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Deflexões Elásticas em Vigas
Método da Integração Dupla
Matheus Pereira
Introdução:
A aplicação de cargas
transversais numa viga não
só origina tensões de flexão
e de cisalhamento na
barra, mas também
provoca deslocamentos na
mesma, segundo a direção
perpendicular ao seu eixo
longitudinal;
Tais deslocamentos são
vulgarmente designados
por deflexões ou flechas;
Introdução:
A deformação de uma
viga é geralmente
expressa em termos das
deflexões relativamente
à posição original (na
ausência de cargas),
sendo as deflexões
medidas entre a
superfície neutra original
e a superfície neutra da
viga deformada;
Introdução
A superfície neutra deformada designa-se por linha elástica da viga;
Na figura “a” abaixo, representa-se a viga em seu estado indeformado e na figura
“b”, representa-se a viga na sua configuração deformada sob a ação da carga;
Ao deslocamento y, dá-se o nome de deflexão da viga;
Por vezes, é necessário conhecer a deflexão y para qualquer valor de x ao longo
da viga;
Esta relação pode ser escrita sob a forma de uma equação freqüentemente
denominada equação da linha elástica da viga;
Importância das Deflexões nas Vigas
No dimensionamento de
vigas, não só tem de se
limitar as tensões como
também freqüentemente
se impõem limitações nas
deflexões;
Igualmente certos
componentes de aviões
são projetados de modo
que as deflexões não
excedam valores pré-
definidos, pois caso
contrário as
características
aerodinâmicas poderiam
ser alteradas;
Importância das Deflexões nas Vigas
Logo, uma viga bem
dimensionada deve ser
capaz de suportar as cargas
a que se encontra sujeita
sem sofrer deflexões
excessivamente grandes;
Assim, além da
determinação das tensões, o
projetista deve ser capaz de
calcular as deflexões;
As deflexões são também
necessárias para se obter as
reações em vigas
estaticamente
indeterminadas – (estruturas
hiperestáticas);
Método para Determinação das
Deflexões em Vigas
1 – Método da Integração Dupla;
2 – Método das funções de
singularidade;
3 – Métodos baseados na energia de
deformação elástica;
Obs:- Note-se que todos os métodos acima são aplicáveis
Apenas se todos os pontos da viga se encontrarem no
domínio elástico;
M
P
Estudo da Deformação em uma
		Seção Genérica S
			O
	ρ
M
M
n
n
s
s´
M
P
x
y
y
s1
	Equacionamento da Deformação na
		Seção Genérica S
Da análise do esquema anterior, podemos retirar:
=
	y

non s1ns´
		s´s1
	Assim, temos: εx =
			nn
 = .E
Da Lei de Hooke, podemos escrever:
	Logo:
x =
E.y
	
Estudo das Tensões em uma Seção
	Genérica S
		n
x
y
y
n
Equações de Equilíbrio
Fazendo-se o equilíbrio de forças num elemento infinitesimal
dA, distante y do Centro de Gravidade da Seção Transversal,
tem-se:
Devido ao fato de que todas as forças distribuídas na seção
transversal representam um sistema equivalente a um conjugado,
a resultante destas forças na direção x deve ser igual a zero.
Assim, obtemos:
fatuante =x.dA
	Equações de Equilíbrio
Da análise da expressão anterior, depreende-se que o momento estático da área
da seção transversal em relação ao eixo neutro, é igual a zero. Portanto o eixo
neutro passa pelo centro de gravidade da seção.
Somando os momentos estáticos na seção transversal e fazendo a resultante igual
ao momento M das forças exteriores, Obteremos a seguinte equação para
determinação do raio de Curvatura r;
Pela equação anterior, podemos observar que a curvatura varia diretamente
com o Momento Fletor e inversamente com a quantidade E.Iz, a qual é
chamada de Módulo de Rigidez à flexão da viga.
