UNIVESP - 2020 - Revisão 2 - CIRCUITOS ELÉTRICOS

Prévia do material em texto

Leis de Kirchhoff
1ª Lei de Kirchhoff (lei das correntes) (LKC): 
CONVENÇÃO: Nó = Ponto de conexão de dois ou mais elementos de
circuitos. 
Correntes que chegam ⇒ sinal positivo 
Correntes que saem ⇒ sinal negativo
A soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual à soma das
correntes que saem do nó, consideradas todas no mesmo instante.
A soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito é sempre
nula.
2ª Lei de Kirchhoff (lei das tensões) (LKT)
A soma algébrica das tensões ao longo de um caminho fechado é igual à
soma algébrica das quedas de tensões existentes nessa malha. 
Entende-se malha como um caminho fechado, isto é: partindo de um
determinado nó, caminha-se sobre os ramos, ultrapassando outros nós
uma única vez, até chegar ao nó de partida.
Diversas malhas podem conter um mesmo nó. Entretanto, nenhum nó
pode aparecer de forma repetida em uma mesma malha. 
Quando uma malha tem mais de uma fonte de tensão:
Análise de malhas para resolução de circuitos
Para fazer a análise de circuitos com múltiplas malhas, costuma-se usar o
que referenciamos por correntes de malhas. Para ter uma melhor
compreensão do que sejam correntes de malhas, considere o circuito
abaixo:
Pela Figura, I4 e I5 são correntes de malha e dá para se tirar as seguintes
conclusões:
1) I4 = I1; 2) I5 = I3; 3) I2 = I4 – I5.
Percorrendo a malha com corrente I4, teremos:
V1 – R1 I4 - R2I4 - V2 = 0 . => V1 – (R1 + R2 ) I4 - V2 = 0 . 
V1 – V2 = (R1 + R2 ) I4 .
Percorrendo a malha com corrente I5 , teremos:
V2 + R2I4 - R2I5 - R3 I5 =0.
Considerando que são conhecidas as tensões V1 e V2 e os valores dos
resistores R1, R2 e R3 , fica fácil encontrar os valores das correntes I4 e I5 e,
por conseguinte, I1 , I2 e I3 . 
Uma observação importante: esse processo só é válido para circuitos que
podem ser representados num único plano, sem cruzamentos de linhas,
contendo apenas dipolos lineares e sem fontes de corrente.
Aplicando as Leis de Kirchhoff
a) Define as correntes nas malhas e no ramo central e dá-se nomes a 
elas. A definição do sentido das correntes é aleatória.
b) Identifica-se os nós e define-se as polaridades das tensões. Lembrando
que o positivo da tensão em um resistor está no lado por onde a corrente 
entra no resistor. Na fonte de energia, o traço mais largo indica o 
positivo.
c) Para maior clareza, desenha-se as setas que identificam o sentido das 
tensões no circuito.
 
