05 Flexao (1)

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ECV 107
Resistência dos Materiais I
Prof.: Maila Pereira
CAPÍTULO 05
Flexão
5 - Flexão
• Por conta dos carregamentos aplicados, as vigas 
desenvolvem uma força de cisalhamento interna 
(força cortante) e o momento fletor que em geral 
variam de ponto a ponto ao longo do eixo da viga.
5.1 Diagrama de força cortante e momento fletor
• Vigas - elementos estruturais que suportam 
forças em vários pontos ao longo do elemento.
• Carregamentos transversais de vigas são 
classificados como forças concentradas ou como 
forças distribuídas.
• Força cortante provoca tensões de cisalhamento 
e momento fletor provoca tensões normais de 
flexão.
5 - Flexão
Classificação das vigas de acordo com seus apoios.
5.1 Diagrama de força cortante e momento fletor
5 - Flexão
• Para a determinação das tensões normais e de 
cisalhamento é necessário conhecer o esforço 
cortante máximo absoluto e o momento fletor 
máximo positivo e negativo atuante na viga.
• Força cisalhante e momento fletor em um 
ponto são determinadas pela passagem de um 
corte na seção de aplicação e uma análise de 
equilíbrio nas partes de cada lado do corte.
• Existe convenção para as forças de 
cisalhamento V e V’ e o par de momento M
e M’
5.1 Diagrama de força cortante e momento fletor
5 - Flexão
Exemplo 01
Para a viga de aço com o carregamento 
mostrado, trace os diagramas de força 
cortante e momento fletor.
Conclusão: 
• Para carregamento concentrado o DEC é constante;
• Para carregamento distribuído o DEC é linear
• Nos apoios V é igual as reações de apoio
• Para carregamento concentrado o DMF é linear;
• Para carregamento distribuído o DMF é uma parábola
• Nas extremidades o momento é igual a zero, exceto nos engastamentos
5 - Flexão
5.2 Relações entre Força, Força Cortante e Momento Fletor 
• Os diagramas de esforço cortante e momento fletor ficarão muito mais fáceis de 
serem traçados se forem levadas em consideração determinadas relações que 
existem entre força, força cortante e momento fletor.
• Considere a viga AB simplesmente apoiada 
submetida à força distribuída w por unidade de 
comprimento.
• Considere os ponto C e C’ situados a uma 
distância Dx um do outro.
Traçando o diagrama da parte CC’ tem-se:
• Força cortante em C = V
• Força cortante em C’ = V + DV
• Momento fletor em C = M
• Momento fletor em C’ = M + DM
• Resultante devido ao carregamento em CC’ : R = w Dx 
5 - Flexão
• Relações entre força e força cortante:
• Para uma viga carregada conforme a figura, a 
inclinação da curva de força cortante (dV/dx) é 
negativa e igual ao carregamento distribuído.
0yF :    0V w x V V D  D 
0V w x V V
V w x
V w
x
 D  D 
D   D
D
 
D
(Dx aproximar-se de zero)
dV w
dx
  (1)
5.2 Relações entre Força, Força Cortante e Momento Fletor
5 - Flexão
5.2 Relações entre Força, Força Cortante e Momento Fletor
• As equações (1) e (2) não são válidas no ponto no 
qual é aplicado uma força concentrada (a curva de 
força cortante é descontínua nesse ponto).
• A equação (2) só pode ser aplicada entre forças 
concentradas sucessivas.
  área sob a curva de força distribuída entre e D CV V C D   (2)
• Integrando a equação entre os pontos 
C e D, tem-se:
dV w
dx
   dV wdx  
D D
C C
V x
V x
dV wdx   
D
C
x
D C
x
V V wdx  
C
2 0
2
C A
C
A
LV V w
V
wLV
    


5 - Flexão
• Relações entre força cortante e momento fletor:
• Para uma viga carregada conforme a figura, a 
inclinação da curva de momento fletor (dM/dx) é 
igual ao valor da força cortante, desde que não 
seja aplicada no ponto uma força concentrada.
• Para V = 0, o momento é máximo.
0C'M :    02
xM V x w x M MD  D  D   D 
2
2
0
2
2
2
w xV x M
w xM V x
M w xV
x
D
 D  D 
D
D  D 
D D
 