Dedução da Equação Diferencial da curva
	de deflexões elásticas de uma viga
		carregada transversalmente
	Dedução da Equação Diferencial da curva de
		deflexões elásticas de uma viga carregada
			transversalmente
Podemos ter uma idéia bem aproximada da forma da viga deformada,
através de informações obtidas da sua curvatura. No entanto, o projeto de
uma viga exige informações mais precisas sobre a deformação e a
declividade da viga em vários pontos;
A deformação transversal da viga em um ponto é chamada de flecha;
A expressão da curvatura em cada ponto da curva deformada da viga
obtém-se recorrendo ao cálculo diferencial, sendo sua fórmula exata a
Na expressão acima, dy/dx representa a declividade da curva;
Para pequenos deslocamentos, este valor e em particular o seu quadrado
são muito pequenos, podendo ser desprezados;
Admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos, a expressão da
curvatura simplificada pode ser escrita da seguinte forma:
Dedução da Equação Diferencial da curva de
	deflexões elásticas de uma viga carregada
		transversalmente
Assim, para pequenas deflexões, pode-se
escrever:
Esta é a equação diferencial das deflexões (linha elástica) de uma viga
carregada transversalmente;
Em honra aos seus co-autores, é denominada equação de Euler-Bernoulli
para flexão de vigas;
Considerações Gerais
x e y são as coordenadas indicadas na figura abaixo, ou seja, y
é a deflexão da viga;
Em geral, M é uma função de x, sendo necessário integrar duas
vezes para obter uma equação algébrica que exprima a deflexão
y em função de x;
A equação diferencial acima, estabelece a deformação elástica
de qualquer viga, independentemente do tipo de carregamento
aplicado;
Processo de Integração
O método da integração dupla para o cálculo das deflexões em
vigas consiste em integrar a equação definida anteriormente;
A primeira integração fornece a inclinação ou declividade dy/dx em
todos os pontos da viga e a segunda integração conduz à deflexão
y para qualquer valor de x;
O momento fletor M deve, pois, ser expresso em função da
coordenada x para que a equação possa ser integrada;
Como a equação diferencial é de segunda ordem, a sua solução
contém duas constantes de integração;
Essas duas constantes devem ser obtidas a partir de condições
conhecidas no que respeita à inclinação ou deflexão em certos
pontos da viga;
Processo de Integração
Por vezes, são necessárias duas ou mais equações para descrever a variação
do momento fletor nos vários trechos, ao longo da viga;
No caso acima, a equação tem que ser escrita para cada trecho, pelo que a
integração da equação implica duas constantes de integração por trecho;
As constantes de integração são determinadas impondo continuidade das
deflexões e suas derivadas nos pontos comuns aos trechos adjacentes;
Convenções de Sinais
A convenção de sinais para o momento fletor é a mesma
adotada anteriormente;
As grandezas de E e I, são obviamente positivas, pelo
que se M for positivo para um dado valor de x, a
derivada d2y/dx2 será também positiva;
A convenção seguida para o sinal dos momentos fletores
leva a considerar a coordenada x como positiva, quando
dirigida para a direita e a deflexão y como positiva,
quando dirigida para cima;
Deste modo, pode-se obter a deflexão y em função de
x;
Hipóteses e Limitações
Na dedução da expressão geral, assume-se que as
deflexões produzidas pelo esforço transversal são
desprezíveis quando comparadas com as devidas à
flexão;
Admite-se que as deflexões são pequenas, quando
comparadas com as dimensões da seção transversal da
viga, e que toda a viga tem comportamento elástico;
Parte-se do princípio que na ausência de carregamento a
viga é perfeitamente reta;
Para vigas cuja configuração indeformada apresenta uma
ligeira curvatura, a equação geral deverá ser alterada;
	Exemplo:
A viga prismática simplesmente apoiada AB suporta uma carga
uniformemente distribuída q por unidade de comprimento (ver
figura abaixo).
Determinar a equação da linha elástica e a flecha máxima da viga.
Desenvolvimento:
Note-se que dy/dx representa a
inclinação da viga;
Atendendo à simetria da linha deformada da viga, é evidente que a
tangente tem que ser horizontal no meio do vão, isto é,
para x=l/2, dy/dx=0, isto permite determinar C1;
	Desenvolvimento:
Assim, a tangente à linha elástica dy/dx, é dada por:
	Desenvolvimento:
A flecha máxima da viga ocorre no meio do vão, devido à simetria;
Substituindo-se x=l/2 na equação anterior, obtemos: