Quantidade de movimento

Prévia do material em texto

145PROMILITARES.COM.BR
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
IMPULSO
A ideia de impulso se apresenta para nós usualmente como um 
empurrão cujo objetivo é acelerar ou freiar um objeto. Essa aceleração 
dependerá da força ( )F a ser aplicada e do seu tempo (∆t) de interação 
com o corpo, assim, o impulso ( )I será de� nido como:
I F t= ⋅ ∆
 
Observação
Quando a força for variável, podemos usar a área do grá� co F × t 
para determinar o valor do impulso.
Observação
No SI, o impulso é dado em N ⋅ s
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
A quantidade de movimento ( )Q é a grandeza utilizada por 
Newton para formulação das leis da mecanica. Também chamada de 
momento linear, é de� nida pelo produto da massa (m) de um corpo 
pela sua velocidade ( )v . 
Q m v= ⋅
 
Observação
No SI, a unidade de quantidade de movimento é kg ⋅ m/s
Exercício Resolvido
01. Em uma aula do curso de Logística Aeroportuária, o professor 
propõe aos alunos que determinem a quantidade de movimento 
da aeronave tipo 737-800 em voo de cruzeiro, considerando 
condições ideais. Para isso ele apresenta valores aproximados, 
fornecidos pelo fabricante da aeronave.
INFORMAÇÃO DADO
Massa Máxima de Decolagem 79.000 kg
Velocidade média de cruzeiro 720 km/h
Com base nos dados apresentados no quadro, o resultado 
aproximado esperado é, em kg ⋅ m/s,
a) 1,6 × 107
b) 2,0 × 107
c) 2,6 × 107
d) 3,0 × 107
e) 3,6 × 107
Resolução: A
A quantidade de movimento ou momento linear (Q) é o produto 
da massa pela velocidade, assim para a velocidade de cruzeiro, em 
m/s, temos:
7 7
Q m v
km 1m s
Q 79000 kg 720
h 3,6 km
kg m s 1,6 k
h
Q 1,58 10 1 g0 m s⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ≈ ⋅⋅
Observação
Há uma relação entre a energia cinética do corpo e sua quantidade 
de movimento dada por:
2
c
Q
E
2m
=
TEOREMA DO IMPULSO
A segunda lei de Newton pode ser escrita em função das 
grandezas apresentadas nesse capítulo, como veremos a seguir:
v
F m a m
t
F t m v
I Q
∆
= ⋅ = ⋅
∆
⋅ ∆ = ⋅ ∆
= ∆

 
 
 
146
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PROMILITARES.COM.BR
Assim, quando uma força resultante é aplicada em um corpo, ela 
provoca uma variação na sua quantidade de movimento.
Exercício Resolvido
02. Uma partícula de massa m2 = 2 kg está em movimento 
retilíneo sobre uma superfície sem atrito com velocidade constante 
v = 1 m/s. Ao se fazer atuar sobre a partícula uma força constante 
de módulo F = 2N na mesma direção e no mesmo sentido de seu 
movimento, durante um intervalo ∆t = 1s, ela sofre uma aceleração 
constante. Ao � nal do intervalo de tempo ∆t = 1s a velocidade da 
partícula, em m/s, será 
a) 0. 
b) 1. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 2. 
Resolução: E
Sendo a força aplicada a resultante, aplicando o teorema do 
impulso:
( ) ( ) ( )F t m v' v 2 1 2 v' 1 v' 2m s.∆ = − ⇒ = − ⇒ =
COLISÕES
Quando dois ou mais corpos colidem, eles interagem entre si e 
causam variação das suas quantidades de movimentos. 
Não havendo forças externas atuando, a quantidade de 
movimento do sistema de partículas permanece sempre inalterado.
final inicial
A B A B
Q Q
Q Q Q' Q'
=
+ = +
 
   
Observação
Em quaisquer colisões a quantidade de movimento do sistema 
sempre é conservada
Demonstração da conservação da quantidade de 
movimento
Usando a terceira lei de Newton (ação e reação), podemos a� rmar 
que a força ( )ABF

que o corpo A faz em B é oposta a que B faz em 
A ( )BAF

 Além disso, o tempo de interação entre eles também é o 
mesmo, assim:
AB BA AB BAF F F t F t= − ⇒ ⋅ ∆ = − ⋅ ∆
   
Usando o teorema do impulso, temos:
( )A B A A B B
A B A B
Q Q Q Q' Q Q'
Q Q Q' Q'
∆ = −∆ ⇒ − = − −
+ = +
     
