4aListaExercicio MATA07 2017

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UFBa - IME - DMAT —- A´lgebra Linear I(MATA07) - Profa: Isamara
4a LISTA EXERCI´CIO
1. Mostre que T : R3 −→ R;T (x, y, z) = −2x + 3y + 7z; ∀v = (x, y, z) ∈ R3 e´ uma
transformac¸a˜o linear.
2. Seja V = R3 um espac¸o vetorial real e seja T : V −→ V ;T (x, y, z) = (x+z, x+2y, 1);∀v =
(x, y, z) ∈ V . Verifique se T e´ uma transformac¸a˜o linear.
3. Verifique se as aplicac¸o˜es definidas abaixo sa˜o Transformac¸o˜es Lineares:
(a) Seja V = R2 um espac¸o vetorial real e seja
T : V −→ V ;T (v) = λv; ∀v ∈ V ; ∀λ ∈ R.
(b) Seja V = R2 um espac¸o vetorial real e seja
T : V −→ V ;T (x, y) = (x,−y); ∀v = (x, y) ∈ V .
(c) Seja V = R2 um espac¸o vetorial real e seja
T : V −→ V ;T (x, y) = (−x, y); ∀v = (x, y) ∈ V .
(d) Seja V = R2 um espac¸o vetorial real e seja
T : V −→ V ;T (x, y) = (−x,−y); ∀v = (x, y) ∈ V .
(e) Seja V = R2 um espac¸o vetorial real e seja
T : V −→ V ;T (x, y) = (x, y) + (a, b);∀v = (x, y) ∈ V ; e um dado vetor na˜o-nulo
(a, b) ∈ R2.
(f) Seja V = R2 um espac¸o vetorial real e seja
T : V −→ V ;T (x, y) = (xcosθ − ysenθ, xsenθ + ycosθ);∀v = (x, y) ∈ V .
(g) Seja V = R2 um espac¸o vetorial real e seja
T : V −→ V ;T (x, y) = (x + ytgθ, y);∀v = (x, y) ∈ V ; θ e´ o aˆngulo de deslocamento
do eixo-y.
(h) Seja V = R2 um espac¸o vetorial real e seja
T : V −→ V ;T (x, y) = (x2, x+ 2y);∀v = (x, y) ∈ V .
4. Seja o conjunto C([0, 1]) = {f : [0, 1] −→ R/f e´ uma func¸a˜o cont´ınua }.
Mostre que a aplicac¸a˜o T : R2 −→ C([0, 1]) ; tal que T (x, y) = xet + ye2t; ∀(x, y) ∈ R2 e´
uma transformac¸a˜o linear.
5. Seja P ∈ Mn(R) uma matriz invert´ıvel. Mostre que T : Mn(R) −→ Mn(R);T (A) =
P−1AP ;∀A ∈Mn(R) e´ um operador linear em Mn(R).
6. Seja T : P3(R) −→ P3(R);T (p(t)) = 2p′(t). Verifique se T e´ um operador linear em
P3(R).
7. Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre o mesmo corpo K; e seja L(U, V ) o conjunto de todas
as Transformac¸o˜es Lineares de U em V . Mostre que L(U, V ) e´ um espac¸o vetorial sobre
o corpo K.
8. Sejam F,G ∈ L(R3,R); tais que F : R3 −→ R;F (x, y, z) = −2x+ 3y + 7z e,
G : R3 −→ R;G(x, y, z) = x+ y + z.
Determine as seguintes Transformac¸o˜es Lineares: F + G, 2F e FoI; onde I ∈ L(R3) e´ o
operador ideˆntico em R3.
9. Sejam F,G ∈ L(R4,M2(R));T ∈ L(M2(R), P3(R)); tais que
F : R4 −→M2(R);F (x, y, z, w) =
 x z
w y
,
G : R4 −→M2(R);G(x, y, z, w) =
 2z x− y
w w
, e
T : M2(R) −→ P3(R);T (
 a b
c d
) = a+ at+ (b+ d)t2 + ct3.
Determine as seguintes Transformac¸o˜es Lineares: F + 3G e ToG.
10. Sejam F,G ∈ L(R4); tais que
F : R4 −→ R4;F (x, y, z, w) = (2x, z, w + y, w),
G : R4 −→ R4;G(x, y, z, w) = (z, z + w, z, x+ y).
Determine as seguintes Transformac¸o˜es Lineares: FoG,GoF, F 2, G2.
11. Seja T : R2 −→ P2(R); tal que T (e1) = 1− t e T (e2) = 1− t2 uma transformac¸a˜o linear.
Encontre T .
12. Determine o operador linear T ∈ L(R3); tal que T (e1) = e3, T (e1 + e3) = e1 + e2 + e3 e
T (e3 − e2) = e1 + e2.