lista derivada 4

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Quarta Lista de Exercı´cios
Ca´lculo Diferencial
Prof. Flausino Lucas
Exerc´ıcio 1. A quantidade de oxigeˆnio que pode
ser dissolvido em a´gua depende da temperatura da
a´gua. (Logo, a poluic¸a˜o te´rmica influencia o n´ıvel
de oxigeˆnio da a´gua). O gra´fico mostra como a
solubilidade do oxigeˆnio S varia em func¸a˜o da tem-
peratura T da a´gua.
a) Qual o significado da derivada S′(T )? Quais sa˜o
suas unidades?
b) Deˆ uma estimativa do valor S′(16) e interprete-
o.
Exerc´ıcio 2. Seja
f(x) =
{
x2 sin( 1x ), se x 6= 0
0, se x = 0
Calcule, caso exista, f ′(0).
Exerc´ıcio 3. Mostre que f(x) = |x| na˜o e´ de-
riva´vel em x = 0.
Exerc´ıcio 4. Prove que toda func¸a˜o f : Df ⊆
R −→ R deriva´vel e´ cont´ınua.
Exerc´ıcio 5. Calcule f ′(p), pela definic¸a˜o, sendo
dados:
a) f(x) = x2 + x e p = 1
b) f(x) =
√
x e p = 4
c) f(x) = 5x− 3 e p = −3
d) f(x) = 2x3 − x2 e p = 1
Exerc´ıcio 6. Determine a equac¸a˜o da reta tan-
gente em (p, f(p)) sendo dados:
a) f(x) = 3
√
x e p = 2
b) f(x) = 1/x e p = 1
c) f(x) = x2 + x e p = −1
d) f(x) = x/(x + 1) e p = −2
Exerc´ıcio 7. Mostre que a func¸a˜o dada por
g(x) =
{
2x + 1, se x < 1
−x + 4, se x ≥ 1
na˜o e´ deriva´vel em p = 1. Esboce o gra´fico de g.
Exerc´ıcio 8. Seja
g(x) =
{
2, se x ≥ 0
x2 + 2, se x < 0
a) Esboce o gra´fico de g.
b) g e´ deriva´vel em p = 0? Em caso afirmativo,
calcule g′(0).
Exerc´ıcio 9. Seja f : R −→ R uma func¸a˜o tal que
quaisquer que sejam x e t,
|f(x)− f(t)| ≤ |x− t|2.
Calcule f ′(x).
Exerc´ıcio 10. Determine a equac¸a˜o da reta tan-
gente ao gra´fico de f(x) = ex no ponto de abscissa
0. Esboce os gra´ficos de f e da reta tangente.
1
Exerc´ıcio 11. Determine a equac¸a˜o da reta tan-
gente ao gra´fico de f(x) = lnx no ponto de abscissa
1. Esboce os gra´ficos de f e da reta tangente.
Exerc´ıcio 12. Seja f(x) = ax, onde a > 0 e a 6= 1
e´ constante. Mostre que f ′(x) = x ln a.
Exerc´ıcio 13. Seja g(x) = loga x, onde a > 0 e
a 6= 1 e´ constante. Mostre que g′(x) = 1
x ln a
.
Exerc´ıcio 14. Determine a equac¸a˜o da reta tan-
gente ao gra´fico de f(x) = sinx no ponto de abs-
cissa 0. Esboce os gra´ficos de f e da reta tangente.
Exerc´ıcio 15. Seja g(x) = x3 +
1
x
. Determine a
equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g no ponto
(1, g(1)).
Exerc´ıcio 16. Seja f e g func¸o˜es deriva´veis em
p ∈ Df ∩Dg e suponha que as retas tangentes aos
gra´ficos de f e g, no ponto de abscissa p, sejam
perpendiculares. Mostre que
f ′(p)g′(p) = −1
Exerc´ıcio 17. Suponha que f e´ uma func¸a˜o de-
riva´vel em p ∈ Df . Sabendo-se que a reta tangente
ao gra´fico de f no ponto de abscissa p e´ paralela a`
reta
r : ax + by + c = 0,
mostre que
a = −bf ′(p)
Exerc´ıcio 18. Calcule f ′(x) sendo:
a) f(x) = tanx.
b) f(x) = secx.
c) f(x) = cotx.
d) f(x) = cscx.