D
(Dx aproximar-se de zero)
dM V
dx
 (1)
5.2 Relações entre Força, Força Cortante e Momento Fletor
5 - Flexão
5.2 Relações entre Força, Força Cortante e Momento Fletor
 área sob a curva da força cortante entre e D CM M C D  (2)
• Integrando a equação entre os pontos 
C e D, tem-se:
dM V
dx
  dM V dx 
D D
C C
M x
M x
dM Vdx  
D
C
x
D C
x
M M Vdx 
• Área (+) quando V(+)
• Área (-) quando V(-)
• A equação (2) é válida mesmo quando for aplicada uma 
força concentrada entre C e D, desde que o DEC tenha 
sido traçado corretamente
• A equação (2) não é válida quando é aplicado um 
momento entre C e D.
5 - Flexão
5.2 Relações entre Força, Força Cortante e Momento Fletor
  área sob a curva da força cortante entre e D CM M C D  (2)
2
2
8 8
0
C A
C
A
w L w LM M M
M

   
 
• Momento em C é máximo pois 
o cortante é zero
5 - Flexão
Exemplo 02
Trace os diagramas de força cortante e momento 
fletor para a viga e o carregamento mostrados.
5 - Flexão
5.3 Flexão Pura
• Quando um elemento está submetido apenas a momentos fletores M e M’
iguais e opostos, atuando no mesmo plano longitudinal, estão esse elemento 
está em flexão pura.
5 - Flexão
5.4 Deformação em uma barra de seção simétrica
• Considere a barra prismática AB possuindo um 
plano de simetria e submetida a conjugados M e M’
iguais e opostos atuando no plano de simetria
• Devido a ação dos momentos fletores a barra sofrerá 
flexão, porém sua seção transversal continuará plana 
e simétrica. Como o momento fletor é o mesmo em 
qualquer seção transversal, a barra sofrerá flexão 
uniforme.
• Assim, a linha AB, que originalmente era uma linha 
reta, será transformada em um arco de 
circunferência de centro C.
• A linha AB diminuirá em seu comprimento (para M 
> 0) e A’B’ se tornará mais longa.
• Desta forma, deve existir uma superfície paralela às 
faces superior e inferior da viga em que sx e ex são 
zero. Essa superfície é chamada Superfície Neutra.
5 - Flexão
5.4 Deformação em uma barra de seção simétrica
• A superfície neutra intercepta o plano de simetria 
ao longo de um arco de circunferência DE e 
intercepta a seção transversal por meio de uma 
reta denominada Linha Neutra (LN).
• Considerando a figura, tem-se:
• y = distância de qualquer ponto até a LN
• r = raio do arco DE
• q = ângulo central correspondente a DE
• L = comprimento da viga = comprimento
de DE, pois DE pertence à superfície 
neutra e assim não sofre deformação
• Assim:
2
2
L /tg q
r
 
  
  2 2
Lq
r
 
  
 
L rq
5 - Flexão
5.4 Deformação em uma barra de seção simétrica
• Considerando o arco JK localizado a uma 
distância y acima da LN.
• L’ = comprimento do arco JK
 
2
2
L'/tg
y
q
r
 
      2 2
L'
y
q
r
 
    
 L' yr q 
Deformação:
f iL L    L' L     y r q r q  
y q 
Deformação específica:
x
y
L
 q

rq

 
x
y

r


(A deformação específica varia 
linearmente com a distância y
da superfície neutra).
5 - Flexão
5.4 Deformação em uma barra de seção simétrica
• A deformação ex atinge seu valor absoluto máximo 
quando y é máximo (superfície superior e inferior).
x
y

r

 (1)
max
max
c c
 r
r 
   (2)
x max
y
c
 


Substituindo (2) em (1)
5 - Flexão
5.5 Tensões e deformações no regime elástico
• Se o momento fletor M é tal que as tensões normais na viga permaneçam 
abaixo da tensão de escoamento (regime elástico), então é válida a Lei de 
Hooke.
x xE 
• Sabemos que:
(Multiplicando por E)x max
y
c
 

