PC 2017 1 EP04 Transformacoes em Graficos

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EP 04 – 2017-1 – Transformações de Gráficos Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
EP 04 
Pré-Cálculo 
____________________________________________________________________________ 
Caro aluno 
Trabalhou bastante no EP03 – Funções Elementares e Leitura Gráfica? Conhecer bem as funções 
abordadas no EP03 vai ajudá-lo muito a fazer os exercícios do EP04. Vamos partir das funções mais 
simples abordadas no EP03 e com as transformações nos gráficos dessas funções: translações, reflexões, 
alongamentos ou compressões, modulações, que estudaremos agora, você será capaz de construir 
gráficos de funções muito mais elaboradas, que nem imaginaria ser capaz de construir tão cedo, no nosso 
curso! Por exemplo, você poderá esboçar o gráfico de função como: 
253)(  xxf
, 𝑔(𝑥) =
4
|𝑥−1|−2
 
O conteúdo desta semana você encontra no livro de Pré-Cálculo, Volume 2, Módulo 4, nas Aulas 24 e 
25. Nessas aulas você encontrará também conteúdos que abordaremos nas próximas semanas, mas 
tenho certeza que você conseguirá dar conta dessa leitura. Você pode iniciar o seu estudo pelo EP04 e 
usar esse estudo como orientação para a leitura do material impresso. 
Muito importante para a compreensão das transformações nos gráficos das funções são os APPLETS 
que colocamos na Sala da Disciplina Pré-Cálculo. Acompanhem o estudo desse EP com os applets. Eles 
são dinâmicos e muitas vezes explicam melhor que as palavras do texto. 
Vamos então, às transformações em gráficos de funções. 
 
 
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Translações 
 
Operações 
em 
)( xfy 
 
Somar uma 
constante positiva 
c
a 
)( xf
 
Subtrair uma constante 
positiva 
c
de 
)( xf
 
Somar uma constante 
positiva 
c
a 
x
 
Subtrair uma 
constante positiva 
c
de 
x
 
Nova 
equação cxfy  )(
 
cxfy  )(
 
)( cxfy 
 
)( cxfy 
 
Efeito 
Geométrico 
Translada o 
gráfico de 
)( xfy 
, 
c
 
unidades para 
cima 
Translada o gráfico de 
)( xfy 
, 
c
 unidades 
para baixo 
Translada o gráfico de 
)( xfy 
, 
c
 
unidades para a 
esquerda 
Translada o gráfico de 
)( xfy 
, 
c
 
unidades para a 
direita 
Exemplos 
2)( xxf 
 
e 
 
2)()(  xfxg
2)( 2  xxg
 
 
 
 
 
2)( xxf 
 
e 
 
2)()(  xfxg
 
2)( 2  xxg
 
 
 
 
 
2)( xxf 
 
e 
 
)2()(  xfxg
2)2()(  xxg
 
 
 
 
 
 
 
2)( xxf 
 
e 
 
)2()(  xfxg
2)2()(  xxg
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que subtrair uma constante positiva 𝒄 de 𝒇(𝒙) equivale a somar uma 
constante negativa 𝒌 = −𝒄 a 𝒇(𝒙) . 
No exemplo ao lado, podemos considerar 𝒄 = 𝟐 > 𝟎 
ou 𝒌 = −𝟐 < 𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 
 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝟐 
equivale a 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙) + (−𝟐) 
 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐 
equivale a 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + (−𝟐) 
Dizer que a translação horizontal é de 𝑐 = 2 unidades para baixo equivale a dizer 
que a translação é de |𝑘| = |−2| = 2 unidades para baixo. 
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Antes de falarmos em “Reflexões”, vamos lembrar, que dado um 
ponto 
),( yxP
 no plano cartesiano então: 
• o ponto simétrico de 
),( yxP
em relação ao eixo 𝑥 é o ponto 
).,(1 yxP 
 
• o ponto simétrico de 
),( yxP
em relação ao eixo 𝑦 é o ponto 
).,(2 yxP 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reflexões e Simetrias 
 
