Exercícios resolvidos CAP.8 - Impulso e Momento Linear

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1. Uma bola de aço de massa igual a m é largada de uma altura H sobre uma barra de aço 
horizontal. A bola permanece em contato com a barra por um intervalo de tempo ∆∆∆∆t e é 
rebatida até uma altura 4H/9. Determine a força média (vetor) exercida sobre a bola, durante 
a colisão, em função de m, g, H, t e dos vetores unitários que se fizerem necessários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo Teorema do Impulso-Momento Linear temos: 
 
jgHm
t
F
jgHjgHmvmvmtF
PJ
if
)r
))rrr
rr
2
3
5
2(2
3
2
.
∆
=





 −−=−=∆
∆=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – FIS 205 
CAPÍTULO 8 – MOMENTO LINEAR, IMPULSO E COLISÕES 
Pela conservação da energia mecânica, a velocidade da 
bola ao atingir a barra será: 
jgHvgHvmvmgH iii
)r
22
2
1 2 −=== 
 
Após colidir com a barra a bola retornará, com velocidade 
fv
r
que lhe permitirá atingir uma altura 4H/9. Pela 
conservação da energia mecânica: 
 
jgHvgHvHmgmv fff
)r
2
3
2
2
3
2
9/4
2
1 2 ===
 
 
+y 
+x 
iv
r
 
H 
fv
r
 
4H/9 
2. Um garoto de massa 3M, correndo para a direita com velocidade, relativa à Terra, de módulo 
5v0, salta sobre um carrinho de massa M, que estava parado, permanecendo sobre ele. (a) 
Determine a velocidade, relativa à Terra, do conjunto carrinho+garoto depois que ambos 
estiverem andando juntos. Em seguida, o garoto começa a andar sobre o carrinho com 
velocidade v0, relativa ao carrinho, dirigindo-se para a frente do mesmo. Determine (b) a nova 
velocidade do carrinho, em relação à Terra e (c) a nova velocidade do garoto, em relação à 
Terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05v
r
 
3M 
M 
(a) Considerando o sistema de partículas (garoto+carrinho), o momento linear do mesmo 
imediatamente após o garoto saltar sobre o carrinho será igual ao momento linear 
imediatamente antes do salto (∑ = 0externasF ). 
TCCTGGTGG
depoisantes
vmvmvm
PP
,,, ... ′+′=
=
 
 Uma vez que o garoto permanece sobre o carrinho, vvv TCTG ′=′=′ ,, . 
0
0
4
15
)3(5.3
vv
vMMvM
=′
′+=
 
(b) Durante a caminhada do garoto sobre o carrinho ocorre também a conservação do 
momento linear (∑ = 0externasF ). 
0,
,00
,,00
,,,0
,,
3
4315
)(315
)(3
4
15
)3(
..)(
vv
vMvv
vMvvMMv
vMvvMvMM
vmvmvmm
PP
TC
TC
TCTC
TCTCCG
TCCTGGCG
depoisantes
=′′
′′=−
′′+′′+=
′′+′′+=+
′′+′′=′+
=
 
 
(c) A velocidade final do garoto em relação à Terra será: 
0,
00,
,,,
4
3
vv
vvv
vvv
TG
TG
TCCGTG
=′′
+=′′
′′+=′′
 
 
3. Um homem está de pé sobre um bloco de concreto apoiado sobre um lago congelado. 
Suponha que não exista atrito entre o bloco e a superfície do lago congelado, e que, 
inicialmente, o homem e o bloco estão em repouso em relação ao lago. O homem possui uma 
massa cinco vezes menor do que a massa do bloco. Se o homem caminhar para a direita com 
velocidade v (em relação ao bloco), com que velocidade o bloco se moverá em relação ao 
lago congelado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ x 
Dados: 
)(
5
, ivv
mm
mm
BH
B
H
)r
=
=
=
 
 
Considerando o sistema constituído pelo homem + bloco, o 
∑ externasF
r
sobre o sistema será nulo, durante o deslocamento do 
homem sobre o bloco. 
Assim, 
constante0 . =⇒==∑ sistexternas P
dt
Pd
F
r
r
r
 
