Cálculo de Várias Variáveis

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CÁLCULO DE VÁRIAS 
VARIÁVEISVARIÁVEIS
Eloisa Márcia da Silva Tampieri
Funções de Várias Variáveis
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
INTRODUÇÃO
As grandezas físicas, geralmente, dependem de mais de uma variável
independente.
Exemplos simples:
A área de um retângulo de lados x e y, depende, tanto de x, quanto de y, pois
S xy=
V xyz=
O volume de um paralelepípedo de lados x, y e z
O volume V de um gás ideal depende da temperatura T, do número de moles 
n e da pressão P:
TV nR
P
=
Definições
Função de duas variáveis. Se a cada par ordenado (x,y) de valores das
variáveis x e y, tomados dentro de um domínio de definição D, corresponde
um valor bem definido da variável z, diz-se que z é uma função de duas
variáveis independentes x e y, definidas no domínio D.
Designa-se essa função como ( , )z f x y=
FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Domínio Imagem
f
x1,y1
x2,y2
x3,y3xi,yi
xn,yn
z1
z2
z3
zi
zn
Domínio Imagem
Domínio de definição. Chama-se domínio de definição da função z=f(x,y) ao
conjunto de pares (x,y) para os quais a função está definida.
O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções
de uma variável. o domínio é a região D ∈∈∈∈ R2, tal que os valores calculados
da função, para todo (x,y) ∈∈∈∈ D resultem em valores finitos e reais para
f(x,y).
Identificar domínio e imagem das 
Funções
Uma função de duas variáveis pode ser representada analiticamente, na
forma de uma tabela ou ainda graficamente.
X
y
0 2 3
1 0 2 3
3 0 18 27
5 0 50 75
2z xy= Os valores da função z sãodeterminados numa tabela no
cruzamento dos valores de x,
indicados na primeira linha,
com os de y na primeira
coluna.
Os domínios de definição de uma função de duas variáveis constituem partes
do plano xy; delimitadas por algumas curvas, ou podem ser o plano inteiro.
As curvas que delimitam o domínio são chamadas de fronteira.
x
y
(x3,y3)
(x2,y2)
(xi,yi)
(x1,y1)
y
z
Z=f(x,y)
x
x
y
(x,y)
x
y
D
x
y
D
fronteira
fronteira
x
y 3z x y= − z está definida 
para todos os 
valores (x,y); D é 
todo o plano
x
y
R=2
2 22z x y= − −
z está definida para 2 22 0x y− − ≥
2 2 2x y+ ≤D é a região delimitada 
pelo circulo de raio 2
O domínio de definição D de uma função de duas variáveis pode ser aberto ou
fechado.
Os pontos do domínio que não pertencem à fronteira são chamados de pontos
interiores. Se o domínio de definição só contem pontos interiores ele é dito
aberto; mas se também contem os pontos de fronteira, ele é dito fechado.
y
Exemplos
ln( )z x y= +
y x> −
z está definida para: 0x y+ >
Portanto, para
x
y x> −
0x y+ >
Portanto, para
D é o semi plano acima da reta y=-x: 
aberto
x
y
D
R=2
2 22z x y= − −
D é a região delimitada
pelo circulo de raio 2:
fechado
2 2 2x y+ ≤
A representação geométrica de uma função z=f(x,y) é uma superfície no
espaço tridimensional. Isto é, se um ponto P no espaço é representado
pelas variáveis x, y e z, ou (x,y,z), o lugar geométrico de todos os pontos Ppelas variáveis x, y e z, ou (x,y,z), o lugar geométrico de todos os pontos P
assim definidos é a representação geométrica da função z=f(x,y).
x
y
z
(x,y)
Z=f(x,y) 2 2z x y= +
Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = (y − x)1/2.
A condição de existência dessa função é y - x ≥ 0 (real), portanto o seu domínio é
D ={(x, y) ∈ R2 / y - x ≥ 0}.
Ex.2 – Ache o domínio da função f(x, y) = x2 / (2x – y),
A função é finita quando 2x – y ≠ 0.
Assim, domínio D ∈ (x, y) é o conjunto de
pontos, tais que, D = {(x, y) ∈ R2 / y ≠ 2x }.pontos, tais que, D = {(x, y) ∈ R / y ≠ 2x }.
Ex.3 - Ache o domínio da função
A função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que D
= {(x, y) ∈ R2 / 3x - y > 0}.
