Lista 1 integrais

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Cálculo II – Lista de exercícios 1 
 Integrais duplas e integrais duplas em coordenadas polares. 
 
 
 
1) Calcule a integral iterada: 
(a) ∫ ∫ (
𝑥
𝑦
+
𝑦
𝑥
)
2
1
4
1
 𝑑𝑦𝑑𝑥 
(b) ∫ ∫
𝑥𝑦
√𝑥2+𝑦2+1
 𝑑𝑦𝑑𝑥
1
0
1
0
 
(c) ∫ ∫ 𝑥3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
2
1
3
−2
 
(d) ∫ ∫
𝑥𝑦
𝑥2+1
 𝑑𝑥𝑑𝑦
1
0
3
−3
 
2) Determine o volume do sólido contido abaixo do paraboloide elíptico 
𝑥2 4⁄ + 𝑦2 9⁄ + 𝑧 = 1 e acima do retângulo 𝑅 = [−1, 1] × [−2, 2]. 
 
3) Calcule a integral dupla: 
 
(a) ∬
4𝑦
𝑥3+2
𝑑𝐴
𝐷
, 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) | 1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥} 
(b) ∬ 𝑥 cos 𝑦 𝑑𝐴,
𝐷
 𝐷 é limitada por 𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = 1 
(c) ∬ (2𝑥 − 𝑦)𝑑𝐴,
𝐷
 𝐷 é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 
2. 
 
4) Determine o volume do sólido dado: 
 
(a) Abaixo do plano 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0 e acima da região limitada por 𝑦 =
𝑥 e 𝑦 = 𝑥4 
(b) Limitado pelos planos 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 
(c) Limitado pelo cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e pelos planos 𝑦 = 𝑧, 𝑥 = 0, 𝑧 = 0 
no primeiro octante 
 
5) Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares: 
 
(a) ∬ cos(𝑥2 + 𝑦2) 𝑑𝐴
𝑅
, onde R é a região que está à esquerda do eixo 
x e dentro da circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 9 
(b) ∬ arctg(𝑦 𝑥⁄ ) 𝑑𝐴
𝑅
, onde 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥} 
 
 
6) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado. 
Cálculo II – Lista de exercícios 1 
 Integrais duplas e integrais duplas em coordenadas polares. 
 
 
 
(a) Abaixo do paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e acima do disco 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 
(b) Limitada pelo paraboloide 𝑧 = 10 − 3𝑥2 − 3𝑦2 e pelo plano 𝑧 = 4 
(c) Dentro do cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4 e do elipsoide 4𝑥2 + 4𝑦2 + 𝑧2 = 64 
 
Cálculo II – Lista de exercícios 1 
 Integrais duplas e integrais duplas em coordenadas polares. 
 
 
GABARITO 
 
1. (a) 
21
2
𝑙𝑛2 
(b) 
1
6
(√3 − 2√2 + 1) 
(c) 
195
8
 
(d) 0 
2. 
166
27
 
3. (a) 
8
3
𝑙𝑛
10
3
 
(b) 
1
2
(1 − 𝑐𝑜𝑠1) 
(c) 0 
4. (a) 
7
18
 
(b) 
1
6
 
(c) 
1
3
 
5. (a) 
𝜋
2
𝑠𝑖𝑛9 
(b) 
3
64
𝜋2 
6. (a) 
81𝜋
2
 
(b) 6π 
(c) 
8𝜋
3
(64 − 24√3)