δ = (-3)² - 4.2.1 
Δ = 9 - 8 
Δ = 1 
 
 
Portanto , . 
 
g) x² - 25 
 
Solução: 
 
Aplicando a regra dos produtos notáveis: 
 
x² - 25 = (√x² + √25 )(√x² - √25) = (x + 5)(x - 5) 
 
 
h) 3x² + x - 2 
 
Solução: 
 
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
Δ = 1² - 4.3.(-2) 
Δ = 1 + 24 
Δ = 25 
 
 
Portanto , 
 
 
i) 4x² - 9 
 
Solução: 
 
Aplicando a regra dos produtos notáveis: 
 
4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x - 3)(2x + 3). 
 
j) 2x² - 5x 
 
Solução: 
 
Colocando x em evidência, temos 2x² - 5x = x (2x -5) 
 
 
11. Resolva a inequação. 
 
Dica: 1. Estudo do sinal de equações do 2° grau : 
 1° forma: 
-Encontrar as raízes x1 e x2 da equação: 
 e , onde Δ = b² - 4ac. 
 
 -Graficamente: 
 Se a >0: 
 
 ( Supondo x1 < x2 ) 
 Se a < 0: 
 
 ( Supondo x1 < x2 ) 
 2° forma 
 -Encontrar as raízes x1 e x2 da equação: 
 
 e , onde Δ = b² - 4ac. 
 
 -Fatorar o polinômio: ax² + bx + c = a(x-x1)(x-x2) 
 -Fazer o estudo do sinal das expressões de 1° grau que compõem o produto 
a(x-x1)(x-x2). 
 
 
 
a) x² - 3x + 2 < 0 
 
Solução: 
 
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
Δ = (-3)² - 4.1.2 
Δ = 9 - 8 
Δ = 1 
 
 
-Graficamente (a > 0) 
 
 
 
 
 Logo x² - 3x + 2 < 0 , para 1 < x < 2 . 
 
b) x² - 5x + 6 ≥ 0 
 
Solução: 
 
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
Δ = (-5)² - 4.1.6 
Δ = 25 - 24 
Δ = 1 
 
 
-Graficamente (a > 0) 
 
 
 
 
 Logo x² - 5x + 6 ≥ 0 , para x ≤ 2 ou x ≥ 3. 
 
c) x² - 3x > 0 
 
Solução: 
 
-Fatorando o polinômio: 
x² - 3x = x (x - 3) 
 
-Estudo do sinal de x (x - 3) 
Encontrar a raiz de x - 3: 
 x-3 = 0 
 x = 3 
 
-Graficamente: 
 
 
 
Logo x² - 3x > 0 , para x < 0 ou x > 3. 
 
d) x² - 9 < 0 
 
Solução: 
 
Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
 
x² - 9 = 0 
x² = 9 
x = ± √9 
x = ± 3 
 
Assim, x1= -3 e x2= 3. 
 
Graficamente (a > 0) 
 
 
 
 
Logo x² - 9 < 0 , para -3 < x < 3. 
 
e) x² - x - 2 ≥ 0 
 
Solução: 
 
Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
Δ = (-1)² - 4.1.(-2) 
Δ = 1 + 8 
Δ = 9 
 
 
Graficamente (a > 0) 
 
 
 
 
Logo x² - x - 2 ≥ 0, para x ≤ -1 ou x ≥ 2. 
 
f) 3x² + x - 2 > 0 
 
Solução: 
 
Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
Δ = 1² - 4.3.(-2) 
Δ = 1 + 24 
Δ = 25 
 
 
 
Graficamente (a > 0) 
 
 
 
 
Logo 3x² + x - 2 > 0, para x < -1 ou x > 2/3. 
 
g) x² - 4x + 4 > 0 
 
Solução: 
 
Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
Δ = (-4)² - 4.1.4 
Δ = 16 -16 
Δ = 0 Se Δ = 0 , temos x1 = x2 = , logo: 
 
 
 
Portanto , x² - 4x + 4 = ( x - 2)². 
 
