Aula 15 - Núcleo e Imagem

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG Aula 15 
 
 
 
 
ICT 13 
Álgebra 
Linear 
Aula 15 
 
 
PROF. DR. MAYK COELHO 
 
 
Sempre que trabalhamos com funções alguns conjuntos sempre nos 
interessam, como por exemplo, o domínio, o contradomínio, a imagem e o 
conjunto dos pontos onde esta função se anula. Como estamos trabalhando 
com transformações lineares, tanto seu domínio quanto seu contradomínio 
são espaços vetoriais, seria muito interessante e útil que a imagem e o 
conjunto dos pontos onde cada transformação linear se anula também 
formasse um espaço vetorial. Se tal propriedade for realmente verdadeira, 
seria possível a partir de um único elemento destes conjuntos se obter 
infinitos outros, caso existam, e além disso, dados quaisquer elementos 
destes conjuntos, qualquer combinação linear destes também pertenceria ao 
conjunto, facilitando muito a obtenção destes elementos. 
Como deve ser de conhecimento do estudante, a imagem é um subconjunto 
do contradomínio e o conjunto dos pontos onde a função se anula é um 
subconjunto do domínio, assim, em se tratando de transformações lineares, 
seria interessante e útil que o conjunto dos pontos onde a transformação 
linear se anula fosse um subespaço do domínio e a imagem fosse um 
subespaço do contradomínio. 
Núcleo e Imagem 
das 
 
 | 2 
 
 
 
 
Definidos a e o , vamos verificar primeiramente se a é um subespaço de : 
Sejam , vejamos se : 
 ⏞
 
 ⏟ 
 
 
Logo pois . 
Vejamos agora se um múltiplo de : 
 ⏞
 
 
Logo pois . 
Portanto a é um subespaço vetorial de . 
Vejamos agora o que acontece com o Núcleo de : 
Sejam ⃗ ⃗ , vejamos se , ou seja, se ⃗ : 
 ⏞
 
 ⃗ ⃗ ⃗ 
Logo . Vejamos agora se um múltiplo de , ou seja, se ⃗ : 
 ⏞
 
 ⃗ ⃗ 
Logo, , ou seja, é um subespaço de . 
Vejamos dois exemplos: 
Exemplo 1: Sejam definida por . 
Temos que { } { }. Assim, para 
obtermos o basta resolvermos o seguinte sistema linear: 
{
 
 
 
Logo { } { } [ ]. 
A será formada por todo vetor , ou seja: 
 [ ]. 
 Logo, [ ]. 
 { } 
 { ⃗ } 
Sendo uma transformação linear onde e são espaços vetoriais, o conjunto imagem de é 
definido por: 
e o conjunto dos vetores onde se anula, no qual chamaremos de Núcleo de , é definido por: 
 
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Exemplo2: Sejam definida por 
Temos que { } { }. Assim, para 
obtermos o basta resolvermos o seguinte sistema linear: 
{
 
 
 
 
Logo { } [ ]. 
A neste exemplo não é tão simples de se obter, pois pode levar a algumas confusões, visto que será formada 
por todo vetor . O erro mais comum é descrever o seguinte: 
 
e concluir que [ ] e portanto ( ) . 
Na verdade temos o seguinte: 
 
 
O que nos possibilita concluir que [ ], e como { } forma um 
conjunto Linearmente Independente, segue que é uma base da , ou seja, ( ) . 
 
Com o exemplo 2 é possível observar que nem sempre é tão simples obter uma base para a e 
consequentemente sua dimensão, mas será que há uma maneira geral de se obter essas duas informações? 
Ainda no exemplo 2, observe que a matriz associada a é dada por: 
 (
 
 
 
) 
Ou seja, as colunas de formam a base da , pois estas colunas formam um conjunto LI. 
Já para o exemplo 1, a matriz associada a T é dada por: 
 (
 
 
) 
As colunas de não formam um conjunto Linearmente Independente, pois a segunda coluna é múltipla da 
primeira, porém, se tomarmos a primeira coluna com a terceira, ou a segunda com a terceira, teríamos um conjunto 
Linearmente Independente, e qualquer um destes poderia ser uma base para a . Assim podemos enunciar o 
seguinte resultado: 
Conclusão 
Errada 
Observe que para obter o basta resolver um sistema homogêneo. Além disso, observe que este sistema 
sempre terá solução, pois se é uma transformação linear de em então ( ⃗ ) ⃗ , ou seja, ⃗ 
não importa quem seja , mas isso já era de se esperar pois é subespaço de . 
 
 
O conjunto de todas as colunas Linearmente Independentes da matriz associada formam uma base para 
 
 
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O resultado acima nos dá mais algumas dicas de como obter mais informações a partir das matrizes associadas de 
cada transformação. 
 