  x max
yE E
c
 

  x max
y
c
 


(No regime elástico,a tensão varia 
linearmente com a distância y da 
superfície neutra).
5 - Flexão
5.5 Tensões e deformações no regime elástico
• De acordo com a Teoria da Elasticidade a única componente de tensão que atua 
na seção transversal de uma barra submetida à flexão é a tensão normal sx.
Posição da LN:
LN
• Para M > 0, temos:
− Forças de compressão acima
da LN: x dA
− Forças de tração abaixo da LN:
x dA
x max
y
c
 

−
Assim:
• 0x xF : dA  
0max
y
c

   
 
0max y dA
c

 
0y dA 
O momento estático da 
seção, em relação à LN, 
é igual a zero
A LN passa 
pelo centroide 
da seção
5 - Flexão
5.5 Tensões e deformações no regime elástico
Fórmula de Flexão no Regime Elástico:
LN
• Para M > 0, temos:
x max
y
c
 

−
•   0y xM : z dA  
•  z xM : y dA M   
max
yy dA M
c

   
 
2max y dA M
c

 
Fórmulas de flexão no 
regime elástico
max I M
c

 max
M c
I
  x
M y
I
  
A relação I/c é chamada de Módulo de 
resistência da seção e só depende da 
geometria.
max
M
W
 
5 - Flexão
5.5 Tensões e deformações no regime elástico
Tensão normal devido à flexão e o Módulo de Resistência
max
M c
I
  max
M
W
 
IW
c

• Considere duas vigas de seção 
retangular com mesma área A:
• O módulo de resistência é dado 
por:
Ahbh
h
bh
c
IW 61
3
6
1
3
12
1
2

Considerando as duas vigas com mesma área 
A de seção transversal, a que tiver altura h 
maior terá um módulo de resistência maior e, 
portanto, terá maior capacidade para resistir à 
flexão
5 - Flexão
A flexão ocorre em torno do 
eixo x, e o momento está 
aplicado em z (a LN está 
passando no eixo z), logo:
x
z
M y
I
  
5.5 Tensões e deformações no regime elástico
Cuidado com os eixos:
max
M c
I
  max
M
W
 
IW
c
x
M y
I
  
A flexão ocorre em torno 
do eixo z, e o momento está 
aplicado em y (a LN está 
passando no eixo y), logo:
z
y
M x
I
  
A flexão ocorre em torno 
do eixo z, e o momento está 
aplicado em x (a LN está 
passando no eixo x), logo:
z
x
M y
I
  
Cuidado: as coordenadas de x e y também podem ser negativas
5 - Flexão
5.5 Tensões e deformações no regime elástico
Deformação da viga:
É medida pela curvatura da superfície neutra, sendo que a curvatura é 
definida como o inverso do raio de curvatura r:
Vimos que: max
c

r
 1 max
c

r

No regime elástico: maxmax E

 
1 max
Ec

r

1 1 Mc
Ec Ir

1 M
EIr

5 - Flexão
5.6 Propriedades dos Perfis
5 - Flexão
Exemplo 03 
A peça de máquina de ferro fundido é 
atendida por um momento M = 3 kN m. 
Sabendo-se que o módulo de 
elasticidade E = 165 GPa e desprezando 
os efeitos dos adoçamentos, determine :
a) As tensões máximas de tração e 
compressão;
b) O raio de curvatura.
5 - Flexão
5.7 Flexão Assimétrica
• Até agora consideramos em nossa análise de flexão 
pura que as barras estavam submetidas a momentos 
fletores atuando em um plano de simetria e assim a LN 
coincidia com o vetor momento.
• No estudo de flexão assimétrica, o vetor momento não 
atua num plano de simetria da barra, isto porque:
− A barra não possuiu plano de simetria.
− O momento atua fora do 
plano de simetria da barra
• Nessas situações, o eixo neutro da seção 
não coincide com a direção do momento e 
a equação de flexão não é aplicável
x
M y
I
  
5 - Flexão
5.7 Flexão Assimétrica
• Considere a figura. As forças internas 
elementares devem satisfazer:
0x xF : dA  •
•   0y xM : z dA  
0max
yz dA
c

   
 
0max z y dA
c




0yzI 
Isso significa que y e z são eixos 
principais de inércia
•  z xM : y dA M   
x
M y
I
 
Se o vetor momento fletor M
estiver direcionado ao longo de 
um dos eixos principais de inércia 
da seção transversal, a LN 
coincidirá com a direção do 
momento fletor M e as equações 
de flexão são válidas.
5 - Flexão
5.7 Flexão Assimétrica
• Em ambos os casos, o momento deverá ser decomposto em relação aos 
eixos principais e o princípio da superposição aplicado
• Quando um dos eixos da seção principal for 
eixo de simetria, o produto de inércia será 
zero e os eixos serão eixos principais.
• Quando a barra não possui nenhum 
eixo de simetria, os eixos principais 
deverão ser determinados.
5 - Flexão
5.7 Flexão Assimétrica
• O vetor M formará o mesmo ângulo q com o eixo 
horizontal z.
• Considere a barra com um plano de simetria 
submetida aos momentos M e M’ atuando em um 
plano formando um ângulo q com o plano vertical
• Decompondo M nas direções y e z, temos: z
y
M M cos
M M sen
q
q


• Como os eixos x e y são eixos principais, podemos aplicar a 
equação de flexão: z
x
z
M y
I
   yx
y
M z
I
  
• Aplicando a superposição: yz
x
z y
M zM y
I I
   
• Como os sinais de cada termo da equação depende da direção do momento M, 
podemos escrever a equação: yz
x
z y
M zM y
I I
   
5 - Flexão
5.7 Flexão Assimétrica
• Como já sabemos, na flexão assimétrica, a posição da LN não 
coincide com a direção do momento fletor
Posição da LN:
z
y
Iy tg z
I
q
 
   
 
z
y
M M cos
M M sen
q
q

 
• Substituindo (Equação 
da LN)
• Na equação da LN, a parcela é a inclinação da reta.z
y
I tg
I
q
 
  
 
• O ângulo f que a LN faz com o eixo z é dado pela inclinação 
da reta, assim:
z
y
Itg tg
I
f q
0yz
z y
M zM y
I I
    y yz z
z y z y
M z MM y Iy z
I I M I
  
• Também sabemos que a tensão normal é zero em qualquer 
ponto da LN, logo:
5 - Flexão
Exemplo 04 
Um momento de 180 N.m é aplicado a 
uma viga de madeira retangular em um 
plano que forma um ângulo de 30 graus 
com a vertical. Determine :
a) A tensão máxima na viga,
b) O ângulo que o eixo neutro forma 
com o plano horizontal.
5 - Flexão
5.8 Caso geral de carregamento axial excêntrico
• Considere um elemento reto AB submetido a forças axiais iguais e opostas P e P’
• Sejam a e b distâncias da linha de ação das forças até os eixos principais de inércia 
da seção transversal da barra.
• O sistema representado em (a) 
pode ser substituído pelo 
sistema (b) pois eles são 
estaticamente equivalentes, 
onde: ey zM P a M Pb 
• Assim, a tensão de flexão será: yzx
z y
M zM yP
A I I
   
• Os sinais de cada temo na equação está relacionado à figura acima.
• Os sinais de cada termo na equação varia de acordo com a força P (compressão ou 
tração) e com a posição da força P em relação aos eixos principais y e z.
• Assim, é mais correto escrever: yz
x
z y
M zM yP
A I I
    
• Como a tensão é igual a zero na LN, e posição da LN será: 0yz
z y
M zM yP
A I I
   
5 - Flexão
Exemplo 05 
Uma força vertical de 4,8 kN é aplicada em um 
poste de madeira de seção transversal de 80 x 
120 mm, conforme mostra a figura. 
Determine as tensões nos pontos A, B, C e D.