Considerando que ( x - 2)² será sempre positivo, independente do x, logo x² - 
4x + 4 > 0, para todo x ≠2, pois (2 - 2)² = 0. 
 
h) 3x² - x ≤ 0 
 
Solução: 
 
Fatorando o polinômio: 
3x² - x = x (3x - 1) 
 
Estudo do sinal de x (3x - 1) 
- Encontrar a raiz de 3x - 1: 
3x-1 = 0 
3x=1 
x=1/3 
 
Graficamente: 
 
 
 
Logo 3x² - x ≤ 0 , para 0 ≤ x ≤ 1/3. 
 
i) 4x² - 4x + 1 < 0 
 
Solução: 
 
Encontrando as raízes x1 e x2 da equação: 
Δ = (-4)² - 4.4.1 
Δ = 16 -16 
Δ = 0 
Se Δ = 0 , temos x1 = x2 = , logo: 
 
 
Portanto , 4x² - 4x + 1 = . 
 
Considerando que será sempre positivo, independente do x, logo 4x² 
- 4x + 1 < 0 , não adimite solução. 
 
j) 4x² - 4x + 1 ≤ 0 
 
Solução: 
 
Vimos no item ( i ) que : 
 
4x² - 4x + 1 = . 
 
Considerando que será sempre positivo, independente do x,assim 
4x² - 4x + 1 , não adimite solução para 4x² - 4x + 1 < 0, porém 4x² - 4x + 1 = 0, 
quando x = 1/2. Logo, 4x² - 4x + 1 ≤ 0 para x = 1/2. 
 
12. Considere o polinômio do 2° grau ax² + bx + c e suponha que Δ < 0 . 
Utilizando o item (a) do Exercício 8, prove: 
 
a) se a > 0, então ax² + bx + c > 0 para todo x. b) se a < 0, então ax² + bx + c 
< 0 para todo x. 
 
Solução: 
 
No item (a) do Exercício 8, vimos que: 
 
 
 
Supondo Δ < 0 , a igualdade fica da seguinte maneira: 
 
 
 
Fazendo e , constantes ∈ R, temos: 
ax² + bx + c = a [ (x + d)² + e ] 
 
Observe que (x + d)² + e será sempre positivo, portanto não influencia no 
sinal da equação, portanto , a determina o sinal da equação, assim: 
 se a < 0 , a [ (x + d)² + e ] < 0 , portanto ax² + bx + c < 0. 
 se a > 0, a [ (x + d)² + e ] > 0 , portanto ax² + bx + c > 0. 
 
 13. Resolva a inequação. 
 
a) x² + 3 > 0 
 
Solução: 
 
Temos que: Δ = 0² - 4.1.3 = -12 < 0 
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + 
3 > 0 para todo x. 
 
 
b) x² + x + 1> 0 
 
Solução: 
 
Temos que: Δ = 1² - 4.1.1 = -4 < 0 
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + 
x + 1> 0 para todo x. 
 
 
c) x² + x + 1 ≤ 0 
 
Solução: 
 
Temos que: Δ = 1² - 4.1.1 = -3 < 0 
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + 
x + 1 ≤ 0 não adimite solução, pois x² + x + 1> 0 para todo x. 
 
 
d) x² + 5 ≤ 0 
 
Solução: 
 
Temos que: Δ = 0² - 4.1.5 = -20 < 0 
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo como exercício anterior , x² + 
5 ≤ 0 não adimite solução, pois x² + 5> 0 para todo x. 
 
e) (x - 3)(x² + 5) > 0 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de (x - 3)(x² + 5): 
 
1.Estudo do sinal de x - 3: 
- Encontrando a raiz de x - 3: 
 
x - 3= 0 
x = 3 
 
A raiz de x - 3 é 3. 
 
2. Estudo do sinal de x² + 5: 
 
Temos que: Δ = 0² - 4.1.5 = -20 < 0 
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + 
5> 0 para todo x. Assim o estudo do sinal é determinado por x - 3 , pois x² + 5 
não influencia no estudo do sinal 
 
Graficamente: 
 
 
Logo,(x - 3)(x² + 5) > 0 para x > 3 
 
 
f) (2x + 1)(x² + x + 1) ≤ 0 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de (2x + 1)(x² + x + 1): 
 
1.Estudo do sinal de 2x + 1: 
- Encontrando a raiz de 2x + 1: 
 
2x + 1= 0 
2x = -1 
x = -1/2 
 
A raiz de 2x + 1 é -1/2. 
 
