AP2 - PC - 2018 2-Gabarito

Prévia do material em texto

AP2 – 2018-2 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
Página 1 de 6 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 
Pré-Cálculo 
 
Questão 1 [Valor: 0,8] Represente o ângulo 
4𝜋
3
 no círculo trigonométrico e calcule: 
sen (
4𝜋
3
), cos (
4𝜋
3
) 
RESOLUÇÃO: 
Representando 
4𝜋
3
=
3𝜋+𝜋
3
= 𝜋 +
𝜋
3
 
 
• sen (
4𝜋
3
) = sen (𝜋 +
𝜋
3
) =⏞
(∗)
− sen (
𝜋
3
) = −
√3
2
 . 
Em (*) foi usada uma propriedade que pode ser visualizada no círculo ao lado. 
Observação: outra forma de resolver é usando o seno da soma, 
sen (𝜋 +
𝜋
3
) = sen(𝜋) cos (
𝜋
3
) + sen (
𝜋
3
) cos(𝜋) = 0 ∙
1
2
+
√3
2
∙ (−1) = −
√3
2
. 
• cos (
4𝜋
3
) = cos (𝜋 +
𝜋
3
) =⏞
(∗∗)
− cos (
𝜋
3
) = −
1
2
 . 
Em (**) foi usada uma propriedade que pode ser visualizada no círculo ao lado. 
Observação: outra forma de resolver é usando o cosseno da soma, 
cos (𝜋 +
𝜋
3
) = cos(𝜋) cos (
𝜋
3
) − sen(𝜋) sen (
𝜋
3
) = −1 ∙
1
2
+ 0 ∙
√3
2
= −
1
2
. 
 
Questão 2 [Valor: 1,2] Considere que 𝜃 é um ângulo do 2º. Quadrante e sen(𝜃) =
 1 
4
. 
Calcule: cos(𝜃), tan(−𝜃), e csc(2𝜃). 
RESOLUÇÃO: 
• Sabemos a identidade trigonométrica fundamental, sen2( 𝜃) + cos2(𝜃) = 1. 
Substituindo sen(𝜃) =
1
4
 nessa equação, obtemos (
1
4
)
2
+ cos2(𝜃) = 1. Resolvendo, 
(
1
4
)
2
+ cos2(𝜃) = 1 ⟺ cos2(𝜃) = 1 −
1
16
 ⟺ cos(𝜃) = ±√1 −
1
16
= ±
√15
4
 . 
Considerando que 𝜃 é um ângulo do 2º. quadrante, sabemos que cos(𝜃) < 0. 
Portanto, cos(𝜃) = −
√15
4
. 
• Sabemos que tan(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
. Substituindo 𝜃 por −𝜃, obtemos 
tan(−𝜃) =
sen(−𝜃)
cos(−𝜃)
 =⏞
(∗)
−sen(𝜃)
cos(𝜃)
=
−
1
4
−
√15
4
=
1
√15
 
AP2 – 2018-2 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
Página 2 de 6 
Em (*) foram usadas as propriedades: 
sen(−𝜃) = −sen(𝜃) (a função seno é ímpar) cos(−𝜃) = cos(𝜃) (a função seno é par). 
• Sabemos que csc(𝜃) =
1
sen(𝜃)
. Substituindo 𝜃 por 2𝜃, obtemos csc(2𝜃) =
1
sen(2𝜃)
. 
Usando a identidade trigonométrica sen(2𝜃) = 2 sen(𝜃) cos(𝜃), ou se não lembra dessa identidade, 
substituindo 𝑎 por 𝜃 e 𝑏 por 𝜃 na identidade sen(𝑎 + 𝑏) = sen(𝑎) cos(𝑏) + sen(𝑏) cos(𝑎), obtemos 
sen(2𝜃) = sen(𝜃 + 𝜃) = sen(𝜃) cos(𝜃) + sen(𝜃) cos(𝜃) = 2 sen(𝜃) cos(𝜃). Logo, 
csc(2𝜃) =
1
sen(2𝜃)
=
1
2 sen(𝜃) cos(𝜃)
=
1
2∙
1
4
∙(−
√15
4
)
=
1
−
√15
8
= −
8
√15
. 
 