Com base na observação acima, podemos enunciar outro resultado interessante: 
Ainda com base nos exemplos 1 e 2, observe que se somarmos a dimensão do núcleo e da imagem das 
transformações obteremos a dimensão do domínio. Este fato não se resume a apenas estes dois exemplos, podemos 
generalizar para toda transformação linear , qualquer que seja o espaço vetorial de seu domínio. Esta 
generalização pode ser expressa no seguinte teorema, muito conhecido como Teorema do Núcleo e da Imagem: 
Com base neste teorema é possível se assegurar de não cometer mais o erro exibido no exemplo 2, visto que se 
neste exemplo a dimensão da fosse 3, teríamos que ter ( ) , sendo um absurdo tremendo. 
Este teorema é de extrema importância e sua demonstração traz algumas informações teóricas importantes que 
podem nos ser uteis em diversas situações, assim, vale a pena dar uma olhada em seu conteúdo a seguir: 
Demonstração do Teorema: Suponha ( ) . Se mostrarmos que ( ) 
 teremos mostrado o teorema. Assim, seja { } base do , como é um conjunto LI, 
podemos completar até obtermos uma base de , assim, seja { } uma base de 
contendo . Deste modo, temos que , existem tais que 
 . Aplicando temos: 
 
 ( ⏟ 
 
)
⏞ 
 ⃗⃗ 
 
 
 
Observe ainda que tanto o Posto de quanto o Posto de são iguais a e 
respectivamente. Além disso, observe que a nulidade de é 1 que é o mesmo valor que a e o 
mesmo acontece para a nulidade de que é zero, ou seja, o mesmo valor da . 
 
 
 ( ) ( ) 
Seja uma Transformação Linear entre os espaços vetoriais e e a matriz associada a então 
temos que o posto de é igual a e que a nulidade de é igual a , ou seja: 
 
 ( ) ( ) 
Teor. Núcleo e Imagem: 
 Seja uma Transformação Linear entre os espaços vetoriais e então: 
 
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Logo, [ ]. Assim, basta mostrarmos que { } forma 
um conjunto LI para concluirmos que é uma base da e que portanto , ( ) 
Mas quando temos 
 ⃗ 
Como é umatransformação linear, temos que: 
 ⃗ 
Portanto: 
 ⏟ 
 
 
Ou seja: 
 ⃗ 
 
Mas é base de , portanto os escalares são todos nulos, ou seja, é um conjunto LI e 
portanto base da . 
 
Observe que esta demonstração nos dá outra forma de obter uma base para a , basta tomarmos a imagem dos 
elementos usados para completar a base do núcleo. Em alguns casos obter a base desta maneira 
pode ser muito mais rápido, assim, fiquem atentos. 
 
Transformações Injetoras E Sobrejetoras 
 
Algumas vezes é preciso saber se uma função é sobrejetora ou injetora, principalmente se queremos reduzir nosso 
contradomínio ou verificar se há inversa para uma determinada função, porém nem sempre é fácil obter esse tipo 
de informação, pois para verificar se uma função é sobrejetora deve-se verificar se , ou 
seja, envolve uma igualdade de conjuntos. Para verificar se é injetora é preciso verificar se: 
 ou 
Ambas afirmações são equivalentes, porém não tão simples de serem verificadas. 
Mas quando se trata de transformações lineares temos uma facilidade, pois envolvemos espaços 
vetoriais. Como esta contida no contradomínio e sabemos que ambos são espaços vetoriais, então estes são 
iguais se e somente se suas dimensões forem iguais, ou seja: 
 
 
Já se for injetora temos que se , mas ⃗ , mas isso 
acontece se e somente se ⃗ e como ⃗ segue o seguinte resultado: 
 
 
Observe então que se for uma transformação linear, verificar se é sobrejetora ou injetora, basta olhar para as 
dimensões da e do respectivamente. 
 é sobrejetora ( ) 
 
 é injetora { ⃗ } ( ) 
 
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Com estas informações em conjunto com o teorema do Núcleo e Imagem podemos tirar algumas conclusões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando aos exemplos anteriores, no exemplo 1, é sobrejetora, mas não injetora, portanto não possui inversa. 
No exemplo 2, é injetora, porém não é sobrejetora, portanto também não possui inversa. 
Vejamos um exemplo de uma transformação linear inversível: 
Exemplo 3: Seja definida por . 
Observe que o { } pois: 
{
 
 
 
Logo ( ) , o que implica injetora. Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, temos: 
 ( ) 
Logo , ou seja, é sobrejetora. Portanto tem inversa. 
 
No exemplo 3 utilizamos o teorema do Núcleo e Imagem para obter a dimensão da , pois apenas essa 
informação nos interessava, neste contexto não houve a necessidade de obter as bases da . Mas caso o 
estudante fique curioso, basta observar que as colunas de são LIs e portanto formam uma base para a . 
Seja : 
 Se então não pode ser sobrejetora, pois sobrejetora implica ( ) e pelo 
teorema teríamos ( ) , um tremendo absurdo. 
 Se então não pode ser injetora, pois injetora implica ( ) e pelo teorema 
teríamos ( ) , outro tremendo absurdo, pois . 
 Se é injetora e sobrejetora então . 
 Se e é injetora e sobrejetora então tem inversa.