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17405_Fisica1A_Aulas_13a20_modulo_2_Volume_01

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gR tgθ, o mo´dulo da forc¸a de atrito fat cresce a partir do valor nulo. No
entanto, fat na˜o pode aumentar indefinidamente, pois, como sabemos, existe um
valor ma´ximo para o mo´dulo da forc¸a de atrito entre duas superfı´cies em contato,
dado por µeN . Portanto, existe um valor ma´ximo para v, que designaremos vmax,
acima do qual o carro derrapara´ sobre a pista, no sentido para cima. Para desco-
brirmos o valor de vmax, basta substituir em (19.38) o valor ma´ximo do mo´dulo
da forc¸a de atrito, ou seja, basta escrever fat = µeN , com N dada pela equac¸a˜o
(19.39). Seguindo esse procedimento, obtemos:
µe
(
mg cosθ + m
v2max
R
senθ
)
= m
v2max
R
cosθ −mg senθ ,
ou seja,
v2max = gR
(senθ + µecosθ)
(cosθ − µesenθ) . (19.40)
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Aplicac¸o˜es das leis de Newton
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Como u´ltimo comenta´rio a respeito desse exemplo, note que, se v decrescer
a partir do valor v0 = gR tgθ, o mo´dulo da forc¸a de atrito tambe´m aumenta a
partir do valor nulo, pore´m com uma diferenc¸a importante em relac¸a˜o ao caso que
acabamos de tratar: a forc¸a de atrito sobre os pneus do carro aponta para cima,
pois o carro tende a derrapar para baixo. Supondo que a inclinac¸a˜o da pista em
relac¸a˜o a` horizontal seja maior do que o aˆngulo crı´tico θc = arctgµe, havera´ um
valor mı´nimo vmin para o mo´dulo da velocidade do carro, abaixo do qual ele ira´
derrapar para baixo na pista. O ca´lculo de vmin e´ pedido problema proposto 11.
Exemplo 19.12
Considere um pequeno bloco de massa m que esta´ apoiado sobre um bloco
maior, de massa M . Esse u´ltimo, por sua vez, esta´ apoiado sobre uma superfı´cie
horizontal lisa. Sobre o bloco maior atua uma forc¸a F, horizontal e para a direita,
e de mo´dulo constante F = |F|, como indica a Figura 19.11.
M
m
F
Fig. 19.11: Um pequeno bloco de massa m em repouso relativo ao bloco de massa M que se movimenta em relac¸a˜o a`
superfı´cie horizontal lisa.
Embora na˜o haja atrito entre o bloco maior e a superfı´cie horizontal, existe
atrito entre as superfı´cies dos dois blocos. Seja µe o coeficiente de atrito esta´tico
entre essas duas superfı´cies. Quando a forc¸a F e´ aplicada, os blocos se encontram
em repouso. Desejamos saber qual e´ o maior valor que F pode ter, sem que haja
deslizamento entre os blocos.
Da Segunda Lei de Newton, aplicada ao sistema formado pelos dois blocos,
podemos escrever
F = (M + m)a ,
em que a e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o do sistema ao longo da direc¸a˜o de F. A
equac¸a˜o anterior mostra que quanto maior a acelerac¸a˜o, maior o valor de F neces-
sa´rio para manter o sistema com tal acelerac¸a˜o. No entanto, a condic¸a˜o para que
na˜o haja deslizamento entre os blocos impo˜e uma restric¸a˜o sobre a acelerac¸a˜o:
seu mo´dulo na˜o pode ser superior a um certo valor, pois da Segunda Lei de
Newton, aplicada ao bloco de cima, temos fat = ma, e como fat pode valer, no
ma´ximo, µeNm, em que Nm e´ o mo´dulo da reac¸a˜o normal exercida pelo bloco de
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baixo sobre o de cima, o maior valor possı´vel para a e´ dado por amax = µeNn/m.
Usando novamente a Segunda Lei de Newton para o bloco de cima, e obser-
vando que este na˜o possui componente vertical de acelerac¸a˜o, podemos escrever:
Nm = mg. Com esses resultados, obtemos o valor ma´ximo de F , a saber:
Fmax = (M + m)amax = µe(M + m)g .
Ou seja, se o mo´dulo de F possuir valores entre zero e µe(M + m)g, os blocos
se movera˜o juntos, sem que haja deslizamento entre eles. ´E claro que, quanto
maior for F , maior sera´ o mo´dulo da forc¸a de atrito entre os blocos e, no caso em
que F = µe(M + m)g, o mo´dulo da forc¸a de atrito tera´ seu valor ma´ximo. No
entanto, caso F excedesse esse valor, a forc¸a total sobre o bloco de cima, para que
ele na˜o deslizasse sobre o bloco de baixo, deveria ter um mo´dulo superior ao valor
ma´ximo permitido para o mo´dulo da forc¸a de atrito. Justamente por esse motivo,
para valores de F superiores a µe(M + m)g, passa a existir deslizamento entre
os blocos, sendo que a acelerac¸a˜o do bloco de baixo possuira´ uma acelerac¸a˜o de
mo´dulo maior do que a do bloco de cima (veja o problema proposto 12).