   
COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO
Mesmo com a quantidade de movimento total conservada, a 
energia dos corpos após uma colisão pode não se manter constante. 
Para determinarmos quanto da energia é perdida nesse processo, 
usaremos o coe� ciente de resituição (e) de� nido por:
afastamento
aproximação
v
e
v
=
• vaproximação é a velocidade relativa entre os corpos antes da 
colisão
• vafastamento é a velocidade relativa entre os corpos após a colisão
Observação
Relembrando como calcular a velocidade relativa
• Corpos se movendo no mesmo sentido: rel 1 2v v v= −
• Corpos se movendo em sentido contrário: rel 1 2v v v= +
COLISÃO PERFEITAMENTE ELÁSTICA
Vamos descrever as caracterísitcas de uma colisão perfeitamente 
elástica e fazer um exemplo:
• não há perda de energia, ou seja, a energia é conservada. 
• o coe� ciente de restituição vale 1 (e = 1) 
Exercício Resolvido
03. Um pequeno bloco, de massa m = 0,5 kg, inicialmente em 
repouso no ponto A, é largado de uma altura h = 0,8 m. O bloco 
desliza ao longo de uma superfície sem atrito e colide com um 
outro bloco, de mesma massa, inicialmente em repouso no ponto 
B (veja a � gura a seguir). Determine a velocidade do segundo bloco 
após a colisão, em m/s, considerando-a perfeitamente elástica.
Resolução: 
Primeiro vamos encontrar a velocidade do bloco A no � nal da 
rampa usando a conservação da energia
início fim
2
A A
A A A A
m v
E E m gh v 2gh 2 10 0,8 4 m/s
2
= ⇒ = ⇒ = = ⋅ ⋅ =
Durante colisão, a quantidade de movimento é conservada
início A A A A B B A A BfimQ Q m v m v' m v' v v' v'= ⇒ = + ⇒ = +
147
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PROMILITARES.COM.BR
Como a colisão é perfeitamente elástica, o coe� ciente de 
restituição vale 1
afastamento B A
B A A
Aaproximação
v v' v'
e 1 v' v' v
vv
−
= = = ⇒ − =
Resolvendo o sistema, encontramos:
A
B
v' 0
v' 4 m/s
=
=
Pendulo de Newton
COLISÃO PERFEITAMENTE INELÁSTICA
Vamos também descrever as caracterísitcas de uma colisão 
perfeitamente inelástica e fazer um exemplo:
• A energia não é conservada
• Há perda máxima de energia do sistema
• Os corpos saem juntos após a colisão
• O coe� ciente de restitução é nulo (e = 0) 
Exercício Resolvido
04. Um corpo A colide com um corpo B que se encontra 
inicialmente em repouso. Os dois corpos estão sobre uma superfície 
horizontal sem atrito. Após a colisão, os corpos saem unidos, com 
uma velocidade igual a 20% daquela inicial do corpo A.
Qual é a razão entre a massa do corpo A e a massa do corpo B, 
mA/mB? 
a) 0,20
b) 0,25
c) 0,80
d) 1,0
e) 4,0
Resolução: B
A colisão entre os dois corpos é perfeitamente inelástica sem atrito, 
assim temos a Conservação da Quantidade de Movimento.
inicial final
A A B B
Q Q
m v m v
=
⋅ + ⋅ ( )
( )
A B final
A A B A B A
A A
m m v
m v m 0 m m 0,2 v
m v
= + ⋅
⋅ + ⋅ = + ⋅
⋅ ( )A B Am m 0,2 v= + ⋅
A A B
A A B
A B
A
B
A
B
m 0,2 m 0,2 m
m 0,2 m 0,2 m
0,8 m 0,2 m
m 0,2
m 0,8
m 1
0,25
m 4
= ⋅ + ⋅
− ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
=
= =
COLISÃO PARCIALMENTE ELÁSTICA OU 
PARCIALMENTE INELÁSTICA
Essas colisões são intermediárias entre a perfeitamente elástica e 
a perfeitamente inelástica, portanto o seu coe� ciente de restituição 
está entre 0 e 1 (0 < e < 1). Sua energia também não é conservada.
Exercício Resolvido
05. (EFOMMM) Dois móveis P e T com massas de 15,0 kg e 
13,0 kg respectivamente, movem-se em sentidos opostos com 
velocidades VP = 5,0 m/s e VT = 3,0 m/s, até sofrerem uma colisão 
unidimensional, parcialmente elástica de coe� ciente de restituição 
e = 3/4. Determine a intensidade de suas velocidades após o 
choque. 
a) VT = 5,0 m/s e VP = 3,0 m/s
b) VT = 4,5 m/s e VP = 1,5 m/s
c) VT = 3,0 m/s e VP = 1,5 m/s
d) VT = 1,5 m/s e VP = 4,5 m/s
e) VT = 1,5 m/s e VP = 3,0 m/s
Resolução: B
Orientando a trajetória no mesmo sentido do movimento do móvel 
P, os dados são: P T P Tm 15 kg; m 13 kg; v 5 m s; v 3 m s.= = = = −
Considerando o sistema mecanicamente isolado, pela conservação 
da quantidade de movimento:
( ) ( )
( )
antes depois ' '
sist sist P P T T P P T T
' '
P T
' '
P T
Q Q m v m v m v m v
15 5 13 3 15v 13v
15v 13v 36. I
= ⇒ + = + ⇒
⇒ + − = + ⇒
+ =
Usando a de� nição de coe� ciente de restituição (e):
( )
' ' ' '
T P T P
P T
' '
' 'T P
T P
v v 3 v v
e
v v 4 5 ( 3)
3 v v
v v 6. II
4 8
− −
= ⇒ = ⇒
− − −
−
⇒ = ⇒− =
Montando o sistema e resolvendo:
' ' ' '
P T P T
' ' ' '
T P P T
' '
P T
' '
P T
'
T
' '
T T
15v 13v 36 15v 13v 36
v v 6 v v 6
15v 13v 36 (+)
15v 15v 90 
0 28v 126
126
v v 4,5 m s. 
28
 + = + = ⇒ ⇒ 
− = − + =  
 + =
⇒ ⇒− + =
 + =
= ⇒ =
Voltando em (II):
' ' ' '
T P P P
' '
P P
v v 6 4,5 v 6 4,5 6 v
v 1,5m s v 1,5 m s.
− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒
⇒ = − ⇒ =
EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. (EEAR 2010) Duas esferas A e B, de mesmas dimensões, e de 
massas, respectivamente, iguais a 6 kg e 3 kg, apresentam movimento 
retilíneo sobre um plano horizontal, sem atrito, com velocidades 
