Exercícios de Álgebra Linear II

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Lista de Exerćıcios de Ágebra Linear II
Curso de F́ısica
Prof. Marcio Antônio de Andrade Bortoloti
6 de Agosto de 2019
Esta lista tem o objetivo principal de propciar uma rápida revisão dos principais conteúdos abordados em um curso de
Álgebra Linear I. Estes constituem pré-requisito fundamental para um bom desenvolvimento no presente curso.
1. Verifique se o conjunto de todos os polinômios, em uma variável, de grau menor que ou igual a n é um espaço vetorial
quando munido das operaçoes clássicas de soma de polinômios e produto por um escalar real.
2. Seja C1(a, b) o conjunto de todas as funções cont́ınuas f : (a, b)→ R munido das operações clássicas de soma e produto
por escalar de funções é um espaço vetorial.
3. Sejam u = (x1, · · · , xn) e v = (y1, · · · , yn) vetores em Rn. Prove que um deles é múltiplo do outro se, e somente se,
xiyj = xjyi para quaisquer i, j = 1, · · · , n.
4. Defina a média u∗v entre os vetores u e v no espaço vetorial E pondo u∗v = (u+v)/2. Prove que (u∗v)∗w = u∗(v∗w)
se, e somente se, u = w.
5. Sejam R,P, S : R2 → R2 a rotação de 30o em torno da origem, a projeção ortogonal sobre a reta y = x/3 e a reflexão
em torno da mesma reta, respectivamente. Dado o vetor v = (2, 5), determine Rv, Pv e Sv.
6. Dados os vetores u1 = (2,−1), u2 = (1, 1), u3 = (−1,−4), v1 = (1, 3), v2 = (2, 3) e v3 = (−5,−6), decida se existe ou
não um operador linear A : R2 → R2 tal que Au1 = v1, Au2 = v2 e Au3 = v3. Mesma pergunta com u3 = (5,−6) e
v3 = (5, 6).
7. Prove que toda transformação linear A : E → F transforma todo conjunto convexo C ⊂ E em um conjunto convexo
A(C) ⊂ F .
8. Seja A : E → F uma transformação linear. Se os vetores Av1, Av2, · · · , Avm ∈ F são linearmente independentes, prove
que v1, v2, · · · , vm ∈ E também são L.I. Se F = E e os vetores Av1, Av2, · · · , Avm geram E, prove que v1, v2, · · · , vm
geram E.
9. Seja f : R2 → R um funcional linear. Sabendo que f(1, 1) = 3 e f(2, 3) = 1, calcule f(1, 0) e f(0, 1).
10. Encontre números a, b, c, d de modo que o operador A : R2 → R2 dado por A(x, y) = (ax + by, cx + dy) tenha como
núcleo a reta y = 3x.
11. Escreva a expressão de um operador A : R2 → R2cujo núcleo seja a reta y = x e cuja imagem seja a reta y = 2x.
12. Mostre que 
1 0 a b
0 1 c d
0 0 0 0
0 0 0 0

é a matriz (na base canônica) de uma projeção P : R4 → R4. Escreva as equações que definem o núcleo e a imagem
dessa projeção.
13. Considere o operador linear A : R3 → R3, dado por
A(x, y, z) = (40x + 18y − 6z, 18x + 13y + 12z,−6x + 12y + 45z).
14. Sejam P,Q : E → E projeções. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) P + Q é uma projeção.
(b) PQ + QP = 0.
(c) PQ = QP = 0.
15. Ache o valor de x para o qual o operador P : R3 → R3, cuja matriz na base canônica é 1/2 −1/2 1/2−1 0 1
−1/2 −1/2 x

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