Resumo
Embora esta aula tenha sido, essencialmente, de aplicac¸o˜es das leis de
Newton, aproveitamos para relembrar, no inı´cio dela, alguns pontos muito im-
portantes do estudo da Mecaˆnica, a saber: o significado do Princı´pio do Determi-
nismo Newtoniano e qual e´ o problema fundamental da Mecaˆnica. Mostramos,
ainda, por meio de um exemplo simples, que uma consequ¨eˆncia natural do Prin-
cı´pio do Determinismo Newtoniano e´ o fato de que as condic¸o˜es iniciais de um
sistema, isto e´, as posic¸o˜es e as velocidades de todas as partı´culas do sistema
num dado instante determinam, univocamente, o movimento subsequ¨ente desse
sistema. Em seguida, utilizamos alguns exemplos para explicar de que modo
uma forc¸a passa a depender explicitamente do tempo. Vimos que isso pode ocor-
rer quando as func¸o˜es-movimento de uma ou mais partı´culas do sistema forem
conhecidas (na˜o importa como). Desse ponto da aula em diante, passamos a fa-
zer aplicac¸o˜es das leis de Newton em diversas situac¸o˜es, envolvendo na˜o ape-
nas forc¸as que dependem somente das posic¸o˜es das partı´culas do sistema, mas
tambe´m as chamadas forc¸as de vı´nculo como, por exemplo, as reac¸o˜es normais
exercidas por superfı´cies rı´gidas ou tenso˜es feitas por fios ideais. Obviamente,
poderı´amos ter feito mais aplicac¸o˜es nesta aula, incluindo um nu´mero maior de
exemplos, ja´ que sa˜o inconta´veis os problemas que a Mecaˆnica pode oferecer. No
entanto, procuramos escolher os exemplos de forma que, mesmo com um pequeno
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nu´mero deles, pude´ssemos abranger os pontos principais das leis de Newton e dei-
xar para voceˆ a tarefa de fazer muitas outras aplicac¸o˜es, a comec¸ar pelas questo˜es
e problemas propostos a seguir.
Questiona´rio
1. Crie alguns exemplos nos quais uma partı´cula sofre a ac¸a˜o de va´rias forc¸as.
Escolha seus exemplos de modo que haja, pelo menos, uma forc¸a depen-
dente de sua posic¸a˜o e uma reac¸a˜o vincular. Identifique as reac¸o˜es vincula-
res que aparecerem em cada exemplo.
2. Explique em que circunstaˆncias uma forc¸a que atua sobre uma partı´cula
pode depender explicitamente do tempo. Deˆ um exemplo.
3. ´E muito comum alunos confundirem a reac¸a˜o normal que uma superfı´cie
rı´gida exerce sobre um corpo colocado sobre ela com a reac¸a˜o (do par de
ac¸a˜o e reac¸a˜o) ao peso do corpo. Para que fique evidente que a reac¸a˜o ao
peso de um corpo na˜o e´ a reac¸a˜o normal exercida pela superfı´cie sobre ele,
deˆ alguns exemplos em que o mo´dulo dessa forc¸a e´ maior do que o mo´dulo
do peso, e outros tantos em que e´ menor do que o mo´dulo do peso.
4. Deˆ uma explicac¸a˜o qualitativa simples para o fato de o perı´odo do peˆndulo
tratado no Exemplo 19.7 ser menor do que o de um peˆndulo simples, no
qual a mola esta´ ausente.
5. Reconsidere a situac¸a˜o discutida no Exemplo 19.8, no qual uma partı´cula
de massa m, que so´ pode se movimentar no plano OXY , esta´ sujeita a
uma forc¸a F = −kr. Descreva, qualitativamente, qual o movimento dessa
partı´cula, caso ela seja abandonada em repouso de um ponto qualquer do
plano OXY , na˜o necessariamente pertencente a um dos eixos cartesianos.
6. Reconsidere o problema discutido no Exemplo 19.12, mas suponha que
M > m. Suponha, ainda, que na˜o haja deslizamento entre os blocos. Em
que situac¸a˜o o mo´dulo da forc¸a de atrito entre os blocos e´ maior, com o mais
pesado embaixo ou em cima?
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Aplicac¸o˜es das leis de Newton
Problemas propostos
1. Verifique, por substituic¸a˜o direta, que as expresso˜es escritas em (19.4) cor-
respondem, de fato, a movimentos possı´veis do sistema descrito no Exem-
plo 19.1. Ou seja, mostre