Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG Aula 15 ICT 13 Álgebra Linear Aula 15 PROF. DR. MAYK COELHO Sempre que trabalhamos com funções alguns conjuntos sempre nos interessam, como por exemplo, o domínio, o contradomínio, a imagem e o conjunto dos pontos onde esta função se anula. Como estamos trabalhando com transformações lineares, tanto seu domínio quanto seu contradomínio são espaços vetoriais, seria muito interessante e útil que a imagem e o conjunto dos pontos onde cada transformação linear se anula também formasse um espaço vetorial. Se tal propriedade for realmente verdadeira, seria possível a partir de um único elemento destes conjuntos se obter infinitos outros, caso existam, e além disso, dados quaisquer elementos destes conjuntos, qualquer combinação linear destes também pertenceria ao conjunto, facilitando muito a obtenção destes elementos. Como deve ser de conhecimento do estudante, a imagem é um subconjunto do contradomínio e o conjunto dos pontos onde a função se anula é um subconjunto do domínio, assim, em se tratando de transformações lineares, seria interessante e útil que o conjunto dos pontos onde a transformação linear se anula fosse um subespaço do domínio e a imagem fosse um subespaço do contradomínio. Núcleo e Imagem das | 2 Definidos a e o , vamos verificar primeiramente se a é um subespaço de : Sejam , vejamos se : ⏞ ⏟ Logo pois . Vejamos agora se um múltiplo de : ⏞ Logo pois . Portanto a é um subespaço vetorial de . Vejamos agora o que acontece com o Núcleo de : Sejam ⃗ ⃗ , vejamos se , ou seja, se ⃗ : ⏞ ⃗ ⃗ ⃗ Logo . Vejamos agora se um múltiplo de , ou seja, se ⃗ : ⏞ ⃗ ⃗ Logo, , ou seja, é um subespaço de . Vejamos dois exemplos: Exemplo 1: Sejam definida por . Temos que { } { }. Assim, para obtermos o basta resolvermos o seguinte sistema linear: { Logo { } { } [ ]. A será formada por todo vetor , ou seja: [ ]. Logo, [ ]. { } { ⃗ } Sendo uma transformação linear onde e são espaços vetoriais, o conjunto imagem de é definido por: e o conjunto dos vetores onde se anula, no qual chamaremos de Núcleo de , é definido por: | 3 Exemplo2: Sejam definida por Temos que { } { }. Assim, para obtermos o basta resolvermos o seguinte sistema linear: { Logo { } [ ]. A neste exemplo não é tão simples de se obter, pois pode levar a algumas confusões, visto que será formada por todo vetor . O erro mais comum é descrever o seguinte: e concluir que [ ] e portanto ( ) . Na verdade temos o seguinte: O que nos possibilita concluir que [ ], e como { } forma um conjunto Linearmente Independente, segue que é uma base da , ou seja, ( ) . Com o exemplo 2 é possível observar que nem sempre é tão simples obter uma base para a e consequentemente sua dimensão, mas será que há uma maneira geral de se obter essas duas informações? Ainda no exemplo 2, observe que a matriz associada a é dada por: ( ) Ou seja, as colunas de formam a base da , pois estas colunas formam um conjunto LI. Já para o exemplo 1, a matriz associada a T é dada por: ( ) As colunas de não formam um conjunto Linearmente Independente, pois a segunda coluna é múltipla da primeira, porém, se tomarmos a primeira coluna com a terceira, ou a segunda com a terceira, teríamos um conjunto Linearmente Independente, e qualquer um destes poderia ser uma base para a . Assim podemos enunciar o seguinte resultado: Conclusão Errada Observe que para obter o basta resolver um sistema homogêneo. Além disso, observe que este sistema sempre terá solução, pois se é uma transformação linear de em então ( ⃗ ) ⃗ , ou seja, ⃗ não importa quem seja , mas isso já era de se esperar pois é subespaço de . O conjunto de todas as colunas Linearmente Independentes da matriz associada formam uma base para | 4 O resultado acima nos dá mais algumas dicas de como obter mais informações a partir das matrizes associadas de cada transformação. Com base na observação acima, podemos enunciar outro resultado interessante: Ainda com base nos exemplos 1 e 2, observe que se somarmos a dimensão do núcleo e da imagem das transformações obteremos a dimensão do domínio. Este fato não se resume a apenas estes dois exemplos, podemos generalizar para toda transformação linear , qualquer que seja