Nas questões (3) e (4) considere 𝑓(𝑥) = 2 cos 𝑥. 
Questão 3 [Valor: 0,8] Resolva a equação 𝑓(𝑥) = −1 para 𝑥 ∈ (−∞,∞). 
RESOLUÇÃO: 
2 cos 𝑥 = −1 ⟺ cos 𝑥 = −
1
2
 
Usando a visualização no círculo ao lado, concluímos que a solução da equação é: 
𝑥 =
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 ou 𝑥 = −
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Observação: em vez de 𝑥 = −
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 também pode ser escrito 𝑥 =
4𝜋
3
+ 2𝑘𝜋. 
 
Questão 4 [Valor: 1,2] Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) e marque no eixo das abscissas as soluções da 
equação 𝑓(𝑥) = −1 para 𝑥 ∈ (−2𝜋, 2𝜋). 
 
RESOLUÇÃO: 
O gráfico de 𝑓(𝑥) = 2 cos 𝑥 é uma 
ampliação vertical do gráfico de 𝑦 = cos 𝑥, 
com fator de multiplicação igual a 2. 
 
Questão 5 [Valor: 1,0] 
Resolva a inequação sen(2𝑥) >
 1 
2
 para 0 < 𝑥 < 𝜋. 
RESOLUÇÃO: 
sen(2𝑥) >
 1 
2
 e 0 < 𝑥 < 𝜋 ⟺ sen(2𝑥) >
 1 
2
 e 0 < 2𝑥 < 2𝜋 
Substituindo 2𝑥 por 𝑦, isto é, fazendo 2𝑥 = 𝑦, temos que: 
sen(𝑦) >
 1 
2
 𝑒 0 < 𝑦 < 2𝜋. 
AP2 – 2018-2 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
Página 3 de 6 
 
Usando o círculo ao lado para resolver sen(𝑦) >
 1 
2
, 0 < 𝑦 < 2𝜋, 
Solução: 
𝜋
6
< 𝑦 <
5𝜋
6
. 
Voltando a variável 𝑥, 
𝜋
6
< 2𝑥 <
5𝜋
6
 
Dividindo por 2, obtemos a solução da inequação na variável 𝑥, 
𝜋
12
< 𝑥 <
5𝜋
12
 
 
Nas questões (6) e (7) considere a função 𝑔(𝑥) = ln(2 − √2𝑥 − 1). 
Questão 6 [Valor: 1,0] 
Encontre o domínio da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) . Responda o domínio na forma de intervalo. Para 
justificar sua resposta, deixe escritas as suas contas. 
RESOLUÇÃO: 
Para que 𝑔(𝑥) = ln(2 − √2𝑥 − 1) possa ser calculada é preciso impor que: 
(1) o radicando 2𝑥 − 1 seja positivo ou nulo; 
(2) 2 − √2𝑥 − 1 > 0 , pois 𝑦 = ln(z) só está definida para 𝑧 > 0. 
2𝑥 − 1 ≥ 0 e 2 − √2𝑥 − 1 > 0 ⟺ 𝑥 ≥ 
1
2
 e 2 > √2𝑥 − 1 ⟺ 
 𝑥 ≥ 
1
2
 e 4 > 2𝑥 − 1 ⟺ 𝑥 ≥ 
1
2
 e 2𝑥 < 5 ⟺ 𝑥 ≥ 
1
2
 e 𝑥 <
5
2
 
Portanto, 
 𝑫𝒐𝒎(𝒈) = (−∞ ,
𝟓
𝟐
) ∩ [ 
𝟏
𝟐
 , +∞) = [ 
𝟏
𝟐
 ,
𝟓
𝟐
) 
__________________________________________________________________________________ 
 
