PC_2019-1_AP1_GABARITO

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AP1 – 2019-1 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 1 
Pré-Cálculo 
 
Considere nas questões 1, 2 e 3, 
a função 𝑠(𝑥) = |𝑥| e a função 𝑦 = 𝑔(𝑥) , cujo 
gráfico é uma translação horizontal de 2 unidades 
para a esquerda do gráfico da função 𝑦 = 𝑠(𝑥) , 
seguido de uma translação vertical de 3 unidades 
para baixo. 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) está esboçado ao lado. 
 
Questão 1 (0,8 ponto) Esboce o gráfico da função 𝑠(𝑥) = |𝑥|. 
 Escreva a expressão da função 𝑦 = 𝑔(𝑥). 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
𝑠(𝑥) = |𝑥| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
⇒ 𝑦 = |𝑥 + 2| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
⇒ 𝑔(𝑥) = |𝑥 + 2| − 3 
 
Questão 2 (0,8 ponto) Encontre os pontos 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐷 indicados no gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥). 
RESOLUÇÃO: 
Os pontos 𝐴 e 𝐵 são os pontos onde o gráfico corta o eixo 𝑥 , ou seja os pontos onde 𝑦 = 0 : 
0 = |𝑥 + 2| − 3 ⟺ |𝑥 + 2| = 3 ⟺ 𝑥 + 2 = −3 ou 𝑥 + 2 = 3 ⟺ 𝑥 = −5 ou 𝑥 = 1 
Portanto, 𝐴(−5, 0) e 𝐵(1, 0). 
O ponto 𝐶 é o ponto onde o gráfico corta o eixo 𝑦 , ou seja o ponto onde 𝑥 = 0 : 
𝑔(0) = |0 + 2| − 3 = 2 − 3 = −1. 
Portanto, 𝐶(0, −1). 
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Analisando as transformações no gráfico da função 𝑠(𝑥) = |𝑥| , que levaram ao gráfico da função 
𝑔(𝑥) = |𝑥 + 2| − 3, vemos que o ponto 𝐷, é o ponto 𝐷(−2 , −3) , que é o resultado das 
transformações no ponto 𝑂(0 , 0) do gráfico da função 𝑠(𝑥) = |𝑥| . 
Assim temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 (0,8 ponto) Responda qual é a imagem da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) e o intervalo do domínio em 
que a função é crescente. 
Responda qual é a imagem da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) e o intervalo do domínio em que a função é crescente. 
RESOLUÇÃO: 
Observando o gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) e os pontos encontrados na questão 2, vemos que 
 Im( 𝑔) = [−3 , +∞) e que a função é crescente no intervalo [−2 , +∞) 
 
Considere nas questões 4 e 5, a função 𝑓(𝑥) = √
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
. 
 
Questão 4 (1,6 pontos) Encontre o domínio da função 𝑦 = 𝑓(𝑥). Para isso analise o sinal da expressão 
 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
 . Deixe as suas justificativas escritas! 
RESOLUÇÃO: 
Para encontrar o domínio da função 𝑓 é preciso que: 
 O radicando 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
 seja positivo ou nulo. 
 O denominador (𝑥 − 1)2 seja diferente de zero. 
Logo, precisamos saber quando 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
≥ 0 e (𝑥 − 1)2 ≠ 0 
Temos que : 
 (𝑥 − 1)2 ≠ 0 ⟺ 𝑥 − 1 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 1 
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 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
= 0 ⟺ 4 − 𝑥2 = 0 ⟺ 𝑥2 = 4 ⟺ 𝑥 = −4 ou 𝑥 = 4 
 Para saber quando 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
 > 0 , vamos justificar os sinais de cada linha que usaremos na tabela 
de sinais: 
 (𝑥 − 1)2 > 0 para ∀ 𝑥 ∈ ℝ , 𝑥 ≠ 1 , porque qualquer número real não nulo elevado a 
um número par é positivo. 
4 − 𝑥2 > 0 ⟺ −2 < 𝑥 < 2 , porque o coeficiente de 𝑥2 é negativo (parábola com 
concavidade para baixo). 
 
 (−∞,−2) −2 (−2 , 1) 1 (1 , 2) 2 (2,∞) 
4 − 𝑥2 − 0 + + + 0 − 
(𝑥 − 1)2 + + + 0 + + + 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
 − 0 + 𝑛𝑑 + 0 − 
 
Assim, 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
≥ 0 e (𝑥 − 1)2 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ∈ [−2 , 1) ∪ (1 , 2] . 
Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−2 , 1) ∪ (1 , 2] . 
 
