07. Circuitos de corrente contínua

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Prof. José Elisandro de Andrade
e-mail: elisandro_andrade@yahoo.com.br
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ
INSTITUTO DE GEOCÊNCIAS E ENGENHARIAS
FACULDADE DE ENGENHARIA DE MATERIAIS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
• Resistores em série
Quando diversos resistores R1, R2, R3, ..., são conectados em série, a resistência
é igual à soma das resistências individuais. Em uma conexão de resistores em
série, a corrente que passa através de todos os resistores é a mesma.
𝑉𝑎𝑥 = 𝐼𝑅1; 𝑉𝑥𝑦 = 𝐼𝑅2; 𝑉𝑦𝑏 = 𝐼𝑅3
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎𝑥 + 𝑉𝑥𝑦 + 𝑉𝑦𝑏 = 𝐼(𝑅1 + 𝑅2+ 𝑅3)
Logo,
𝑉𝑎𝑏
𝐼
= 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 → 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3
Figura 6.1
• Resistores em paralelo
Quando diversos resistores são conectados em paralelo, o inverso da
resistência equivalente Req é à soma dos inversos das resistências individuais. A
diferença de potencial nas extremidades de todos os resistores ligados em
paralelo é a mesma.
𝐼1 =
𝑉𝑎𝑏
𝑅1
; 𝐼2 =
𝑉𝑎𝑏
𝑅2
; 𝐼3 =
𝑉𝑎𝑏
𝑅3
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 𝑉𝑎𝑏
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
𝐼
𝑉𝑎𝑏
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
Figura 6.2
Exemplo 1
Exemplo 2
• Leis de Kirchhoff
Definindo dois termos que serão usados com frequência.
1 – Junção ou nó → é um ponto do circuito onde ocorre a união de dois ou mais
condutores.
2 – Malha → qualquer caminho do condutor fechado.
Figura 6.3
Figura 6.4
As leis de Kirchhoff são enunciadas como:
Lei dos nós de Kirchhoff – é baseada na lei da conservação da carga. Ela afirma que,
em um nó, a soma algébrica de todas as correntes que chegam e saem é igual a
zero.
Lei das malhas de Kirchhoff – é baseada na lei da conservação da energia e na
natureza conservativa dos campos eletrostáticos. Ela afirma que a soma algébrica de
todas as diferenças de potencial através de uma malha é necessariamente igual a
zero.
Figura 6.6
Figura 6.7
Exemplo 3
• Circuitos R – C 
É um dispositivo que possui um resistor em série com um capacitor.
• Carregando um capacitor
Idealizamos a bateria (ou a fonte de potencia) com:
i) fem 𝜀 constante;
ii) Resistividade interna nula (𝑟 = 0);
Inicialmente antes do fechamento
i) Capacitor descarregado;
ii) A carga 𝑞 é igual a zero
Fechando a chave, temos (obedecendo a lei das malhas)
Em 𝑡 = 0; 𝑣𝑎𝑏 = 𝜀 e 𝑣𝑏𝑐 = 0
𝐼0 =
𝑣𝑎𝑏
𝑅
=
𝜀
𝑅
Em t: 𝑣𝑎𝑏 = 𝑖𝑅 e 𝑣𝑏𝑐 =
𝑞
𝑐
(aplicando a lei das malhas)
𝑖 =
𝜀
𝑅
−
𝑞
𝑅𝐶
No final do processo de carregamento, a corrente (que estava sempre
diminuindo) se anula. Então, 𝑖 = 0, temos:
𝑄𝑓 = 𝐶𝜀
Figura 6.7
Podemos deduzir expressões gerais para a corrente 𝑖 e para a carga 𝑞 em
função do tempo. Tendo i =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
, temos:
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝜀
𝑅
−
𝑄
𝑅𝐶
= −
1
𝑅𝐶
𝑞 − 𝐶𝜀 ;
𝑑𝑞
𝑞 − 𝐶𝜀
= −
𝑑𝑡
𝑅𝐶
න
0
𝑞 𝑑𝑞′
𝑞 − 𝐶𝜀
= −න
0
𝑡 𝑑𝑡′
𝑅𝐶
⇒ ln
𝑞 − 𝐶𝜀
−𝐶𝜀
= 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶
𝑞 = 𝐶𝜀 1 − 𝑒− ൗ
𝑡
𝑅𝐶 = 𝑄𝑓(1 − 𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶
Como 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
, temos
𝑖 =
𝜀
𝑅
𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 ⇒ 𝑖 = 𝐼0𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶
Depois de um tempo 𝑅𝐶, conhecido como a constante de tempo ou tempo de
relaxação do circuito:
𝒯 = 𝑅𝐶 ⇒ 𝑖 =
𝐼0
𝑒
Fi
gu
ra
 6
.8
• Descarregando um capacitor
Supondo um capacitor carregado 𝑄0
𝐸𝑚 𝑡 = 0; q = 𝑄0 e 𝑖0 = −
𝑄0
𝑅𝐶
Pois,
𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= −
𝑞
𝑅𝐶
, 𝑝𝑜𝑟 𝜀 = 0
Reagrupando essa equação em termos de 𝑞′ e 𝑡′ e integrando, temos
න
𝑄0
𝑞 𝑑𝑞′
𝑞′
= −
1
𝑅𝐶
න
0
𝑡
𝑑𝑡′ ⇒ ln
𝑞
𝑄0
= −
𝑡
𝑅𝐶
𝑞 = 𝑄0𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶
A corrente instantânea
𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= −
𝑄0
𝑅𝐶
𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 = 𝐼0𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶
Fi
gu
ra
 6
.9
Exemplo 4
Exemplo 5