Admensionalização da equação geral da energia

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ADMENSIONALIZAÇÃO EM COORDENADAS CARTEZIANAS 
 
• Variáveis adimensionais: 
 
𝑣∗ =
𝑣
𝑣0
 ; 𝑣 = 𝑣∗𝑣0 
𝑃∗ =
𝑃 − 𝑃0
𝜌𝑣02
 ; 𝑃 = 𝑃0 + 𝑃
∗𝜌𝑣0
2 
𝑇∗ =
𝑇 − 𝑇0
𝑇1 − 𝑇0
 ; 𝑇 = 𝑇0 + 𝑇
∗(𝑇1 − 𝑇0) 
𝑡∗ = 𝑡
𝑣0
𝐷
 ; 𝑡 = 𝑡∗
𝐷
𝑣0
 
𝑥∗ =
𝑥
𝐷
 ; 𝑥 = 𝑥∗𝐷 
𝑦∗ =
𝑦
𝐷
 ; 𝑦 = 𝑦∗𝐷 
𝑧∗ =
𝑧
𝐷
 ; 𝑧 = 𝑧∗𝐷 
 
• Operador Nabla admensional 
 
∇ = 
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
�⃗⃗� 
 
∇=
1
𝐷
 (
𝜕
𝜕𝑥∗
𝑖 + 
𝜕
𝜕𝑦∗
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧∗
�⃗⃗�) 
∇=
1
𝐷
 ∇∗ 
 
 
∇² = 
𝜕²
𝜕𝑥²
𝑖 + 
𝜕²
𝜕𝑦²
𝑗 +
𝜕²
𝜕𝑧²
𝑘 
∇² =
1
𝐷²
 (
𝜕²
𝜕𝑥∗²
𝑖 + 
𝜕²
𝜕𝑦∗²
𝑗 +
𝜕²
𝜕𝑧∗²
�⃗⃗�) 
∇² =
1
𝐷²
 ∇∗2 
 
• Equação da continuidade 
 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕
𝜕𝑥
(𝜌𝑣𝑥) +
𝜕
𝜕𝑦
(𝜌𝑣𝑦) +
𝜕
𝜕𝑧
(𝜌𝑣𝑧) = 0 
 
Considerando fluido incompressível: 
∇. v = 0 
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0 
𝑣0
𝐷
(
𝜕𝑣𝑥
∗
𝜕𝑥∗
+
𝜕𝑣𝑦
∗
𝜕𝑦∗
+
𝜕𝑣𝑧
∗
𝜕𝑧∗
) = 0 
(
𝜕𝑣𝑥
∗
𝜕𝑥∗
+
𝜕𝑣𝑦
∗
𝜕𝑦∗
+
𝜕𝑣𝑧
∗
𝜕𝑧∗
) = 0 
Por fim: 
 
 
• Equação do movimento 
 
𝜌
𝐷𝑣
𝐷𝑡
= 𝜇∇2. 𝑣 − ∇𝑝 + 𝜌𝑔 
𝜌 (
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑣. ∇⃗⃗⃗𝑣) = 𝜇∇⃗⃗⃗2. 𝑣 − ∇⃗⃗⃗𝑃 
Onde P é a pressão modificada. 
• Termo 1: 
𝜕𝑣
𝜕𝑡
=
𝑣0²
𝐷
𝜕𝑣∗
𝜕𝑡∗
 
 
• Termo 2: 
 
𝑣. ∇⃗⃗⃗𝑣 = 𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
 
𝑣. ∇⃗⃗⃗𝑣 =
𝑣0²
𝐷
[𝑣𝑥
∗
𝜕𝑣𝑥
∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣𝑦
∗
𝜕𝑣𝑦
∗
𝜕𝑦∗
+ 𝑣𝑧
∗
𝜕𝑣𝑧
∗
𝜕𝑧∗
] 
𝑣. ∇⃗⃗⃗𝑣 =
𝑣0²
𝐷
(𝒗∗. 𝛁∗𝒗∗) 
• Termo 3: 
𝛁∗. 𝒗∗ = 0 
 
𝜇∇⃗⃗⃗2. 𝑣 = 𝜇
𝑣0
𝐷²
 (
𝜕²𝑣𝑥
∗
𝜕𝑥∗²
+ 
𝜕²𝑣𝑦
∗
𝜕𝑦∗²
+
𝜕²𝑣𝑧
∗
𝜕𝑧∗²
) 
𝜇∇⃗⃗⃗2. 𝑣 = 𝜇
𝑣0
𝐷²
∇∗2. 𝑣∗ 
 
 
• Termo 4: 
∇⃗⃗⃗𝑃 = ∇⃗⃗⃗(𝑃0 + 𝑃
∗𝜌𝑣0
2) 
∇⃗⃗⃗𝑃 = 𝜌𝑣0
2∇⃗⃗⃗𝑃∗ 
∇⃗⃗⃗𝑃 =
𝜌𝑣0
2
𝐷
∇∗𝑃∗ 
Juntando todos os termos: 
 
𝜌 (
𝑣0²
𝐷
𝜕𝑣∗
𝜕𝑡∗
+
𝑣0²
𝐷
𝒗∗ . 𝛁∗𝒗∗) = 𝜇
𝑣0
𝐷²
∇∗2. 𝑣∗ −
𝜌𝑣0
2
𝐷
∇∗𝑃∗ 
 
Multiplicando por 
𝐷
𝜌𝑣0²
: 
𝜕𝑣∗
𝜕𝑡∗
+ 𝒗∗. 𝛁∗𝒗∗ = 𝜇
1
𝜌𝑣0𝐷
∇∗2. 𝑣∗ − ∇∗𝑃∗ 
Definindo o número de Reynolds: 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑣0𝐷 
𝜇
 