Questão 5 (0,9 ponto) Sabendo que a função ℎ(𝑥) =
1
𝑥−1
, calcule, se possível, 𝑓 (ℎ (
2
3
)) e ℎ(𝑓(0)). 
Quando não for possível calcular, justifique. 
RESOLUÇÃO: 
ℎ (
2
3
) =
1
2
3
−1
=
1
−
1
3
= −3 ∉ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓). Portanto, não é possível calcular 𝑓 (ℎ (
2
3
)). 
Outra justificativa é: 𝑓 (ℎ (
2
3
)) = 𝑓 (
1
2
3
−1
) = 𝑓 (
1
−
1
3
) = 𝑓(−3) = √
4−(−3)2
 (−3−1)2 
= √
4−9
 (−4)2 
= √
−5
 16
. 
Como não existe raiz quadrada de número negativo não é possível calcular 𝑓 (ℎ (
2
3
)). 
0 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓) ⟹ 𝑓(0) = √
4−(0)2
 (0−1)2 
= √
4
1
= 2 ⟹ ℎ(𝑓(0)) = ℎ(2) =
1
2−1
= 1. 
 
 
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Considere nas questões 6, 7 e 8, 
a função 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 12𝑥 − 5 e 𝑟(𝑥) = 
𝑝(𝑥)
 2𝑥−1 
 
 
Questão 6 (1,0 ponto) Sabendo que 𝒙 =
𝟏
𝟐
 é raiz do polinômio 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 12𝑥 − 5, fatore 
esse polinômio em ℝ , isto é, escreva 𝑝(𝑥) como um produto de fatores lineares (tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou 
fatores quadráticos irredutíveis (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). Justifique sua 
fatoração, mostrando como encontrou as raízes desse polinômio, apresente as contas que o levou à 
fatoração apresentada. Sem isso, a questão não será considerada. 
RESOLUÇÃO: 
Verificando que 𝑥 =
 1 
2
 é raiz de 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 12𝑥 − 5 , 
𝑝 (
1
2
) = 2 (
1
2
)
3
− 5(
1
2
)
2
+ 12 (
1
2
) − 5 =
2
8
−
5
4
+ 6 − 5 =
1
4
−
5
4
+ 1 = 0. 
Logo 
1
2
 é uma raiz de 𝑝(𝑥). 
Podemos usar o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir 𝑝(𝑥) por 𝑥 −
1
2
 . 
 2 −5 12 −5 
1
2
 2 
 2 ∙
1
2
− 5
= 1 − 5
= −4 
 −4 ∙
1
2
+ 12
= −2 + 12
= 10 
 10 ∙
1
2
− 5
= 5 − 5 
= 0 
Portanto, 
 𝑝(𝑥) = (𝑥 −
1
2
) (2𝑥2 − 4𝑥 + 10) = 2 (𝑥 −
1
2
) (𝑥2 − 2𝑥 + 5) = (2𝑥 − 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 5) 
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 𝑥2 − 2𝑥 + 5 : 
O discriminante ∆= (−2)2 − 4.1.5 < 0 , então o trinômio do segundo grau 𝑥2 − 2𝑥 + 5 é 
irredutível em ℝ . 
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) é: 
 𝑝(𝑥) = (𝑥 −
1
2
) (2𝑥2 − 4𝑥 + 10) = 2 (𝑥 −
1
2
) (𝑥2 − 2𝑥 + 5) = (2𝑥 − 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 5) . 
 
Questão 7 (0,7 ponto) Simplifique 
𝑝(𝑥)
 2𝑥−1
 e verifique que 𝑟(𝑥) simplificada é uma função 
quadrática, cujo gráfico é uma parábola. Utilizando completamento de quadrados, escreva essa 
função quadrática na forma canônica. A partir dessa forma encontre o vértice dessa parábola. 
Justifique suas respostas apresentando as contas feitas para essa resolução. 
Atenção: a questão só será pontuada se o vértice for encontrado e justificado através da forma 
canônica. 
Lembre que a forma canônica de uma função quadrática é 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 , onde 
𝑎 , ℎ , 𝑘 são constantes reais. 
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RESOLUÇÃO: 
Da Questão 1, temos que 𝑟(𝑥) = 
𝑝(𝑥)
2𝑥−1
= 
(2𝑥−1)(𝑥2−2𝑥+5)
2𝑥−1
 . Logo, 
𝑟(𝑥) = 
𝑝(𝑥)
2𝑥−1
= 
(2𝑥−1)(𝑥2−2𝑥+5)
 2𝑥−1
 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 , para 𝑥 ≠
 1 
2
 
Completando o quadrado em 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 : 
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1 + 5 = (𝑥 − 1)2 + 4. 
Temos que 𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 4 é a forma canônica da função quadrática 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 
Portanto o vértice dessa parábola é o ponto 𝑉(1 , 4). 
 