constantes de 10 m/s e 5 m/s, respectivamente. Sabe-se que a esfera 
B está a frente da esfera A e que estão perfeitamente alinhadas, 
conforme pode ser visto na � gura, e que após o choque a esfera A 
adquire uma velocidade de 5 m/s e a esfera B uma velocidade v.
148
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PROMILITARES.COM.BR
Utilizando os dados do problema, considerando o sistema isolado e 
adotando o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento, 
determine a velocidade v, em m/s.
a) 10.
b) 15.
c) 20.
d) 25.
02. (EEAR 2012) O grá� co a segui representa a relação entre o módulo 
da força (F), em newtons, e o tempo (t), em segundos. Considerando 
que essa força tem direção constante, o módulo do impulso da força 
de 0 a 4 s, em N⋅s, é igual a ______.
a) 5
b) 10
c) 20
d) 40
03. (EEAR 2014) Um soldado de massa igual a 60 kg está pendurado 
em uma corda. Por estar imóvel, ele é atingido por um projétil de 
50 g disparado por um ri� e. Até o instante do impacto, esse projétil 
possuía velocidade de módulo igual a 400 m/s e trajetória horizontal. 
O módulo da velocidade do soldado, logo após ser atingido pelo 
projétil é aproximadamente ____ m/s.
Considere
1. a colisão perfeitamente inelástica,
2. o projétil e o soldado um sistema isolado, e
3. que o projétil � cou alojado no colete de proteção utilizado pelo 
soldado e, portanto, o mesmo continuou vivo e dependurado na 
corda após ser atingido.
a) 0,15
b) 1,50
c) 0,33
d) 3
04. (EEAR 2015) Um caminhão carregado, com massa total de 20000 kg 
se desloca em pista molhada, com velocidade de 110 km/h. No 
semáforo à frente colide com um carro de 5000 kg, parado no sinal. 
Desprezando o atrito entre os pneus e a estrada e sabendo que após 
a colisão, o caminhão e o carro se movimentam juntos, qual é a 
velocidade do conjunto (caminhão + carro), em km/h, após a colisão?
a) 80
b) 88
c) 100
d) 110
05. (EEAR 2009) Considere a � gura abaixo, que representa uma 
gangorra apoiada em seu centro. Admita que a esfera A, cuja massa 
é o dobro da massa da esfera B, é solta de uma altura H, igual a 
20 cm. Ao se chocar com a gangorra, a esfera A transfere totalmente 
a quantidade de movimento para a esfera B que é imediatamente 
lançada para cima. Desconsiderando a massa da gangorra e qualquer 
tipo de atrito, admitindo que a aceleração da gravidade local seja igual 
a 10 m/s2 e que a articulação da gangorra seja ideal, a altura h, em 
metros, alcançada pela esfera B, vale:
a) 0,2
b) 0,4
c) 0,8
d) 2,0
06. (AFA 1989) O carrinho A move-se para a direita com velocidade 
de 0,5 m/s e colide contra um carrinho B que se encontra em repouso. 
Depois da colisão, A move-se para a esquerda com velocidade de 
0,1 m/s, enquanto B se move para a direita com 0,3 m/s. Numa 
segunda sequência, A está carregado com uma massa de 1 kg e 
é empurrado contra B com uma velocidade de 0,5 m/s. Depois da 
colisão, A permanece e repouso, enquanto B se move para a direita a 
0,5 m/s. As massas, em kg, de A e B são, respectivamente:
a) 1 e 1 b) 1 e 2 c) 2 e 2 d) 10 e 11
07. (AFA 1989) A situação abaixo refere-se a uma colisão em duas 
dimensões. À esquerda (Fig. 1), tem-se um instante da situação 
anterior ao choque e, à direita (Fig. 2), a representação do ocorrido 
após o choque. A direção do movimento da bola II, após a colisão, 
pode ser melhor representada pela seta:
a) AO
b) OB
c) OC
d) OD
08. (AFA 1990) O bloco A (mA = 0,8 kg) e o bloco B (mB = 1,2 kg) 
da � gura abaixo, estão unidos por um � o inextensível de massa 
desprezível, e se movem à razão de 9 m/s, sobre uma superfície 
horizontal lisa. Entre eles existe uma mola ideal, comprimida. Em dado 
instante o � o se rompe, e a mola se solta. O bloco A para e o bloco B 
é lançado ainda mais veloz para adiante. A energia potencial da mola 
(antes do � o se romper) e a energia cinética � nal do sistema valem, 
respectivamente, em Joules:
a) 54 e 135
b) 81 e 135
c) 54 e 189
d) 8 e 189
09. (AFA 1994) Uma bola A de massa m é lançada, com velocidade 
3 m/s, em direção a uma bola B, em repouso, de massa m/2, que estão 
a certa distância de uma parede (ver � gura). Acontecerão choques 
perfeitamente elásticos, frontais, num plano horizontal, sem atrito. 
Após o segundo choque entre as bolas, as velocidades, em m/s, 
das bolas A e B serão, respectivamente:
a) –1,0 e –4,0
b) –0,5 e –2,0
c) 2,3 e –2,67
d) 3,5 e –1,5
10. (AFA 1994) Um avião está voando a 720 km/h quando uma ave de 
3,0 kg é apanhada por ele, chocando-se perpendicularmente contra 
o vidro dianteiro (inquebrável) da cabine. Se o choque, perfeitamente 
inelástico durar um milésimo de segundo, a força, em newtons, 
aplicada no vidro valerá:
a) 56 1 0×
b) 62,16 1 0×
c) 61,2 1 0×
d) 64,32 1 0×
149
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PROMILITARES.COM.BR
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. (AFA) Na extremidade da mola de constante elástica 2,0 × 103 N/m, 