LBBLHH
DepoisAntes
vmvm
PP
,, ..0
rr
rr
+=
=
 
A velocidade do homem em relação ao lago é: 
 LBBHLH
vvv ,,,
rrr
+=
 
LBLH vivv ,, )(
r)r
+= 
( 1 ) 
( 2 ) 
Substituindo (2) em (1) e as respectivas massas temos: 
 
)(
6
1
)(
6
1
5)(0
5])([0
,
,,
,,
ivivv
vviv
vmvivm
LB
LBLB
LBLB
))r
rr)
rr)
−=−=
++=
++=
 
 
4. Um homem de massa M encontra-se na extremidade de uma plataforma de massa igual a 3M, 
que se desloca com velocidade constante, em relação a terra. Inicialmente, o homem está 
parado em relação à plataforma e o módulo da velocidade da plataforma em relação a terra é 
v. O homem anda até a outra extremidade da plataforma com velocidade constante 
2
v , em 
relação a plataforma, na mesma direção e sentido do movimento inicial da plataforma. 
Considerando que não há atrito entre a plataforma e o solo determine: (a) a velocidade da 
plataforma em relação a terra durante o movimento do homem e (b) a velocidade do centro de 
massa do sistema (homem + plataforma) antes e durante o movimento do homem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Considerando o sistema constituído pelo homem e 
plataforma, o 0==∑
dt
Pd
Fexternas
r
r
durante o 
movimento do homem. Assim sendo, o momento 
linear do sistema será conservado. 
vvv
v
v
MvvvMMv
MvMvvMM
PP
TPTP
TPTPPH
TPTH
finalinicial
8
7
4
2
4
3)(4
3)3(
,,
,,,
,,
=∴+=
++=
+=+
=
 
 
b. A velocidade do centro de massa do sistema 
(homem + plataforma) antes de o homem 
iniciar o movimento em relação à 
plataforma: 
v
vv
v
M
MvMv
v
CM
TPTH
CM
=
+
=
+
=
4
3
4
3 ,,
 
 Uma vez que o ∑ == 0CMexternas amF
rr
, o 
centro de massa se moverá com velocidade 
constante = v. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v
r
 
5. Um homem está sobre um pequeno carro que se movimenta para a direita sobre um piso 
horizontal com velocidade, em relação ao solo, 0C 2v v= . A massa do carrinho é M e a massa 
do homem é 2M. Num certo instante, o homem pula fora do carro, de modo que a sua 
velocidade, relativa ao solo, é 0Hv v= , na direção oposta à do movimento do carrinho. 
Determine, em relação ao solo, (a) a velocidade do centro de massa do sistema (homem-
carrinho), antes e imediatamente após o pulo; (b) a velocidade do carrinho imediatamente 
após o homem ter pulado e (c) a velocidade do centro de massa do sistema depois do 
homem ter atingido o solo e ficado em repouso, em relação ao solo. (d) Qual a força 
responsável pela modificação da velocidade do centro de massa do sistema? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Durante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ x 
(a) Inicialmente, o homem está em repouso em 
relação ao carrinho, sua velocidade em 
relação ao solo é, portanto, igual à 
velocidade do carrinho. 
 Antes do salto: 
0,, 2vvv SCSH == 
0
0
00
,,
2
3
6
2
222
v
M
Mv
v
MM
vMvM
v
mm
vmvm
v
CM
CM
CH
SCCSHH
CM
==
+
+
=
+
+
=
 
Durante o salto, sobre o sistema homem-
carrinho, o ∑ == 0. CMext amF
rr
, de tal forma 
que a 0=CMa
r
e a CMv
r
é constante. 
 
