(Enade/2017) Um operador Linear definido em um espaço vetorial de dimensão finita pode ser representado por uma matriz quadrada. Dado V, um espaço ...

A alternativa correta é: B) I e II são verdadeiras, e III é falsa. Explicação: Para encontrar a matriz A associada ao operador linear T na base β, basta aplicar o operador T em cada vetor da base e escrever as coordenadas do resultado em relação à base β. Assim, temos: T(e1) = 2e1 = 2e1 + 0e2 + 0e3 T(e2) = e1 + e2 = 1e1 + 1e2 + 0e3 T(e3) = e1 + e2 + e3 = 1e1 + 1e2 + 1e3 Logo, a matriz A é dada por: A = [2 1 1; 0 1 1; 0 0 1] Agora, podemos avaliar cada afirmação: I - Tem-se que (2I-A)(I-A²)=0, em que I é a matriz identidade. Substituindo I e A na expressão, temos: (2I - A)(I - A²) = (2I - [2 1 1; 0 1 1; 0 0 1])(I - [4 3 1; 0 3 2; 0 0 1])² = [0 -3 -3; 0 -1 -2; 0 0 1][-3 -6 -3; 0 -6 -6; 0 0 0] = [0 0 0; 0 0 0; 0 0 0] Portanto, a afirmação I é verdadeira. II - Tem-se que (2I-A)(I-A)=0, em que I é a matriz identidade. Substituindo I e A na expressão, temos: (2I - A)(I - A) = (2I - [2 1 1; 0 1 1; 0 0 1])(I - [4 3 1; 0 3 2; 0 0 1]) = [0 -3 -3; 0 -1 -2; 0 0 1][-2 -2 -1; 0 -2 -1; 0 0 0] = [0 0 0; 0 0 0; 0 0 0] Portanto, a afirmação II é verdadeira. III - O operador T é diagonalizável. Para verificar se T é diagonalizável, precisamos verificar se existem vetores próprios linearmente independentes que formam uma base para V. Para isso, precisamos encontrar os autovalores de T. Como T é um operador linear definido em um espaço vetorial de dimensão finita, seus autovalores são as raízes do polinômio característico de T, dado por: p(λ) = det(T - λI) Substituindo T e I na expressão, temos: p(λ) = det([2 1 1; 0 1 1; 0 0 1] - λ[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]) = det([1 1 1; 0 0 1; 0 0 0] - λ[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]) = (1 - λ)(-λ)(-λ) = λ²(λ - 1) Portanto, os autovalores de T são λ1 = 0 e λ2 = 1. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para λ1 = 0, precisamos resolver o sistema homogêneo (T - λ1I)x = 0, ou seja: [2 1 1; 0 1 1; 0 0 1][x1; x2; x3] = [0; 0; 0] Que resulta em x1 = -x2 - x3. Assim, podemos escolher os vetores v1 = [1; -1; 0] e v2 = [1; -1; 1] como autovetores correspondentes a λ1 = 0. Para λ2 = 1, precisamos resolver o sistema homogêneo (T - λ2I)x = 0, ou seja: [1 1 1; 0 0 1; 0 0 0][x1; x2; x3] = [0; 0; 0] Que resulta em x1 = -x2 - x3. Assim, podemos escolher o vetor v3 = [1; -1; 1] como autovetor correspondente a λ2 = 1. No entanto, v1 e v2 não são linearmente independentes, pois v2 = v1 + e2. Portanto, não é possível encontrar uma base de autovetores para V, e T não é diagonalizável. Assim, a afirmação III é falsa. Portanto, a alternativa correta é B) I e II são verdadeiras, e III é falsa.