ilustrada abaixo, prende-se um bloco de 200 g, inicialmente em repouso, 
de forma que o sistema massa-mola possa oscilar sem atrito, na superfície 
horizontal. Dispara-se uma bala de 10 g, com velocidade de 250 m/s, 
de encontro ao bloco, de modo a se incrustar nele. Qual a máxima 
deformação, em cm, que a mola experimenta?
a) 2,0 b) 12,2 c) 36,1 d) 137,0
02. (AFA) Os corpos da � gura abaixo, que estavam em repouso, 
escorregam um sobre o outro sem atrito, de modo que, num 
determinado instante, a componente horizontal da velocidade 
adquirida pelo corpo menor seja 0,75 m/s. Sabendo-se que a massa 
dos corpos maior e menor é, respectivamente, 6 kg e 2 kg, a velocidade 
do corpo maior, no mesmo instante, será
a) 0,25 m/s no mesmo sentido.
b) 0,25 m/s no sentido oposto.
c) 2,25 m/s no mesmo sentido.
d) 2,25 m/s no sentido oposto.
03. (AFA) Um projétil é disparado horizontalmente, com velocidade 
VA, contra um bloco de madeira de massa M, inicialmente em repouso, 
sobre uma superfície horizontal sem atrito. sabendo-se que a colisão 
é perfeitamente inelástica e que, após esta, a velocidade do sistema é 
VF, a massa m do projétil será,
a) F
A F
V
M
V V+
b) F
A F
V
M
V V−
c) A F
F A
V V
M
V V−
d) A 
F A
V
M
V V−
04. (AFA) Um tenista, com o auxílio de uma raquete, consegue 
imprimir velocidade de 120 km/h a uma bola de tênis de 85g de massa. 
Supondo que a colisão da raquete com a bola seja perfeitamente 
elástica e dure 1 × 10-2 segundos, a força desenvolvida contra a bola, 
em newtons, será:
a) 120,2 b) 283,3 c) 1250,4 d) 10200,6
05. (AFA) Um corpo A de massa MA desloca-se com velocidade vA, 
num plano horizontal e sem atrito, quando colide com outro corpo B 
de massa MB, inicialmente em repouso. Após a colisão, perfeitamente 
elástica, os corpos A e B deslocam-se nas direções mostradas na � gura 
abaixo. Portanto a velocidade do corpo B, após a colisão, será
a) B B
A
3M
v
2M
b) A A
B
3M
v
2M
c) A A
B
2 3M
v
3M
d) B B
A
2 3M
v
3M
06. (ESPCEX) Na � gura abaixo, um projétil de massa m = 10 g bate em 
um pêndulo balístico de massa M = 1 kg e se aloja dentro dele. Depois 
do choque, o conjunto atinge uma altura máxima h = 80 cm. Os � os 
que compõem o pêndulo são inextensíveis, têm massa desprezível, 
permanecem paralelos entre si e não sofrem qualquer tipo de torção. 
Considerando que a resistência do ar é desprezível e que a aceleração 
da gravidade é igual a 10 m/s, a intensidade da velocidade com que o 
projétil atingiu o pêndulo vale
a) 4,4 m/s 
b) 17,6 m/s 
c) 244m/s 
d) 404 m/s 
e) 1616 m/s
07. (ESPCEX) Um móvel movimenta-se sob a ação de uma força 
resultante de direção e sentido constantes, cuja intensidade (FR) varia 
com o tempo (t) de acordo com o grá� co abaixo.
O módulo do impulso dessa força resultante, no intervalo de tempo 
de 0 s a 12 s, é de
a) 5 Ns 
b) 12 Ns 
c) 25 Ns 
d) 30 Ns 
e) 60 Ns
08. (ESPCEX) Uma granada de mão, inicialmente em repouso, explodiu 
sobre uma mesa, de superfície horizontal e sem atrito, e fragmentou-se 
em três pedaços de massas M1, M2 e M3 que adquiriram velocidades 
coplanares e paralelas ao plano da mesa, conforme representadas no 
desenho abaixo. Imediatamente após a explosão, a massa M1 = 100 
g adquire uma velocidade v1= 30m/s e a massa M2 = 200g adquire 
uma velocidade v2 = 20 m/s, cuja direção é perpendicular à direção de 
v1 ⋅ A massa M3 = 125g adquire uma velocidade inicial v3 igual a:
a) 45 m/s
b) 40 m/s
c) 35 m/s
d) 30 m/s
e) 25 m/s
150
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PROMILITARES.COM.BR
09. (AFA) Analise as a� rmativas abaixo sobre impulso e quantidade 
de movimento.
I. Considere dois corpos A e B deslocando-se com quantidades de 
movimento constantes e iguais. Se a massa de A for o dobro de B, 
então, o módulo da velocidade de A será metade do de B.
II. A força de atrito sempre exerce impulso sobre os corpos em 
que atua.
III. A quantidade de movimento de uma luminária � xa no teto de 
um trem é nula para um passageiro, que permanece em seu 
lugar durante todo o trajeto, mas não o é para uma pessoa na 
plataforma que vê o trem passar.
IV. Se um jovem que está afundando na areia movediça de um 
pântano puxar seus cabelos para cima, ele se salvará.
São corretas 
a) apenas I e III. 
b) apenas I, II e III. 
c) apenas III e IV. 
d) todas as a� rmativas. 
10. (EN) Analise as a� rmativas abaixo, que se referem às grandezas 
impulso e quantidade de movimento.
I. Se uma partícula está submetida a uma força resultante constante, 
a direção da quantidade de movimento da partícula pode mudar.
II. Se uma partícula está se movendo em círculo com módulo da 
velocidade constante v, a intensidade da taxa de variação da 
quantidade de movimento no tempo é proporcional a v².
III. Com o grá� co do módulo da força resultante que atua sobre uma 
partícula em função da posição x, pode-se obter o módulo do impulso 
sobre a partícula, calculando-se a área entre a curva e o eixo x.
IV. Se J