A velocidade do centro de massa do sistema, 
imediatamente após salto é: 
0
' 2vvv CMCM == 
(b) Imediatamente após o salto, a 
velocidade do homem em relação ao 
solo é:
0, vv SH −= e a velocidade do 
centro de massa do sistema é 
0
' 2vvCM = . 
Assim: 
0,
,00
,0
0
,,'
8
26
2
)(2
2
vv
MvMvMv
MM
MvvM
v
mm
vmvm
v
SC
SC
SC
CH
SCCSHH
CM
=
+−=
+
+−
=
+
+
=
 
 
 
0,
,
8
0
vv
v
SC
SH
=
=0
"
0"
,,"
3
8
2
8.0.2
vv
MM
vMM
v
mm
vmvm
v
CM
CM
CH
SCCSHH
CM
=
+
+
=
+
+
=
 
(c) 
(d) A força de atrito do solo sobre o 
homem. 
6. Um projétil de massa m atinge e se engasta num bloco de madeira de massa M que está 
em repouso numa superfície horizontal, preso a uma mola em espiral cuja constante 
elástica é k. O impacto produz uma compressão máxima na mola igual a x. O coeficiente 
de atrito cinético entre o bloco e a superfície é µc. Determine (a) a velocidade do bloco 
imediatamente após a colisão e (b) a velocidade inicial do projétil. Expresse suas 
respostas em termos das grandezas m, M, g , µc , k e x que se fizerem necessárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
m 
M 
(a) Após a bala se engastar no bloco, o sistema bala-bloco terá uma velocidade, vf , que lhe 
permitirá deslizar uma distância x, produzindo uma compressão x na mola. 
Pelo Teorema do trabalho-energia: KWTotal ∆= 
Assim, 
 
2
22
22
22
.
)(
2
)(
2
2
1
)()(
2
1
)(
2
1
0
2
1
)(
x
Mm
k
gxv
x
Mm
k
gxv
kxgxMmvMm
vMmkxgxMm
KKWW
cf
cf
cf
fc
ifFElástfc
+
+=
+
+=
++=+
+−=−+−
−=+
µ
µ
µ
µ
 
 
(b) Antes da colisão a velocidade da bala é vi e a velocidade do bloco é nula. Após a 
colisão o sistema bala-bloco terá uma velocidade, vf . 
Uma vez que, durante a colisão, 0. ==∑
dt
Pd
Fext
r
r
, o momento linear do sistema bala-
bloco será conservado. 
Assim, 
2
)(
2
)(
)(
x
Mm
k
gx
m
Mm
v
vMmmv
PP
ci
fi
DepoisAntes
+
+
+
=
+=
=
µ
 
7. Duas esferas A (massa m) e B (massa 2m), suspensas por fios de mesmo comprimento L, 
são abandonadas das posições indicadas na figura abaixo. Após a colisão A e B permanecem 
unidas. A aceleração da gravidade é g. Determine: (a) o vetor velocidade das esferas 
imediatamente após a colisão, em função de L, g, θ e dos vetores unitários que se fizerem 
necessários; (b) a fração da energia cinética inicial que se mantém após a colisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) As esferas A e B são abandonadas de uma mesma altura inicial, portanto, terão no momento da 
colisão a mesma velocidade inicial (módulo). Pela Conservação da Energia Mecânica: 
( )
( )
( ) )(cos12
)(cos12
:
cos122
2
1 2
igLv
eigLv
Assim
gLgHv
mgHmv
Bi
Ai
)r
)v
θ
θ
θ
−−=
−=
−==
=
 
 
 
 
)cos1(
3
1
)cos1(2.
9
1
.3
2
1
)(
2
1
)cos1(3)cos1(2.2
2
1
)cos1(2
2
1
2
1
2
1
2
22
θθ
θθθ
−=−=+=
−=−+−=+=
mgLgLmvmmK
mgLgLmgLmvmvmK
fBADepois
BiBAiAAntes
 
 
9
1
3
3/1
==
Antes
Depois
K
K
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+y 
+x 
θ θ 
L L 
B 
A 
H H = L – L(cosθ) 
H = L(1 – cosθ) 
Pela conservação do momento linear (colisão 
perfeitamente inelástica): 
)()cos1(2
3
1
)cos1(2
3
1
3)cos1(22)cos1(2.
)(..
igLigLv
vmigLmigLm
vmmvmvm
f
f
fBABiBAiA
))r
r))
rrr
−−=−−=
=−−−
+=+
θθ
θθ
 