2. Estudo do sinal de x² + x + 1: 
 
Temos que: Δ = 1² - 4.1.1 = -3 < 0 
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + 
x + 1> 0 para todo x. Assim o estudo do sinal é determinado por 2x + 1 , pois 
x² + x + 1 não influencia no estudo do sinal 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
Logo, (2x + 1)(x² + x + 1) ≤ 0, para x ≤-1/2 
 
 
g) x(x² + 1 ) ≥ 0 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de x(x² + 1 ): 
 
1.Estudo do sinal de x² + 1: 
 
Temos que: Δ = 0² - 4.1.1 = -4 < 0 
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + 
1> 0 para todo x. Assim o estudo do sinal é determinado por x , pois x² + 1 não 
influencia no estudo do sinal 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Logo, x(x² + 1 ) ≥ 0, para x ≥ 0. 
 
 
h) ( 1 - x)(x² + 2x + 2) < 0 
 
Solução: 
 
Estudando o sinal de ( 1 - x)(x² + 2x + 2): 
 
1.Estudo do sinal de 1 - x: 
- Encontrando a raiz de 1 - x: 
 
1 - x= 0 
-x = -1 
x = 1 
 
A raiz de 1 - x é 1. 
 
2. Estudo do sinal de x² + 2x + 2: 
 
Temos que: Δ = 2² - 4.1.2 = 4-8=-4 < 0 
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior ,x² + 
2x + 2> 0 para todo x. Assim o estudo do sinal é determinado por 1 - x , pois 
x² + 2x + 2 não influencia no estudo do sinal 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Logo, ( 1 - x)(x² + 2x + 2) < 0, para x > 1. 
 
 
i) > 0 
 
Solução: 
Estudando o sinal de : 
 
1.Estudo do sinal de 2x-3: 
- Encontrando a raiz de 2x-3: 
 
2x-3= 0 
2x = 3 
x = 3/2 
 
A raiz de 2x-3 é 3/2. 
 
2.Estudo do sinal de x² + 1: 
Temos que: Δ = 0² - 4.1.1 = -4 < 0 
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + 
1> 0 para todo x. Assim o estudo do sinal é determinado por 2x-3 , pois x² + 1 
não influencia no estudo do sinal. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Logo, > 0, para x > 3/2. 
 
j) ≥ 0 
 
Solução: Estudando o sinal de : 
 
1.Estudo do sinal de x² + x + 1: 
Temos que: Δ = 1² - 4.1.1 = 1-4 = -3 < 0 
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + 
x + 1> 0 para todo x. Assim o estudo do sinal é determinado por x , pois x² + x 
+ 1 não influencia no estudo do sinal. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
Logo, ≥ 0, para x ≥ 0. 
 
14. Prove : 
 
⇔ 5x + 3 ≥ 5 (x² + 1) 
 
Solução: 
 
A equivalência só é verdadeira no intervalo em que x² + 1 > 0, pois quando 
multiplicamos os termos de uma inequação por um número negativo o sentido 
do sinal de desigualdade se inverte, o que tornaria a equivalência falsa. 
 
 
 
 
Portanto, iremos fazer um estudo do sinal para descobrir o intervalo em que 
x² + 1 > 0. 
 
1.Estudo do sinal de x² + 1: 
 
Temos que: Δ = 0² - 4.1.1 = -4 < 0 
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício 12 , x² + 1> 0 
para todo x. Logo, a sentença é válida para todo x. 
 
15. A afirmação: "para todo x real , x ≠2 
 
⇔ x² + x + 1 > 3 (x - 2) 
é falsa ou verdadeira ? Justifique. 
 
Solução: 
 
A equivalência só é verdadeira no intervalo em que x-2 > 0, pois quando 
multiplicamos os termos de uma inequação por um número negativo o sentido 
do sinal de desigualdade se inverte, o que tornaria a equivalência falsa. 
Observe: 
 
- Se x - 2 > 0 
 
 
 
 
 
-Se x - 2 > 0 
 
 
 
 
Portanto, iremos fazer um estudo do sinal para descobrir o intervalo em que 
x-2 > 0. 
 
- Encontrar a raiz de x-2: 
 
x-2 =0 
x=2 
 
- Graficamente : 
 
 
Portanto a equivalência só é verdadeira no intervalo em que x > 2 , logo a 
afirmação é falsa. 
 
 
16. Suponha que P(x) = a0x
n + a1x
n-1 + ... + an-1x + an seja um polinômio de 
grau n, com coeficiente inteiros, isto é, a0 ≠ 0, a1, a2, ... , an são números 
inteiros. Seja α um número inteiro. Prove que se α for raiz de P(x), então α 
será um divisor do termo independente an. 
 
Solução: 
 
Se α é raiz do polinômio, logo P(α) = 0. Assim : 
a0α
n + a1α
n-1 + ... + an-1α + an= 0 
an=- a0α
n - a1α
n-1 - ... - an-1α 
an= α (- a0α
n-1 - a1α
n-2 - ... - an-1) 
a n/ α = - a0α
n-1 - a1α
n-2 - ... - an-1 
 
Fazendo k = - a0α
n-1 - a1α
n-2 - ... - an-1 , um inteiro. Temos :a n/ α = k 
 
Logo, α é um divisor do termo independente an. 
 
17. Utilizando o Exercício 16, determine, caso existam as raízes inteiras da 
equação. 
 
Dica: Vimos no Exercicio 16 que a raiz do polinômio é um divisor do termo 
independente, portanto, faça teste com todas os divisores do termo 
independente. 
 
a) x³ + 2x² + x - 4 = 0 
 
Solução: 
 
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2,4,-4. 
- Testando: 
 
P(1) = 1³ + 2.1 + 1 - 4 = 1 + 2 + 1 - 4 = 0 , portanto 1 é raíz da equação. 
 
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais fatorando o polinômio. Para 
isso divida o polinômio por (x-1): 
 
 
 
Portanto, x³ + 2x² + x - 4 = (x - 1)(x²+3x+4) 
 
 
-Encontrar as raízes de x²+3x+4: 
Δ = 3² - 4.1.4 =9-16=-7 < 0 
Logo, x²+3x+4 não possui raízes inteiras. Portanto o polinômio x³ + 2x² + x - 4 
só possui uma raiz inteira: 1 
 
 
b) x³ - x² + x + 14 = 0 
 
Solução: 
 
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2,7,-7,14,-14. 
- Testando: 
 
P(1) = 1³ -1² + 1+14=1-1+1+14 = 15 
P(-1) = (-1)³ -(-1)²-1+14 = -1 - 1 -1 +14 = 11 
P(2) = 2³ - 2² + 2 + 14 = 8 - 4 + 2 + 14 = 20 
P(-2) = (-2)³ - (-2)² - 2 + 14 = -8 - 4 -2 +14 = 0 , portanto -2 é raiz da equação. 
 
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais fatorando o polinômio. Para 
isso divida o polinômio por (x+2): 
 
 
 
 
 Portanto, x³ - x² + x + 14 = (x + 2)(x²-3x+7) 
 
 
-Encontrar as raízes de x²-3x+7: 
 
Δ = (-3)² - 4.1.7 =9-36=-25 < 0 
Logo, x²-3x+7 não possui raízes inteiras. 
Portanto o polinômio x³ - x² + x + 14 só possui uma raiz inteira: -2 
 
 
c) x4 - 3x³ +x² + 3x = 2 
 
Solução: 
 
Sabendo que : x4 - 3x³ +x² + 3x = 2 ⇔ x4 - 3x³ +x² + 3x -2 = 0 
Assim : 
 
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2. 
- Testando: 
 
P(1) = 14 - 3.1³ +1² + 3.1 -2 = 1 - 3 +1 +3 -2 = 0 , portanto 1 é raiz da equação. 
P(-1) = (-1)4 - 3.(-1)³ +(-1)² + 3.(-1) -2 = 1+3+1-3-2 = 0, portanto -1 é raiz da 
equação. 
 
Descoberta duas raizes, podemos fatorar o polinômio para encontrar as 
demais raízes . Para isso divida o polinômio por (x-1), e depois divida o 
quociente por (x+1): 
 
 
 
Logo, x4 - 3x³ +x² + 3x -2 = (x - 1)(x + 1)(x² - 3x+2) -Encontrar as raízes de x² - 
3x +2: 
Δ = (-3)² - 4.1.2 
Δ = 9 - 8 
Δ = 1 
 
 
Assim , x² - 3x+2 = (x - 2)(x - 1) 
 
Logo, x4 - 3x³ +x² + 3x -2 = (x - 1)²(x + 1)(x - 2) 
Observe que o polinômio x4 - 3x³ +x² + 3x -2 possui raiz dupla 1. 
Conclui-se que o polinomio x4 - 3x³ +x² + 3x -2 possui todas as raízes inteiras : 
1,-1,2. 
 
d) 2x³ - x² - 1 = 0 
 
Solução: 
 