 
Operações em 
)( xfy 
 
Multiplicar 
x
 por 
1
 
ou, equivalentemente, 
Substituir 
x
 por 
x
 
Multiplicar 
)( xf
 por 
1
 
ou, equivalentemente, 
Substituir 
)(xf
 por 
)(xf
 
Nova equação 
)( xfy 
 
)( xfy 
 
Efeito Geométrico 
Reflete o gráfico de 
)( xfy 
 em 
torno do eixo 𝑦. 
Isso significa que os gráficos de 𝑓(𝑥) e 
de 𝑓(−𝑥) são simétricos em relação 
ao eixo 𝑦. 
Reflete o gráfico de 
)( xfy 
 em 
torno do eixo 𝑥. 
Isso significa que os gráficos de 
𝑓(𝑥) e de −𝑓(𝑥) são simétricos em 
relação ao eixo 𝑥. 
Exemplos 
 
xxf )(
 
e 
xxfxg  )()(
 
 
xxf )(
 
e 
xxfxg  )()(
 
 
 
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Modulações e Simetrias 
Operações em 
)( xfy 
 
Modular 
)( xf
: 
)( xf
 
Modular a variável 
x
: 
|
x
| 
Nova equação 






0)(,)(
0)(,)(
)(
xfsexf
xfsexf
xfy
 






0,)(
0,)(
)||(
xsexf
xsexf
xfy
 
Efeito Geométrico 
Mantém o gráfico de 
)( xf
 na parte do 
gráfico em que 
0)( xf
 e faz uma 
reflexão em torno do eixo 𝑥, da parte 
do gráfico onde 
0)( xf
. 
Isso significa que na parte do gráfico 
em que 𝑓(𝑥) ≥ 0 os gráficos de 𝑓(𝑥) e 
de |𝑓(𝑥)| são coincidentes e na parte 
do gráfico em que 𝑓(𝑥) < 0 os gráficos 
de 𝑓(𝑥) e de |𝑓(𝑥)| são simétricos em 
relação ao eixo 𝑥. 
Mantém o gráfico de 
)( xf
 na 
parte do gráfico em que 
0x
 e 
reflete essa mesma parte do 
gráfico em torno do eixo 𝑦 e a 
parte do gráfico de 
)( xf
 em que 
0x
 é eliminada. 
Isso significa que na parte do 
gráfico de 𝑓(𝑥) em que 𝑥 ≥ 0 os 
gráficos de 𝑓(𝑥) e 𝑓(|𝑥|) são 
simétricos em relação ao eixo 𝑦. 
Exemplos 
1)( 2  xxf 
e 
1)()( 2  xxfxg
 
 
2)1()(  xxf
e 
)|(|)( xfxg 
2)1|(|)(  xxg
 
 
 
 
 
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Outro exemplo dessa tabela de modulações: 
Dado ao lado o gráfico de 






0,2
0,1
)(
xsex
xsex
xf
, 
construir o gráfico de: 
a) 
)()( xfxg 
 b) 
)|(|)( xfxh 
 c)
)|(|)( xfxh 
 
 
 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________ 
Alongamentos (ou esticamentos ou ampliações) 
Compressões (ou reduções) 
Horizontais e Verticais 
 
Operações em 
)( xfy 
 
Multiplicar
)( xf
 por 
uma constante 
1, kk
 
Ex. 
4,2k
 
Multiplicar
)( xf
 por 
uma constante 
10,  kk
 
Ex. 
3
2k
 
Multiplicar
x
 por 
uma constante 
1, kk
 
Ex. 
4,2k
 
Multiplicar
x
 por 
uma constante 
10,  kk
 
Ex. 
3
2k
 
Nova equação 
)(xfky 
 
)( xfky 
 
)( xkfy 
 
)( xkfy 
 
Efeito 
Geométrico 
Esticar o gráfico de 
)( xfy 
, 
verticalmente por um 
fator multiplicativo de 
k
 unidades. 
Comprimir (ou reduzir) 
o gráfico de 
)( xfy 
, 
verticalmente por um 
fator multiplicativo de 
k
 unidades. 
Comprimir o gráfico 
de 
)( xfy 
, 
horizontalmente por 
um fator 
multiplicativo de 
k
1
 
unidades. 
Esticar o gráfico de 
)( xfy 
, 
horizontalmente por 
um fator 
multiplicativo de 
k
1
 unidades. 
 