(b) 
8. A carreta A é empurrada com uma velocidade de módulo 5v0 em direção à carreta B que 
inicialmente está em repouso. Após a colisão, A recua com velocidade v0, enquanto que B 
move-se para a direita com velocidade de 3v0. Num segundo experimento, A é carregada com 
uma massa M e empurrada contra B (em repouso) com velocidade de 5v0. Após a colisão, A 
permanece em repouso, enquanto que B move-se para a direita com velocidade de 5v0. 
Determine a massa de cada carreta, em função de M. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B A B 
M 
mB mA mB 
 
Am′ 
1° Experimento 
)1(2
36
3.)(5.
00
000
AB
BA
BAA
BfBAfAAiA
depoisantes
mm
vmvm
vmvmvm
vmvmvm
PP
=
=
+−=
+=
=
 
2° Experimento 
)2(
5.5).( 00
Mmm
vmvMm
vmvmvm
PP
AB
BA
BfBAfAAiA
depoisantes
+=
=+
+′=′
=
 
Substituindo (1) em (2): 
Mm
Mmm
A
AA
=
+=2
 
 
e, MmB 2= 
9. Os discos A (massa m e velocidade de módulo 3 v), B (massa 1,5 m e velocidade de 
módulo v) e C (massa 2,5 m) se aproximam da origem deslizando sobre uma mesa de ar 
sem atrito. Todos os discos atingem a origem no mesmo instante. 
(a) Determine o vetor velocidade inicial do disco C (em função de v) para que os três 
discos unidos se desloquem com velocidade de módulo v no sentido positivo do eixo x 
após a colisão. (b) Determine a variação de energia cinética do sistema constituído pelos 
três discos (em função de m e v) ocasionada pela colisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
θ 
+ y 
+ x 
A 
B 
C 
O 
senθ = 0,80 e cosθ = 0,60 
Dados: 
Antes da colisão 
)()(
2
5
)(8,0)(6,0
)(sen)(cos
2
3
)(3
jvivvmm
jvivv
jvivvmm
ivvmm
yCxCiCC
iB
iBB
iAA
))r
))r
))r
)r
+==
−−=
−−==
−==
θθ
Depois da colisão 
)(ivvvvv ffCfBfA
)rrrr
==== 
(a) Considerando o sistema constituído pelos discos A, B e C, durante a colisão o ∑ externasF
r
é 
nulo, de tal forma que o momento linear do sistema é conservado. 
)(48,0)(56,3
48,056,3)(2,1)(9,8)]()([
2
5
)(5)]()([
2
5
)(2,1)(9,0)(3
)(5)]()([
2
5
)](8,0)(6,0[
2
3
)](3[
)(
jvivv
vvevvjvivjviv
ivjvivjviviv
imvjvivmjvivmivm
vmmmvmvmvm
PP
iC
yCxCyCxC
yCxC
yCxC
fCBAiCCiBBiAA
DepoisAntes
))r
))))
))))))
))))))
rrrr
rr
+=
==⇒+=+
=++−−−
=++−−+−
++=++
=
 
(b) A energia cinética inicial do sistema é: 
22222 75,21])48,0()56,3[(
2
5
2
1
2
3
2
1
)3(
2
1
mvvvmvmvmK i =+




+




+= 
A energia cinética do sistema após a colisão é: 
22 5,2)(5
2
1
mvvmK i == 
A variação de energia cinética, portanto será: 
222 25,1975,215,2 mvmvmvK −=−=∆ 
10. Um objeto de massa M desloca-se horizontalmente para a direita sobre uma superfície 
sem atrito, com uma velocidade v0 (em relação à Terra). Num determinado instante o 
objeto explode em dois fragmentos de massas iguais. Devido a explosão o fragmento 1 
adquire uma velocidade relativa ao fragmento 2 para a direita de módulo 2v0. Determine, 
em função das grandezas M e v0 que se fizerem necessárias, (a) a velocidade do 
fragmento 2 em relação à Terra e (b) o acréscimo de energia ao sistema devido a 
explosão. 
 
 
 
 
a) Inicialmente, o objeto desloca-se 
horizontalmente, para a direita, com 
velocidade 0v em relação à Terra. 
O momento linear inicial do 
mesmo, em relação à Terra é: 
 
0MvPinicial = 
 
Na explosão, 0).( ==∑
dt
dP
F xext . 
De tal forma que o momento linear do 
sistema constituído pelos dois 
fragmentos, em relação à Terra, 
permanece o mesmo de antes da 
explosão. 
 