Temos por fim: 
𝜕𝑣∗
𝜕𝑡∗
+ 𝒗∗. 𝛁∗𝒗∗ =
1
𝑅𝑒
∇∗2. 𝑣∗ − ∇∗𝑃∗ 
 
 
 
• Equação da energia: 
𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 𝑘∇2𝑇 + 𝜇Φv 
 
𝐷𝑣∗
𝐷𝑡∗
=
1
𝑅𝑒
∇∗2. 𝑣∗ − ∇∗𝑃∗ 
 
Onde: 
Φv = 2 [(
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
)
2
+ (
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
)
2
+ (
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
)
2
] + [
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦
]
2
+ [
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧
]
2
+ [
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥
]
2
−
2
3
[
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
]
2
 
 
 
• Termo 1 
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑥
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 
𝐷𝑇
𝐷𝑡
=
𝑣0(𝑇1 − 𝑇0) 
𝐷
(
𝜕𝑇∗
𝜕𝑡∗
+ 𝑣𝑥
∗
𝜕𝑇∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣𝑦
∗
𝜕𝑇∗
𝜕𝑦∗
+ 𝑣𝑧
∗
𝜕𝑇∗
𝜕𝑧∗
) 
𝐷𝑇
𝐷𝑡
=
𝑣0(𝑇1 − 𝑇0) 
𝐷
𝐷𝑇∗
𝐷𝑡∗
 
 
• Termo 2: 
𝑘∇2𝑇 = 𝑘
(𝑇1 − 𝑇0) 
𝐷²
 ∇∗2𝑇∗ 
 
• Termo 3: 
 
Φv = 2 [(
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
)
2
+ (
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
)
2
+ (
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
)
2
] + [
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦
]
2
+ [
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧
]
2
+ [
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥
]
2
−
2
3
[
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
]
2
 
 
Φv =
𝑣0
2
𝐷2
{2 [(
𝜕𝑣𝑥
∗
𝜕𝑥∗
)
2
+ (
𝜕𝑣𝑦
∗
𝜕𝑦∗
)
2
+ (
𝜕𝑣𝑧
∗
𝜕𝑧∗
)
2
] + [
𝜕𝑣𝑦
∗
𝜕𝑥∗
+
𝜕𝑣𝑥
∗
𝜕𝑦∗
]
2
+ [
𝜕𝑣𝑧
∗
𝜕𝑦∗
+
𝜕𝑣𝑦
∗
𝜕𝑧∗
]
2
+ [
𝜕𝑣𝑧
∗
𝜕𝑧∗
+
𝜕𝑣𝑧
∗
𝜕𝑥∗
]
2
−
2
3
[
𝜕𝑣𝑥
∗
𝜕𝑥∗
+
𝜕𝑣𝑦
∗
𝜕𝑦∗
+
𝜕𝑣𝑧
∗
𝜕𝑧∗
]
2
} 
 
Φv =
𝑣0
2
𝐷2
Φv
∗
 
 
Juntando os termos: 
 
𝜌�̂�𝑝𝑣0(𝑇1 − 𝑇0) 
𝐷
𝐷𝑇∗
𝐷𝑡∗
= 𝑘
(𝑇1 − 𝑇0) 
𝐷²
 ∇∗2𝑇∗ + 𝜇
𝑣0
2
𝐷2
Φv
∗
 
 
Dividindo ambos os membros por 
𝐷
𝜌𝐶𝑝𝑣0(𝑇1−𝑇0)
 : 
 
 
𝐷𝑇∗
𝐷𝑡∗
=
𝑘
�̂�𝑝𝜌𝑣0𝐷
∇∗2𝑇∗ + 𝜇
𝑣0
𝜌𝐷�̂�𝑝(𝑇1 − 𝑇0)
Φv
∗
 
 
Relembrando que: 
 
Re =
𝜌𝑣0𝐷 
𝜇
 
Pr = 
�̂�𝑝𝜇
𝑘
 
Br = 
𝜇𝑣0
2
𝑘(𝑇1 − 𝑇0)
 
Temos que: 
𝑘
�̂�𝑝𝜌𝑣0𝐷
=
𝑘𝜇
�̂�𝑝𝜇𝜌𝑣0𝐷
=
𝑘
�̂�𝑝𝜇
𝜇
𝜌𝑣0𝐷
 
𝑘
�̂�𝑝𝜌𝑣0𝐷
=
1
RePr
 
E também: 
𝜇
𝑣0
𝜌𝐷�̂�𝑝(𝑇1 − 𝑇0)
= 𝜇
𝑘𝑣0𝑣0
𝜌𝑣0𝐷�̂�𝑝𝑘(𝑇1 − 𝑇0)
 
𝜇
𝑣0
𝜌𝐷�̂�𝑝(𝑇1 − 𝑇0)
=
𝑘
�̂�𝑝𝜌𝑣0𝐷
𝜇𝑣0²
𝑘(𝑇1 − 𝑇0)
 
𝜇
𝑣0
𝜌𝐷�̂�𝑝(𝑇1 − 𝑇0)
=
Br
RePr
 
Por fim: 
 
 
𝐷𝑇∗
𝐷𝑡∗
=
1
RePr
∇∗2𝑇∗ +
Br
RePr
Φv
∗