o espaço vetorial de seu domínio. Esta generalização pode ser expressa no seguinte teorema, muito conhecido como Teorema do Núcleo e da Imagem: Com base neste teorema é possível se assegurar de não cometer mais o erro exibido no exemplo 2, visto que se neste exemplo a dimensão da fosse 3, teríamos que ter ( ) , sendo um absurdo tremendo. Este teorema é de extrema importância e sua demonstração traz algumas informações teóricas importantes que podem nos ser uteis em diversas situações, assim, vale a pena dar uma olhada em seu conteúdo a seguir: Demonstração do Teorema: Suponha ( ) . Se mostrarmos que ( ) teremos mostrado o teorema. Assim, seja { } base do , como é um conjunto LI, podemos completar até obtermos uma base de , assim, seja { } uma base de contendo . Deste modo, temos que , existem tais que . Aplicando temos: ( ⏟ ) ⏞ ⃗⃗ Observe ainda que tanto o Posto de quanto o Posto de são iguais a e respectivamente. Além disso, observe que a nulidade de é 1 que é o mesmo valor que a e o mesmo acontece para a nulidade de que é zero, ou seja, o mesmo valor da . ( ) ( ) Seja uma Transformação Linear entre os espaços vetoriais e e a matriz associada a então temos que o posto de é igual a e que a nulidade de é igual a , ou seja: ( ) ( ) Teor. Núcleo e Imagem: Seja uma Transformação Linear entre os espaços vetoriais e então: | 5 Logo, [ ]. Assim, basta mostrarmos que { } forma um conjunto LI para concluirmos que é uma base da e que portanto , ( ) Mas quando temos ⃗ Como é umatransformação linear, temos que: ⃗ Portanto: ⏟ Ou seja: ⃗ Mas é base de , portanto os escalares são todos nulos, ou seja, é um conjunto LI e portanto base da . Observe que esta demonstração nos dá outra forma de obter uma base para a , basta tomarmos a imagem dos elementos usados para completar a base do núcleo. Em alguns casos obter a base desta maneira pode ser muito mais rápido, assim, fiquem atentos. Transformações Injetoras E Sobrejetoras Algumas vezes é preciso saber se uma função é sobrejetora ou injetora, principalmente se queremos reduzir nosso contradomínio ou verificar se há inversa para uma determinada função, porém nem sempre é fácil obter esse tipo de informação, pois para verificar se uma função é sobrejetora deve-se verificar se , ou seja, envolve uma igualdade de conjuntos. Para verificar se é injetora é preciso verificar se: ou Ambas afirmações são equivalentes, porém não tão simples de serem verificadas. Mas quando se trata de transformações lineares temos uma facilidade, pois envolvemos espaços vetoriais. Como esta contida no contradomínio e sabemos que ambos são espaços vetoriais, então estes são iguais se e somente se suas dimensões forem iguais, ou seja: Já se for injetora temos que se , mas ⃗ , mas isso acontece se e somente se ⃗ e como ⃗ segue o seguinte resultado: Observe então que se for uma transformação linear, verificar se é sobrejetora ou injetora, basta olhar para as dimensões da e do respectivamente. é sobrejetora ( ) é injetora { ⃗ } ( ) | 6 Com estas informações em conjunto com o teorema do Núcleo e Imagem podemos tirar algumas conclusões: Voltando aos exemplos anteriores, no exemplo 1, é sobrejetora, mas não injetora, portanto não possui inversa. No exemplo 2, é injetora, porém não é sobrejetora, portanto também não possui inversa. Vejamos um exemplo de uma transformação linear inversível: Exemplo 3: Seja definida por . Observe que o { } pois: { Logo ( ) , o que implica injetora. Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, temos: ( ) Logo , ou seja, é sobrejetora. Portanto tem inversa. No exemplo 3 utilizamos o teorema do Núcleo e Imagem para obter a dimensão da , pois apenas essa informação nos interessava, neste contexto não houve a necessidade de obter as bases da . Mas caso o estudante fique curioso, basta observar que as colunas de são LIs e portanto formam uma base para a . Seja : Se então não pode ser sobrejetora, pois sobrejetora implica ( ) e pelo teorema teríamos ( ) , um tremendo absurdo. Se então não pode ser injetora, pois injetora implica ( ) e pelo teorema teríamos ( ) , outro tremendo absurdo, pois . Se é injetora e sobrejetora então . Se e é injetora e sobrejetora então tem inversa.
Compartilhar