- Raízes possíveis: 1,-1. 
- Testando: 
 
P(1) = 2.1³ - 1² - 1 = 2 - 1 -1 = 0 , portanto 1 é raiz da equação. 
P(-1) = 2(-1)³ - (-1)² - 1 =-2 -1 -1= -4 
 
Portanto 1 é raiz do polinômio 2x³ - x² - 1 . 
 
e) x³ + x² + x - 14 = 0 
 
Solução: 
 
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2,7,-7,14,-14.- Testando: 
 
P(1) = 1³ + 1² + 1 - 14=1 + 1 + 1 - 14 = -11 
P(-1) = (-1)³ + (-1)² + (-1) - 14 = -1 + 1 -1 -14 = -15 
P(2) = 2³ + 2² + 2 - 14 = 8 + 4 + 2 - 14= 0 , portanto 2 é raíz da equação. 
 
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais fatorando o polinômio. Para 
isso divida o polinômio por (x-2): 
 
 
 
Portanto, x³ + x² + x - 14 = (x - 2)(x²+3x+7) 
 
 
-Encontrar as raízes de x²+3x+7: 
 
Δ = 3² - 4.1.7 =9-36=-25 < 0 
Logo, x²+3x+7 não possui raízes inteiras. 
 
Portanto o polinômio x³ + x² + x - 14 só possui uma raiz inteira: 2. 
 
f) x³ + 3x² - 4x -12 = 0 
 
Solução: 
 
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,12,-12. 
- Testando: 
 
P(1) = 1³ + 3.1² - 4.1 -12 = 1 + 3 -4 - 12 = -12 
P(-1) = (-1)³ + 3(-1)² - 4(-1) -12 = -1 + 3 + 4 -12= -6 
P(2) = 2³ + 3.2² - 4.2 -12 = 8 + 12 - 8 -12= 0 , portanto 2 é raíz da equação. 
 
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais fatorando o polinômio. Para 
isso divida o polinômio por (x-2): 
 
 
 
 
Portanto, x³ + 3x² - 4x -12 = (x - 2)(x²+5x+6) 
 
 
-Encontrar as raízes de x²+5x+6: 
Δ = 5² - 4.1.6 
Δ = 25-24 
Δ = 1 
 
 
Assim , x²+5x+6 = (x + 2)(x + 3) 
Logo, x³ + 3x² - 4x -12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3) 
Conclui-se que o polinomio x4 - 3x³ +x² + 3x -2 possui todas as raízes inteiras : 
2,-2,-3. 
 
18. Seja P(x) um polinômio de grau n. Prove: α é raiz de P(x) ⇔ P(x) é 
divisível por x - α 
 
Solução: 
 
Dividindo P(x) por x - α , obtemos : 
P(x) = (x - α) Q(x) + R(x) 
 
Fazendo x = α , temos : 
P(α) = (α - α) Q(α) + R(α) 
P(α) = 0. Q(α) + R(α) 
P(α) = R(α) 
 
Sendo α raiz do polinômios, conclui-se que : P(α)=0 Se P(α) = R(α) , logo R(α) 
= 0, portanto P(x) é divisível por x - α. 
 
19. Fatore o polinômio dado. 
 
a) x³ + 2x² - x - 2 
 
Solução: 
 
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2. 
- Testando: 
 
P(1) = 1³ + 2.1² - 1 - 2 = 1+ 2 - 1 -2= 0 , portanto 1 é raiz da equação. 
 
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais dividindo o polinômio por (x-
1): 
 
 
 
 
Portanto, x³ + 2x² - x - 2 = (x - 1)(x²+3x+2) 
 
 
Fatorandox²+3x+2 : 
 
-Encontrar as raízes de x²+3x+2: 
Δ = 3² - 4.1.2 
Δ = 9-8 
Δ = 1 
 
 
Assim , x²+3x+2 = (x + 1)(x + 2) 
 
Logo, x³ + 2x² - x - 2 = (x - 1)(x + 1)(x + 2) 
 
b) x4 - 3x³ + x² + 3x - 2 
 
Solução: 
 
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2. 
- Testando: 
 
P(1) = 1 4 - 3.1³ + 1² + 3.1 - 2 = 1 -3 +1 +3 -2 = 0 , portanto 1 é raiz da 
equação. 
 