Questão 7 [Valor: 0,8] 
Encontre o ponto de interseção do gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) com o eixo 𝑥 . Para justificar sua 
resposta, deixe escritas as suas contas. Esse gráfico toca ou corta o eixo 𝑦 ? Explique sua resposta! 
RESOLUÇÃO: 
Interseção com o eixo 𝒙 : 
Fazendo 𝑦 = 0 : 
𝑔(𝑥) = ln(2 − √2𝑥 − 1) = 0 ⟺ 2 − √2𝑥 − 1 = 1 ⟺ √2𝑥 − 1 = 1 ⟺ 
2𝑥 − 1 = 1 ⟺ 2𝑥 = 2 ⟺ 𝑥 = 1 . Da Questão 6, temos que 1 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔). 
Portanto, o ponto de interseção do gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) com eixo 𝑥 é 𝑃(1 , 0). 
AP2 – 2018-2 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
Página 4 de 6 
Interseção com o eixo 𝒚 : 
Como 𝑥 = 0 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) então o gráfico da função 𝑔 não toca e nem corta o eixo 𝑦 . 
__________________________________________________________________________________ 
Questão 8 [Valor: 1,0] Esboce o gráfico da função 𝑦 = ln (𝑥). Explique em palavras as 2 
transformações que devem ser feitas a partir do gráfico da função 𝑦 = ln (𝑥) para se obter o gráfico 
da função ℎ(𝑥) = |ln (𝑥 − 1)|. Esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, a reta 𝑥 = 1 e o 
gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥). Marque no eixo 𝑥 os pontos onde o gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥) toca 
esse eixo. 
RESOLUÇÃO: 
Gráfico de 𝑦 = ln(𝑥) 
 
 
 
 
𝑦 = ln (𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑦 = ln (𝑥 − 1) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜:
𝑚𝑎𝑛𝑡é𝑚 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠
(𝑥,𝑦) 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦≥0. 
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑒 𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 𝑛𝑜𝑠
𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 (𝑥,𝑦)
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦<0
→ ℎ(𝑥) = |ln (𝑥 − 1)| 
 
__________________________________________________________________________________ 
Questão 9 [Valor: 1,0] 
Esboce o gráfico da função 𝑦 = e𝑥. Explique em palavras a transformação que deve ser feita a partir 
do gráfico da função 𝑦 = e𝑥 para se obter o gráfico da função 𝑠(𝑥) = e|𝑥|. Esboce o gráfico da função 
𝑦 = 𝑠(𝑥). Responda qual é a Imagem da função 𝑠 . 
AP2 – 2018-2 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
Página 5 de 6 
RESOLUÇÃO: 
 
𝑦 = e𝑥 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥:
𝑚𝑎𝑛𝑡é𝑚 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥≥0
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑠(𝑥) = e|𝑥| 
Observando o gráfico da função 𝑠(𝑥) = e|𝑥| , concluímos que Im(𝑠) = [1 , +∞) 
__________________________________________________________________________________ 
Questão 10 [Valor: 1,2] Considere a função 𝑟(𝑥) = 𝑒
√2𝑥2−3𝑥−2 
𝑥−3 . 
Encontre o domínio da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) . Responda o domínio na forma de união de pontos ou 
na forma de união de intervalos disjuntos. Para justificar sua resposta, deixe escritas as suas 
contas. 
RESOLUÇÃO: 
Como o domínio da função 𝑦 = e𝑥 são todos os reais, o domínio da função 𝑟(𝑥) = 𝑒
√2𝑥2−3𝑥−2 
𝑥−3 
depende apenas das restrições que o expoente 
√2𝑥2−3𝑥−2 
𝑥−3 
 impõe. 
Restrições do expoente: 
(1) Radicando 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 ≥ 0 para que √2𝑥2 − 3𝑥 − 2 possa ser calculada; 
(2) Denominador 𝑥 − 3 ≠ 0 . 
Resolvendo as restrições: 
(1) Radicando 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 ≥ 0 : 
Buscando as raízes de𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 . 
2𝑥2 − 3𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 =
3 ±√(−3)2−4∙2∙(−2)
2∙2
 = 
3±√25 
4
 = 
 3±5 
4
 ⟹ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −
1
2
 
O gráfico da função 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 é uma parábola de concavidade voltada para cima, pois o 
coeficiente do termo 𝑥2 é 2 > 0 , com raízes 𝑥 = 2 e 𝑥 = −
1
2
 . 
Portanto, 2𝑥2 − 3𝑥− 2 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ −
1
2
 ou 𝑥 ≥ 2. 
AP2 – 2018-2 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
Página 6 de 6 
(2) Denominador 𝑥 − 3 ≠ 0 . 
𝑥 − 3 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 3. 
Portanto, 
𝑫𝒐𝒎(𝒓) = { 𝒙 ∈ ℝ ∶ (𝑥 ≤ −
1
2
 ou 𝑥 ≥ 2) 𝒆 𝑥 ≠ 3} = (−∞ , −
1
2
] ∪ [ 2 , 3) ∪ (3 , +∞)