 representa o impulso de uma determinada força, então 
J
t
∆
∆

representa a variação da força.
Assinale a opção correta. 
a) Apenas as a� rmativas I e II são verdadeiras. 
b) Apenas as a� rmativas I e III são verdadeiras. 
c) Apenas as a� rmativas III e IV são verdadeiras. 
d) Apenas as a� rmativas I, II e IV são verdadeiras. 
e) Apenas as a� rmativas II, III e IV são verdadeiras. 
11. (ESPCEX) Uma granada de mão, inicialmente em repouso, explode 
sobre uma mesa indestrutível, de superfície horizontal e sem atrito, e 
fragmenta-se em três pedaços de massas m1, m2 e m 3 que adquirem 
velocidades coplanares entre si e paralelas ao plano da mesa.
Os valores das massas são m1 = m2 = m e 3
m
m .
2
= Imediatamente 
após a explosão, as massas m1 e m2 adquirem as velocidades 1v

e 2v ,

 respectivamente, cujos módulos são iguais a v, conforme o 
desenho abaixo.
Desprezando todas as forças externas, o módulo da velocidade 3v ,

imediatamente após a explosão é 
a) 
2
v
4
b) 
2
v
2
c) 2v
d) 
3
2v
2
⋅
e) 2 2v⋅
12. (ESPCEX) Dois � os inextensíveis, paralelos, idênticos e de massas 
desprezíveis suspendem um bloco regular de massa 10 kg formando 
um pêndulo vertical balístico, inicialmente em repouso. Um projetil 
de massa igual a 100 g, com velocidade horizontal, penetra e se aloja 
no bloco e, devido ao choque, o conjunto se eleva a uma altura de 
80 cm, conforme � gura abaixo. Considere que os � os permaneçam 
sempre paralelos.
A velocidade do projetil imediatamente antes de entrar no bloco é 
Dados: despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade 
igual a 10 m/s². 
a) 224 m/s.
b) 320 m/s.
c) 370 m/s.
d) 380 m/s.
e) 404 m/s.
13. (ESPCEX) Um canhão, inicialmente em repouso, de massa 
600 kg, dispara um projétil de massa 3 kg com velocidade horizontal 
de 800 m/s. Desprezando todos os atritos, podemos a� rmar que a 
velocidade de recuo do canhão é de:
a) 2 m/s
b) 4 m/s
c) 6 m/s
d) 8 m/s
e) 12 m/s
14. (AFA) Um avião a jato, cuja massa é de 40 toneladas, ejeta, 
durante 5 segundos, 100 kg de gás e esse gás sofre uma variação de 
velocidade de 500 m/s.
Com base nessas informações, analise as seguintes a� rmativas:
I. A variação da velocidade do avião é de 1,25 m/s.
II. A força aplicada no avião é de 104 N.
III. O impulso sofrido pelo avião vale 5⋅104 kg⋅m/s.
Está(ão) correta(s)
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III.
d) I, II e III.
151
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PROMILITARES.COM.BR
15. (AFA) Uma partícula de massa m é lançada obliquamente com 
velocidade v0 próxima à superfície terrestre, conforme indica a � gura 
abaixo. A quantidade de movimento adquirida pela partícula no ponto 
Q, de altura máxima, é
a) 0mv
b) 20m v 2gh−
c) m 2gh
d) 
2
0vm gh
2
−
16. (AFA) Três esferas idênticas estão suspensas por � os ideais 
conforme a � gura. Se a esfera A for deslocada da posição inicial e 
solta, ela atingirá uma velocidade v e colidirá frontalmente com as 
outras duas esferas estacionadas. Considerando o choque entre as 
esferas perfeitamente elástico, pode-se a� rmar que as velocidades vA, 
vB e vC de A, B e C, imediatamente após as colisões, serão
a) A B cv v v v= = =
b) A B cv v 0 e v v= = =
c) A B c
v
v 0 e v v
2
= = =
d) A B c
v
v v v
3
= = =
17. (EFOMM) Um jogador de futebol cobra uma falta frontal e 
acerta o canto superior esquerdo da baliza, marcando o gol do 
título. Suponha que a bola, com massa de 400 g, tenha seguido uma 
trajetória parabólica e levado 1,0 s para atingir a meta. Se a falta foi 
marcada a 20 m de distância da linha de fundo e a bola atingiu o gol 
à altura de 2,0 m, qual é o vetor força média que o jogador imprimiu 
à bola durante o chute? Considere que o tempo de interação entre 
o pé do jogador e a bola foi de 0,1 s e que não há resistência do ar. 
Considere ainda g = 10 m/s² e os vetores unitários î e ĵ ao longo das 
direções horizontal e vertical, respectivamente. 
a) ˆ ˆ20,0 N i 7,0 N j−
b) ˆ ˆ80,0 N i 12,0 N j−
c) ˆ ˆ40,0 N i 14,0 N j+
d) ˆ ˆ8,0 N i 2,8 N j+
e) ˆ ˆ80,0 N i 28,0 N j+
18. (EFOMM) Na figura (a) é apresentada uma mola de constante 
K, que tem presa em sua extremidade um bloco de massa M. 
Esse  sistema oscila em uma superfície lisa sem atrito com 
amplitude A, e a mola se encontra relaxada no ponto 0. Em um 
certo instante, quando a massa M se encontra na posição A, um 
bloco de massa m e velocidade v se choca com ela, permanecendo 
grudadas (figura (b)). Determine a nova amplitude de oscilação A’ 
do sistema massa-mola.
a) 
2 2
2m vA' A
(m M)K
= +
+
b) 
2
2mvA' A
K
= +
c) 
2
2(M m)vA' A
K
+
= +
d) 
M m
A' v
K
+
=
e) A' A=
19. (EFOMM) Dois móveis P e T com massas de 15,0 kg e 13,0 kg, 
respectivamente, movem-se em sentidos opostos com velocidades 
VP = 5,0 m/s e VT = 3,0 m/s, até sofrerem uma colisão unidimensional, 
parcialmente elástica de coe� ciente de restituição e = 3/4. Determine 
a intensidade de suas velocidades após o choque.
a) VT = 5,0 m/s e VP = 3,0 m/s 
b) VT = 4,5 m/s e VP = 1,5 m/s 
c) VT = 3,0 m/s e VP = 1,5 m/s 
d) VT = 1,5 m/s e VP = 4,5 m/s 
e) VT = 1,5 m/s e VP = 3,0 m/s 
20. (EFOMM) Uma balsa de 2,00 toneladas de massa, inicialmente 
em repouso, transporta os carros A e B, de massas 800 kg e 900 kg, 
respectivamente. Partindo do repouso e distantes 200 m inicialmente, 
os carros aceleram, um em direção ao outro, até alcançarem uma 
velocidade constante de 20 m/s em relação à balsa. Se as acelerações 
são aA = 7,00 m/s² e aB = 5,00 m/s², relativamente à balsa, a velocidade 
da balsa em relação ao meio líquido, em m/s, imediatamente antesdos veículos colidirem, é de
a) zero 
b) 0,540 
c) 0,980 
d) 2,35 
e) 2,80 
21. (AFA) Considere duas rampas A e B, respectivamente de 
massas 1 kg e 2 kg, em forma de quadrantes de circunferência 
de raios iguais a 10 m, apoiadas em um plano horizontal e sem 
atrito. Duas esferas 1 e 2 se encontram, respectivamente, no topo 
das rampas A e B e são abandonadas, do repouso, em um dado 
instante, conforme � gura abaixo.
152
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PROMILITARES.COM.BR
Quando as esferas perdem contato com as rampas, estas se 
movimentam conforme os grá� cos de suas posições x, em metros, em 
função do tempo t, em segundos, abaixo representados.
Desprezando qualquer tipo de atrito, a razão 1
2
m
m
 das massas m1 e m2
das esferas 1 e 2, respectivamente, é 
a) 
1
2
b) 1
c) 2
d) 
3
2
22. (EN) Analise a � gura abaixo.
A � gura acima mostra um homem de 69 kg, segurando um pequeno 
objeto de 1,0 kg, em pé na popa de um � utuador de 350 kg e 6,0 m 
de comprimento que está em repouso sobre águas tranquilas. A proa 
do � utuador está a 0,50 m de distância do píer. O homem desloca-se 
a partir da popa até a proa do � utuador, para, e em seguida lança 
horizontalmente o objeto, que atinge o píer no ponto B, indicado na 
� gura acima.
Sabendo que o deslocamento vertical do objeto durante seu voo é 
de 1,25 m, qual a velocidade, em relação ao píer, com que o objeto 
inicia o voo?
Dado: g = 10 m/s² 
a) 2,40 m/s
b) 61,0 cm/s
c) 360 cm/s
d) 3,00 km/h
e) 15,00 km/h
23. (EN) Analise a � gura a seguir.
A � gura acima mostra um sistema formado por duas partículas iguais, 
A e B, de massas 2,0 kg cada uma, ligadas por uma haste rígida de 
massa desprezível. O sistema encontra-se inicialmente em repouso, 
apoiado em uma superfície horizontal (plano xy) sem atrito. Em t = 0, 
uma força 1 ˆF 8,0 iN=