0
222
2
2
)(
2
,2
0,20
0,2,22,1
0,2,22,1
0,22,11
=
=+
=++
=++
=+
=
T
T
TT
TT
TT
inicialfinal
v
vvv
vvvv
Mvv
M
vv
M
Mvvmvm
PP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A energia cinética inicial é: 
 
2
0
2
1
MvK Antes = 
 
 Após a explosão a energia cinética dos 
fragmentos passa a ser: 
 
2
0
2
0
2
2,1
2
,22,1
2
,1
)2(
4
)(
4
)(
4
221
MvK
v
M
K
v
M
K
vv
M
K
v
M
K
Depois
Depois
Depois
TDepois
TDepois
=
=
=
+=
=
 
 
A variação de energia cinética do 
sistema é: 
2
0
2
0
2
0
2
1
2
1
MvMvMvK =−=∆ 
Assim a energia cinética acrescida 
ao sistema na explosão é: 
2
0
2
1
MvK acrescida = 
1 2 M 
0v
r
 
x(+) 
11. Um projétil de massa m que se desloca em direção horizontal com velocidade vi, atinge 
um bloco de madeira de massa M, inicialmente em repouso sobre uma superfície 
horizontal. O projétil após atravessar o bloco tem sua velocidade reduzida para 
2
iv . O 
bloco desliza uma distância d sobre a superfície, a partir de sua posição inicial, até 
retornar novamente ao repouso. Determine (a) o coeficiente de atrito cinético entre o 
bloco e a superfície e (b) a energia cinética perdida durante a colisão. 
 
 
 
 
 
 
 
a. Para se determinar o coeficiente de atrito 
cinético entre o bloco e a superfície 
precisamos, primeiramente, determinar a 
velocidade do bloco imediatamente após a 
colisão. Pela conservação do momento linear 
do sistema projétil-bloco temos: 
i
i
ii
i
i
DepoisAntes
v
M
m
v
mvvM
vMmvmv
vM
v
mmv
PP
2
2
22
2
=′
=′
′+=
′+=
=
 
 
Durante o movimento do bloco a única força 
que realiza trabalho sobre o mesmo é a força 
de atrito cinético, assim: 
2
c
2
c
2
c
8
1
µ
22
1
µ
2
1
0µ





=





=
′−=−
∆=
i
i
f
v
M
m
gd
v
M
m
gd
vMMgd
KW
c
 
b. A energia cinética antes da colisão é: 
2
2
1
iAntes mvK = 
Imediatamente depois da colisão a energia 
cinética do sistema é: 





 +=





+=
′+





=
M
Mm
mvK
v
M
m
MmvK
vM
v
mK
iDepois
iiDepois
i
Depois
2
2
2
2
2
8
1
22
1
8
1
2
1
22
1
 
A variação de energia cinética do sistema projétil-
bloco foi de: 





 −−=∆





 −=∆





 −+=∆





 −
+
=∆
−




 +=∆
M
mM
mvK
M
Mm
mvK
M
MMm
mvK
M
Mm
mvK
mv
M
Mm
mvK
i
i
i
i
ii
8
3
8
3
4
8
1
4
8
1
2
1
8
1
2
2
2
2
22
 
 
iv
r
 
d 
v = 0 v ′
r
 
Imediatamente antes 
v ′
r
 
2
iv
r
 
Imediatamente depois 
12. Um objeto de massa m1 = 2M desloca-se horizontalmente para a direita, sobre uma superfície 
sem atrito, com uma velocidade cujo módulo é 3v0 indo colidir com um objeto de massa 
m2 = M, inicialmente em repouso na mesma superfície. Após a colisão o bloco de massa m2 
passa a se mover com velocidade de módulo 4v0. Determine em função das grandezas 
M e v0 que se fizerem necessárias: 
 
 
 
(a) a velocidade do objeto 1 após a colisão, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) e a força média (módulo, direção e sentido) exercida sobre o corpo de massa m1, 
pelo corpo de massa m2 durante a colisão, sabendo que a mesma durou um tempo 
∆t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) A colisão é perfeitamente elástica? Explique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2M 
m1 m2 
03v
r
 + x M 
Pela conservação do momento linear: 
01
01
010
210
.22
4.26
203.2
vv
vMMv
vMMvMv
MvMvvM
PP
f
f
f
ff
DepoisAntes
=
=
+=
+=+
=
 
t
Mv
F
MvtF
vMMvtF
vmvmtF
PJ
if
∆
−
=
−=∆
−=∆
−=∆
∆=
0
0
00
1111
11
4
4.
322.
.
 
