lista de exercicios

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Universidade Federal do Oeste da Bahia
Lista de Exerc´ıcios
Questa˜o 1
a) Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que daqui a t anos o ı´ndice de mono´xido de carbono no ar
estara´ aumentando a´ raza˜o de 0, 1t+ 0, 1 partes por milha˜o por ano. Se o ı´ndice atual de mono´xido de carbono
no ar e´ de 3,4 partes por milha˜o, qual sera´ o ı´ndice daqui a 3 anos?
b) Um corpo esta´ se movendo de tal forma que sua velocidade apo´s t minutos e´ v(t) = 1 + 4t + 3t2 m/min. Que
distaˆncia o corpo percorre no quarto minuto?
c) Um botaˆnico descobre que certo tipo de a´rvore cresce de tal forma que sua altura h(t), apo´s t anos, esta´ variando
a uma taxa de 0, 06t2/3 + 0, 3t1/2 metros/ano. Se a a´rvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada, que altura
tera´ apo´s 31 anos?
d) Seja f(x) o nu´mero total de itens que uma pessoa consegue memorizar, x minutos apo´s ser apresentado a uma
longa lista de itens. Os psico´logos chamam a func¸a˜o y = f(x) de curva de aprendizado e a func¸a˜o y′(x) = f ′(x)
de taxa de aprendizado. O instante de ma´xima eficieˆncia e´ aquele para o qual a taxa de aprendizado e´ ma´xima.
Suponha que a taxa de aprendizado seja dada pela expressa˜o f ′(x) = 0.1(10 + 12x− 0.6x2), 0 ≤ x ≤ 30.
i) Qual e´ a taxa de aprendizado no instante de ma´xima eficieˆncia?
ii) Qual e´ a func¸a˜o f(x) ?
iii) Qual e´ o maior nu´mero de itens que uma pessoa consegue memorizar?
e) Em um certo subu´rbio de Los Angeles, a concentrac¸a˜o de ozoˆnio no ar, L(t), e´ de 0, 25 partes por milha˜o (ppm)
a`s 7h. De acordo com o servic¸o de meteorologia, a concentrac¸a˜o de ozoˆnio t horas mais tarde estara´ variando a`
raza˜o de L′(t) = 0,24−0.03t√
36+16t−t2 ppm/h.
i) Expresse a concentrac¸a˜o de ozoˆnio em func¸a˜o de t. Em que instante a concentrac¸a˜o de ozoˆnio e´ ma´xima?
Qual e´ a ma´xima concentrac¸a˜o?
ii) Fac¸a o gra´fico de L(t) e, baseado nele, responda as perguntas do item i). Determine em que instante a
concentrac¸a˜o de ozoˆnio e´ a mesma que a`s 11h.
f) Uma empresa montou uma linha de produc¸a˜o para fabricar um novo modelo de telefone celular. Os aparelhos
sa˜o produzidos a` raza˜o de dPdt = 900
(
3− 3/2t5/2t+8
)
unidades/meˆs.
Determine quantos telefones sa˜o produzidos durante o quinto meˆs.
g) A taxa de crescimento da populac¸a˜o de uma cidade da America do Sul e´ prevista por dPdt = 1000t
1.08 , onde
P e´ a populac¸a˜o no instante t, medidos em anos a partir do presente. Suponha que a populac¸a˜o atual seja de
100.000. Qual e´ a previsa˜o:
i) Da taxa de crescimento daqui a 5 anos?
ii) Da populac¸a˜o daqui a 5 anos?
h) Um carro em movimento retil´ıneo partiu de um ponto, a` raza˜o de t − 3e−tm/s2 Encontre sua velocidade apo´s
10s e a distaˆncia percorrida ate´ esse instante.
i) Uma substaˆncia S evapora-se numa raza˜o proporcional a quantidade existente em cada instante. Se um quinto
do volume de S leva 30 minutos para se evaporar e 5cm3 se evaporou em 10 minutos, determine a quantidade
que havia no in´ıcio da evaporac¸a˜o.
1
j) Uma func¸a˜o tem derivada de segunda ordem f ′′(x) = 6x − 6. Encontre a expressa˜o para f , sabendo que o seu
gra´fico conte´m o ponto (2, 1) e que em tal ponto a reta tangente ao gra´fico de f tem equac¸a˜o 3x− y − 5 = 0.
Questa˜o 2
Calcule:
a)
∫
4e4x−9dx
b)
∫
(x2 + 1)ex
3+1dx
c)
∫
3x25x
3+2x + 2 · 5x3+2xdx
d)
∫
dx√
ex−1
e)
∫
secxtgx
secx−1 dx
f)
∫
sinx
1+cosxdx
g)
∫ cosec2(s)
cotg3(x) dx
h)
∫
dx
x2
√
25−x2
i)
∫
9x2−28x+12
x3−5x2+6x dx
j)
∫
3x−1
x3−8
2