 passa a atuar na partícula A e, simultaneamente, 
uma força 2 ˆF 6,0 jN=

 passa a atuar na partícula B.
Qual o vetor deslocamento, em metros, do centro de massa do sistema 
de t = 0 a t = 4,0 s? 
a) 
3ˆ ˆ2i j
2
+
b) ˆ ˆ2i 6 j+
c) ˆ ˆ4i 3j+
d) ˆ ˆ4i 12j+
e) ˆ ˆ16i 12j+
24. (EN) Analise a � gura abaixo.
A � gura acima mostra o grá� co das energias cinéticas de dois carrinhos, 
A e B respectivamente, que deslizam sem atrito ao longo de um trilho 
horizontal retilíneo. No instante t = 3 s ocorre uma colisão entre os 
carrinhos. Sendo assim, assinale a opção que pode representar um 
grá� co para as velocidades dos carrinhos antes e depois da colisão. 
a)
b)
c)
153
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PROMILITARES.COM.BR
d)
e)
25. (ESPCEX) Dois caminhões de massa m1 = 2,0 ton e m2 = 4,0 
ton, com velocidades v1 = 30 m/s e v2 = 20 m/s, respectivamente, 
e trajetórias perpendiculares entre si, colidem em um cruzamento no 
ponto G e passam a se movimentar unidos até o ponto H, conforme 
a � gura abaixo. Considerando o choque perfeitamente inelástico, 
o módulo da velocidade dos veículos imediatamente após a colisão é:
a) 30 km/h 
b) 40 km/h 
c) 60 km/h 
d) 70 km/h 
e) 75 km/h 
26. (EN) Um artefato explosivo é lançado do solo com velocidade 
inicial v0 fazendo um ângulo de 30° com a horizontal. Após 3,0 
segundos, no ponto mais alto de sua trajetória, o artefato explode em 
duas partes iguais, sendo que uma delas (fragmento A) sofre apenas 
uma inversão no seu vetor velocidade. Desprezando a resistência do 
ar, qual a distância, em metros, entre os dois fragmentos quando o 
fragmento A atingir o solo?
Dados: sen30° = 0,5; cos30° = 0,9; g = 10 m/s²
a) 280 b) 350 c) 432 d) 540 e) 648
27. (EFOMM) Duas pessoas – A e B – de massas mA e mB, estão sobre 
uma jangada de massa M, em um lago. Inicialmente, todos esses 
três elementos (jangada e pessoas) estão em repouso em relação à 
água. Suponha um plano coordenado XY paralelo à superfície do 
lago e considere que, em determinado momento, A e B passam a se 
deslocar com velocidades (em relação à água) de módulos VA e VB, nas 
direções, respectivamente, dos eixos perpendiculares x e y daquele 
plano coordenado.
A velocidade relativa entre a pessoa A e a jangada tem módulo: 
a) 2 2A A B B
1
(m V ) (m V )
M
+
b) 2 2 2A A B B
1
(m M) V (m V )
M
+ +
c) 2 2A A B B
A
1
(m V ) (m V )
M m
+
+
d) 2 2 2A A B B
A
1
(m M) V (m V )
M m
+ +
+
e) 2 2A A B B
A B
1
(m V ) (m V )
M(m m )
+
+
28. (AFA) A partícula 1, no ponto A, sofre uma colisão perfeitamente 
elástica e faz com que a partícula 2, inicialmente em repouso, percorra, 
sobre uma superfície, a trajetória ABMCD, conforme � gura a seguir.
O trecho BMC é um arco de 90° de uma circunferência de raio 
R = 1,0 m.
Ao passar sobre o ponto M, a partícula 2 está na iminência de perder 
o contato com a superfície. A energia mecânica perdida, devido ao 
atrito, pela partícula 2 ao longo do trecho ABM é exatamente igual 
à que ela perde no trecho MCD. No ponto D, a partícula 2 sofre 
outra colisão, perfeitamente elástica, com a partícula 3, que está em 
repouso. As partículas 1 e 3 possuem mesma massa, sendo a massa 
de cada uma delas o dobro da massa da partícula 2.
A velocidade da partícula 1, imediatamente antes da colisão no 
ponto A, era de 6,0 m/s. A aceleração da gravidade é constante e 
igual a g. Desprezando a resistência do ar, a velocidade da partícula 3, 
imediatamente após a colisão no ponto D, em m/s, será igual a
a) 3,0
b) 4,0
c) 5,0
d) 6,0
29. (AFA) A montagem da � gura a seguir ilustra a descida de uma 
partícula 1 ao longo de um trilho curvilíneo. Partindo do repouso em 
A, a partícula chega ao ponto B, que está a uma distância vertical H 
abaixo do ponto A, de onde, então, é lançada obliquamente, com um 
ângulo de 45° com a horizontal.
A partícula, agora, descreve uma trajetória parabólica e, ao atingir seu 
ponto de altura máxima, nessa trajetória, ela se acopla a uma partícula 
2, sofrendo, portanto, uma colisão inelástica.
154
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PROMILITARES.COM.BR
Essa segunda partícula possui o dobro de massa da primeira, está 
em repouso antes da colisão e está presa ao teto por um � o ideal, 
de comprimento maior que H, constituindo, assim, um pêndulo. 
Considerando que apenas na colisão atuaram forças dissipativas, e 
que o campo gravitacional local é constante. O sistema formado pelas 
partículas 1 e 2 atinge uma altura máxima h igual a 
a) 
H
3
b) 
H
9
c) 
H
16
d) 
H
18
30. (AFA) Uma partícula A, de massa m e carga elétrica q, está em 
repouso no momento em que uma segunda partícula B, de massa 
e carga elétrica iguais às de A, é lançada com velocidade de módulo 
igual a v0, na direção x, conforme ilustra a � gura abaixo.
A partícula B foi lançada de um ponto muito distante de A, de tal forma 
que, no instante do lançamento, as forças elétricas coulombianas 
entre elas possam ser desprezadas.
Sendo K a constante eletrostática do meio e considerando apenas 
interações eletrostáticas entre essas partículas, a distância mínima 
entre A e B será igual a 
a) 
2
0
2
m v8
3 K q
b) 
2
0
2
K v3
4 m q
c) 2
0
Kq
2
mv
d) 
2
2
0
K q
4
mv
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. (EPCAR/AFA 2012) De acordo com a figura abaixo, a partícula A, 
ao ser abandonada de uma altura H, desce a rampa sem atritos ou 
resistência do ar até sofrer uma colisão, perfeitamente elástica, com 
a partícula B que possui o dobro da massa de A e que se encontra 
inicialmente em repouso. Após essa colisão, B entra em movimento e 
A retorna, subindo a rampa e atingindo uma altura igual a
a) H b) 
H
2
c) 
H
3
d) 
H
9
02. (FUVEST 2012)
Maria e Luísa, ambas de massa M, patinam no gelo. Luísa vai ao 
encontro de Maria com velocidade de módulo V. Maria, parada na 
pista, segura uma bola de massa m e, num certo instante, joga a bola 
para Luísa. A bola tem velocidade de módulo v, na mesma direção de 
V
��
. Depois que Luísa agarra a bola, as velocidades de Maria e Luísa, 
em relação ao solo, são, respectivamente:
a) 0; v – V.
b) –v; v + V/2.
c) –mv/M; MV/m.
d) –mv/M; (mv – MV)/(M + m).
e) (MV/2 – mv)/M; (mv – MV/2)/(M + m).
03. (EN 2013) Uma granada, que estava inicialmentecom velocidade 
nula, explode, partindo-se em três pedaços. O primeiro pedaço, de 
massa M1 = 0,20 kg, é projetado com uma velocidade de módulo igual 
a 10 m/s. O segundo pedaço, de massa M2 = 0,10 kg é projetado em 
uma direção perpendicular à direção do primeiro pedaço, com uma 
velocidade de módulo igual a 15 m/s. Sabendo-se que o módulo da 
velocidade do terceiro pedaço é igual a 5,0 m/s, a massa da granada, 
em kg, vale:
a) 0,30 b) 0,60 c) 0,80 d) 1,0 e) 1,2
04. (FUVEST 2015) Um trabalhador de massa m está em pé, em 
repouso, sobre uma plataforma de massa M. O conjunto se move, sem 
atrito, sobre trilhos horizontais e retilíneos, com velocidade de módulo 
constante v. Num certo instante, o trabalhador começa a caminhar 
sobre a plataforma e permanece com velocidade de módulo v, em 
relação a ela, e com sentido oposto ao do movimento dela em relação 
aos trilhos. Nessa situação, o módulo da velocidade da plataforma em 
relação aos trilhos é
a) (2m + M)v/(m + M).
b) (2m + M)v/M.
c) (2m + M)v/m.
d) (M – m)v/M.
e) (m + M)v/(M – m).
05. (EPCAR/AFA 2018) Um corpo M de dimensões desprezíveis e 
massa 10 kg movimentando-se em uma dimensão, inicialmente com 
velocidade V