Módulo: 
t
Mv
F
∆
= 0
4
 
Direção: Horizontal 
Sentido: P/ a esquerda 
A energia cinética antes da colisão é: 
2
0
2
0 9)3(2
2
1
MvvMK Antes == 
A energia cinética após a colisão é: 
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0 98)4(
2
1
)(2
2
1
MvMvMvvMvMKDepois =+=+= 
 
Portanto, a colisão é perfeitamente elástica. 
 
 
13. Um bloco de massa m1 = M movendo-se para a direita sobre uma superfície horizontal 
sem atrito, com velocidade de módulo v0 colide frontalmente com outro bloco de massa 
desconhecida (m2), inicialmente em repouso. Após a colisão o bloco de massa m1 recua 
com a velocidade reduzida para 
2
0v e o bloco de massa desconhecida adquire uma 
velocidade 
2
0v . (a) Determine a massa m2 em função de M. (b) Verifique se a colisão foi 
perfeitamente elástica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Pela conservação do momento 
linear: 
Mm
v
mMv
v
m
v
MMv
v
m
v
MMv
vmvmvmvm ffii
3
22
3
22
22
0
2
0
20
0
2
0
0
0
2
0
0
22112211
=
=
=+






+





−=+
+=+
 
b) Cálculo da energia cinética do sistema 
m1 e m2, antes e após a colisão 
2
0
2
0
2
0)(
2
0
2
0
)(
2
22
2
11)(
2
0
2
22
2
11)(
2
1
8
3
8
1
2
3
2
1
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
MvMvMvE
v
M
v
ME
vmvmE
MvvmvmE
DepoisC
DepoisC
ffDepoisC
iiAntesC
=+=






+





−=
+=
=+=
 
Uma vez que a EC(Antes) = EC(Depois), a 
colisão é perfeitamente elástica. 
m1 m2 
0v
r
 
2
0v
r
− 2
0v
r
 
m1 m2 
14. Uma bala de massa m e velocidade v0 passa através de um bloco de massa M, de um 
pêndulo balístico cujo fio possui comprimento L, e emerge do bloco com a velocidade 
reduzida para 
2
0v . O módulo da aceleração da gravidade local vale g. (a) Determine a 
velocidade do bloco, imediatamente após ser atravessado pela bala (em função de m, M e 
v0) e, (b) sabendo que o bloco, após ser atravessado pela bala subiu até a posição B, 
determine o valor de v0 (em função de m, M, L e g). Use caneta para a resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Pela conservação do momento 
linear: 
0
0
0
0
0
0
22112211
2
2
1
2
2
0
v
M
m
v
vMmv
vM
v
mmv
vM
v
mmv
vmvmvmvm ffii
=′
′=
′=−
′+





=+
+=+
 
a) Após ser atravessado pela bala o 
bloco adquire uma velocidade v
’ 
que lhe permite subir até a 
posição B. Pela conservação da 
energia mecânica: 
Lg
m
M
Lg
m
M
v
m
M
Lgv
Lgv
M
m
MgLv
M
m
M
MgLvM
2
2
8
8
2
4
22
1
2
1
0
2
2
2
0
2
02
2
2
0
2
==
=
=
=