d) O circuito está pronto para análise. Analisa-se primeiramente o nó (a).
Aplicando a 1ª lei de Kirchhoff, ΣI = 0:
I1 + I3 = I2 (1) (I1 e I3 chegam ao nó, I2 sai do nó)
e) Analisa-se agora a malha 1, definida pela corrente I1, aplicando a 2ª lei
de Kirchhoff, ΣV = 0. 
As tensões sobre os resistores serão indicadas pela letra V seguido pelo
nome do resistor, por exemplo, a tensão sobre o resistor R1 é VR1, sobre
R2 é VR2 e assim suscetivamente. Tensões com o mesmo sentido da
corrente da malha são positivas e tensões com sentido diferente são
negativas.
V1 – VR1 + VR3 – V2 – VR4 = 0
Substituindo as tensões das fontes pelos seus valores e as tensões dos
resistores pelo produto R*I, tem-se:
2 – (1 * I1) + (4 * I3) – 4 – (1 * I1) = 0 (2)
f) Analisando a malha 2, pela segunda lei de Kirchhoff, tem-se:
V2 – VR3 – VR2 – V3 – VR5 = 0
Substituindo as tensões das fontes pelos seus valores e as tensões dos
resistores pelo produto R*I, tem-se:
4 – (4 * I3) – (1 * I2) – 2 – (1 * I2) = 0 (3)
g) Tem-se então, as seguintes equações para o circuito:
I1 + I3 = I2 (1)
2 – (1 * I1) + (4 * I3) – 4 – (1 * I1) = 0 (2)
4 – (4 * I3) – (1 * I2) – 2 – (1 * I2) = 0 (3)
h) Agrupando os termos comuns nas equações (2) e (3):
– 2 – (2 * I1) + (4 * I3) = 0 (2)
2 – (4 * I3) – (2 * I2) = 0 (3)
i) Substituindo I2 de (1) em (3):
2 – (4 * I3) – 2 * (I1 + I3) = 0 
2 – (4 * I3) – (2 * I1) – (2 * I3) = 0 
2 – (6 * I3) – (2 * I1) = 0 (4)
j) Isolando I1 de (2) e (4) e igualando os resultados:
–2 – (2 * I1) + (4 * I3) = 0
(2 * I1) = 2 – (4 * I3)
(2 * I1) = (4 * I3) − 2
I1 = ((4 * I3) −2) / 2 
I1 = (2 * I3) − 1 (5)
2 – (6 * I3) – (2 * I1) = 0
(– 2 * I1) = (6 * I3) – 2
(2 * I1) = 2 – (6 * I3)
I1 = (2 – (6 * I3)) / 2
I1 = 1 – (3 * I3)
(2 * I3) – 1 = 1 – (3 * I3)
(2 * I3) + (3 * I3) = 1 + 1
(5 * I3) = 2
I3 = (2 / 5)
I3 = 0,4 A
k) Substituindo I3 em (5): 
I1 = (2 * I3) − 1
I1 = (2 * 0,4) − 1
I1 = 0,8 − 1
I1 = −0,2 A
l) Calculando I2:
I2 = I1 + I3
I2 = −0,2 + 0,4
I2 = 0,2 A
m) Resultado Final:
I1 = -0,2 A, I2 = 0,2 A e I3 = 0,4 A.
Redes de Primeira Ordem
Em geral, um circuito de primeira ordem tem um único elemento
armazenador de energia (um capacitor ou um indutor) e é descrito por
uma equação diferencial de primeira ordem, ordinária, linear e a
coeficientes constantes. Considere, por exemplo, o circuito R, L série
alimentado por um gerador ideal de tensão e com condição inicial i(t0) =
i0, como mostrado
na Figura 1.
Escrevendo a segunda lei de Kirchhoff para esse circuito, obtemos
vL(t) + vR(t) = es(t).
Usando as relações constitutivas do indutor e do resistor (lei de Ohm), 
chega-se a
Dividindo essa equação por L, obtemos
Dessa forma, o circuito da Figura 1 é descrito pela equação diferencial 
acima e a corrente
i(t) é a função incógnita. Essa equação diferencial é:
1. de primeira ordem, pois aparece no m´máximo a primeira derivada da
função incógnita;
2. ordinária, pois não há derivadas parciais (derivamos apenas com
relação ao tempo,
que é a única variável independente);
3. linear, pois não há funções não lineares da incógnita e/ou de suas
derivadas; e
4. a coeficientes constantes, pois consideramos que o resistor e o indutor
não variam
no tempo.
Redes de Segunda Ordem
As redes de segunda ordem são circuitos elétricos que possuem dois
elementos armazenadores de energia. Estes circuitos são formados pela
associação de um ou mais resistores e dois elementos armazenadores de
energia, que podem ser de tipos diferentes ou não (desde que não
possam ser reduzidos a um só elemento equivalente) (Dois capacitores;
Dois indutores; Um resistor, um capacitor e um indutor, associados em
série; Um resistor, um capacitor e um indutor, associados em paralelo,
entre outros).
Exemplos de circuitos elétricos de segunda ordem
O circuito apresentado está com excitação nula e com certa energia
armazenada, começou a operar no instante to = 0, com as seguintes
condições iniciais: 𝑣𝑐(0)=𝑣𝑜 e 𝑖𝐿(0)= 𝑖𝑜.
Aplicando-se a 2ª Lei de Kirchhoff, temos que:
𝑣𝑅(𝑡)+𝑣𝐿(𝑡)+𝑣𝐶(𝑡)=0 (1)
Considerando que:
e substituindo os valores (2), (3) e (4) na expressão (1), obtemos
Para reduzir (5) a uma equação diferencial, deriva-se em relação ao
tempo. Ao fazer a derivação, e divide-se tal expressão por L, resultando
na equação:
 (6)
A abordagem clássica para resolver a equação (6) consiste em supor que
a solução não trivial é uma função exponencial, ou seja, deve-se supor
que a corrente no circuito é da forma:
(7)
onde A e s são constantes
Substituindo (7) em (6) e efetuando as derivações, obtém-se;