Questão 8 (1,4 pontos) Encontre o domínio 𝑫 da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) =
𝑝(𝑥)
 2𝑥−1
. O gráfico da função 𝑦 =
𝑟(𝑥) é uma parábola, menos um ponto, quais são as coordenadas desse ponto?. Esboce o gráfico da 
função 𝑦 = 𝑟(𝑥). Indique no gráfico os pontos onde esse gráfico corta os eixos coordenados, quando 
existirem. Justifique! Determine a imagem de 𝑦 = 𝑟(𝑥) . 
RESOLUÇÃO: 
O domínio
da função 𝑟 exige que o denominador 2𝑥 − 1 seja diferente de zero e 
2𝑥 − 1 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 
1
2
 . Portanto, o domínio de 𝑦 = 𝑟(𝑥) é: 𝑫𝒐𝒎(𝒓) = (−∞ ,
1
2
 ) ∪ (
1
2
 , +∞) . 
Usando a simplificação da questão 2, para 𝑥 ≠ 
1
2
 , 𝑟(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 . 
 O gráfico da função , 𝑟(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 , 𝑥 ≠ 
1
2
 é uma parábola menos um ponto, o ponto de 
abscissa 𝑥 = 
1
2
. 
Fazendo 𝑥 =
1
2
 em 𝑟(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 , temos 𝑟 (
1
2
) = (
1
2
)
2
− 2(
1
2
) + 5 =
1
4
− 1 + 5 =
 17 
4
 . 
Portanto, o ponto (
1
2
 ,
 17 
4
) não pertence ao gráfico da função 𝑟 . 
A parábola definida pela equação quadrática 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 = (𝑥 − 1)2 + 4 tem concavidade 
voltada para cima, pois o coeficiente do termo 𝑥2 é positivo. 
Fazendo 𝑥 = 0 em 𝑟(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 , 𝑥 ≠ 
1
2
 , temos que, 𝑟(0) = 02 − 2.0 + 5 = 5 
Assim, o gráfico da função 𝑟 corta o eixo 𝑦 no ponto (0 , 5). 
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O gráfico da função 𝑟 não corta o eixo 𝑥 pois, 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 não tem raízes reais e tem 
concavidade voltada para cima. 
Observando o gráfico, vemos que 
Im(𝑟) = [4 , +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 9 (1,0 ponto) Marque o ângulo 
14𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑 no círculo trigonométrico e calcule sen (
14𝜋
3
). 
RESOLUÇÃO: 
14𝜋
3
=
12𝜋+2𝜋
3
= 4𝜋 +
2𝜋
3
= 2 ∙ 2𝜋 +
2𝜋
3
≡
2𝜋
3
, 
14𝜋
3
≡
2𝜋
3
 é o ângulo do segundo quadrante, marcado no círculo. 
Usando congruência de ângulos, sen(𝜃 + 2𝑘𝜋) = sen(𝜃) , 𝑘 ∈ ℤ, 
sen (
14𝜋
3
) = sen (
2𝜋
3
). 
 
Usando simetria com o ângulo 
𝜋
3
, visualizado no círculo ao lado, 
sen (
14𝜋
3
) = sen (
2𝜋
3
) = sen (
𝜋
3
) =
√3
2
. 
Portanto, sen (
14𝜋
3
) =
√3
2
. 
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Outra resolução, passando para graus, 
𝜋 𝑟𝑎𝑑 ↔ 180° 
14𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 ↔ 𝑥° 𝑥 =
14𝜋
3
 ∙180
𝜋
= 14 ∙ 60 = 840 
14𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 ↔ 840 ° = 2 ∙ 360° + 120° ≡ 120° é um 
ângulo do segundo quadrante, marcado ao lado. 
Usando congruência de ângulos, sen(840°) = sen(120°). 
Usando simetria com o ângulo de 60°, visualizado no círculo ao 
lado, sen(840°) = sen(120°) = sen(60°) =
√3
2
. 
 
Questão 10 (1,0 ponto) Sabendo que sen(𝜃) =
1
5
 e 𝜃 é um ângulo do segundo quadrante, calcule 
cos(𝜃) e sen(2𝜃). 
RESOLUÇÃO: 
Substituindo sen(𝜃) =
1
5
 na identidade trigonométrica fundamental sen2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1, 
(
1
5
)
2
+ cos2 𝜃 = 1 ⟺ cos2 𝜃 = 1 −
1
25
=
24
25
 ⟺ cos 𝜃 = ±√
24
25
= ±
√4×6
5
= ±
2√6
5
 . 
Dado que 𝜃 é um ângulo do segundo quadrante, sabemos que cos 𝜃 < 0. 
Portanto, cos 𝜃 = −
2√6
5
. 
Para calcular sen(2𝜃), podemos substituir os valores de sen(𝜃) e cos 𝜃 em uma das identidades: 
sen(2𝜃) = 2 sen 𝜃 cos 𝜃 ou sen(2𝜃) = sen(𝜃 + 𝜃) = sen 𝜃 cos 𝜃 + sen 𝜃 cos 𝜃. 
Assim, sen(2𝜃) = 2 ∙
1
5
∙
−2√6
5
= −4
√6
25
 . Portanto sen(2𝜃) = −4
√6
25
.