Estruturas de Concreto Armado I -Apostila de UFBA

tipo de ruptura que deve ser evitado. O segundo tipo é uma 
ruptura dúctil, ela dá muitos sinais de que está preste a ocorrer. Quando a armadura começa a 
escoar, a peça deforma mais e apresenta um padrão crescente de fissuração. Portanto, deve-se 
garantir que no caso de uma peça chegar a ruptura, que esta seja pelo aço, dúctil, pois, ter-se-á 
tempo para os devidos reparos. Em resumo, pode-se dizer que: 
a) A ruptura do concreto é frágil; 
b) A ruptura do aço é dúctil; 
c) Em caso de ruptura, o aço deve romper primeiro, ou, no mínimo, no mesmo tempo que o 
concreto. 
Logo, para os casos de flexão simples, deve-se dimensionar as peças nos domínios 2 e/ ou 3, 
onde as rupturas são dúcteis. O ponto ideal de dimensionamento é o ponto A (Figura 6.7), que 
é o limite entre os domínios 3 e 4. A depender do domínio em que a peça se encontra, ele se 
classifica da seguinte maneira: 
a) Seção sub-armada (atinge o escoamento na ruptura): εsd > εyd ⇒ D. 2 e 3; 
b) Seção normalmente armada: εsd = εyd ⇒ ponto A; 
c) Seção super-armada (não atinge o escoamento na ruptura): εsd < εyd ⇒ D. 4. 
Com base nessas análises, pode-se concluir que, deve-se projetar as seções para trabalharem 
como sub-armadas ou normalmente armadas, e nunca como super-armadas, pois correriam o 
risco de sofrer ruptura frágil. O ideal é trabalhar no ponto A, pois alia segurança à economia, 
utilizando o máximo que os dois materiais podem oferecer. 
Para a análise e o dimensionamento das seções, utilizam-se as equações de equilíbrio de 
esforços e a de compatibilidade de deformação, que são baseadas nos diagramas de tensão e 
de deformação, respectivamente. 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
119
Equações de equilíbrio 
Tem-se, basicamente, três equações de equilíbrio: de forças horizontais (Fh); de forças 
verticais (Fv); e de momentos fletores (M). Para a seção da Figura 6.13, tem-se: 
L
b w
As
N
sdσ
d'
y
d
cd0,85 f
z
C
T
Figura 6.13 – Seção transversal sob flexão. )II()
2
yd(A.)
2
yd(y.b.f.85,0M
MMz.Tz.CM
MM0M
000F
)I(A.y.b.f.85,0
TC0F
ssdwcdd
dextint
extint
v
ssdwcd
h
−σ=−=
===
=∴=
=∴=
σ=
=∴=
∑
∑
∑
 
Equação de compatibilidade 
Tem-se uma equação de compatibilidade, que é proveniente da Lei de Bernouille-Navier, que 
é apresentada a seguir, a partir do diagrama de deformação da Figura 6.14. 
L
b w
A s
sdε
N
cdε
d'
x
d
 
Figura 6.14 – Diagrama de deformação da seção transversal sob 
flexão. 
)III(
1
8,0
d
y
)8,0yd(8,0y
)xd(x
cd
sd
sdcd
sdcd
ε
ε+
=
ε
−=ε
ε
−=ε
 
Limites entre os domínios da flexão simples 
Temos quatro pontos limites para definir: o ponto entre o D. 1 e o D.2; o ponto entre o D. 2 e 
o D.3; o ponto entre o D. 3 e o D.4; e o ponto entre o D. 4 e o D.5. A Figura 6.15 apresenta o 
esquema com os pontos limites. 
503,0
5,3
07,21
8,0
d
yA50CAaçododepende
d
yA207,0
5,3
101
8,0
d
yB
8,0
d
yC0
d
yO
=
+
=→→=→=
+
=→
=→=→
 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
120
oε = 10su oo
3
εyd
4
2
x
4a
d'
A
cuε = 3,5
d
oo
o
h
O
B
C
 
Figura 6.15 – Pontos limites entre os domínios. 
A NBR 6118 (2004), admitindo o aço CA 50 A, estabelece como limites os seguintes valores: 
• Para fck ≤ 35MPa (y/d)lim ≤ 0,40; 
• Para fck > 35MPa (y/d)lim ≤ 0,32. 
6.3. PROBLEMAS DE ANÁLISE 
Como o próprio nome já diz, para os problemas de análise o que se quer é verificar a 
capacidade resistente de uma dada seção, na qual são conhecidos os seguintes dados: 
dimensões da peça (vão – l –, largura – bw –, e altura – h); resistência do concreto à 
compressão (fck); resistência do aço à tração (fyk); e área de aço (As). Os valores que se quer 
obter são: a altura da linha neutra (y); o momento fletor máximo (Md) para a seção; a tensão 
(σsd) e a deformação (εsd) na armadura; e a deformação no concreto (εcd). 
Problema 1 
Para a seção transversal da Figura 6.16, determine o momento fletor máximo que ela suporta. 
 
