semana 13ex

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 13
Temas abordados : Integral Definida, Teorema Fundamental do Ca´lculo e A´reas
1) Se p e q sa˜o func¸o˜es cont´ınuas e p(x) ≥ q(x) em [a, b], enta˜o a a´rea da regia˜o compreendida
acima do gra´fico de q e abaixo do gra´fico de p e´ dada por
∫ b
a
[p(x) − q(x)]dx. Nos itens
abaixo, vamos calcular esta a´rea para o caso em que f(x) = 2x e g(x) = x2 − 4x.
(a) Determine as soluc¸o˜es da equac¸a˜o f(x) = g(x),
chamando de a o menor valor e de b o maior.
(b) Pelo Teorema do Valor Intermedia´rio temos
que, em todo o intervalo [a, b], uma das func¸o˜es
e´ sempre maior ou igual a outra. Determine
qual delas e´ a maior, calculando cada uma de-
las em um ponto c ∈ (a, b) e comparando os
dois valores.
−1 2 5 8
(c) Determine agora a a´rea integrando, no intervalo [a, b], a func¸a˜o que esta´ por cima
menos a que esta´ por baixo.
2) Proceda como no exerc´ıcio anterior para calcular a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas
dadas.
(a) f(x) =
√
x, g(x) = x2;
(b) f(x) = 6− x2, g(x) = 3− 2x;
(c) f(x) = (x+ 1)2 − 3, g(x) = 1;
(d) f(x) = |x− 2|+ 1, g(x) = 3− (x− 2)2;
(e) f(x) = 1 + |x|, g(x) = 4− |x|
2
;
(f) f(x) = x2, g(x) =
{
4x+ 5, se x ≤ 1,
9, se x > 1.
3) Repita o argumento do exerc´ıcio anterior para as func¸o˜es abaixo. Neste caso, voceˆ en-
contrara´ 3 ra´ızes para a equac¸a˜o f(x) = g(x), digamos a < b < c. A a´rea agora sera´
calculada como a soma de duas integrais, uma do tipo
∫ b
a
e outra do tipo
∫ c
b
. Em cada
uma delas, voceˆ deve integrar a func¸a˜o que esta´ por cima, menos a que esta´ por baixo
no intervalo de integrac¸a˜o.
(a) f(x) = x3 − x+ 1, g(x) = 1;
(b) f(x) = 4x, g(x) = x3 + 3x2.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 13 - Pa´gina 1 de 4
4) Nos itens a seguir, desenhe o conjunto A dado e calcule a sua a´rea:
(a) A e´ o conjunto do plano limitado pela reta y = 1 e pelo gra´fico de y = 4− 2x− x2,
com −1 ≤ x ≤ 2;
(b) A e´ o conjunto de todos os pontos (x, y) ∈ R2 tais que x2 − 1 ≤ y ≤ x+ 1.
(c) A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = pi, y = −1 e pelo gra´fico de
y = cos(x)− 1;
5) Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelas treˆs curvas y = x2, y = 8− x2 e 4x− y + 12 = 0.
6) Use a integral definida para calcular a a´rea do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o os pontos
(5, 1), (1, 3) e (−1,−2) do plano.
7) Se f e´ cont´ınua em [a, b], enta˜o o Teorema Fundamental da Ca´lculo afirma que a derivada
da func¸a˜o x 7→ ∫ x
a
f(t)dt e´ igual a f(x) no intervalo (a, b). Vamos usar este resultado
para calcular a derivada da func¸a˜o
g(x) =
∫ x3
a
sen3(t)dt.
(a) Verifique que, se F (x) =
∫ x
a
sen3(t)dt e c(x) = x3, enta˜o g(x) = (F ◦ c)(x).
(b) Use a regra da cadeia e o Teorema Fundamental do Ca´lculo para determinar g′(x).
8) Verifique que as func¸o˜es abaixo na˜o dependem de x, mostrando que as suas derivadas
sa˜o sempre zero. Note que, procedendo como acima, e´ poss´ıvel fazer isso sem saber a
primitiva das func¸o˜es que esta˜o sendo integradas.
(a) f(x) =
∫ x
0
1
(1 + t2)
dt+
∫ 1
x
0
1
(1 + t2)
dt, definida para x > 0.
(b) f(x) =
∫ senx
− cosx
1√
1− t2dt, para x ∈ (0, pi/2).
Lista de Exerc´ıcios – Semana 13 - Pa´gina 2 de 4
RESPOSTAS
1) (a) As func¸o˜es sa˜o iguais em x = 0 e x = 6.
(b) Como f(5) = 10 > 5 = g(5), a func¸a˜o f e´ maior ou igual a g em todo o intervalo
[0, 6]. Na˜o ha´ nada de especial no ponto 5 escolhido. Voceˆ poderia escolher qualquer
um no intervalo aberto (0, 6).
(c) A a´rea e´ dada pela integral
∫ 6
0
[f(x)− g(x)]dx = ∫ 6
0
(6x− x2)dx = 36.
2) (a) 1/3 (b) 32/3 (c) 32/3 (d) 7/3 (e) 6 (f) 56/3
Neste caso, e´ poss´ıvel fazer o ca´lculo sem conhecer os gra´ficos. Contudo, para maior
entendimento, eles esta˜o esboc¸ados abaixo.
−0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0.5
1
−1 1 2 3
−4
−2
2
4
6
−4 −3 −2 −1 1 2
−4
−2
2
0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
2
3
4
−2 −1 1 2
1
2
3
4
5
−1 1 2 3
2
4
6
8
10
3) (a) 1/2 (b) 32 + (3/4)
Neste caso e´ poss´ıvel fazer o ca´lculo sem conhecer os gra´ficos. Contudo, para maior
entendimento, eles esta˜o esboc¸ados abaixo.
−1 −0.5 0.5 1
0.5
1
1.5
−4 −3 −2 −1 1
−15
−10
−5
5
Lista de Exerc´ıcios – Semana 13 - Pa´gina 3 de 4
4) (a) 23/3 (b) 2 (c) 9/2
As treˆs regio˜es esta˜o esboc¸adas abaixo.
−1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−5
5
−1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−2
2
4
−1 1 2 3
−2
−1
1
5) 64
6) 12
7) Pela regra da cadeia f ′(x) = F ′(c(x))c′(x). Basta agora lembra que, pelo Teorema Fun-
damental do Ca´lculo F ′(x) = sen3(x), de modo que f ′(x) = 3x2 sen3(x3)
8) Mostre que a derivada de cada uma das func¸o˜es e´ sempre zero. Para o item (b) escreva∫ sen(x)
− cos(x) =
∫ 0
− cos(x) +
∫ sen(x)
0
.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 13 - Pa´gina 4 de 4