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Exemplos dessa tabela: 
 
1- Dado o gráfico de 
)( xfy 
, 
construir o gráfico de 
)( xfcy 
, com
1c
. 
Por exemplo: 
𝑓(𝑥) = 3 − 𝑥2 Já sabemos fazer o gráfico dessa função, é uma 
reflexão no eixo 𝑥 da função elementar 𝑦 = 𝑥2, seguida de 
translação vertical de 3unidades para cima. 
𝑔(𝑥) = 2𝑓(𝑥) = 2(3 − 𝑥)2 
(esticado verticalmente, com fator multiplicativo 2). 
Observe que o gráfico se afasta do eixo 𝑥. 
Observe também que as raízes dessa função não se alteram. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2- Dado o gráfico de 
)( xfy 
, 
construir o gráfico de 
)( xfcy 
, com
10  c
. 
Por exemplo: 
 
𝑓(𝑥) = 3 − 𝑥2 Já sabemos fazer o gráfico dessa função, é 
uma reflexão no eixo 𝑥 da função elementar 𝑦 = 𝑥2, 
seguida de translação vertical de 3 unidades para cima. 
𝑔(𝑥) =
1
2
𝑓(𝑥) =
1
2
(3 − 𝑥)2 
(comprimido verticalmente, com fator multiplicativo 
1
2
). 
Observe que o gráfico se aproxima do eixo 𝑥. 
Observe também que as raízes dessa função não se alteram. 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
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3- Dado o gráfico de 
)( xfy 
, construir o gráfico de 
)( xcfy 
, com
1c
. 
 
Por exemplo: 
 
𝑓(𝑥) = 5 − 𝑥2 Já sabemos fazer o gráfico dessa 
função, é uma reflexão no eixo 𝑥 da função 
elementar 𝑦 = 𝑥2, seguida de translação 
vertical de 5 unidades para cima. 
𝑔(𝑥) = 𝑓(2𝑥) = 5 − (2𝑥)2 
(comprimido horizontalmente, com fator multiplicativo 
1
2
). 
Observe que o gráfico se aproxima do eixo 𝑦. 
Observe, que neste caso, as raízes dessa função se alteram. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
4- Dado o gráfico de 
)( xfy 
, construir o gráfico de 
)(cxfy 
 "com
10  c
". 
Por exemplo: 
 
𝑓(𝑥) = 5 − 𝑥2 Já sabemos fazer o gráfico 
dessa função, é uma reflexão no eixo 𝑥 da 
função elementar 𝑦 = 𝑥2, seguida de 
translação vertical de 5 unidades para cima. 
𝑔(𝑥) = 𝑓 (
𝑥
2
) = 5 − (
𝑥
2
)
2
 
(comprimido horizontalmente, com fator multiplicativo 
1
1
2
= 2 ). 
Observe que o gráfico se afasta do eixo 𝑦. 
Observe, que neste caso, as raízes dessa função se alteram. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
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5- Dado o gráfico de 
)( xfy 
, construir o gráfico de 
)(cxfdy 
, com
10  c
 e 
10  d
. 
 
 
Por exemplo: 
𝑓(𝑥) = 5 − 𝑥2 Já sabemos fazer o gráfico 
dessa função, é uma reflexão no eixo 𝑥 
da função elementar 𝑦 = 𝑥2, seguida de 
translação vertical de 5 unidades para 
cima. 
𝑔(𝑥) =
1
2
𝑓 (
𝑥
2
) =
1
2
(5 − (
𝑥
2
)
2
) 
 
(esticado horizontalmente, com fator multiplicativo 
2
1
2
1

). 
(comprimido verticalmente, com fator multiplicativo 
2
1
) 
Observe que o gráfico se afasta do eixo 𝑦 e em seguida se aproxima do eixo 𝑦. 
Observe também que se tivéssemos feito primeiro a compressão vertical e depois o esticamento 
horizontal, o gráfico final seria o mesmo obtido pela outra ordem. 
Observe, que neste caso, as raízes dessa função se alteram. 
_____________________________________________________________________________________ 
E agora, aos exercícios: 
 
Exercício 1: Nos itens a), b) e c) a seguir, esboce o gráfico das funções quadráticas num mesmo sistema 
de coordenadas: 
a) 
2)( xxf 
; 
2
2
1
)( xxg 
; 
22)( xxh 
. O que acontece com o gráfico da função 
2)( xxf 
, 
quando multiplicamos 
2x
por uma constante positiva? 
b) 
2)( xxf 
; 
2)1()(  xxg
; 
2)1()(  xxh
. O que acontece com o gráfico da função 
2)( xxf 
, 
quando à variável 
x
, somamos ou subtraímos uma constante positiva? 
c) 
2)( xxf 
; 
2)( 2  xxg
; 
2)( 2  xxh
. O que acontece com o gráfico da função 
2)( xxf  , 
quando à variável 
y
, somamos ou subtraímos uma constante positiva? Note que realmente, a 
constante foi somada ou subtraída da variável 
y
. 
d) Levando em consideração as informações obtidas nos itens acima, esboce o gráfico das funções 
abaixo, a partir do gráfico da função elementar 
2xy
. Explique as transformações que ocorreram. 
 