As
d' = 6cm
d = 54cm
b = 20cmw
h 
= 
60
cm
 
Figura 6.16 – Seção transversal em análise. 
Aço CA 50 A 
fck = 20MPa 
d’ = 6cm 
d = h – d’ = 60 – 6 = 54cm 
As = 3,81cm2 
Hipótese inicial: LN no domínio 3 ⇒ εcd = 3,5‰ e σsd = fyd. 
cm82,6m0682,0y
15,1
10.500
.10.81,3y.2,0.
4,1
10.20
.85,0
3
4
3
==∴= − 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
121
Verificando a hipótese inicial: 
kN.m59,9
1,4
83,79MkN.m83,79
2
0,06820,54.0,0682.0,20.
1,4
10.20.0,85M
esmagounãoconcretoo3,5ε1,90,0019ε
ε
0,0101
0,8
0,54
0,0682
escoouaçoo
10
2,07ε
18,70,0187ε
0,0035
ε
1
0,8
0,54
0,0682
k
3
d
oo
o
cdoo
o
cd
cd
oo
o
oo
o
yd
oo
o
sd
sd
===

 −=
⇒=<==∴
+
=
⇒


>
=>==∴
+
=
 
Como εcd = 1,9‰ < 3,5‰, a peça se encontra no domínio 2. Porém, a hipótese inicial de que 
σsd = fyd ainda é válida para o domínio 2. 
Problema 2 
Para a seção transversal da Figura 6.17, determine o momento fletor máximo que ela suporta. 
As
d' = 6cm
d = 54cm
b = 20cmw
h 
= 
60
cm
 
Figura 6.17 – Seção transversal em análise. 
Aço CA 50 A 
fck = 20MPa 
d’ = 4cm 
d = h – d’ = 60 – 6 = 54cm 
As = 8cm2 
Hipótese inicial: LN no domínio 3 ⇒ εcd = 3,5‰ e σsd = fyd. 
cm32,14m1432,0y
15,1
10.500
.10.8y.2,0.
4,1
10.20
.85,0
3
4
3
==∴= − 
Verificando a hipótese inicial: 
kN.m116,4
1,4
162,90MkN.m162,90
2
0,14320,54.0,1432.0,20.
1,4
10.20.0,85M
escoouaçoo2,077,060,00706ε
0,0035
ε
1
0,8
0,54
0,1432
k
3
d
oo
o
oo
o
sd
sd
===

 −=
⇒>==∴
+
=
 
Como εyd = 2,07‰ < εsd = 7,06‰ <10‰, a peça se encontra no domínio 3. Logo, a hipótese 
inicial é válida. 
 
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Problema 3 
Para a seção transversal da Figura 6.18, determine o momento fletor máximo que ela suporta. 
As
d' = 6cm
d = 54cm
b = 20cmw
h 
= 
60
cm
 
Figura 6.18 – Seção transversal em análise. 
Aço CA 50 A 
fck = 20MPa 
d’ = 4cm 
d = h – d’ = 60 – 6 = 54cm 
As = 20cm2 
Hipótese inicial: LN no domínio 3 ⇒ εcd = 3,5‰ e σsd = fyd. 
cm81,35m3581,0y
15,1
10.500
.10.20y.2,0.
4,1
10.20
.85,0
3
4
3
==∴= − 
Verificando a hipótese inicial: 
escoounãoaçooε0,720,00072ε
0,0035
ε
1
0,8
0,54
0,3581
ydoo
o
sd
sd
⇒<==∴
+
= 
Como εsd < εyd, a peça se encontra no domínio 4. Logo, a hipótese de que a LN está no 
domínio 3 não é válida. Quando isso ocorre, o problema cai num sistema de 4 equações, 
apresentado a seguir, que é um pouco mais complexo de ser resolvido para se obter o valor do 
momento fletor máximo. 
Não é recomendável se trabalhar com peças no domínio 4, pois elas poderiam sofrer ruptura 
frágil. Em todo caso, se fosse calculado o valor para o momento fletor máximo, ele seria 
maior que os dois valores anteriores. 
 
 
Sistema de equações 







−ε=σ
ε
ε+
=


 −=
σ=
AtipoAço)IV(.E
)III(
1
8,0
d
y
)II(
2
ydy.b.f.85,0M
)I(.Ay.b.f.85,0
sdssd
cd
sd
wcdd
sdswcd
 
6.4. PROBLEMAS DE DIMENSIONAMENTO 
Nos problemas de dimensionamento, procura-se sempre trabalhar no domínio 3, ou no 
máximo, no domínio 2. Levando-se em conta que estamos em um desses domínios, algumas 
Incógnitas 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
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das variáveis das equações de equilíbrio e de compatibilidade já têm seus valores definidos, 
são elas: 
εcd = 3,5‰ (Domínio 3) e σsd = fyd (Domínios 2 e 3) 
Modificando-se as equações (I) e (II), apresentadas anteriormente,