Domínios: Funções Reais de Variável Vetorial
Função Domínio
R2
R2 - {(0, 0)}
x 2 + y 2
1
R2 - {(0, 0)}1 x 2 + y 2
10x − 5y
25 − x 2 −y 2
{ }xyRyx 2/) ,( 2 ≤∈
{ }25/) ,( 222 ≤+∈ yxRyx
Domínios: Funções Reais de Variável Vetorial
Função Domínio
R
[-9, +∞[
]-∞,-4]∪[4,+∞[
R - {0}
x 2
x + 32
x 2 −16
1
x
R - {0}
R - {2}
[3, +∞[
]3, +∞[
]-1/π, +∞[
]-1/3, +∞[
[0, (e-1)2/3[
1
x
1
x − 2
x − 3
x − 2
x − 2
x − 3
ln(pi ⋅ x +1)
ln(3x +1) − 3 x 2 +1
ln 1− ln( 3x +1)[ ]
Identificar Domínio e Imagem das Funções
Função Conj. Domínio Conj. Imagem
y > x2 [0, ∞)2
1
xyz −=
Plano xy [-1, 1]
Plano xy [0, ∞)22
).sen(
.
1
yxz
yxz
yx
z
+=
=
= x.y 0 (-∞, 0) U (0, ∞)≠
Função de Três ou mais Variáveis
1) Regra ou lei matemática que associa três ou mais
variáveis independentes a uma variável dependente.
2) Uma função de três ou mais variáveis não pode ser
representada geometricamente.representada geometricamente.
3) x, y, z: variáveis e saída, w variável de chegada.
4) Superfícies de nível f(x, y, z) = constante
Identificar Domínio e Imagem das Funções
222
1
zyxw ++=
Função Conj. Domínio Conj. Imagem
Espaço inteiro [0, ∞)
222
222
ln.
1
zyxw
zyxw
zyx
w
++=
=
++
= (x, y, z) = 0 [0, ∞)
Semi-espaço, z > 0 (-∞, ∞)
Espaço inteiro [0, ∞)
Representação Geométrica de uma f(x,y)
z
z = f(x,y)
x
y(x,y)
Uma f(x, y) é representada por planos ou 
superfícies no espaço
Representação Geométrica de uma f(x, y)
Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano x, y e y = f(x).
Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x, y). Uma função de 2
variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.
Gráficos de Funções de 2 variáveis
Ex1: A função é z = f(x, y) = 5
A superfície é um plano infinito,
paralelo a x, y e passando por z = 5.
Ex : A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y.Ex2: A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y.
Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de
um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só
fazer :
a) x = 0 e y = 0 → z = 6
b) x = 0 e z = 0 → y = 2
c) y = 0 e z = 0 → x = 3
Ex3: A função é 
z = f(x, y) = x2 + y2
Ex4: A função é
z = f(x, y) = 1 − x 2 − y 2
Gráficos - Definição
. Chama-se gráfico de ao subconjunto do
definido por 
Observação: Como o gráfico é um subconjunto do e no papel
podemos representar até o então podemos desenhar o gráfico de podemos representar até o então podemos desenhar o gráfico de 
funções de no máximo duas variáveis, isto é, . 
Gráficos - Exemplos
Exercícios
1. Represente graficamente as funções dadas, bem como seu domínio.
a) f(x,y) = x² + y² b) f(x,y) =
c) f(x,y) = d) z = 3 +
2.Tente definir uma função cujo gráfico seja uma “telha eternit”.2.Tente definir uma função cujo gráfico seja uma “telha eternit”.
3. Encontre algebricamente o domínio de cada função representando-o no plano.
a) b)
c) d)
Diferenças entre 2D e 3D
6
8
10
10
y = f(x) z = f(x, y)
y = 5 z = 5
2 4 6 8 10
2
4
6
2
4
6
8
10 0
2
4
6
8
10
0
2.5
5
7.5
2
4
6
8
5
10
15
20
0
6
8
10
0
10
20
30
40
0
y = 2x + 1 z = 2x + 2y + 1
2 4 6 8 10
5 0
2
4
6
8
10 0
2
4
0
2
4
6
8
2 4 6 8 10
2 0
4 0
6 0
8 0
100
40
60
80
100
8
10
0
50
100
150
200
y = x2 + 1z = x2 + y2 + 1
2 4 6 8 10
20
0
2
4
6
8
10 0
2
4
60
0
2
4
6
8
10
15
20
8
10
0.1
0.15
0.2
0.25
y = 1/x z = 1/(x + y)
2 4 6 8 10
5 2
4
6
8
10 0
2
4
60.05
0.1
2
4
6
8
f(x, y) = x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.
Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
-10
0
10
-4
-2
0
2
f(x, y) = x2 + y2, com x e y variando de – 4 a 4.
420
30
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
0
10
20
-4
-2
0
2
f(x, y) = x.y, com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
-10
0
10
-4
-2
0
2
f(x, y) = (9 - x2 - y2)0,5, com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
0
1
2
3
4
-4
-2
0
2
f(x, y) = x + 2y - 1, com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
-10
0
10
-4
-2
0
2
f(x, y) = sen (x + y - 3), com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
-1
-0.5
0
0.5
1
-4
-2
0
2
f(x, y) = 100 - x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
70
80
90
100
-4
-2
0
2
f(x, y) = x4/(x4 + y4), com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
-2
0
2
-4
-2
0
2
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
a
T = f(P,D)
T = cos (0,017D - 0,2P).e -0,2P
CURVAS DE NÍVEL
Vimos que uma função de duas variáveis z=f(x,y) representa uma superfície no
espaço.
A curva que se obtém para um mesmo valor de z, ou cota, desta superfície é
chamada curva de nível. O conjunto dessas curvas obtidas para sucessivos valores
de z corresponde às curvas de nível da superfície. A análise desse conjunto de
curvas de uma superfície no espaço fornece informações sobre a própria superfície,
ou seja, sobre sua topografia. Em outras palavras, as curvas de nível de uma
superfície são os lugares geométricos da superfície que tem a mesma cota.
Imagine, por exemplo, que a superfície z=f(x,y) seja uma montanha cuja altitude no
ponto (x,y) é dada por f(x,y). A curva de nível f(x,y) = C está diretamente abaixo de
uma trilha na montanha cuja altitude é constante e igual a C. Para plotar a montanha,
podemos indicar as trilhas de altitude constante traçando a família de curvas de nível
e informando em cada curva qual a elevação correspondente. Esta figura “plana” é
conhecida como mapa topográfico da superfície. As curvas de nível são usadas em
mapas para dar informação sobre a topografia (relevo) da região.
Exemplo
Consideremos a função z=f(x,y) dada por . A superfície no espaço 
defina por esta função é um parabolóide elíptico.
Para achar suas curvas de nível, temos que fazer z constante
2 2
4 9
x y
z = +
Aplicações de Curva de Nível
As curvas de nível tem muitas aplicações práticas. Na economia, por exemplo, se a
produção Q(x,y) de um processo é determinada por dois insumos x e y (horas de
trabalho e capital imobilizado, por exemplo), a curva de nível Q(x,y) = C é chamada
de curva de produto constante C, ou mais concisamente, de isoquanta (é uma curva
que representa várias combinações de fatores de produção (terra, capital e trabalho)
que resultem na mesma quantidade de produção (output)).
Outra aplicação das curvas de nível na economia envolve o conceito de curvas de
indiferença. A um consumidor que está pensando em comprar várias unidades de
dois produtos é associada uma função de utilidade U(x,y) que mede a satisfação (ou
utilidade) que o consumidor extrai ao adquirir x unidades do primeiro produto e y
unidades do segundo.unidades do segundo.
Uma curva de nível U(x,y) = C da função de utilidade é chamada de curva de
indiferença e fornece todas as combinações possíveis de x e y que resultam no
mesmo grau de satisfação do consumidor.
Exemplo:
A utilidade para um consumidor da aquisição de x unidades de um produto e y
unidades de um segundo produto é dada pela função de utilidade . Se
o consumidor possui x = 16 unidades do primeiro produto e y = 20 unidades do
segundo, determine o nível de utilidade do consumidor e plote a curva de diferença
correspondente.
No caso de f(x, y) representar uma grandeza física, as curvas de nível recebem
nomes especiais:
a)se f(x, y) é a temperatura do ponto de uma chapa plana, as curvas de
f(x, y) = c são chamadas de isotermas. (mesma temperatura)
b) se f(x, y) é a pressão de um gás de volume x e temperatura y, as curvas de
f(x, y) = c são chamadas de isóbaras ou isobáricas (mesma pressão).
c) se f(x, y) é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região D do plano xy, as
curvas de f(x, y) = c são chamadas de eqüipotenciais (mesmo potencial elétrico ou
gravitacional).
d) curvas de nível: mesma elevação ou cota.
Exercícios
1
2
33
4
5
6
Estime os valores de 
a) f(0,0)
b) f(-2,1)
c) f(2,0)
d) f(-1,1)
e) f(1,-2)