, vai sucessivamente colidindo inelasticamente com 
N partículas M todas de mesma massa 1 kg e com velocidades de 
módulo v = 20 m/s, que também se movimentam em uma dimensão 
de acordo com a Figura 1, a seguir:
O grá� co que representa a velocidade � nal do conjunto vf após cada 
colisão em função do número de partículas N é apresentado na Figura 
2, a seguir.
Desconsiderando as forças de atrito e a resistência do ar sobre o corpo 
e as partículas, a colisão de ordem N0 na qual a velocidade do corpo 
resultante (corpo M + N0 partículas m) se anula, é,
155
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PROMILITARES.COM.BR
a) 25.
b) 50.
c) 100.
d) 200.
06. (ESPCEX/AMAN 2014) Um bloco de massa M = 180 g está sobre 
urna superfície horizontal sem atrito, e prende-se a extremidade de 
uma mola ideal de massa desprezível e constante elástica igual a 
2 ⋅ 103 N/m. A outra extremidade da mola está presa a um suporte 
fixo, conforme mostra o desenho. Inicialmente, o bloco se encontra em 
repouso e a mola no seu comprimento natural, isto é, sem deformação.
Um projétil de massa m = 20 g é disparado horizontalmente contra o 
bloco, que é de fácil penetração. Ele atinge o bloco no centro de sua 
face, com velocidade de v = 200 m/s. Devido ao choque, o projétil 
aloja-se no interior do bloco. Desprezando a resistência do ar, a 
compressão máxima da mola é de:
a) 10,0 cm.
b) 12,0 cm.
c) 15,0 cm.
d) 20,0 cm.
e) 30,0 cm.
07. (IME 2018)
Conforme a � gura acima, um corpo, cuja velocidade é nula no ponto 
A da superfície circular de raio R é atingido por um projétil, que se 
move verticalmente para cima, e � ca alojado no corpo. Ambos passam 
a deslizar sem atrito na superfície circular, perdendo o contato com a 
superfície no ponto B. A seguir, passam a descrever uma trajetória no 
ar até atingirem o ponto C, indicado na � gura. Diante do exposto, a 
velocidade do projétil é:
Dados:
massa do projétil: m;
massa do corpo: 9m; e
aceleração da gravidade: g.
a) 
Rg510
2
b) 
Rg310
2
c) 
Rg510
3
d) 
Rg310
5
e) 
Rg210
3
08. (ESPCEX/AMAN 2017) Um cubo de massa 4 kg está inicialmente 
em repouso sobre um plano horizontal sem atrito. Durante 3 s, aplica-
se sobre o cubo uma força constante F

 horizontal e perpendicular 
no centro de uma de suas faces, fazendo com que ele sofra um 
deslocamento retilíneo de 9 m nesse intervalo de tempo, conforme 
representado no desenho abaixo.
No final do intervalo de tempo de 3 s, os módulos do impulso da força 
F