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais dividindo o polinômio por (x-
1): 
 
 
 
 
Portanto, x4 - 3x³ + x² + 3x - 2= (x - 1)(x³-2x²-x+2) 
 
 
Vimos no item a) que : x³ + 2x² - x - 2 = (x - 1)(x + 1)(x + 2) 
 
Logo, x4 - 3x³ + x² + 3x - 2= (x - 1)²(x + 1)(x + 2) 
 
c) x³ + 2x² - 3x 
 
Solução: 
 
Fatorando por evidência, temos: x³ + 2x² - 3x = x ( x² + 2x -3) 
 
Fatorando x² + 2x -3 : 
 
-Encontrar as raízes de x² + 2x -3: 
Δ = 2² - 4.1.(-3) 
Δ = 4 + 12 
Δ = 16 
 
 
Assim , x² + 2x -3 = (x - 1)(x + 3) Logo, x³ + 2x² - 3x = x (x - 1)(x + 3) 
 
 
d) x³ + 3x² - 4x - 12 
 
Solução: 
 
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2.3,-3,4,-4,6,-6,12,-12. 
- Testando: 
 
P(1) = 1³ + 3.1² - 4.1 -12 = 1 + 3 -4 - 12 = -12 
P(-1) = (-1)³ + 3(-1)² - 4(-1) -12 = -1 + 3 + 4 -12= -6 
P(2) = 2³ + 3.2² - 4.2 -12 = 8 + 12 - 8 -12= 0 , portanto 2 é raíz da equação. 
 
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais fatorando o polinômio. Para 
isso divida o polinômio por (x-2): 
 
 
 
Portanto, x³ + 3x² - 4x - 12= (x - 2)(x²+5x+6) 
 
Fatorando x²+5x+6 : 
 
-Encontrar as raízes de x²+5x+6: 
Δ = 5² - 4.1.6 
Δ = 25-24 
Δ = 1 
 
 
Assim , x²+5x+6 = (x + 2)(x + 3) 
 
Logo, x³ + 3x² - 4x - 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3) 
 
 
e) x³ + 6x² + 11x + 6 
 
Solução: 
 
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2.3,-3,6,-6. 
- Testando: 
 
P(1) = 1³ + 6.1² + 11.1 + 6 = 1 + 6 + 11 + 6 = 24 
P(-1) = (-1)³ + 6(-1)² + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6= 0 , portanto -1 é raiz da 
equação. 
 
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais fatorando o polinômio. Para 
isso divida o polinômio por (x+1): 
 
 
 
Portanto, x³ + 6x² + 11x + 6 = (x + 1)(x²+5x+6) 
 
 
Fatorando x²+5x+6 : 
 
-Encontrar as raízes de x²+5x+6: 
Δ = 5² - 4.1.6 
Δ = 25-24 
Δ = 1 
 
 
Assim , x²+5x+6 = (x + 2)(x + 3) 
 
Logo, x³ + 6x² + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3) 
 
f) x³ - 1 
 
Solução: 
 
- Raízes possíveis: 1,-1. 
- Testando: 
 
P(1) = 1³ - 1 = 0 , portanto 1 é raiz da equação. 
 
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais dividindo o polinômio por (x-
1): 
 
 
 
 
Portanto, x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) 
 
 
-Encontrar as raízes de x² + x + 1: 
 
Δ = 1² - 4.1.1 Δ = 1-4 Δ = - 3 < 0 
Observe que x² + x + 1 não possui raízes reais, pois Δ< 0, logo x³ - 1 = (x - 
1)(x² + x + 1). 
 
20. Resolva a inequação. 
 
a) x³ - 1 > 0 
 
Solução: 
 
Fatorando x³ - 1 , temos: 
x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) - Veja no item (f) do Exercício 19. 
 
Estudando o sinal de (x - 1)(x² + x + 1): 
 
1.Estudo do sinal de x - 1: 
- Encontrando a raiz de x - 1: 
 
x - 1= 0 
x = 1 
 
A raiz de x - 1 é 1. 
 
2. Estudo do sinal de x² + x + 1: 
 
Temos que: Δ = 1² - 4.1.1 = 1-4=-3 < 0 
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto x² + 2x + 2 > 0 para todo x. 
Assim o estudo do sinal é determinado por x - 1 , pois x² + x + 1 não influencia 
no estudo do sinal 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Logo, x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) > 0, para x > 1. 
 
b) x³ + 6x² + 11x + 6 < 0 
 
Solução: 
 
Fatorando x³ + 6x² + 11x + 6 , temos: 
x³ + 6x² + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3) - Veja no item (e) do Exercício 19. 
 