=′
 
L 
2
0v
r
 0
v
r
 
L 
B 
NR 
L 
15. Um corpo A de massa M desloca-se para a direita com velocidade constante, de 
módulo 6v0 e faz uma colisão frontal, perfeitamente elástica, com um corpo B de massa 
2M inicialmente em repouso. Determine o impulso exercido, devido a colisão, (a) sobre 
o corpo A e (b) sobre o corpo B. (Dados: M e v0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. Uma bola de borracha com massa m é liberada do repouso a uma altura h acima do solo. 
Após o primeiro quique, ela sobe a 90% da sua altura original. Determine qual impulso 
(módulo, direção e sentido) o solo exerce sobre essa bola durante o seu primeiro quique. 
Expresse sua resposta em termos das variáveis m, g e h.+ x 
A 
B 
06v
r
 
Pela conservação do momento linear: 
)1(62
26
26.
0
0
0
vvv
vvv
MvMvvM
vmvmvmvm
BfAf
BfAf
BfAf
BfBAfABiBAiA
=+
+=
+=
+=+
 
 
Uma vez que a colisão é elástica podemos usar o 
fato de que ocorre inversão na velocidade 
relativa após a colisão. 
0
0
6
6
vvv
vvv
vvvv
BfAf
AfBf
AfBfBiAi
−=−
−=
−=−
 
 
Resolvendo o sistema de equações (1) e (2): 
0
0
0
0
0
0
0
0
4
6
2
63
1222
62
)2(6
62
vv
vvv
vv
vv
vvv
vvv
vvv
vvv
Bf
AfBf
Af
Af
BfAf
BfAf
BfAf
BfAf
=
+=
−=
−=




−=−
=+




×−=−
=+
 
Assim, o impulso exercido sobre o corpo A é: 
( ) ( )
0
00
8
62
MvJ
vvMvvMpJ
A
AiAfAA
−=
−−=−=∆=
 
Uma vez que, na colisão, o impulso total é 
igual a zero: 
08MvJJ AB =−= 
 
Cálculo da velocidade antes da colisão com o solo (v1): 
ghv
mvmgH
2
2
1
1
2
1
−=
=
 
Cálculo da velocidade após a colisão com o solo (v2): 
ghv
hmgmv
80,1
90,0
2
1
2
2
2
+=
=
 
 
Cálculo do Impulso exercido pelo solo sobre a bola: 
( )[ ]
( )ghghmJ
ghghmJ
vvmJ
mvmvJ
pJ
280,1
)280,1
)( 12
12
+=
−−=
−=
−=
∆=
 
Direção: Vertical 
Sentido: Para cima 
 
h 
1v
r
 
2v
r
 
 0,90 h 
v0 = 0 
v = 0 
+ y 
17. Uma bala de massa m é disparada contra um bloco de madeira de massa M que se 
encontra em repouso, na base de um plano inclinado de um ângulo θ. A bala fica 
encravada no bloco e, o conjunto bala-bloco desliza uma distância L sobre o plano 
inclinado até parar no ponto B. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano 
inclinado vale 
2
1 . O módulo da aceleração da gravidade local é g. Determine o 
módulo da velocidade inicial do projétil (v0) em função de L e g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5
4
5
3
=
=
θ
θ
cos
sen
 
Analisando a colisão 
(perfeitamente inelástica) 
entre a bala e o bloco: 
)1(
)(
)(
0
0
f
f
DepoisAntes
v
m
Mm
v
vMmmv
PP
+
=
+=
=
 
Após a colisão o conjunto bala-bloco adquire uma 
velocidade vf e deslocará uma distância L até parar em B. 
Pelo Teorema do Trabalho-Energia Cinética temos: 
[ ]
( )
)2(2
2
5
4
2
1
5
3
2
cos2
2cos2
2
1
cos
)(
2
1
)(cos)(
)(
2
1
00)(.
2
2
2
2
2
2
Lgv
LgxLgv
senLgv
vLgsenLg
vgLsenLg
vMmgLsenMmLgMm
vMmghMmLf
EEW
EEW
EWW
EW
f
f
Cf
fC
fC
fC
fc
cPGf
cPGf
cPesof
cTotal
c
c
c
=
=