Exerc´ıcio 19. Calcule f ′(x) em cada caso:
a) f(x) = (3x2 + 1)ex
b) f(x) =
sinx
x + 1
c) f(x) =
2x + 3
x2 + 1
d) f(x) = x3 + lnx
e) f(x) = x +
√
x
f) f(x) = 5 + 3x−2
g) f(x) = 6x3 + 3
√
x
h) f(x) = 2x +
1
x
+
2
x2
i) f(x) = 3
√
x +
√
x
j) f(x) =
√
x
x + 1
k) f(x) =
x + 4
√
x
x
√−3
l) f(x) =
√
x secx
m) f(x) = x cotx
n) f(x) = 4 secx + 5 cotx
o) f(x) =
x
cscx
p) f(x) =
x + sinx
x− cosx
q) f(x) = x2 + 3x tanx
Exerc´ıcio 20. Calcule f ′(x):
a) f(x) = x2ex
b) f(x) = 3x + 5 lnx
c) f(x) = ex cosx
d) f(x) =
lnx
x
e) f(x) = x2 lnx + 2ex
f) f(x) =
x + 1
x lnx
g) f(x) =
ex
1 + x
h) f(x) =
1 + ex
1− ex
Exerc´ıcio 21. Calcule g′(x):
a) g(x) = xex cosx
b) g(x) = x2(cosx)(1 + lnx)
c) g(x) = (1 +
√
x)ex tanx
2
d) g(x) = ex sinx cosx
Exerc´ıcio 22. Determine a derivada segunda das
func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = ex
b) f(x) = sinx
c) f(x) = x cosx
d) f(x) = lnx
e) f(x) = x
2
x2+1
f) f(x) = 2x5 − 5 3
√
x2
Exerc´ıcio 23. Seja x = t2 sin t. Calcule:
a)
dx
dt
;
b)
dx
dt
∣∣∣
t=pi
.
Exerc´ıcio 24. Seja y = u2, onde u = u(x) e´ uma
func¸a˜o deriva´vel. Verifique que
dy
dx
= 2u
du
dx
Exerc´ıcio 25. Seja y = 3x3 − 6x + 2. Calcule:
a)
d2y
dx2
;
b)
d2y
dx2
∣∣∣
x=0
.
Exerc´ıcio 26. Seja y = t3x onde x = x(t) e´ uma
func¸a˜o deriva´vel ate´ 2a ordem. Verifique que:
a)
dy
dt
= 3t2x + t3
dx
dt
b)
d2y
dt2
= 6tx + 6t2
dx
dt
+ t3
d2x
dt2
Exerc´ıcio 27. Seja y = t2x, onde x = x(t) e´
uma func¸a˜o deriva´vel. Calcule
dy
dt
∣∣∣
t=1
supondo
dx
dt
∣∣∣
t=1
= 2 e x = 3 para t = 1.
Exerc´ıcio 28. Considere a func¸a˜o y =
t
x + t
, onde
t = t(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel. Calcule
dy
dx
∣∣∣
x=1
sabendo que
dt
dx
∣∣∣
x=1
= 4 e que t = 2 para x = 1.
Exerc´ıcio 29. Seja y = ex cosx. Verifique que
d2y
dx2
− 2 dy
dx
+ 2y = 0.
Exerc´ıcio 30. Seja y = tet. Verifique que
d2y
dt2
−
2
dy
dt
+ y = 0.
Exerc´ıcio 31. Suponha que y = y(r) seja de-
riva´vel ate´ 2a ordem. Verifique
d
dr
[
(r2 + r)
dy
dr
]
= (2r + 1)
dy
dr
+ (r2 + r)
d2y
dr2
Exerc´ıcio 32. Suponha que x = x(t) seja de-
riva´vel ate a 2a ordem. Verifique que:
a)
d
dt
(
t2
dx
dt
)
= 2t
dx
dt
+ t2
d2x
t2
b)
d
dt
(
x
dx
dt
)
=
(
dx
dt
)2
+ x
d2x
dt2
3