Estudando o sinal de (x + 1)(x + 2)(x + 3): 
 
1.Estudo do sinal de x - 1: 
- Encontrando a raiz de x - 1: 
 
x + 1= 0 
x = -1 
 
A raiz de x + 1 é -1. 
 
2. Estudo do sinal de x + 2: 
- Encontrando a raiz de x + 2: 
 
x + 2= 0 
x = -2 
 
A raiz de x + 2 é -2. 
 
3. Estudo do sinal de x + 3: 
- Encontrando a raiz de x + 3: 
 
x + 3= 0 
x = -3 
 
A raiz de x + 3 é -3. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Logo, x³ + 6x² + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3) < 0, para x < -3 ou -2 < x < -1. 
 
 
c) x³ + 3x² - 4x - 12 ≥ 0 
 
Solução: 
 
Fatorando x³ + 3x² - 4x - 12 , temos: x³ + 3x² - 4x - 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3) - 
Veja no item (d) do Exercício 19. 
 
Estudando o sinal de (x - 2)(x + 2)(x + 3): 
 
1.Estudo do sinal de x - 2: 
- Encontrando a raiz de x - 2: 
 
 
x - 2= 0 
x = 2 
 
A raiz de x - 2 é 2. 
 
2. Estudo do sinal de x + 2: 
- Encontrando a raiz de x + 2: 
 
x + 2= 0 
x = -2 
 
A raiz de x + 2 é -2. 
 
 
3. Estudo do sinal de x + 3: 
- Encontrando a raiz de x + 3: 
 
x + 3= 0 
x = -3 
 
A raiz de x + 3 é -3. 
 
Graficamente: 
 
 
 
Logo, x³ + 3x² - 4x - 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3) ≥ 0, para -3 ≤ x ≤ -2 ou x ≥ 2 . 
 
 
d) x³ + 2x² - 3x < 0 
 
Solução: 
 
Fatorando x³ + 2x² - 3x , temos: x³ + 2x² - 3x = x (x - 1)(x + 3) - Veja no item 
(c) do Exercício 19. 
 
Estudando o sinal de x (x - 1)(x + 3): 
 
1.Estudo do sinal de x - 1: 
- Encontrando a raiz de x - 1: 
 
x - 1= 0 
x = 1 
 
A raiz de x - 1 é 1. 
 
2. Estudo do sinal de x + 3: 
- Encontrando a raiz de x + 3: 
 
x + 3= 0 
x = -3 
 
A raiz de x + 3 é -3. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Logo, x³ + 2x² - 3x = x (x - 1)(x + 3) < 0, para x < -3 ou 0 < x < 1. 
 
21. A afirmação : " quaisquer que sejam os reais x e y, x < y ⇔ x² < y² " é 
falsa ou verdadeira ? Justifique. 
 
Solução: 
 
É falsa. A afirmação somente é válida para x > 0 e y > 0 . 
Observe que se x for negativo, porém maior em módulo do que y, teremos 
uma contradição : 
 
Fazendo x = -2 e y = 3 , temos x² = 4 e y = 9 , logo x < y, porém x² > y². 
 
 
22. Prove que quaisquer que sejam os reais x e y, x < y ⇔ x³ < y³. 
 
Solução: 
 
Sabemos que y > x , portantofaremos y = x + n , com n ∈N. 
Assim , 
x³ < y³ 
x³ < (x + n)³ 
x³ < x³ + 3hx² + 3h²x + h³ 
 
Fazendo k = 3hx² + 3h²x + h³, temos: 
x ³ < x³ + k 
 
Portanto, x³ < y³ 
 
23. Neste exercício você deverá admitur como conhecidas apenas as 
propriedades (A1) a (A4), (M1) a (M4), (D), (O1) a (04), (OA) e (OM) . Supondo 
x e y quaisquer, prove: 
 
a) x . 0 = 0 
 
Solução: 
 
Sabendo que : 
x = x ⇔ x - x = 0 
Fatorando , temos: 
( 1 - 1)x =0 
Por A4, obtemos: 
0.x =0 
 
b) (Regra dos sinais) (-x)y = -xy; x(-y)= -xy; (-x)(-y) = xy 
 
Solução: 
 