 +=
+=
−=−
−=−
+−+=+−



 +−+−+=−
∆+∆=
∆=∆−
∆=+
∆=
θµθ
θθµ
θθµ
θθµ
 
Substituindo (2) em (1): 
Lg
m
Mm
v
v
m
Mm
v f
2
)(
)(
0
0
+
=
+
=
 
m 
 
θ 
 
L 
M 
 
M 
 
m 
 
0v
r
 
A 
B 
N.R. 
h = Lsenθ 
18. Uma esfera de aço de massa M e uma corda de massa desprezível de 2m de comprimento 
formam um pêndulo simples que oscila sem atrito em torno do ponto O, conforme 
mostrado na figura abaixo. Esse pêndulo é solto a partir do repouso na posição horizontal, 
e quando a esfera atinge sua posição mais baixa ela sofre uma colisão perfeitamente 
elástica com um bloco, também de massa M, que se encontra em repouso sobre uma 
superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície horizontal 
vale 0,10. Considere g = 10m/s2. Determine: 
 (a) A velocidade do bloco imediatamente após a colisão. 
 (b) A distância percorrida pelo bloco até que ele atinja novamente o repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Analisando o movimento da esfera antes da 
colisão. 
Pela conservação da energia mecânica: 
smv
ghv
mvmgh
i
i
i
/32,6
2.10.22
2
1
1
1
2
1
=
==
=
 
Uma vez que a colisão é perfeitamente elástica: 
)1(211
211
221111
ffi
ffi
ffi
DepoisAntes
vvv
MvMvMv
vmvmvm
PP
+=
+=
+=
=
 
Pela inversão da velocidade relativa: 
)2(121
1221
ffi
ffii
vvv
vvvv
−=
−=−
 
Igualando (1) e (2): 
0
02
1
1
1221
=
=
−=+
f
f
ffff
v
v
vvvv
 
Substituindo em (1): 
smvv
vvv
if
ffi
/32,612
211
==
+=
 
 
m1 = M 
m2 = M 
(b) Analisando o movimento do 
bloco após a colisão: 
 
md
d
g
v
d
vmgdm
vmW
EW
c
f
fc
ff
cf
c
c
20
10.10,0.2
40
2
2
1
2
1
2
2
2
222
2
22
=
=
=
−=−
−=
∆=
µ
µ
 
 
 
19. Um vagão de estrada de ferro (A) , de massa 2M, está freado no topo de uma ladeira, a 
uma altura H1 em relação ao solo. Quando ele é solto, rola pela ladeira e se engata com 
um outro vagão (B), de massa M, que está parado, livre, na base da ladeira. Os dois, 
engatados, sobem até a altura H. Determine (a) a altura H e (b) a energia mecânica 
perdida na colisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Cálculo da velocidade de A imediatamente 
antes da colisão 
Durante a descida de A, a única força que realiza 
trabalho é a força gravitacional, assim: 
1
2
1
2
2
2
1
2
gHv
MvMgH
EE
Ai
Ai
finalinicial
=
=
=
 
 
Pela Lei de Conservação do Momento Linear: 
12
3
2
)2(2
gHv
vMMMv
PP
f
fAi
DepoisAntes
=
+=
=
 
Uma vez que, durante a subida dos vagões, 
novamente, a única força que realiza trabalho é 
a força gravitacional, temos: 
1
1
2
9
4
2
9
4
2
1
33
2
1
HH
gHgH
MgHMv
EE
f
finalinicial
=
=





=
=
 
 
 
 
 
 
b. Considerando o nível de referência 
(h = 0) na base da ladeira, a Energia Mecânica 
inicial do sistema constituído pelos dois 
vagões será: 
12MgHEinicial = 
E, a Energia Mecânica final do sistema 
constituído pelos dois vagões será: 
1
1
3
4
9
4
33
MgHE
HMgMgHE
final
final
=





==
 
 
Assim, a variação de energia mecânica do 
sistema em virtude da colisão ocorrida será: 
1
11
3
2
2
3
4
MgHE
MgHMgHE
−=∆
−=∆
 
A energia mecânica perdida na colisão é, 
portanto: 
 1
3
2
MgHEPerdida = 
 
 
H1 
H = ? 
A 
B 
A colisão entre os vagões será perfeitamente 
inelástica uma vez que os dois vagões 
permanecerão engatados e, assim sendo, 
terão a mesma velocidade após a colisão. 
fBfAf vvv == 
NR (Ug = 0)