2)1()( 2  xxg
e
1)2()( 2  xxh
 
Identifique o vértice e o eixo de simetria de cada uma dessas parábolas. 
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Exercício 2: Seja a função 
2)( xxf 
, para 
11  x
. 
Em cada item escreva uma lei para uma função que: 
a) Estique verticalmente o gráfico de
f
por um fator multiplicativo
.3
Dê o domínio e a imagem dessa 
nova função e esboce o seu gráfico. 
b) Comprima verticalmente o gráfico de
f
por um fator multiplicativo 
1
2
. Dê o domínio e a imagem 
dessa nova função e esboce o seu gráfico. 
c) Estique horizontalmente o gráfico de
f
por um fator multiplicativo 
4
. Dê o domínio e a imagem 
dessa nova função e esboce o seu gráfico. 
d) Comprima horizontalmente o gráfico de
f
por um fator multiplicativo 
1
2
. Dê o domínio e a imagem 
dessa nova função e esboce o seu gráfico. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico da função 
xxf )(
por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos 
eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas. 
a) 
4)(  xxg
 b) 
2)(  xxh
 c) 
2)(  xxj
 
d) 
2)(  xxm
 e) 
25)(  xxn
 f) 
34)(  xxu
 
g) 
34)(  xxv
. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 4: 
Considere as parábolas de equações 𝑥 = 𝑦2 e 
𝑥 = −𝑦2 desenhadas ao lado. 
Considere o gráfico da função elementar 
𝑓(𝑥) = √𝑥, que é parte da parábola 𝑥 = 𝑦2. 
Para cada função 𝑓1(𝑥) = −√𝑥 
 𝑓2(𝑥) = √−𝑥 𝑓3(𝑥) = −√−𝑥 
 𝑓4(𝑥) = √|𝑥| 𝑓5(𝑥) = −√|𝑥|, faça o que se pede em cada item. 
(a) Determine o domínio da função. 
(b) Esboce o seu gráfico usando reflexões e/ou modulações a partir do gráfico da função elementar 
𝑓(𝑥) = √𝑥. 
(c) Observe o gráfico e dê a imagem da função. 
(d) O gráfico obtido no item (b) é parte ou união de partes das parábolas de equações 𝑥 = 𝑦2 e/ou 
𝑥 = −𝑦2. Relacione o gráfico ou cada parte do gráfico obtido no item (b), com uma das duas 
equações, citando em quais intervalos do eixo 𝑥 e do eixo 𝑦 a equação é identificada. Para relacionar 
será preciso substituir o nome da função (𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 ou 𝑓5) por 𝑦 para obter uma equação nas 
variáveis 𝑥 e 𝑦, depois elevar essa equação ao quadrado. 
_____________________________________________________________________________________ 
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Exercício 5: 
Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função 
"elementar" por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos 
eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função "elementar" e as transformações 
ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. 
a) 
23)(  xxFb) 
41)(  xxG
 c) 
29)(  xxH
 
d) 
xxJ  43)(
 e) 
34)(  xxK
 f) 
34)(  xxL
. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 6: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma 
função "elementar" por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em 
torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função "elementar" e as transformações 
ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. 
a) 
21)(  xxF
 b) 
1)1()( 3  xxG
 c) 
3
2
1
)( 


x
xH
. 
d) Esboce os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 . Além de identificar as 
funções "elementares" e as transformações ocorridas, esboce os gráficos intermediários. Esboce num 
mesmo par de eixos os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 e 
𝑦 = 𝑥. Observe a relação que existe entre esses gráficos. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 7: Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e então 
aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, alongamentos, 
compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. Determine o domínio e a 
imagem de cada uma delas. 
a) 
2
2
1
)(  xxf
 b) 
2
2
1
)(  xxg
 c)
 
2
2
1
2
1
)(  xxh
 
d) 
2
2
1
2)(  xxj
 e) 
22
2
1
)(  xxr
 f) 
222)(  xxs
 
_____________________________________________________________________________________ 
 
Bom trabalho!