Trabalho de Matemática

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Escola Estadual Aroldo de Azevedo
Trabalho
De
Matemática
Geometria\Relações
Valeria conceição das Graças Santos 3º TC
São Paulo, Maio de 2017
Conclusão
A geometria analítica, como discutido anteriormente, veio do ideal de unir álgebra e geometria. Num plano coordenado, podem ser localizadas retas, curvas, círculos, ou seja, todos os conceitos fundamentados na ideia primitiva de ponto, afinal todas essas figuras nada mais são que conjuntos de pontos. O plano coordenado, mais conhecido como Plano Cartesiano, é formado por dois eixos, um vertical, eixo y (eixo das ordenadas) e um horizontal, eixo x (eixo das abcissas), que formam quatro quadrantes, como mostra a figura ao lado. Esses dois eixos se coincidem num ponto comum chamado origem do plano, ou ponto (0,0). Um ponto é, desta forma, representado por dois valores numéricos, sendo que o primeiro corresponde a x e o segundo a y – (x,y) –. Esse par, ou par ordenado, ou ainda coordenadas cartesianas, no plano, indica um ponto.
Geometria Analítica
A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, baseia-se nos estudos da Geometria por meio da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas.
Breve histórico
Os estudos relacionados com a Geometria Analítica datam do século XVII. Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por meio de métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas.
Uma característica importante da Geometria Analítica apresenta-se na definição de formas geométricas de modo numérico, extraindo dados informativos da representação. Com base nesses estudos, a Matemática passa a ser vista como uma disciplina moderna, capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao espaço. As noções intuitivas de vetores começam a ser exploradas de forma contundente na busca por resultados numéricos que expressem as ideias da união da Geometria com a Álgebra.
Os vetores constituem a base dos estudos do espaço vetorial e são objetos que possuem as características relacionadas com tamanho, direção e sentido. Os vetores são muito utilizados na Física como ferramenta auxiliar nos cálculos relacionados à Cinemática Vetorial, Dinâmica, Campo Elétrico, entre outros conteúdos. 
Os cientistas Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz concentraram estudos na Geometria Analítica, que serviu como base teórica e prática para o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral, muito utilizado atualmente na Engenharia.
Questão 1
Dado um segmento de reta AB cujas extremidades estão nas coordenadas A = (1, 3) e B = (– 5, – 6), quais são as coordenadas do seu ponto médio?
a) M = (– 1,5; – 2)
b) M = (– 2; – 1,5)
c) M = (2; 1,5)
d) M = (1,5; 2)
e) M = (2,5; – 1)
Resposta Questão 1
As coordenadas do ponto médio de um segmento de reta são M = (x, y), em que x e y são:
x = xA + xB
       2
y = yA + yB
      2
Substituindo as coordenadas dos pontos dados, teremos para x:
x = 1 + (– 5)
      2
x = 1 – 5
      2
x = – 4
      2
x = – 2
Para y:
y = 3 + (– 6)
     2
y = 3 – 6
      2
y = – 3
      2
y = – 1,5
Então, o ponto médio M = (– 2; – 1,5)
Gabarito: Letra B.
Questão 2
Dadas as coordenadas do ponto médio M = (2, 5), quais são as coordenadas da extremidade A do segmento de reta que o contém, sabendo que a outra extremidade está no ponto B = (5, 5)?
a) M = (– 1, 5)
b) M = (– 1, 1)
c) M = (1, 5)
d) M = (1, – 5)
e) M = (5, – 1)
Resposta Questão 2
Utilize a fórmula para encontrar as coordenadas do ponto médio de um segmento de reta:
x = xA + xB
      2
y = yA + yB
      2
X e y são as coordenadas do ponto médio. Substitua as coordenadas do ponto médio e do ponto B nas expressões acima e calcule as coordenadas do ponto A.
x = xA + xB
     2
2 = xA + 5 
      2
2·2 = xA + 5
4 – 5 = xA
xA = – 1
y = yA + yB
     2
5 = yA + 5 
      2
5·2 = yA + 5
5·2 – 5 = yA
10 – 5 = yA
yA = 5
Então, as coordenadas do ponto médio são M = (– 1, 5).
Gabarito: Letra A.
Questão 3
Um segmento de reta tem uma de suas extremidades no ponto A = (a, 2a) e seu ponto médio no ponto M = (6a, 3a). Quais são as coordenadas da outra extremidade desse segmento de reta em função de a?
a) (11, 4)
b) (4, 11)
c) (11a, 4a)
d) (4a, 11a,)
e) (a, a)
Resposta Questão 3
Usando a fórmula para o cálculo do ponto médio do segmento de reta, dada pelas expressões a seguir, calcule o valor de cada coordenada da outra extremidade do segmento, que será representada aqui pelo ponto B.
x = xA + xB
      2
6a = a + xB
      2
2·6a = a + xB
12a = a + xB
12a – a = xB
11a = xB
xB = 11a
y = yA + yB
      2
3a = 2a + yB
       2
2·3a = 2a + yB
6a = 2a + yB
6a – 2a = yB
4a = yB
yB = 4a
As coordenadas da outra extremidade do segmento de reta são: B = (11a, 4a).
Gabarito: Letra C.
Reta e Circunferência
Em relação à circunferência de equação (x – a) ² + (y – b) ² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
a) P é exterior à circunferência
       b) P pertence à circunferência
c) P é interior à circunferência
Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x – a) ² + (y – b) ² – r²:
* se (m – a) ² + (n – b) ² – r² > 0, então P é exterior à circunferência;
* se (m – a) ² + (n – b) ² – r² = 0, então P pertence à circunferência;
* se (m – a) ² + (n – b) ² – r² < 0, então P é interior à circunferência.
Questão
O centro de uma circunferência é o ponto médio do segmento AB, sendo A(4; –7) e      B(–8; –3). Se o raio dessa circunferência é 3, determine sua equação.
Resposta
Calculando o centro C através da equação do ponto médio de um segmento:
Coordenadas A(4; –7) e   B(–8; –3).
De acordo com a lei de formação da equação de uma circunferência (x – a)² + (y – b)² = r², temos que de acordo com o ponto médio o centro da circunferência é (–2; –5), isto é,
a = –2 e b = –5. Então:
(x + 2)² + (y + 5)² = 3²
(x + 2)² + (y + 5)² = 9
A equação da circunferência é dada por (x + 2)² + (y + 5)² = 9.
Questão
(PUC-SP) O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada b.
Resposta
A equação da circunferência que possui centro C(0, 3) e raio r = 5 é dada por:
(x – 0)² + (y – 3)² = 5² → x² + (y – 3)² = 25.
Sabendo que o ponto (3, b) pertence à circunferência, temos que:
3² + (b – 3)² = 25 → 9 + (b – 3)² = 25 → (b – 3)² = 25 – 9 → (b – 3)² = 16
b – 3 = 4 → b = 4 + 3 → b = 7
b – 3 = – 4 → b = – 4 + 3 → b = – 1
O valor da coordenada b pode ser –1 ou 7.
Questão
(FEI-SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1).
Resposta
Sabendo que o ponto A(1 ,1) pertence à circunferência e que o centro possui coordenadas C(2, 1), temos que a distância entre A e C é o raio da circunferência. Dessa forma temos que d(A, C) = r.
Se o raio da circunferência é igual a 1 e o centro é dado por (2, 1), temos que a equação da circunferência é dada por: (x – 2)² + (y – 1)² = 1.