 - Fatorando (-x)y , temos: 
(-x)y = [( 1 - 2)x]y 
Por D, obtemos: 
[( 1 - 2)x]y = xy - 2xy = -xy 
 
- Fatorando x(-y) , temos: 
x(-y) = x[( 1 - 2)y] 
Por D, obtemos: 
x[( 1 - 2)y] = xy - 2xy = -xy 
 
- Fatorando (-x)(-y) , temos: 
(-x)(-y) = [( 1 - 2)x][( 1 - 2)y] 
Por D, obtemos: 
[( 1 - 2)x][( 1 - 2)y] = (x - 2x)(y - 2y) = xy - 2xy -2xy +4xy = xy - 4xy +4xy = xy 
 
 
c) x² ≥ 0. 
 
Solução: . 
 
- Se x > 0 
 x² = x . x 
Fatorando x.x, temos: 
x.x = [(2-1)x][(2-1)x] 
Por D, obtemos : 
[(2-1)x][(2-1)x] = (2x - x)(2x - x) = 4x²-2x²-2x²+x² = 4x² - 4x² +x² = x² 
 
- Se x < 0 
(-x)² = (-x) .(-x) 
Fatorando (-x) .(-x), temos: 
(-x) .(-x) = [(1-2)x][(1-2)x] 
Por D, obtemos : 
[(1-2)x][(1-2)x] = (x - 2x)(x - 2x) = x² - 2x² -2x² +4x² = x² -4x² + 4² = x² 
 
Logo x² > 0 , para todo x. 
 
d) 1 > 0 
 
Solução: 
 
Seja 1 um número positivo. Se retirarmos um número maior de 1 , teriamos 
um número negativo. Vejamos : 
1 - 0 = 1 > 0 
Portanto 1 > 0. 
 
e) x > 0 ⇔ x -1 > 0 
 
Solução: 
 
Se x -1< 0 , temos , por M4: 
 -(x -1)x = 1 > 0 
Observe, que a multiplicação resultou em um número positivo. Veja em b, 
que a única situação em que isso é possivel é quando (-x)(-y) = xy > 0 , logo 
para x -1 > 0 , x > 0. Logo, o recíproco é verdadeiro. 
 
f) (Anulamento do produto) xy = 0 ⇔ x=0 ou y=0 
 
Solução: 
 
 Há três hipóteses : 
 
-x ≠ 0 e y ≠ 0 : 
 
Temos : xy = 0 
Multiplicando x e y por seus respectivos inversos,logo: 
(x -1.x)(y -1.y) = 0 
Por M4, temos: 
(x -1.x)(y -1.y) = 1 
 
(Absurdo) 
 
- x ≠ 0 e y = 0 : 
 
Temos: xy = 0 
Multiplicando x por seu respectivo inverso, temos: 
(x -1.x).y = 0 
Por M4, temos: 
(x -1.x).y = 1.y = y. 
Sendo y = 0, logo xy = 0 
 
-x = 0 e y ≠ 0 : 
 
Temos: xy = 0 
Multiplicando y por seu respectivo inverso, temos: 
x.(y -1.y) = 0 
Por M4, temos: 
x.(y -1.y) = x.1 = x. 
Sendo x = 0, logo xy = 0 
 
 
g) x² = y² ⇔ x = y ou x = -y 
 
Solução: 
 
Temos que : 
x² = y² ⇔ x² - y² = 0 
Fatorando : 
x² - y² = 0 
x² = y² 
x = ± √y² 
x = ± y 
 
Logo, x² - y² = (x - y)(x+y) = 0 
 
Fazendo m = x - y e n = x+y , temos : m.n = 0 
Em (f), vimos que m.n = 0 ⇔ m=0 ou n=0. 
 
Para m = 0 : 
x - y = 0 
x = y 
 
Para n = 0: 
x + y = 0 
x = -y 
 
Assim , se x² = y² ⇔ x = y ou x = -y 
 
h) Se x ≥ 0 e y ≥ 0, x² = y² ⇔ x = y 
 
Solução: 
Idem a (g) , mas considerando que x ≥ 0 e y ≥ 0 , logo a expressão x = -y não é 
válida. Assim x² = y² se x = y. 
 
 ______________________________________ 
 
* Ao multiplicarmos ambos os lados por um número negativo o sinal de 
desigualdade se invertee. Veja: - 3x < 5 
-3x (-1) < 5 (-1) 
3x > -5 
 
1° Mandamento da Matemática: Não dividirás por zero!