 e da quantidade de movimento do cubo são, respectivamente:
a) 36 N⋅s e 36 kg⋅m/s
b) 24 N⋅s e 36 kg⋅m/s
c) 24 N⋅s e 24 kg⋅m/s
d) 12 N⋅s e 36 kg⋅m/s
e) 12 N⋅s e 12 kg⋅m/s
09. (ITA 2018) Num plano horizontal liso, presas cada qual a uma 
corda de massa desprezível, as massas m1 e m2 giram em órbitas 
circulares de mesma frequência angular uniforme, respectivamente 
com raios r1 e r2 = r1/2. Em certo instante essas massas colidem-se 
frontal e elasticamente e cada qual volta a perfazer um movimento 
circular uniforme. Sendo iguais os módulos das velocidades de m1 e 
m2 após o choque, assinale a relação m2/m1.
a) 1
b) 3/2
c) 4/3
d) 5/4
e) 7/5
10. (PUC-PR 2017) A sonda espacial Rosetta realizou um feito sem 
precedentes na história da exploração espacial. Em 2014, quando 
viajava com velocidade inicial V0 de 64.800 km/h (18.000 m/s), lançou 
o robô Philae, de 100 kg na direção da superfície de um cometa. A 
figura a seguir ilustra a situação.
Com efeito do lançamento do robô, as trajetórias foram alteradas de 
tal forma Sen α = 0,8 e Sen θ = 0,6. Sendo a massa da sonda Rosetta 
de 3.000 kg, o módulo da razão entre a velocidade com que o robô 
foi lançado em direção ao cometa V2 e a velocidade final da sonda 
Rosetta V1 é:
a) 22,5.
b) 30,0.
c) 37,5.
d) 45,0.
e) 52,5.
156
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PROMILITARES.COM.BR
DESAFIO PRODESAFIO PRO
1 (IME) 
Duas partículas A e B, ambas com carga positiva +Q e massas 2 m 
e m, respectivamente, viajam, em velocidades constantes v e 2v 
e nas direções e sentidos mostrados na Figura 1, até se chocarem 
e � carem grudadas no instante em que penetram numa região 
sujeita a um campo magnético constante (0,0,B), sendo B uma 
constante positiva.
O comprimento da trajetória percorrida pelo conjunto A + B 
dentro da região sujeita ao campo magnético é: 
Observações:
- despreze o efeito gravitacional; 
- antes do choque, a partícula B viaja tangenciando a região 
sujeita ao campo magnético; 
- o sistema de eixo adotado é o mostrado na Figura 2; e 
- despreze a interação elétrica entre as partículas A e B. 
a) 
3 2 mv
2QB
π
b) 
2 mv
QB
π
c) 
3 2 mv
QB
π
d) 
3 mv
2QB
π
e) 
2 mv
2QB
π
2 (ITA) Um tubo � no de massa 1.225 g e raio r = 10,0 cm encontra-se inicialmente em repouso sobre um plano 
horizontal sem atrito. A partir do ponto mais alto, um corpo 
de massa 71,0 g com velocidade inicial zero desliza sem atrito 
pelo interior do tubo no sentido anti-horário, conforme a 
� gura. Então, quando na posição mais baixa, o corpo terá uma 
velocidade relativa ao tubo, em cm/s, igual a
a) -11,3. 
b) -206. 
c) 11,3. 
d) 206. 
e) 194. 
3 (ITA) De uma planície horizontal, duas partículas são lançadas de posições opostas perfazendo trajetórias num 
mesmo plano vertical e se chocando elasticamente no ponto de 
sua altitude máxima – a mesma para ambas. A primeira partícula 
é lançada a 30° e aterriza a 90°, também em relação ao solo, a 
uma distância L de seu lançamento. A segunda é lançada a 60° 
em relação ao solo. Desprezando a resistência do ar, determine:
a) a relação entre as massas das partículas,
b) a distância entre os pontos de lançamento e
c) a distância horizontal percorrida pela segunda partícula. 
4 (ITA) 
Mediante um � o inextensível e de peso desprezível, a polia da 
� gura suporta à esquerda uma massa de 60 kg, e à direita, uma 
massa de 55 kg tendo em cima outra de 5 kg, de formato anelar, 
estando este conjunto a 1 m acima da massa da esquerda. Num 
dado instante, por um dispositivo interno, a massa de 5 kg é 
lançada para cima com velocidade v = 10 m/s, após o que, cai 
e se choca inelasticamente com a de 55 kg. Determine a altura 
entre a posição do centro de massa de todo o sistema antes do 
lançamento e a deste centro logo após o choque.
5 (IME)
Considere um feixe homogêneo de pequenos projéteis 
deslocando-se na mesma direção e na mesma velocidade 
constante até atingir a superfície de uma esfera que está sempre 
em repouso. 
A esfera pode ter um ou dois tipos de superfícies: uma superfície 
totalmente re� etora (colisão perfeitamente elástica entre a 
esfera e o projétil) e/ou uma superfície totalmente absorvedora 
(colisão perfeitamente inelástica entre a esfera e o projétil).
Em uma das superfícies (re� etora ou absorvedora), o ângulo α da 
� gura pertence ao intervalo [0, β], enquanto na outra superfície157
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PROMILITARES.COM.BR
(absorvedora ou re� etora) α pertence ao intervalo (β, π/2].
Para que a força aplicada pelos projéteis sobre a esfera seja 
máxima, o(s) tipo(s) de superfície(s) é(são): 
a) re� etora em [0, π/3] e absorvedora em (π/3, π/2].
b) re� etora em [0, π/4] e absorvedora em (π/4, π/2].
c) absorvedora em [0, π/6] e re� etora em (π/6, π/2].
d) absorvedora em [0, π/4] e re� etora em (π/4, π/2].
e) absorvedora em [0, π/2]. 
6 (ITA) Uma chapa metálica homogênea quadrada de 100 cm² de área, situada no plano xy de um sistema de 
referência, com um dos lados no eixo x, tem o vértice inferior 
esquerdo na origem. Dela, retira-se uma porção circular de 
5,00 cm de diâmetro com o centro posicionado em x = 2,050 cm 
e y = 5,00 cm.
Determine as coordenadas do centro de massa da chapa restante. 
a) c c(x ,y ) (6,51, 5,00)cm=
b) c c(x ,y ) (5,61, 5,00)cm=
c) c c(x ,y ) (5,00, 5,61)cm=
d) c c(x ,y ) (5,00, 6,51)cm=
e) c c(x ,y ) (5,00, 5,00)cm=
7 (IME)
A � gura acima representa uma lâmina de espessura e densidade 
constantes na forma de um semicírculo de raio a. A lâmina está 
suspensa por um � o no ponto A e o seu centro de massa está 
a uma distância de 
4a
3π
 da reta que contém o segmento DB. 
Uma das metades da lâmina é retirada após um corte feito ao 
longo do segmento AC. Para a metade que permanece suspensa 
pelo ponto A nessa nova situação de equilíbrio, a tangente do 
ângulo que a direção do segmento de reta AC passa a fazer com 
a vertical é 
a) 
3
4 3π −
b) 
4
3 4
π
π −
c) 
3
π
π −
d) 
4
3 4π −
e) 
4
4 − π
GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. B
02. C
03. C
04. B
05. C
06. B
07. C
08. A
09. C
10. A
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. B
02. B
03. B
04. B
05. B
06. D
07. D
08. B
09. B
10. A
11. E
12. E
13. B
14. C
15. B
16. B
17. E
18. A
19. B
20. B
21. A
22. C
23. E
24. A
25. C
26. E
27. B
28. B
29. D
30. D
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. D
02. D
03. C
04. A
05. B
06. D
07. A
08. C
09. E
10. A 
DESAFIO PRO
01. A
02. D
03. a) 2
1
m 3
m 5
=
b) 
4
d L
3
=
c) Total
5
d L
3
=
04. Variação do centro de massa do sistema é nula.
05. B
06. B
07. D
ANOTAÇÕES
158
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PROMILITARES.COM.BR
ANOTAÇÕES